• Função injetiva

• Função sobrejetiva

• Função inversa

Função bijetiva

Função injetiva

12

xx

IRIR:f

IR IR

-1

½

2

12

2

5

3

f

45

• Função Injetiva:

Sejam A e B conjuntos e f uma função de A em B.

Diz-se que f é injetiva se e somente se quaisquer dois

elementos distintos de A têm imagens distintas em B.

)x(f)x(fxx,x,x 212121 A

212121 A xx)x(f)x(f,x,x

Exemplo funções injetivas :

12 x)x(g

3x)x(h

32

1

x

x)x(j

Exemplo de uma função não injetiva:

33 23 xxx)x(j

Nota: São funções não injetivas a função quadrática, a função módulo e as funções trigonométricas

• Função sobrejetiva:

Sejam A e B conjuntos e f uma função de A em B.

Diz-se que f é sobrejetiva se para todo o yB

existir um elemento xA tal que y = f (x)

)x(fyxy :AB

A B

-1

½

2

0

3

5

1 x)x(f

23

32

30 ,,CD

Conjunto de chegada = B CD não coincide com B

f não é sobrejetiva

Se a função f é injetiva e sobrejetiva diz-se que f é bijetiva

Inversa da função f

A B

-1

½

2

0

3

1 x)x(f

23

11 yxyxy)x(f

23

0

3

y

A B

-1

½

2x

1f

22

1132

301 111 ,,DCD,,CDDx)x(f ffff

f

Graficamente

50616150

3113

1

1

,),(f,),(f

)(f)(f

O gráfico da função é a imagem do

gráfico da função f por uma reflexão de

eixo y=x (bissetriz dos quadrantes ímpares)

1f

a)b(fb)a(f

:

1

reterA

Exercício 1:

Caracterize a inversa das seguintes funções :

12

3

x)x(f)a

x

x)x(g)b

3

1

2

13

123

12

3

y

xxy

yx

y)x(f

y

yx

y

y

x2

3

2

3

2

10

2

311

1 \IRCD\IRDx

x)x(f

ff

x

xx

\IR\IR:f

2

3

2

101

x

x)x(g)b

3

1

yxyx)x(yxyx

xy)x(g

3131

3

1

y

yxy)y(xyyxx

1

1313113

x

x)x(g

1

131 31 11 \IRCD\IRDgg

x

xx

\IR\IR:g

1

13

311

Exercício 2:

Na figura está representada a função

inversa da função f.

Indique:

a) o domínio de f

b) o valor de f (1)

Exercício do manual Máximo 10- Porto Editora

a)

b)

221 ,)D́Dff

)fdegráficodoobservaçãopor(x)x(fx)(f 11 011

Exercício 3:

Sabe-se que f é uma função real de variável real, bijetiva, tal que f (-3)=1.

Resolva a equação:

31512 11 )x(f)x(f

21131 xx)(fx

C.S.={2}

Exercícios que podem resolver nos vossos manuais

Exercícios que envolvem

• a determinação de objetos ou imagens utilizando a

expressão da inversa de uma função

• a caracterização da função inversa de uma função