Trigonometria

Graus x Radianos:

• Quantos radianos existem em 90 graus?

• Quantos graus existem em𝜋

3radianos?

Trigonometria

Medidas trigonométricas:

Cateto oposto

𝑠𝑒𝑛 𝜃 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

cos 𝜃 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝜃

hipotenusa

Cateto adjacente

Trigonometria

Exemplo: encontre os valores de seno, cosseno

e tangente do ângulo de 45°.

Trigonometria

Trigonometria

O círculo trigonométrico com raio 1:

Funções Trigonométricas

Função seno: 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥

• O gráfico é uma curva determinada senóide,

que é alternadamente crescente e

decrescente.

• Domínio são os reais e imagem o intervalo

[-1, 1].

• É periódica de período 2𝜋 (ou seja, ocomportamento da função se repete a cada

intervalo 2𝜋).• Limitada, tem máximo absoluto 1 e mínimo

absoluto -1.

• Não tem assíntotas.

Funções Trigonométricas

Função seno: 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥

Funções Trigonométricas

Função cosseno: 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥

• O gráfico é uma curva determinada

cossenóide, que é alternadamente crescente

e decrescente.

• Domínio são os reais e imagem o intervalo

[-1, 1].

• É periódica de período 2𝜋.• Limitada, tem máximo absoluto 1 e mínimo

absoluto -1.

• Não tem assíntotas.

Funções Trigonométricas

Função cosseno: 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥

Funções Trigonométricas

Função tangente: 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥

𝑡𝑔 𝑥 =𝑠𝑒𝑛 𝑥

cos 𝑥, cos(𝑥) ≠ 0

• O gráfico é crescente em cada intervalo do

domínio.

• Domínio={𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≠ ±𝜋

2, ±

3𝜋

2, … } e imagem

todos os reais.

• É periódica de período 𝜋.• Não é limitada e não tem extremos locais

• Tem assíntotas verticais em 𝑥 = ±𝜋

2, ±

3𝜋

2, …

Funções Trigonométricas

Função tangente: 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥

Funções Trigonométricas

Função cotangente: 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥

𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 =𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑠𝑒𝑛(𝑥), sen(𝑥) ≠ 0

• O gráfico é crescente em cada intervalo do

domínio.

• Domínio= {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≠ ±𝜋,±2𝜋,… } e imagemtodos os reais.

• É periódica de período 𝜋.• Não é limitada e não tem extremos locais

• Tem assíntotas verticais em 𝑥 = ±𝜋,±2𝜋,…

Funções Trigonométricas

Função cotangente: 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥

Funções Trigonométricas

Função secante: 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥

𝑠𝑒𝑐 𝑥 =1

𝑐𝑜𝑠(𝑥), cos(𝑥) ≠ 0

• Domínio= 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≠ ±𝜋

2, ±

3𝜋

2, …

• Imagem={𝑦 ∈ ℝ: 𝑦 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑦 ≥ 1}• É periódica de período 2𝜋.• Não é limitada e tem extremos locais.

• Tem assíntotas verticais em 𝑥 = ±𝜋

2, ±

3𝜋

2, …

Funções Trigonométricas

Função secante: 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥

Funções Trigonométricas

Função cossecante: 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 =1

𝑠𝑒𝑛(𝑥), sen(𝑥) ≠ 0

• Domínio={𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≠ ±𝜋,±2𝜋,… }• Imagem={𝑦 ∈ ℝ: 𝑦 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑦 ≥ 1}• É periódica de período 𝜋.• Não é limitada e tem extremos locais

• Tem assíntotas verticais em 𝑥 = ±𝜋,±2𝜋,…

Funções Trigonométricas

Função cossecante: 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥

Funções Trigonométricas

Exercícios: faça os gráficos das seguintes

funções

a) 𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 +𝜋

2

b) 𝑓 𝑥 = −1 + cos(2𝑥)

c) 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔 2𝑥 −𝜋

2

d) 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)

e) 𝑓 𝑥 = 2sec(𝑥)

f) 𝑓 𝑥 = 1 + secx

2

Identidades

cos2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 1

1 + 𝑡𝑔2𝜃 = sec2 𝜃

𝑐𝑜𝑡𝑔2𝜃 + 1 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝜃

𝑠𝑒𝑛 𝑢 ± 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 cos(𝑣) ± cos 𝑢 𝑠𝑒𝑛(𝑣)

cos 𝑢 ± 𝑣 = cos 𝑢 cos(𝑣) ∓ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 sen(v)

Exercício: Prove

𝑠𝑒𝑛 2𝜃 = 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos(𝜃)cos 2𝜃 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2𝜃

Funções Trigonométricas

Exercícios: Demana, página 229, números

[1,8], [15,58]