APS_02_derivada.pdf
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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CÂMPUS PATO BRANCO
DESEMPENHO
Atividades Práticas Supervisionadas (APS) de Cálculo Diferencial e Integral 1 – Profa. Dayse Regina Batistus, Dr
a. Eng.
Acadêmico(a): __________________________________________________ Curso: Engenharia ___________
Na APS serão consideradas somente as questões que apresentarem os cálculos e, a resposta da mesma à caneta. Data de entrega: 01/03/2013
1) Determine a equação da reta tangente (T) e da reta normal (N) ao gráfico da função, no ponto de
abscissa dada:
a) 2 = x em , 35)( −= xxf Resposta: (T) y = 5x – 3; (N) y = -(1/5) x + 35/7
b) 0 = x em ,532 2 +− xxf(x) = Resposta: (T) y = - 3x + 5; (N) y = (1/3) x + 5
c) 1 xem ,13)( 3 =−+= xxxf Resposta: (T) y = 6x – 3; (N) y = - (1/6) x + 7/2
2) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = sen x no ponto de abscissa x = 0
rad. Resposta: y = x.
3) Determine os pontos sobre a curva 1)( 23 +−−= xxxxf onde a tangente é horizontal.
Resposta: (1, 0) e
−27
32,
3
1. Nota: Futuramente, veremos que esses pontos são candidatos a
pontos de máximos, mínimos ou ponto de inflexão da função dada.
4) No videogame da figura abaixo, os aviões voam da esquerda para a direita segundo a trajetória
,1
1x
y += e podem disparar suas balas na direção da tangente contra pessoas ao longo do eixo-x
em x = 1, 2, 3, 4 e 5.
Determine se alguém será atingido se o avião disparar um projétil quando estiver em:
(a) P(1, 2) (b) Q(3/2, 5/3)
Resposta: (a) A equação da reta tangente a curva, no ponto P é dada por: .3+−= xy Por outro lado,
fazendo ,0=y temos: 330 =⇒+−= xx . Portanto, o projétil atinge a pessoa que está na posição 3,
como ilustra a própria figura. (b) A equação da reta tangente a curva, no ponto Q é dada por:
.3
7
9
4 +−= xy Por outro lado, fazendo ,0=y temos: 25,512
63
3
7
9
40 ==⇒+−= xx . Portanto, o
projétil não atinge nenhuma pessoa.
2
5) Derive as funções compostas apresentadas no quadro abaixo:
Função Derivada a) y = sen 4x 4 cos 4x
b) y = cos 5x –5 sen 5x
c) y = e3x
3e3x
d) f(x) = cos 8x –8 sen 8x
e) y =sen t3 3t
2 cos t
3
f) g(t) = ln (2t+1)
12
2
+t
g) x = esen t
e sen t
cos t
h) f(x) = )( cos xe –ex sen e
x
i) y = (sen x + cos x)3 3(sen x + cos x)
2 (cos x – sen x)
j) 13 += xy
1x32
3
+
k) 3
1
1
+−=
x
xy 3
2
2 1x
1x
)1x(3
2
−+
+
l) y = e-5x
–5e-5x
m) x = ln (t2 +3t+9)
9t3t
3t22 ++
+
n) f(x) = etg x
etg x
sec2 x
o) y = sen(cosx) –sen x cos (cos x)
p) g(t) = (t2+3)
4 8t (t
2 + 3)
3
q) f(x) = cos(x2 + 3) –2x sen (x
2 + 3)
r) xexy +=
x
x
ex2
e1
++
s) y = tg 3x 3 sec2 3x
t) y = sec 3x 3 sec 3x tg 3x
u) y = xe3x
e3x
(1+3x)
v) y = ex . cos 2x e
x (cos 2x – 2 sen 2x)
w) y = e-x
sen x e-x
(cos x – sen x)
x) y = e-2t
sen 3t e-2t
(3 cos 3t – 2 sen 3t)
y) f(x) = 2xe−
+ ln (2x + 1)
1x2
2xe2
2x
++− −
z) tt
tt
ee
ee)t(g −
−
+−=
2tt )ee(
4−+
aa) x2sen
x5cosy =
x2sen
2x cos5x cos 2 2x sen 5x sen 52
+−
bb) f(x) = 3xx )ee(
2
+− )xe2e.()ee(3
22 xx2xx +−+ −−
cc) y = t3 e
-3t 3t
2 e
-3t(1 – t)
dd) y = (sen 3x + cos 2x)3 3(sen 3x + cos 2x)
2 (3 cos 3x – 2 sen 2x)
ee) x2 exy −+=
xx
xx
ee2
ee−
−
+−
ff) y = x ln (2x + 1)
1x2
x2)1x2ln(
+++
gg) y = [ln (x2 + 1)]
3
1x
)]1x[ln(x62
22
++
hh) y = ln (sec x + tg x) sec x
3
6) Encontre a derivada das seguintes funções:
Função Derivada
7) Derive, utilizando a derivação implícita:
Função Derivada
Sugestão de atividades complementares (não precisa entregar): Refazer as provas de 2012.
APS 04 do 1º semestre de 2012, número 08.