Derivadas

Reta Tangente

Reta Tangente

Reta Tangente

Reta Tangente

Reta Tangente

Reta tangente:

𝒎𝒕𝒈 = limΔ𝑥→0

Δ𝑦

Δ𝑥= 𝐥𝐢𝐦

𝚫𝒙→𝟎

𝒇 𝒙𝟎 + 𝚫𝒙 − 𝒇(𝒙𝟎)

𝚫𝒙= 𝑡𝑔(𝛼)

ou,

𝒎𝒕𝒈 = 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒙𝟎

𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒙𝟎)

𝒙 − 𝒙𝟎

E a equação da reta tangente é dada por

𝑦 − 𝑓 𝑥0 = 𝑚𝑡𝑔(𝑥 − 𝑥0)

Reta Tangente

Exemplo 1: use as duas definições para encontrar

uma equação para a reta tangente a função 𝑓 𝑥 =𝑥2 no ponto P(1,1).

Exemplo 2: encontre uma equação para a reta

tangente a curva 𝑓 𝑥 = 2/𝑥 no ponto P(2,1).

Exemplo 3: encontre as inclinações das retas

tangentes à curva 𝑓 𝑥 = 𝑥 em 𝑥0 = 1, 𝑥0 =4 e 𝑥0 = 9.

Velocidade

Velocidade

Se uma partícula em movimento retilíneo percorre o

eixo s de tal modo que a função da coordenada da

posição em termos do tempo t decorrido é

𝑠 = 𝑓 𝑡

então 𝑓 é chamada função posição da partícula.

A velocidade média da partícula em um intervalo

de tempo 𝑡0, 𝑡0 + ℎ é definida como

𝒗𝒎 =𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎

𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜=𝒇 𝒕𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒕𝟎)

𝒉

Velocidade

Exemplo 4: Suponha que 𝑠 = 𝑓 𝑡 = 1 + 3𝑡 − 2𝑡2

seja a função posição de uma partícula, onde s está

em metros e t está em segundo. Encontre as

velocidades médias da partícula nos intervalos de

tempo.

a) [0, 1]

b) [1, 3]

Velocidade Instantânea

A velocidade instantânea descreve o

comportamento da partícula num instante de tempo

específico, ou seja, quando ℎ → 0.

Assim, a velocidade instantânea 𝑣𝑖 da partícula no

instante 𝑡0 é dado por

𝑣𝑖 = limℎ→0

𝑓 𝑡0 + ℎ − 𝑓(𝑡0)

ℎ

Geometricamente, a velocidade instantânea em 𝑡0 é

a inclinação da curva posição versus tempo no

ponto P(𝑡0, 𝑓(𝑡0)).

Taxas de Variação

A velocidade pode ser vista como uma taxa de

variação da posição em relação ao tempo.

Outros exemplos:

Taxas de Variação

Considere uma barra uniforme de 40cm de

comprimento, isolada em sua superfície lateral e

com as extremidades numa temperatura 25°C e

5°C:

O comportamento gráfico da temperatura nessa

barra é dado por

Taxas de Variação

A inclinação é dada por m=0,5. Ou seja, a

temperatura decresce a uma taxa 0,5°C por

centímetro.

Para uma reta y=mx+b a inclinação (taxa de

variação) é constante. Mas isso não é válido para

uma curva qualquer 𝑓 𝑥 .

Taxa de variação média de y em relação a x no

intervalo 𝑥0, 𝑥1 é dada por

𝑟𝑚 =𝑓 𝑥1 − 𝑓(𝑥0)

𝑥1 − 𝑥0

Taxas de Variação

Taxa de variação instantânea de y em relação a x

é

𝑟𝑖 = lim𝑥1→𝑥0

𝑓 𝑥1 − 𝑓(𝑥0)

𝑥1 − 𝑥0

Ou podemos reescrever, tomando ℎ = 𝑥1 − 𝑥0:

𝑟𝑚 =𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)

ℎ

𝑟𝑖 = limℎ→0

𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)

ℎ

Taxas de Variação

Função Derivada

A inclinação da reta tangente a 𝑓(𝑥) no ponto 𝑥 = 𝑥0ou a taxa de variação instantânea de y com relação

a 𝑥 em 𝑥 = 𝑥0 são limites importantes e possuem

uma notação especial:

𝑓′ 𝑥0 = limℎ→0

𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)

ℎ

Definição: a função 𝑓′ definida pela fórmula

𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎

𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)

𝒉é denominada derivada de f em relação a x. O

domínio de f’ consiste em todos os x do domínio de f

com os quais existe o limite.

Função Derivada

Exemplo 1: encontre a derivada da função em

relação a x de 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥.

Exemplo 2: encontre a derivada da função em

relação a x de 𝑓 𝑥 = 𝑥. Encontre a inclinação da

reta tangente a 𝑦 = 𝑥 em 𝑥 = 9.

Notação

𝑓′(𝑥) é equivalente:

•

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥

• 𝐷𝑥[𝑓(𝑥)]

• 𝑦′(𝑥)

•

𝑑𝑦

𝑑𝑥

Técnicas de Derivação

Derivadas de uma constante:

𝑓 𝑥 = 𝑐 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 0

Regra da Potência: para n inteiro,

𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1

Exemplo: calcule a derivada de 𝑓 𝑥 = 4𝑥3.

Técnicas de Derivação

Derivadas de somas e diferenças:

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 +

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥)

Exemplo: calcule𝑑𝑦

𝑑𝑥se 𝑦 = 3𝑥8 − 2𝑥5 + 6𝑥 + 1

Derivadas de ordens superiores

Técnicas de Derivação

Regra de um produto:

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑔 𝑥 + 𝑔 𝑥

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥)]

Exemplo: encontre dy/dx se 𝑦 = 4𝑥2 − 1 7𝑥3 + 𝑥 .

Técnicas de Derivação

Regra de um quociente:

𝑑

𝑑𝑥

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥=𝑔 𝑥

𝑑𝑑𝑥

𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥𝑑𝑑𝑥

[𝑔(𝑥)]

𝑔 𝑥 2

Exemplo: encontre dy/dx se 𝑦 =𝑥3+2𝑥2−1

𝑥+5.