Apresentação do...

MATEMÁTICA – 8.° ANO 1

MARCELO CRIVELLA

PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO

CÉSAR BENJAMIN

SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO

MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS

SUBSECRETARIA DE ENSINO

KATIA REGINA DAS CHAGAS MOURA

GERÊNCIA DE ENSINO FUNDAMENTAL

SILVIA MARIA SOARES COUTO

ORGANIZAÇÃO

CLAYTON BOTAS

ELABORAÇÃO

FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA

NELSON GARCEZ LOURENÇO

SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA

REVISÃO

AGRADECIMENTOS ESPECIAIS(IMAGENS DA CAPA)

MOANA MARTINS E EQUIPE

ORQUESTRA SINFÔNICA JUVENIL CARIOCA

MULTIRIO

CONTATOS E/SUBE

[email protected]

[email protected]

[email protected]

Telefones: 2976-2301 / 2976-2302

EDIGRÁFICA

IMPRESSÃO

FÁBIO DA SILVA

MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR

DESIGN GRÁFICO


Bem vindos ao 3.º bimestre! Antes de iniciarmos os

conteúdos novos, vamos revisar o que já estudamos até o 2.º

bimestre deste ano.

Marque os conteúdos que você já revisou e, se tiver

dúvidas, pergunte ao Professor(a) ou consulte os cadernos

pedagógicos dos bimestres anteriores:

❑ Números racionais e dízimas periódicas

❑ Números irracionais

❑ Arredondamento de números

❑ Comparação e ordenação

❑ Ângulos suplementares, complementares e congruentes

❑ Polinômios

❑ Polígonos

Após a revisão, vamos, então, iniciar os conteúdos novos.

São eles:

❑ Produtos notáveis

❑ Fatoração

❑ Desigualdades

❑ Ângulos de polígonos

❑Média aritmética simples

NÚMEROS RACIONAIS E DÍZIMAS PERIÓDICAS

a)3

2=

b) −2

5=

c)134

10=

d)7

9=

e) −1

3=

f)4

11=

2) Escreva os números, apresentados a seguir, na forma

fracionária e simplifique ao máximo.

1) Efetue as divisões e escreva os números na forma decimal:

a) 0,8 =

b) 1,2 =

c) −0,25 =

d) 0,1 =

Mu

ltir

io

Pegue seu material e comece a

estudar. O final do ano já está

chegando!!!


3) Encontre as frações geratrizes das dízimas periódicas:

a) 0, ത6

b) 0,54545454…

c) −0,222…

d) 0, 72

e) 0,369369369…

NÚMEROS IRRACIONAIS

5) Complete as lacunas com os símbolos de pertence ou não

pertence. Se necessário, justifique a sua resposta, como no

exemplo:

a) 0,444… _______ℚ

b) −3

5_______ℚ

c) −2

3_______𝕀

d) 1,7320508_______𝕀

e) 2,525252… _______𝕀

f) 7_______𝕀

g) 9_______𝕀

∈ Pois 0,444… =4

9

Trabalhando com frações...

4) Escreva o número racional 6,363636… na forma fracionária:

Lembre-se dos significados dos símbolos:

𝕀

ℚ ∈

∉

→Conjunto dos números racionais

→Conjunto dos números irracionais

→Pertence

→Não pertence


6) Abaixo, temos uma arte da representação decimal do

número Pi:

Em relação à classificação do número Pi, podemos afirmar que

ele é um número.

(A) irracional, pois não tem período de repetição.

(B) racional, com decimal infinito de período 14.

(C) racional e está na forma fracionária.

(D) inteiro, pois não possui decimais.

7) Efetue os arredondamentos para 1 casa decimal:

a) 0,282828… ≅ ____________

b) 7,952324… ≅ ___________

c) 2,1255 ≅ ________________

8) Efetue os arredondamentos para 2 casas decimais:

9) Efetue os arredondamentos para 3 casas decimais:

a) 0,282828… ≅ __________

b) 7,952324… ≅ __________

c) 2,1255 ≅ _______________

a) 0,282828… ≅ _____________

b) 7,952324… ≅ _____________

c) 2,1255 ≅ __________________

10) Complete as sentenças com >, < ou =. Se necessário,

efetue as divisões dos números na forma fracionária:

a)1

2_____

4

9

b)19

6_____3,14159…

11) Realize a aproximação dos números irracionais por números

inteiros:

a) 40

b) 120

12) Efetue os cálculos aproximados:

a) 80 − 10 ≅

b) 99 + 65 ≅

,

Demonstre, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos

resultados.


13) Observe os números abaixo, representados pelas letras.

Coloque estes números em ordem crescente e represente-os na

reta numérica apresentada a seguir:

A=53

9B=

11

2C= 5,05 D= 5,4772…

ÂNGULOS

1) Observe os desenhos. Em seguida, indique quais dos ângulos

desconhecidos (𝑥 e 𝑦) são complemento ou suplemento dos seus

ângulos adjacentes. Depois, encontre seus valores:

𝒙

𝟏𝟏𝟎°

𝒚

𝟔𝟕°

2) Identifique se os ângulos são adjacentes ou opostos pelo

vértice. Depois, encontre seus valores.

100°

â

ô

85°

a)

b)

3) Em cada um dos esquemas apresentados a seguir, use as

propriedades de ângulos formados por uma transversal a duas

retas paralelas e encontre as medidas angulares desconhecidas.

a)

𝑟//𝑠

𝑟 𝑠

𝑡

𝑥

120°

𝑦113°

5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6

b)

Nas retas paralelas, encontramos: a + b = 180°

a = c = e = g c + d = 180°

b = d = f = h b + c = 180°

a + d = 180°

congruentes

suplementares

ab

c df

g h

e



5) Encontre o valor da incógnita no esquema apresentado a

seguir:

4) Encontre o valor das incógnitas nos esquemas apresentados a

seguir:

4𝑦 + 10°

𝑦 − 10°

a)

4𝑥 − 60° 2𝑥 + 10°

𝑧

3+ 65°

3𝑧

2− 40°

POLÍGONOS

1) Abaixo, temos um hexágono. Encontre o número total de

diagonais do hexágono:

2) Durante a reforma de sua casa, Marcela vai trocar o carpete e

o rodapé da sua sala. Abaixo, temos a planta da sala de Marcela,

sem contar com as portas. Veja:

3,4 𝑚

5,2 𝑚Se Marcela quer contornar toda a sala, de quantos metros de

rodapé ela vai precisar?

O carpete cobre toda a superfície da sala. Sendo assim, quantos

metros quadrados de carpete ela vai precisar?

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Baseboard.jpg

b)

Explique, para os seus colegas e para o seu Professor, como você chegou ao resultado.


3) Encontre a área de cada uma das figuras:

80 𝑚

95 𝑚 105 𝑚

55 𝑐𝑚

30 𝑐𝑚

5 𝑚𝑚

20 𝑚𝑚

7 𝑚

50 𝑚

POLINÔMIOS

a) 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑥 + 5𝑦

b) 4𝑥 + 2𝑥2 − 5𝑥 + 𝑥2

c) 2𝑏 − 7 + 3𝑏2 − 3𝑏 + 2𝑏2 + 3

d) 𝑎 − 3𝑐 + 2𝑏 + 5𝑎 − 2𝑏 + 2𝑐

2) Efetue as operações com os polinômios apresentados abaixo:

1) Reduza os termos semelhantes nos polinômios abaixo

apresentados:

a) 3𝑥 − 𝑦 + 4𝑥 + 3𝑦 =

b) 𝑎 − 𝑏 − 2𝑎 − 2𝑏 =

c) 3𝑥 ⋅ 2 + 4𝑥 =

d) 3𝑧 − 𝑡 ⋅ 𝑧 + 5 =

e) 2𝑥2 3 =

f) 2𝑚 + 𝑛 ⋅ 𝑚 − 𝑛 + 3 =

Explique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.


3) Encontre as áreas das figuras cujos lados são representados

por polinômios:

2𝑥

7 − 𝑧

𝑥 − 2𝑦

4𝑥 + 10

2𝑥 + 𝑦

7 − 𝑧


4) Efetue e reduza os monômios semelhantes:𝑥

2− 𝑦 ⋅ (3𝑥 + 𝑦)

PRODUTOS NOTÁVEIS

Acabamos de revisar de que forma devemos realizar

multiplicações entre polinômios. Observamos que algumas

dessas multiplicações possuem um padrão. Por esse motivo,

essas multiplicações são chamadas de produtos notáveis.

Produtos são, em Matemática, o resultado de uma

multiplicação. Já a palavra notável significa aquilo que

deve ser notado, que chama atenção.

No nosso caso, os produtos notáveis são as multiplicações entre

polinômios que possuem um resultado especial. Exemplo: um binômio

multiplicado por ele mesmo. Veja:

Lembre-se de que quando não

escrevemos o sinal entre parênteses, a

operação é sempre a multiplicação!

Multirio

𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 2

Expressão

multiplicada por

ela mesma

Expressão ao

quadrado

𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎 + 𝑏

• •

• •

• •

• •

• •

• •


Observe: notável – notar – nota.


QUADRADO DA SOMA

Para desenvolver o quadrado da soma de dois termos,

vamos observar um exemplo com dois termos simples. Neste

caso, deve-se utilizar a propriedade distributiva da

multiplicação pela soma. Veja:

Observe que cada uma das setas representa uma

multiplicação. Os termos coloridos são os resultados de cada

uma delas.

Finalmente, somamos os termos semelhantes:

𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎 + 𝑏

𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝒂 + 𝒃𝟐

Atenção: 𝑎𝑏 e 𝑏𝑎 são iguais, pois a multiplicação é comutativa. Logo, são semelhantes:

𝒂𝒃 + 𝒃𝒂 = 𝒂𝒃 + 𝒂𝒃 = 2𝒂𝒃

𝑎 + 𝑏 2 = 𝒂2 + 2𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

Observe que os termos 𝑎 e 𝑏 aparecem no resultado final:

𝑎 + 𝑏 2 = 𝒂2 + 2𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

𝒂 𝒃1.º termo

da soma

2.º termo

da soma

Como vimos anteriormente, observemos mais um exemplo

do desenvolvimento de um quadrado de uma soma:

2𝑥 + 3 2 = 2𝑥 + 3 ⋅ 2𝑥 + 3

2𝑥 + 3 2 = (𝟐𝒙)𝟐+𝟐𝒙 ⋅ 𝟑 + 𝟑 ⋅ 𝟐𝒙 + 𝟑𝟐

𝟔𝒙 + 𝟔𝒙 = 𝟏𝟐𝒙𝟏𝟐𝒙 é o dobro do produto 𝟐𝒙 ⋅ 𝟑

2𝑥 + 3 2 = 𝟒𝒙2 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗

2𝑥 + 3 2 = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟔𝒙 + 𝟗

Quadrado do

primeiro termo

Dobro do

produto dos

termos

Quadrado do

segundo termo

(𝟐𝒙)𝟐 𝟑𝟐𝟐 ⋅ 𝟐𝒙 ⋅ 𝟑

A multiplicação de polinômios pode ser calculada através

das áreas de polígonos, sendo os lados representados por esses

polinômios. Assim, estudaremos, também, os produtos notáveis

como áreas de polígonos.

Continua

Propriedade comutativa -a ordem dos

fatores não altera o produto.


Usando a geometria...

Observe este quadrado: Vamos calcular sua área de duas

maneiras. Primeiro, se usarmos o lado do quadrado como 2𝑥 + 3,

obteremos:

2𝑥

3

2𝑥 + 3

2𝑥 + 3

𝐴 = 2𝑥 + 3 2

Agora, vamos dividir os lados em segmentos de medida 2𝑥e 3. Em seguida, calcularemos as áreas de cada um dos quatro

retângulos que formam o quadrado. Observe:

𝐴 = 2𝑥 + 3 2 = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟔𝒙 + 𝟗𝐴 = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗

2𝑥 3

2𝑥 2𝑥

3 3

2𝑥

2𝑥 3

3

𝐴 = 𝟒𝒙𝟐

𝐴 = 𝟗𝐴 = 𝟔𝒙

𝐴 = 𝟔𝒙

1) Use a propriedade distributiva e encontre a forma desenvolvida

dos produtos notáveis:

a) 3 + 𝑦 2

b) 2𝑎 + 1 2

c) 𝑥2 + 2 2

3) Encontre a expressão que representa a área deste quadrado:(7𝑥 + 𝑦)

(7𝑥 + 𝑦)

2) Desafio: Tente encontrar o desenvolvimento do produto

notável, apresentado a seguir, sem utilizar a propriedade

distributiva, tomando, como exemplo os casos anteriores.

𝑏 + 4 2


4) Desenvolva o produto notável:𝑎

3+ 5

2


Usando a geometria...QUADRADO DA DIFERENÇA

Neste momento, desenvolveremos o produto de uma

expressão que representa uma subtração multiplicada por ela

mesma. Observe:

𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎 − 𝑏 ⋅ 𝑎 − 𝑏

𝑎 − 𝑏 2 = 𝒂2 − 𝒂𝒃 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

Mu

ltirio

Lembre-se das

regras dos sinais

para a multiplicação!

Os termos −𝒂𝒃 e −𝒃𝒂(= −𝒂𝒃) são semelhantes. Então, podemos efetuar:

𝑎 − 𝑏 2 = 𝒂2 − 2𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

𝑎 − 𝑏 2 = 𝒂2 − 𝒂𝒃 − 𝒃𝒂 + 𝒃𝟐

Quadrado do

1.º termo

Quadrado do

2.º termo

Menos o dobro

do produto dos

termos

𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Para ver este produto notável geometricamente, vamos

iniciar com um quadrado com a medida de seu lado igual a 𝒂:

𝑎

A área desse quadrado é:

𝐴 = 𝒂2

𝑎

Porém, nós precisamos encontrar uma expressão para a

área do quadrado que possui lado igual a 𝒂 − 𝒃. Isto é, vamos

retirar a quantidade 𝒃 do lado do quadrado que tínhamos

anteriormente. Veja:

𝑎 − 𝑏 A área do quadrado verde é:

𝐴 = (𝑎 − 𝑏)2

𝑏

𝑎 − 𝑏 𝑏

𝑎 − 𝑏 2

Para encontrar a expressão da área verde, vamos tirar as

áreas cor-de-rosa. Começamos calculando cada uma delas.

Observe:

1

2

3

Continua

REGRA DE SINAIS NA MULTIPLICAÇÃO:

-sinais iguais, resultadopositivo

+ . + = +– . – = +

- sinais diferentes, resultado negativo

+ . – = –– . + = –


= −( + + )

𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − (𝑎𝑏 − 𝑏2 + 𝑎𝑏 − 𝑏2 + 𝑏2)

Agora, vamos encontrar a expressão da área verde. Com

base nas figuras acima, repare que encontrar a área verde é o

mesmo que encontrar a área do quadrado azul, subtraindo as

áreas dos três retângulos cor-de-rosa. Observe o esquema:

𝑎 − 𝑏

𝑏

𝑎 − 𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

A área deste retângulo é:

𝐴 = 𝑏 ⋅ 𝑎 − 𝑏 = 𝑎𝑏 − 𝑏2

A área deste retângulo é:

𝐴 = 𝑎 − 𝑏 ⋅ 𝑏 = 𝑎𝑏 − 𝑏2

Mesma área

A área deste quadrado é:

𝐴 = 𝑏2

𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − (2𝑎𝑏 − 𝑏2)

Efetuando os monômios semelhantes e eliminando os

parênteses:

𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

1 2 3

1

2

3

Assim como no caso do quadrado da soma (ver página 9), a

visão geométrica leva ao mesmo resultado da visão algébrica,

que é realizada através da propriedade distributiva.

.

Agora, vamos observar mais um exemplo do

desenvolvimento do quadrado de uma diferença: 3 − 𝑦 2.

3 − 𝑦 2 = 3 − 𝑦 ⋅ 3 − 𝑦

3 − 𝑦 2 = (𝟑)2−𝟑 ⋅ 𝒚 − 𝒚 ⋅ 𝟑 + (𝒚)𝟐

3 − 𝑦 2 = 9 − 𝟑𝒚 − 𝟑𝒚 + 𝒚𝟐

3 − 𝑦 2 = 9 − 6𝑦 + 𝒚𝟐

Multirio

Antes de realizar as atividades a seguir,

tente encontrar um padrão para o

desenvolvimento do quadrado da

diferença.

O que você notou no desenvolvimento deste produto

notável? Peça ajuda a seu (sua) Professor(a), se precisar.

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

y2 – 6y + 9

Multiplicação entre

duas diferenças

Multiplica-se cada termo

da 1.ª subtração para

cada termo da 2.ª

subtração.


1) Desenvolva os produtos notáveis:

a) 2𝑏 − 𝑐 2

b) 4𝑦 − 5 2

c) 3 − 𝑧 2

d) 𝑥2 − 3 2

2) Desenvolva, agora, estes dois produtos notáveis. Depois,

indique e calcule a diferença entre seus resultados:

𝑥 + 1 2 𝑥 − 1 2

3) Encontre o polinômio que representa a área do quadrado:

6𝑥 − 2

6𝑥 − 2

4) Desenvolva os produtos notáveis apresentados a seguir:

Mu

ltir

io

Preste atenção nos sinais!

a) 10𝑥 + 2 2

b) 4 − 2𝑥 2

c) 3𝑏 − 2𝑐 2

d) 1 + 9𝑤 2


e)3

4− 𝑥

2

f)𝑦

6+

3𝑧

5

2


PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA

Nesse caso, o produto é de binômios diferentes, em que um

dos fatores representa a soma de dois termos e o outro

representa a subtração dos mesmos termos. Por exemplo:

𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎 − 𝑏

Neste caso, os termos semelhantes −𝒂𝒃 e +𝒃𝒂 (= +𝒂𝒃)são opostos, isto é, quando somamos ambos,encontramos como resultado zero.

𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎 − 𝑏 = 𝒂2 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝒂 −𝒃𝟐

Quadrado do

1.º termo

𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎 − 𝑏

𝑎 − 𝑏 ⋅ 𝑎 + 𝑏

ou

Vamos realizar a propriedade distributiva,

lembrando que precisamos usar a regra do sinal

para a multiplicação. Observe:

𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎 − 𝑏 = 𝒂2 − 𝒂𝒃 + 𝒂𝒃 −𝒃𝟐

0

𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎 − 𝑏 = 𝒂2 −𝒃𝟐

Menos o quadrado

do 2.º termo

Essas expressões são

equivalentes. Lembre-se da

propriedade comutativa: a

ordem dos fatores, não

altera o produto.

Utilizando a geometria...

𝑎 + 𝑏

𝑎 − 𝑏

Calcular o produto notável 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎 − 𝑏 é o mesmo que

encontrar a área do retângulo:

𝑎 𝑏

𝐴 = 𝑎 − 𝑏 (𝑎 + 𝑏)

Vamos construir uma outra figura geométrica, sem alterar a

área da inicial. Observe:

𝑎 − 𝑏

𝑎

𝑏

𝑎 − 𝑏

𝑎

𝑏

𝑏

Retiramos um retângulo de

largura 𝑏.

Colocamos o retângulo do outro lado da figura.

𝑎 − 𝑏

𝑎 A área da figura é a mesma do retângulo inicial.

𝐴 = 𝑎 − 𝑏 (𝑎 + 𝑏)𝑎 – 𝑏


Depois de rearrumada, a figura formada mede o mesmo que

o quadrado de lado a, retirando-se o espaço determinado pelo

quadrado laranja. Então, a área inicial é igual à área do quadrado

de lado a (𝑎2), menos a área do quadrado laranja (𝑏2):

𝑎2𝑎

𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2

𝑏2𝑏

𝑏

𝑎𝑎

𝑏

𝑏

𝑎

𝐴 = 𝑎 − 𝑏 (𝑎 + 𝑏)

Observe mais um exemplo do desenvolvimento deste produto

notável: produto da soma pela diferença (5 − 2𝑦)(5 + 2𝑦)

5 − 2𝑦 ⋅ 5 + 2𝑦

5 − 2𝑦 ⋅ 5 + 2𝑦 = 𝟓2 + 𝟏𝟎𝒚 − 𝟏𝟎𝒚 −(𝟐𝒚)𝟐

0

5 − 2𝑦 ⋅ 5 + 2𝑦 = 𝟓2− (𝟐𝒚)𝟐= 𝟐𝟓 − 𝟒𝒚²


a) 3𝑥 + 5𝑦 3𝑥 − 5𝑦

b) 10 + 2d 10 − 2d

c) 𝑥 − 1 𝑥 + 1

d) 8 + 3𝑥 8 − 3𝑥

e) (5𝑎 − 2𝑏)(5𝑎 + 2𝑏)

2) Encontre o polinômio que representa a área de cada retângulo:

7 + 𝑥

7 − 𝑥

𝑦 − 2

𝑦 + 2



3) Desenvolva o produto da soma pela diferença:𝑧

5− 3

𝑧

5+ 3


Se precisar de ajuda com as

frações, revise os cadernos

pedagógicos do 7.º Ano!

a) Quadrado da soma

b) Quadrado da diferença:

c) Produto da soma pela diferença:

𝑥

2−3𝑦

5

𝑥

2+3𝑦

5

1

7−𝑦

2

2

𝑥

10+3

5

2

5) Identifique o produto notável e realize seu desenvolvimento

corretamente:

a) 4𝑥 − 3 2

b) 8 + 2𝑏 (8 − 2𝑏)

c) 3𝑦 + 𝑧 2

d) 2𝑎 − 1 2𝑎 + 1

e) 10 + 2𝑤 2

f) 5𝑏 − 3 2



6) Encontre as expressões que representam as áreas dos

retângulos:

2𝑎 − 𝑏

2𝑎 − 𝑏

6 + 𝑥

6 − 𝑥

4 + 5𝑥

4 + 5𝑥

𝑤 − 𝑣

𝑤 + 𝑣

3𝑑 + 2

3𝑑 + 2

7) Observe o desenvolvimento de cada produto notável

apresentado a seguir. Depois, complete com os termos que

faltam:

3𝑥 + 𝑦 2 = 9𝑥2 + + 𝑦2

2𝑎 − 10 2 = −40𝑎 + 100

(7 − 𝑧)(7 + 𝑧) = −𝑧2

𝑥 + 2 = 𝑥2 + 10𝑥 + 25

−2𝑏 2 = 9𝑎2 − 12𝑎𝑏 + 4𝑏2

+5 −5 = 4𝑡2 − 25

+1 2 = 36𝑥2 + +1

𝑏 − 2 = − + 36

+𝑦 −𝑦 = 9𝑥2 −


+𝑏

3−𝑏

3=𝑎2

4−

Explique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma

você chegou aos resultados.


Vamos iniciar com um desafio: você sabe como encontrar o

valor de 1982 de uma forma rápida? Observe o exemplo:

APLICAÇÃO DOS PRODUTOS NOTÁVEIS

Vamos escrever 198 como uma subtração de

números mais fáceis de elevar ao quadrado:

200 − 2

1982 = 200 − 2 2

200 − 2 2 = 200 − 2 ⋅ 200 − 2

2002 − 200 ⋅ 2 − 2 ⋅ 200 + 22

40 000 − 400 − 400 + 4

−800

40 000−800

39 200

+439 200

39 204

Dessa forma, encontramos a resposta: 1982 = 39 204.

Finalizamos, realizando

as operações de

subtração e soma.

Se você lembrar do produto notável, realizará as operações ainda mais rápido. Observe o próximo exemplo.

Vamos escrever:

101 ⋅ 99 = (100 + 1)(100 − 1)

100 + 1 ⋅ 100 − 1

1002 − 100 ⋅ 1 + 1 ⋅ 100 −12

10 000 − 100 + 100 − 1

0

10 000

9 999

−1

Logo, o resultado é 101 ⋅ 99 = 9 999.

Vamos ver outro exemplo: o produto 101 ⋅ 99.

Encontrar o valor de 1022.

1022 = 100 + 2 2

Quadrado do

primeiro termo

Dobro do

produto dos

termos

Quadrado do

segundo termo

1002 222 ⋅ 2 ⋅ 100

10 000 + 400 + 4

10 404


1) Utilizando produtos notáveis, efetue as multiplicações a seguir:

a) 1032

b) 199 ⋅ 201

c) 9992

d) 498 ⋅ 502

e) 2022


2) Também podemos utilizar os produtos notáveis para resolver

quadrados de números mistos. Vamos calcular 11

3

2

Multirio

Este número misto representa

um inteiro e três terços!

11

3

2

= 1 +1

3

2

Desenvolva este produto notável:

3) Utilizando produtos notáveis, encontre o valor de 32

5

2



4) Uma praça possui formato quadrado. Nela, será construída

uma ciclovia de largura 𝑥 em todo o seu contorno. No meio, terá

uma área quadrada recoberta por gramas com 20 metros de lado,

como podemos observar no esquema. Agora, responda:

20 m

𝑥

𝑥

20 m𝑥 𝑥

a) Que expressão representa olado da praça?

b) Qual a expressão querepresenta a área total dapraça?

5) Nathy ajudou sua irmã mais nova a encontrar a área de um

quadrado com 22 centímetros de lado, isto é, o valor de 222. Para

isso, ela desenhou as linhas tracejadas, separando os lados em

segmentos de 20 e 2 centímetros e utilizou um produto notável.

Reproduza a área como Nathy fez, calculando a área de cada um

dos 4 polígonos separados:

Mu

ltir

io

22 = 20 + 2

6) Leia a expressão:

𝑦 + 𝑏 2 − 𝑦 − 𝑏 2

Marque a alternativa que representa a forma mais simples dessa

expressão:

(A) 2𝑦𝑏

(B) 4𝑦𝑏

(C) 2𝑦2

(D) −2𝑏2

7) Vamos aprender um novo produto notável: o cubo da soma.

Para isso, vamos ter que utilizar a propriedade distributiva da

multiplicação pela soma diversas vezes. Observe e complete:

Reduza os monômios semelhantes do resultado que encontrou:

𝑥 + 𝑦 3 = 𝑥 + 𝑦 ⋅ (𝑥 + 𝑦) ⋅ (𝑥 + 𝑦)

Quadrado da

soma

𝑥 + 𝑦 3 = 𝑥 + 𝑦 ⋅ ( ________________________ )



FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

A palavra fatorar quer dizer, neste momento, transformar

adições e subtrações dos termos de uma expressão algébrica em

uma multiplicação.

Lembre-se que fatores são

os termos da multiplicação.

Observe este exemplo:

2𝑥 ⋅ 3𝑦 = 6𝑥𝑦

Fator Fator Produto

Sendo assim, realizar uma fatoração é encontrar termos

cujo produto resulte na expressão que desejamos.

Você consegue encontrar uma fatoração para o monômio

apresentado a seguir?

8𝑎2𝑏

_____________________________________________________

Podemos ver a fatoração como aplicação oposta da

propriedade distributiva. Logo, é importante que saibamos utilizar

essa propriedade em expressões algébricas. Veja o exemplo a

seguir:

3𝑥 ⋅ 𝑥 + 2𝑦 = 3𝑥2 + 6𝑥𝑦

Distribuir

Fatorar

10𝑥2 + 25𝑥𝑦 = 5𝑥 ⋅ 2𝑥 + 5𝑥 ⋅ 5𝑦 = 5𝑥 ⋅ (2𝑥 + 5𝑦)

FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA

Colocar um fator em evidência é identificar, em dois ou mais

termos, um mesmo fator e, em seguida, pensar quais as

multiplicações por este fator que resultam na expressão que

temos inicialmente. Isto é, determinar o fator comum às

expressões algébricas. Observe:

Exemplo 1: Fatorar a expressão 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒙𝒚

Primeiramente, identificamos que o fator 5𝑥 é comum aos

termos 10𝑥2 e 25𝑥𝑦. Veja:

25𝑥𝑦 = 5𝑥 ⋅ 5𝑦10𝑥2 = 5𝑥 ⋅ 2𝑥Agora, escrevemos a expressão na forma fatorada onde o

fator comum é posto em evidência.

Forma fatorada

Exemplo 2: Colocar os fatores comuns em evidência da

expressão 𝟒𝒂𝟑 − 𝟖𝒂

Dessa forma, o fator comum é 4𝑎 que abrange todos os

fatores comuns de ambos os termos:

Observe que os fatores 2, 𝑎, 4, 2𝑎 e 4𝑎 são fatores

comuns aos dois termos. Porém, sempre que

falarmos de fatoração, devemos pensar em fatorar o

máximo de termos possíveis.

−8𝑎 = 4𝑎 ⋅ (−2)4𝑎3 = 4𝑎 ⋅ 𝑎2

4𝑎3 − 8𝑎 = 4𝑎 ⋅ (𝑎2 − 2)

Forma fatorada

Fator comum


Como a propriedade distributiva e a fatoração são

operações opostas, podemos distribuir o resultado

final como prova real. Observe os exemplos que

vimos na página anterior:

5𝑥 ⋅ (2𝑥 + 5𝑦) = 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒙𝒚

4𝑎 ⋅ (𝑎2 − 2) = 𝟒𝒂𝟑 − 𝟖𝒂

Exemplo 3: Fatorar, por fator comum em evidência, o

trinômio:

12𝑏3 + 3𝑏 − 9𝑏𝑐

Neste caso, precisamos encontrar o fator comum aos três

termos. Veja:

Observe que, neste caso, o termo 𝟑𝒃 é

igual ao fator que será posto em

evidência. Então, utilizamos o 1 pois

𝟑𝒃 = 𝟑𝒃 ⋅ 𝟏

3𝑏 = 3𝑏 ⋅ 112𝑏3 = 3𝑏 ⋅ 4𝑏2

Forma fatorada

−9𝑏𝑐 = 3𝑏 ⋅ (−3𝑐)

12𝑏3 + 3𝑏 − 9𝑏𝑐 = 3𝑏 ⋅ (4𝑏2 + 1 − 3𝑐)

Agora, faça a prova real para verificar o resultado:

1) Nas expressões apresentadas a seguir, coloque os fatores

comuns em evidência. Se necessário, realize a propriedade

distributiva (ver página 9) como prova real.

a) 2𝑥 + 𝑎𝑥

b) 14𝑎 − 21𝑏

c) 4𝑦 + 6𝑥𝑦 − 10𝑦𝑧

d) 10𝑥𝑦 + 5𝑥

e) 14𝑥 + 7𝑥2

f) 25𝑧𝑡 − 10𝑧2 + 20𝑧

g) 14𝑎𝑏 − 6𝑏2 + 20𝑏𝑐 − 2𝑏


FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO

Para fatorar, por agrupamento, uma expressão com 4

termos, vamos aplicar a fatoração por fator comum em evidência

duas vezes:

Exemplo 1𝟒𝒂𝒃 + 𝟔𝒂 + 𝟏𝟎𝒃𝒙 + 𝟏𝟓𝒙

Vamos encontrar fatores comuns, em pares, de termos da

expressão. Observe:

4𝑎𝑏 + 6𝑎 + 10𝑏𝑥 + 15𝑥

Fator comum 𝟐𝒂

Fator comum 𝟓𝒙

𝟐𝒂 ⋅ 2𝑏 + 3 + 𝟓𝒙 ⋅ (2𝑏 + 3)

Agora, cada um dos dois termos fatorados está multiplicado

pelo fator comum (2𝑏 + 3). Esse será o fator comum que vamos

colocar em evidência do lado direito, agrupando os termos

fatorados em outros parênteses, do lado esquerdo:

𝟐𝒂 ⋅ 2𝑏 + 3 + 𝟓𝒙 ⋅ (2𝑏 + 3)

Fator comum (𝟐𝒃 + 𝟑)

2𝑎 + 5𝑥 ⋅ 2𝑏 + 3

4𝑎𝑏 + 6𝑎 + 10𝑏𝑥 + 15𝑥 = 2𝑎 + 5𝑥 ⋅ (2𝑏 + 3)

Forma fatorada

Exemplo 2: Fatorar, por agrupamento, a expressão

𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟓𝒙 + 𝒙𝒚 − 𝟑𝒚

Primeiro, encontramos os fatores comuns nos pares:

Agora, complete com o fator comum e a forma fatorada:

Finalmente, realize a prova real, distribuindo a forma

fatorada que você encontrou. Caso haja termos semelhantes,

lembre-se de efetuá-los:

5𝑥2 − 15𝑥 + 𝑥𝑦 − 3𝑦

Fator comum 𝟓𝒙 Fator comum 𝒚

𝟓𝒙 ⋅ 𝑥 − 3 + 𝒚 ⋅ (𝑥 − 3)

(𝒙 − 𝟑)

𝟓𝒙 + 𝒚 ⋅ ( )

Forma fatorada

𝟓𝒙 ⋅ 𝑥 − 3 + 𝒚 ⋅ (𝑥 − 3)

Fator comum___________

𝒙 − 𝟑


1) Utilize, nas expressões, a fatoração por agrupamento:

a) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 5𝑎 + 5𝑏

b) 10𝑏 − 5𝑐 + 2𝑏𝑥 − 𝑐𝑥

c) 12𝑥𝑦 + 8𝑥 + 3𝑦 + 2

d) 25𝑦 − 20𝑡2 + 5𝑦2 − 4𝑦𝑡2

e) 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 4𝑎 + 4𝑏

f) 30𝑥2 − 20𝑥𝑦 + 21𝑏𝑥 − 14𝑏𝑦

FATORAÇÃO DA DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS

Agora, vamos fatorar o binômio que é uma subtração de

dois termos que são quadrados perfeitos.

Para isso, vamos relembrar o produto da soma pela

diferença de dois termos pois serão operações opostas.

Observe:

𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 −𝑏2

Distribuir

Fatorar

Exemplo 1: Fatorar a expressão

𝟒𝒙𝟐 − 𝟗

Primeiro, devemos conferir se os termos são quadrados

perfeitos:

Para completar a fatoração, basta organizar os termos que

estão sendo elevados ao quadrado como um produto da soma

pela diferença. Observe:

4𝑥2 é um quadrado perfeito, pois 4𝑥2 = 𝟐𝒙 2.

9 é um quadrado perfeito, pois 9 = 𝟑2.

4𝑥2 − 9 = (𝟐𝒙 + 𝟑)(𝟐𝒙 − 𝟑)

Observe: bi – radical

latino – significa dois

bi – binômio (dois

monômios)

Outros exemplos:

bicampeão (duas vezes

campeão)

bilíngue (que fala duas

línguas)

bicicleta (duas rodas)


Será que podemos realizar essa

fatoração de outra maneira?

Vamos refazer a fatoração do Exemplo 1, utilizando a

fatoração por agrupamento:

Lembre-se de que estes termos são quadrados de 2𝑥 e 3,respectivamente. São esses termos que queremos fatorar. Para

isso, vamos subtrair e somar o produto destes termos: 𝟔𝒙

Agora, vamos fatorar por agrupamento:

𝟒𝒙𝟐 − 𝟗

4𝑥2 − 9 = 4𝑥2 − 𝟔𝒙 + 𝟔𝒙 − 9

Subtrair e somar um termo não altera a

expressão pois, neste caso,

−𝟔𝒙 + 𝟔𝒙 = 𝟎

4𝑥2 − 9 = (2𝑥 + 3)(2𝑥 − 3)

4𝑥2 − 𝟔𝒙 + 𝟔𝒙 − 9

Fator comum: 𝟐𝒙 Fator comum: 𝟑

2𝑥 ⋅ 2𝑥 − 3 + 3 ⋅ (2𝑥 − 3)

Fator comum: (𝟐𝒙 − 𝟑)

2𝑥 + 3 ⋅ (2𝑥 − 3)

Exemplo 2: Efetuar a fatoração da expressão 𝟐𝟓 − 𝒄𝟐

Assim, basta organizarmos o produto da soma pela

diferença. Observe:

25 é um quadrado perfeito, pois 25 = 𝟓2.

𝑐2 é o quadrado de 𝑐.

25 − 𝑐2 = (𝟓 + 𝒄)(𝟓 − 𝒄)

1) Antes de iniciarmos as atividades sobre fatoração, calcule os

produtos notáveis dos resultados dos exemplos dados. Verifique

se a forma fatorada é equivalente:

a) (2𝑥 + 3)(2𝑥 − 3)

b) (5 + 𝑐)(5 − 𝑐)


a) 25 − a2

b) 81𝑥2 − 121

c) 16𝑏2 − 36𝑐2

d) 𝑥2𝑦2 − 100

e) 64 − 𝑤2

f) 4𝑦2 − 1

g) 9𝑑2 − 16𝑐2

h) 121 − 𝑥4

2) Fatore as expressões, a partir do produto notável − diferença

de dois quadrados:FATORAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

Um trinômio quadrado perfeito é uma expressão que pode

ser fatorada em uma subtração ou em uma soma elevada ao

quadrado. Novamente, vamos rever os produtos notáveis para

auxiliar na fatoração:

Vamos relembrar as relações entre os termos do produto

notável e da forma distribuída. Observe:

Distribuir

Fatorar

𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Distribuir

Fatorar

𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Quadrado

do 1.º

termo

Quadrado

do 2.º

termo

Dobro do

produto dos

termos

Diferença de dois quadradosO produto da soma de dois termos

(a + b) pela diferença dessesmesmos termos (a – b) resulta nadiferença dos quadrados dessestermos (a² – b²).

(a + b) . (a – b) = (a² – b²)

Trinômio quadrado perfeitoO quadrado da subtração (a – b)²

ou da soma (a + b)² de doistermos é igual ao quadrado do 1ºtermo (a²) subtraído ou somadopelo dobro do produto dessestermos (2ab), mais o quadradodo 2º termo (b²).


Assim, um trinômio quadrado perfeito deve ser composto de

dois quadrados perfeitos e o terceiro termo deve ser o dobro

do produto dos termos que estão elevados ao quadrado.

Desta forma, podemos fatorar esta expressão utilizando o

quadrado da soma (ou da diferença quando o dobro for negativo).

Observe:

𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Quadrado

de 𝒂Quadrado

de 𝒃Dobro de

𝒂 ⋅ 𝒃

𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏 2

Forma fatorada

Exemplo 1: Fatorar o trinômio quadrado perfeito

𝟗 + 𝟔𝒙 + 𝒙𝟐

Primeiro, verificamos se a expressão é um quadrado

perfeito, encontrando os termos que estão elevados ao quadrado:

Agora, organizamos a forma fatorada com os termos 3 e 𝑥:

Quadrado

de 𝟑Quadrado

de 𝒙Dobro de

𝟑 ⋅ 𝒙

9 + 6𝑥 + 𝑥2

9 + 6𝑥 + 𝑥2 = 3 + 𝑥 2

Também podemos verificar esta fatoração

utilizando a fatoração por agrupamento.

9 + 𝟔𝒙 + 𝑥2

9 + 𝟑𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝑥2

9 + 6𝑥 + 𝑥2 = 3 + 𝑥 2

Fator comum: 𝟑 Fator comum: 𝒙

3 ⋅ 3 + 𝑥 + 𝑥 ⋅ (3 + 𝑥)

Fator comum (𝟑 + 𝒙)

3 + 𝑥 ⋅ (3 + 𝑥)

9 + 3𝑥 + 3𝑥 + 𝑥2

Forma fatorada

Agora, vamos fatorar por agrupamento:

Para fatorar por agrupamento, vamos observar se 9 e 𝑥2

são quadrados perfeitos. Então, devemos fatorar os termos 3 e 𝑥respectivamente.

Sendo assim, vamos trocar o termo 6𝑥 por 3𝑥 + 3𝑥, o que

não altera a expressão:

Realize a prova real, distribuindo o produto notável:

3 + 𝑥 2 = 3 + 𝑥 3 + 𝑥 = 9 + 3𝑥 + 3𝑥 + 𝑥2

= 9 + 6𝑥 + 𝑥2


Exemplo 2: Encontre a forma fatorada de

𝟒𝒂𝟐 − 𝟒𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

Verificamos os termos:

Organizando a forma fatorada, temos:

Quadrado

de 𝟐𝒂Quadrado

de 𝒃Dobro de 𝟐𝒂 ⋅ 𝒃

4𝑎2 − 4𝑎𝑏 + 𝑏2

4𝑎2 − 4𝑎𝑏 + 𝑏2 = 2𝑎 − 𝑏 2

a) 25 − 10𝑥 + 𝑥2

b) 𝑦2 + 10𝑦 + 10

c) 4𝑎2 + 8𝑎𝑏 + 𝑏2

d) 𝑏2 + 14𝑏 + 49

e) 36𝑦2 − 24𝑦 + 4

1) Verifique se os trinômios a seguir são quadrados perfeitos e,

em caso afirmativo, efetue a fatoração:

f) 𝑎2𝑥2 + 20𝑎𝑥 + 100

g) 20 − 20𝑡 + 𝑡2

h) 49𝑧2 + 70𝑡𝑧 + 25𝑡2

i) 100 + 20𝑥𝑡 + 𝑥2𝑡2

2) Complete os quadros abaixo com os termos corretos:

a) 36𝑏2 − 24𝑏 + 4 = −2 2

b) 16 + 24𝑑 + 9𝑑² = 4 2

e) 𝑥4 + 6𝑥2 + 9 = +3 2

f) 100𝑎2 = −6 2

c) 1 − 4𝑤 + 4𝑤2 = 1 2

d) 9𝑏2 + 4𝑐2 = −2𝑐 2


3) Realize a fatoração correspondente a cada um dos casos

apresentados a seguir:

a) 100 − 𝑡2

b) 9𝑎 − 27 + 4𝑎𝑡 − 12𝑡

c) 20𝑥2 − 16𝑥

d) 𝑎𝑏 + 5𝑏 + 6𝑎 + 30

e) 𝑥2 + 16𝑥 + 64

f) 4𝑥4 − 6𝑥3 + 16𝑥2

g) 1 − 6𝑦 + 9𝑦2

4) (OBMEP – Adaptada) Um número natural é dito composto

quando ele pode ser escrito como um produto de dois números

diferentes de 1. Podemos utilizar a fatoração para mostrar que

um número é composto. Observe este exemplo:

O número 9 991 é composto, pois:

9 991 = 10 000 − 9

Quadrado

de 100Quadrado

de 3

10 000 − 9 = 1002 − 32 = (100 − 3)(100 + 3)

97 ⋅ 103 = 9 991

Demonstre que o número, apresentado a seguir, é um número

composto:

3 999 991

AGORA,É COM VOCÊ!!!


DESIGUALDADES

Comparar dois números reais é dizer qual é a relação de

ordem entre esses números. Sendo assim, há apenas três

situações. Elas podem ser representadas por meio de três sinais:

Maior que >Menor que <Igual a =

Vamos ver alguns exemplos de comparações de números

reais: racionais e irracionais. Observe:

15 > 12

2,3 < 2,8

7

9>2

5

−4 > −7 5

4= 1,25

0,777… 0,4

1,25


5) Observe os exemplos de simplificação de frações. O

primeiro, com números racionais:

12 ∶ 2

30=

6

15=: 32

5Simplificamos, dividindo

numerador e denominador

por um mesmo número.

5𝑥 ⋅ (2𝑥 + 1)

5𝑥 ⋅ (𝑥2 + 3)=2𝑥 + 1

𝑥2 + 3

Podemos fazer o mesmo com frações algébricas,

eliminando fatores iguais no numerador e no

denominador.

: 2 : 3

: 5𝑥

Nas frações algébricas a seguir, fatore o numerador e o

denominador e simplifique fatores iguais entre eles:

a)16+8𝑐+𝑐2

16−𝑐2

b)𝑑2−9

𝑑2−6𝑑+9

Multirio

Para comparar, podemos

efetuar a divisão das frações.

1) Complete, corretamente as lacunas, com os sinais >, < ou =:

a) −3____2

b)7

2_____4

c) 0,4_____0,12

d) −0,3_____ − 0,25

e)5

10_____

3

6

f) 5_____ − 10Explique, para os seus colegas e para o seu Professor, de que forma você chegou aos resultados.

Facilitando...

>

<maior que – lembra o número 7

menor que – lembra o número 4


INEQUAÇÃO

Inequação é uma desigualdade entre duas expressões

algébricas. Leia uma situação-problema resolvida por uma

inequação:

Exemplo 1:

Valentina e Enzo ajudaram sua mãe a levar as sacolas do

mercado. Valentina levou a sacola mais pesada, que continha 1 kg

de feijão e 4 latas de óleo. Já Enzo levou a sacola mais leve que

continha 2 latas de óleo e mais 3 kg de arroz.

Será que podemos descobrir qual a massa da lata de óleo?

Primeiro, precisamos escrever o problema em linguagem

matemática. Vamos lá!

Sacola de Valentina:

1 + 4 ⋅ 𝑥Sacola de Enzo:

2 ⋅ 𝑥 + 3

Como a sacola de Valentina é a mais pesada, a massa

dessa sacola é maior que a massa da sacola de Enzo:

1 + 4𝑥 > 2𝑥 + 3

Para encontrar uma condição para a massa da lata de

óleo, vamos, primeiro estudar algumas propriedades das

inequações.

O 𝒙 representa a massa de uma

lata de óleo: a quantidade

desconhecida desta situação.

1.ª propriedade – Somar ou subtrair um número ou uma

expressão, em ambos os membros de uma inequação, não a

altera:

25 < 12𝑥

7𝑎 > 3𝑎 + 12

−5

−3𝑎

25 − 5 < 12𝑥 − 5

7𝑎 − 3𝑎 > 3𝑎 − 3𝑎 + 12

5𝑦 > 2

+2

5𝑦 + 2 > 2 + 2

2.ª propriedade – Uma inequação não se altera ao se multiplicar

ou se dividir seus termos por um número positivo:

𝑏 + 2 < 5

⋅ 10

𝑏 + 2 ⋅ 10 < 5 ⋅ 10

4𝑎 > 12

: 4

4𝑎: 4 > 12: 4

3.ª propriedade – Quando multiplicamos ou dividimos os

membros por um número negativo, a inequação inverte o sinal:

2𝑥 > 3𝑥 − 2

⋅ (−3)

2𝑥 ⋅ (−3) < (3𝑥 − 2) ⋅ (−3)

−2𝑐 < −10

−2𝑐: −2 > −10: (−2)

: (−2)


Agora, vamos voltar à situação-problema apresentada

anteriormente:

1 + 4𝑥 > 2𝑥 + 3

−1

1 − 𝟏 + 4𝑥 > 2𝑥 + 3 − 𝟏

0 + 4𝑥 > 2𝑥 + 2

−2𝑥

4𝑥 − 𝟐𝒙 > 2𝑥 − 𝟐𝒙 + 2

2𝑥 > 0𝑥 + 2

2𝑥 > 2

: 2

2𝑥: 𝟐 > 2: 𝟐

𝑥 > 1

Para eliminar o 1 no

primeiro membro,

diminuímos 1 nos

dois membros da

inequação.

Diminuímos 2𝑥 nos

dois membros da

inequação para

assim eliminá-lo no

segundo membro.

Dividimos por 2para isolar o 𝑥.

A resposta 𝒙 > 𝟏 indica que a massa da lata de óleo possui

mais que 1 kg, embora não possamos saber exatamente qual é a

massa. Neste caso, pode ser 1,2 kg, 1,5 kg etc.

Exemplo 2 – Vamos resolver a inequação:

𝟐𝒚 < 𝟑𝒚 + 𝟐

: (−1)

−3𝑦

2𝑦 − 𝟑𝒚 < 3𝑦 − 𝟑𝒚 + 2

−𝑦 < 2

−𝑦: −𝟏 > 2: (−𝟏)

𝑦 > −2

Quando o termo do 1.º

membro for negativo,

dividimos ambos os membros

por − 1 e invertemos o sinal.

Supondo que y seja igual a 1, vamos analisar as inequações

− 𝑦 < 2 e 𝑦 > −2 que apareceram neste exemplo:

−1 < 2

−𝑦

–3 –2 –1 0 1 2 3

1 > −2

–3 –2 –1 0 1 2 3

𝑦

Sendo assim, estas inequações são equivalentes o que quer dizer que possuem as mesmas soluções.



1) Resolva as inequações:

a) 4𝑥 − 3 < 17

b) 3𝑦 − 4 < 5𝑦 + 6

c) 25 − 2𝑎 < 10 − 7𝑎

d) 3𝑐 + 13 < 𝑐 + 7

e) 3𝑥 +1

3> 2𝑥 −

3

4

8 kg𝒙

𝒙

5 kg

2kg

2) Veja, no exemplo, como podemos escrever os dados de uma

balança desequilibrada sob a forma de inequação. Em seguida,

encontre a inequação dos outros casos apresentados e resolva

cada uma delas:

O lado mais alto

possui massa

(“peso”) menor!

a)

b)

c)

𝟑𝒙 + 𝟐 < 𝒙 + 𝟖

3𝑥 − 𝑥 < 8 − 22𝑥 < 6𝑥 < 3

𝒙

𝒙𝒙 2 kg

3 kg𝒙𝒙

4 kg𝒙


ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS DE POLÍGONOS

Vamos relembrar alguns dos elementos dos polígonos que

estudamos no 2.º bimestre:

Vértice

Diagonal

Lado

ângulo interno

ângulo externo

vértice

lado

prolongamento do

lado adjacente

Diagonais: ligam dois

vértices não adjacentes.

Ângulos externos são

formados pelo encontro de um

lado e o prolongamento do

lado adjacente ao primeiro.

Os ângulos interno e externo, em

um mesmo vértice, são sempre

suplementares, isto é, formam

juntos, um ângulo de 180°.

Neste bimestre, vamos estudar como calcular as medidas dos

ângulos internos e externos de polígonos. Vamos iniciar com os

ângulos internos do triângulo.

Queremos encontrar, agora, a soma dos três ângulos

internos de um triângulo qualquer. Para isso, vamos marcar cada

um dos ângulos do triângulo com uma cor, como no esquema

apresentado a seguir:

Agora, recortamos os três ângulos do triângulo e juntamos

estes em um mesmo vértice.

Assim, podemos observar que os três ângulos juntos

formam um ângulo raso, isto é, 𝟏𝟖𝟎°.

Multirio

Podemos fazer isto com

qualquer triângulo. Experimente!

A soma dos ângulos internos de

qualquer triângulo é sempre 180°.

ADJACENTE = ao lado de

Radical latino: tri –

significa três. Observe:

tricampeão

triatleta

triciclo

ângulo interno + ângulo externo = 180° (ângulos suplementares)

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkjmPESXNtqYkT1TY


1) Encontre o valor dos ângulos desconhecidos nos triângulos

apresentados a seguir:

𝑥

53°

35°

𝑦

𝑦𝑦

𝑧

42°

𝑡

𝑡

45°

Vamos usar o conhecimento de que todo triângulo possui a

soma dos ângulos internos igual a 180°, para encontrar a soma

dos ângulos internos de outros polígonos.

Iniciamos com um quadrilátero qualquer:

Todo quadrilátero possui 4

ângulos internos. Queremos

encontrar a soma destes ângulos.

Dividimos este quadrilátero por uma diagonal, formando

dois triângulos.

Veja: os ângulos internos

dos dois triângulos formados são

equivalentes aos ângulos internos

do quadrilátero.

Observando a figura, vemos que o quadrilátero possui,

como soma dos ângulos internos, o equivalente a dois triângulos:

2 ⋅ 180° = 360°

A soma dos ângulos internos de

qualquer quadrilátero é sempre 360°.

Observe: quatro – quadrilátero – quadrado – quadrangular.

diagonal

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkjoO6ZPSt0jrSVb9


Para encontrar a soma dos seus ângulos internos, podemos

dividir qualquer polígono em triângulos?

Vamos repetir o procedimento com um pentágono, um

polígono com 5 lados, 5 vértices e 5 ângulos internos.

Multirio

Vamos tomar este

vértice como origem

das diagonais.

180°

180°

180°

Observe que, deste

vértice do pentágono, podemos

traçar duas diagonais e formar

3 triângulos.

E os ângulos internos

destes triângulos coincidem

com os ângulos do pentágono:

3.180 = 540º

A soma dos ângulos internos de um

pentágono é 540°.

Observe que, no quadrilátero (página 35), formamos 2 triângulos e no

pentágono (figura acima) podemos formar 3. Sendo assim, a

quantidade de triângulos formados é a quantidade de vértices menos 2.

Assim, um polígono com 6 lados pode ser dividido em 4

triângulos. Escolha um vértice e divida o hexágono abaixo:

Agora, complete:

Um hexágono possui ___ lados e pode ser dividido em ___

triângulos. Assim, podemos afirmar que a soma dos ângulos

internos de um hexágono é ___⋅ 180° = ___________.

Você consegue, sem traçar os triângulos, descobrir qual a

soma dos ângulos internos de um heptágono, polígono com 7

lados?

A soma dos ângulos internos

de um hexágono é ________

A soma dos ângulos internos

de um heptágono é ________

Radicais Gregos:

Pentágono – penta – cinco

Hexágono – hexa – seis

Heptágono – hepta – sete

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkjcbo2rzkxNLf94_


Podemos observar que, com os desenvolvimentos da página

anterior, a quantidade de triângulos é a quantidade de lados

menos dois. Como cada triângulo possui 180°, basta multiplicar a

quantidade de triângulos por 180° para saber a soma dos ângulos

internos de qualquer polígono.

Se chamamos de 𝑛 a quantidade de lados, obteremos a

seguinte expressão para a soma dos ângulos internos:

Vamos ver alguns exemplos de como aplicar este resultado?

𝑺𝒊 = 𝒏 − 𝟐 ⋅ 𝟏𝟖𝟎°

Exemplo 1: Quanto mede a soma dos ângulos internos de um

polígono com 12 lados (dodecágono)?

Nesse caso, usamos a fórmula com 𝑛 = 12.

𝑆𝑖 = 𝑛 − 2 ⋅ 180°

𝑆𝑖 = 12 − 2 ⋅ 180°

𝑆𝑖 = 10 ⋅ 180°

𝑆𝑖 = 1 800°

Exemplo 2: A seguir, temos um hexágono regular. Ele possui

lados com a mesma medida e ângulos internos congruentes (ou

seja, de mesma medida também).

Vamos determinar a medida de cada um dos ângulos

internos 𝒂𝒊 deste polígono.

Neste caso, o número 10 que

aparece na expressão é a

quantidade de triângulos

formados no polígono.

𝑆𝑖 = 𝑛 − 2 ⋅ 180°

𝑆𝑖 = 6 − 2 ⋅ 180°

𝑆𝑖 = 4 ⋅ 180°

𝑆𝑖 = 720°

Observe que, desta forma, calculamos a medida da soma de

todos os ângulos internos. No entanto, cada um dos 6 ângulos terá

medida igual, já que o polígono é regular.

Basta, então, dividir a soma pela quantidade de ângulos:

𝑎𝑖 =720°

6

𝑎𝑖 = 120°

Para qualquer polígono regular, a medida do ângulo interno

será a soma de todos os ângulos, dividida pela quantidade de

ângulos. Veja:

𝒂𝒊 =𝒏 − 𝟐 ⋅ 𝟏𝟖𝟎°

𝒏

Polígono regularPossui todos os lados congruentese todos os ângulos com a mesmamedida.


2) O polígono apresentado a seguir é um octógono regular. Ele

possui, portanto, todos os seus oito lados com medidas iguais.

Seus ângulos internos também são congruentes (de mesma

medida).

Responda:

a) Qual a soma dos ângulos internos deste polígono?

b) Qual a medida de cada um dos seus ângulos internos?

1) Qual a soma dos ângulos internos do eneágono (polígono com

9 lados)?

3) Calcule a soma dos ângulos internos de um pentágono. Em

seguida, encontre o valor da incógnita 𝑥:

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥 + 10°

𝑥 − 50°

4) Qual o polígono que possui, como soma dos ângulos internos,

1 620° ?


AGORA,É COM VOCÊ!!!


O que são ângulos externos? Você se lembra?

SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE POLÍGONOS

Ângulos externos

são formados entre um

dos lados e o

prolongamento de um

outro lado adjacente.

O triângulo desenhado acima possui 3 ângulos externos.

Em qualquer polígono, a quantidade de ângulos externos é a

mesma que a quantidade de lados do polígono.

Nós vamos realizar um experimento para tentar encontrar a

soma dos ângulos externos de um polígono qualquer. Observe

os desenvolvimentos apresentados a seguir:

1.º passo

Marcamos os ângulos externos do triângulo. Em seguida,

cortamos este triângulo em três partes.

2.º passo

Separamos os ângulos externos e juntamos esses ângulos

em um mesmo vértice. Veja:

Podemos, então, observar que os ângulos externos do

triângulo formam uma circunferência completa, isto é, um ângulo

de 360°.

Uma circunferência completa

pode representar o ângulo de 360° .

Veja o transferidor ao lado.

Lembre-se de que o ângulo raso,

de 180°, também pode ser chamado de

meia volta.

A seguir, continuaremos com os desenvolvimentos para

mostrar que, em qualquer polígono, a soma dos ângulos

externos é sempre 𝟑𝟔𝟎°.

Continua

180°

vértice

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkjgNDtmtjepwi6eu

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkjgNDtmtjepwi6eu


Investigando ...ooVamos repetir os passos realizados anteriormente. Recorte os

ângulos externos dos polígonos ao lado. Depois, cole-os nos

espaços indicados pelas setas. Observe o exemplo:

http

s://u

plo

ad.w

ikim

edia

.org

/wik

ipedia

/com

mons/f/f1

/Tra

nsfe

ridor.P

NG

http

s://u

plo

ad.w

ikim

edia

.org

/wik

ipedia

/com

mons/4

/4f/P

ostit_

larg

e.jp

ghttp

s://p

ixabay.c

om

/pt/te

soura

-tesoura

s-c

orte

-ferra

menta

-24188/

Recorte essas figuras

para completar a

atividade ao lado.


Recorte as figuras da

página 40.

Com esse experimento, podemos observar que qualquer

polígono convexo possui a mesma medida para a soma dos

ângulos externos (𝐒𝐞): 360°:

𝑆𝑒 = 360°

Exemplo 1: Observe o quadrilátero em que estão marcados os

ângulos externos:

𝑥

70°

85°

100°

Vamos encontrar o valor do ângulo desconhecido. Para isso,

vamos lembrar que a soma dos quatro ângulos externos desse

quadrilátero é igual a 𝟑𝟔𝟎°. Observe:

85° + 70° + 100° + 𝑥 = 𝟑𝟔𝟎°

255° + 𝑥 = 360°

𝑥 = 360° − 255°

𝑥 = 105°


1) Em cada um dos casos apresentados a seguir, escreva uma

equação e encontre os valores desconhecidos, resolvendo-as:

3𝑥

3𝑥

𝑥 + 20°

4𝑥 + 10°

2𝑦

2𝑦 − 25°

2𝑦 − 15°

𝑦

𝑦

Exemplo 2: Observe o pentágono regular. Isto significa que

possui todos os lados com a mesma medida. Podemos ver,

marcados no esquema, os cinco ângulos externos congruentes (de

mesma medida).

Já sabemos que a soma dos ângulos externos é de 360°:

Para encontrar o valor de um dos ângulos externos (𝒂𝒆), basta

dividir o total pela quantidade de ângulos, já que todos possuem a

mesma medida. Veja:

Esse resultado vale para qualquer polígono regular.

Para encontrar o valor da medida de um ângulo externo, basta

dividir 360° pela quantidade de ângulos do polígono regular.

𝑆𝑒 = 360°

𝑎𝑒 =360°

5𝑎𝑒 = 72°

𝑎𝑒 =360°

𝑛


𝛼

2) Leia o hexágono regular apresentado a seguir. Encontre o

valor do ângulo externo 𝛼:

3) Encontre os valores dos ângulos internos e externos de um

triângulo equilátero.

𝑺𝒊 = 𝒏 − 𝟐 ⋅ 𝟏𝟖𝟎°

𝒂𝒊 =𝒏 − 𝟐 ⋅ 𝟏𝟖𝟎°

𝒏

𝑆𝑒 = 360°

𝑎𝑒 =360°

𝑛

O ângulo interno e o ângulo externo de um polígono, em um

mesmo vértice, são sempre suplementares: somam 180° .

Observe:

105°

𝑥

105° + 𝑥 = 180°

𝑥 = 180° − 105°

𝑥 = 75°

Ângulointerno

Ânguloexterno

Os dois ângulos formam o ângulo raso

como o transferidor ao lado. Ambos

possuem medida angular de 180°.

Multirio

Exemplo: Se o ângulo interno do quadrilátero mede 105°, qual o

valor do ângulo externo neste mesmo vértice?

ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS DE POLÍGONOS REGULARES


Leia a imagem do triângulo apresentado a seguir:

Nele, temos marcados os três ângulos internos e

o ângulo externo 𝒅 . Queremos encontrar uma relação dos

ângulos internos com este. Vamos lembrar, então, de dois fatos

que já estudamos:

PROPRIEDADE DO ÂNGULO EXTERNO DOS TRIÂNGULOS

𝒂

𝒃

𝒄𝒅

A partir desses resultados, vamos encontrar duas equações

em relação ao triângulo anterior. Veja:

Vamos igualar as expressões que são iguais a 180°. Veja:

𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 180°

𝒄 + 𝒅 = 180°

Ângulos internos

Ângulos suplementares

A soma dos ângulos internos de qualquer

triângulo é sempre 180°.

Os ângulos interno e externo de um

polígono, quando adjacentes, são

suplementares: somam 180°

𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒄 + 𝒅

Nessa expressão, podemos simplificar o termo 𝒄 que

aparece nos dois membros.

Observe este resultado no triângulo:

𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒄 + 𝒅

𝒂 + 𝒃 = 𝒅

𝒂

𝒃

𝒅 = 𝒂 + 𝒃

A medida de um ângulo externo de um

triângulo é igual à soma dos ângulos

internos não adjacentes a este.

Exemplo 1: Encontrar a medida do ângulo apresentado a

seguir:

𝒙

𝟖𝟐°

𝟒𝟑°

𝑥 = 43° + 82°

𝑥 = 125°

𝒅

(a, b, c)

𝒂 + 𝒃 + 𝒄 − 𝒄 = 𝒄 − 𝒄 + 𝒅

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJkjYL6UahXOu61PL5


Exemplo 2: Qual o valor de 𝑦 no triângulo abaixo?

115° = 𝑦 + 62°

𝑦 = 115° − 62°

𝒚

𝟔𝟐°𝟏𝟏𝟓°

𝑦 = 53°

1) Utilize a propriedade do ângulo externo e encontre os ângulos

desconhecidos nos triângulos abaixo:

𝟏𝟐𝟕°

𝒃

𝟐𝟔°

𝟐𝟓°

𝒅

𝟏𝟏𝟏°

𝒚

𝟏𝟑𝟎°

𝟕𝟎°

𝟐𝒙 + 𝟐𝟎°

𝒙

𝟏𝟒𝟎°

𝒛 + 𝟏𝟎°𝟓𝒛

𝟐𝒛 + 𝟓𝟎°

2) Descubra o valor da incógnita em cada triângulo:

𝒚 + 𝟑𝟎°

𝒚

𝟑𝒚 − 𝟏𝟎°



MÉDIA ARITMÉTICA

Neste momento, estudaremos a média aritmética simples,

que é uma medida de centralidade entre números dados. Vamos

calculá-la somando todos os valores e dividindo pela

quantidade destes.

Exemplo 1: Um jogador de basquete está participando de um

torneio. Ele anotou, em seu caderno, os pontos que marcou em seus

últimos 4 jogos. Leia a tabela:

Calcule a média de pontos por partida desse jogador.

Jogo 1 Jogo 2 Jogo 3 Jogo 4

Pontos 25 32 19 34

Somamos a quantidade de pontos em cada um dos quatro

jogos e dividimos por 4:

25+32+19+344 = 4

110=27,5

Assim, a média desse jogador é de 27,5 pontos por jogo.

Exemplo 2: Leia o gráfico e responda:

Nascim

ento

s a

cada 1

000 h

ab/k

m2

Ano

Taxa de natalidade é a quantidade de nascidos a cada mil

habitantes de uma determinada área ou região. Neste gráfico,

podemos ler o desenvolvimento da taxa de natalidade do Brasil

entre os anos de 1940 e 1999.

Agora responda:

Qual é a média aritmética simples da taxa de natalidade do

ano de 1940 ao ano de 1980?

Somamos os cinco valores dos anos presentes no gráfico:

44 44 43 38 31,2

Dividimos pela quantidade de valores somados: 5.

44+44+43+38+31,2

5=

200,2

5= 40,04

De 1940 a 1980, a taxa de natalidade, no Brasil, foi de

40,04 hab/km2.

Questão 1 – Lendo o gráfico de coluna apresentado a seguir,

percebemos que ele informa o consumo por mês de uma conta

de telefone. Assinale a opção que representa a média aritmética

aproximada do consumo mensal nesses meses.

CONSUMO MENSAL

Julho Agosto Setembro

200

150

100

50

0

202

160

185

MÊS

Min

uto

s u

tiliz

ados

(A) 202 minutos.

(B) 182 minutos.

(C)180 minutos.

(D)168 minutos.

TAXA DE NATALIDADE BRASIL

1940 / 1999

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