Aproximação Linear de Sistemas Não-Lineares Os sistemas lineares respeitam aos princípios da...

Aproximação Linear de Sistemas Não-Lineares

Os sistemas lineares respeitam aos princípios da Superposição e da Homogeneidade.

Superposição

Entrada = a(t) Saída = y(t)Entrada = b(t) Saída = w(t)

Entrada = a(t) + b(t)

Implica

Saída = y(t) + w(t)

Homogeneidade

Entrada = k1.a(t) Saída = k1.y(t)Entrada = k2.b(t) Saída = k2.w(t)

Entrada = k1.a(t) + k2.b(t)

Implica

Saída = k1.y(t) + k2.w(t)


Linearização pela Série de Taylor

Representação de função não-linear por uma série polinomial.

f(n) n-ésima derivada da função associada à série.


Função sen(x) e aproximações pela série de Taylor com polinômios de ordem impar.


Se considerarmos um sistema com a relação entrada-saída definida por:

Se assumirmos o ponto de operação xPO, e g( ) contínua em torno do ponto de operação, pela série de Taylor, temos:

y(t) = m.x(t) + b


Assumindo-se pequenas variações em torno do ponto de operação, a série pode ser reduzida a:

Relação linear


Exemplo: Pêndulo Simples

M.g.sen()

M.g

Para PO = 00 e TPO = 0, tem-se

Para o exemplo do pêndulo simples, temos:

se - /4 ≤ ≤ +/4 o erro é 2 %

em relação ao modelo real.


Função de Transferência

Define a relação entre a saída e a entrada de um sistema dinâmico, no domínio da frequência;

Só é obtida para sistemas lineares invariantes no tempo;

Para sua obtenção assume-se as condições iniciais como nulas.

Transformada de Laplace

Domínio do Tempo

Domínio do Frequência

Função de Transferência

Exemplo para o circuito RLC paralelo.

Representação por Diagramas de Blocos

Sistemas dinâmicos e seus subsistemas são normalmente representados através das funções de transferência, que definem as relações (entrada-saída) entre as variáveis de interesse.

Para simplificação e análise do comportamento do sistema podem ser utilizadas equivalências na representação por diagramas de blocos, como as apresentadas a seguir.


X2 = (X1 X2.H).G X2 = X1.G X2.H.G X2 X2.H.G = X1.G

X2.(1 H.G) = X1.GX2(s) G(s)

X1(s) 1 H(s).G(s)

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