Áreas de figuras planas

Francisco Ferreira Paulo

Hálisson Barreto Vieira

Luiz Vicente Ferreira Neto

b

h

b hA

2

1. Triângulos

1.1. Em relação à base e à alturaConsidere o triângulo de base b e altura h abaixo

DemonstraçãoObserve que dois triângulos congruentes formam um paralelogramo de base b e

altura h.

Portanto, a área do triângulo é igual à metade da área do paralelogramo

b h

A2

1.2. Fórmula de Heron (conhecendo seus lados)

b

a c

a b cA p(p a)(p b)(p c), em que p

2

Lembrete!

Considere p como sendo o semiperímetro

1.3. Para o triângulo equilátero

2

equilátero

a 3A

4

a

a a

60º 60º

30º

h

30º

DemonstraçãoPara encontrar o valor da altura, temos que o triângulo CMB é retângulo; logo:

2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 24 3 3 3

2 4 4 4 4 2

l l l l l l ll h l h h h h h

23

.. . 322 2 4equilátero equilátero equilátero

llb h l

A A A

Assim:

1.4. Conhecendo-se dois lados e o ângulo formado

por eles

h

a

b

a b sen

A2

Demonstração

base altura a b sen

A A2 2

h

sen h b.senb

Tomando o ângulo , h é o cateto oposto a ele e b é a hipotenusa do triângulo retângulo à esquerda:

Sendo assim, a área é determinada por:

h

a

b

1.5. Triângulo circunscrito a uma circunferênciaA área de um triângulo circunscrito a uma circunferência é determinada por:

.circunscritoA p r

Demonstração

. . .

2 2 2

.2

.

ABC BOC AOC AOB

ABC

ABC

ABC

A A A A

a r b r c rA

a b cA r

A p r

1.6. Triângulo inscrito a uma circunferênciaA área de um triângulo inscrito a uma circunferência pode ser determinada por:

. .

4ABC

a b cA

r

Demonstração

.

2 2a

a

h b b ch

c r r

1 . . .. .2 2 4ABC ABC

b c a b cA a A

r r

Toma-se a idéia que a : .

2a

ABC

a hA

Para determinar , construímos o , com AE = 2r. ah ABE

Assim, temos .

Logo, concluímos que .

2. Héxagono regular

Devemos lembrar que todo hexágono regular é decomposto em seis triângulos equiláteros congruentes.

a

a

a

a

a

a a a

aa

2a 3

A 64

DemonstraçãoConsidere, por exemplo, o hexágono em que l é a medida do lado e a a medida do apótema.

Como a área do hexágono é formada por seis triângulos equiláteros, essa pode ser indicada por:

. .

6. 6. 3. .2 2hexágono hexágono hexágono

semiperímetro do polígono

b h l aA A A l a

Generalizando, para um polígono de n lados:

. .. .2 2polígono polígono

l a n lA n A a

Observe que é o semiperímetro (p) do polígono.

Assim, .

.

2

n l

.polígonoA p a

a3a8

a4

3. Quadriláteros notáveis3.1. Trapézio

trapézio

(B b) hA

2

DemonstraçãoNote que a área do trapézio é determinada pela área de dois triângulos, , ambos retângulos.

I IIe

1 2

1 21 2

. .

2 2.. .

2 2

trapézio I II trapézio

trapézio trapézio

b h b hA A A A

b b hb h b hA A

3.2. ParalelogramoTome, assim, um paralelogramo de base b e altura h.

A b h

h

b

DemonstraçãoObserve que a área do paralelogramo é igual á área do retângulo de medidas b eh.

Assim, a área é igual á área de um quadrado, ou seja, pela representação a seguir,temos:

.A b h

3.3. RetânguloA área de um retângulo é o produto da medida do comprimento pela medida dalargura.

h

b

A b h

b

h

DemonstraçãoNote que a área de um retângulo é determinada pela soma das áreas de doistriângulos retângulos e congruentes

b

h h

b

. . . . 2 ..

2 2 2 2

b h b h b h b h b hA A A A b h

3.4. Losango

D

d

a a

a a

d2

D d

A2

dD D d2A 2 A 2 A

2 2

DemonstraçãoNote que a área do losango é composta da soma das áreas de dois triângulos de

base e altura congruentes.

Sendo assim, suas áreas também são congruentes.

D2

d

d2

D

3.5. QuadradoSabendo-se que o quadrado é um tipo específico de retângulo cujos lados são

congruentes

2A a

a

a

a

ad

45º

45º

45º

45º

2l.l l.l 2.l.l

A A A l.l A l2 2 2

DemonstraçãoSabendo que são dois triângulos retângulos congruentes, a área do quadrado é

determinada pela soma das áreas dos mesmos.

l

l

l

ld

4. Círculo e suas partes

4.1. Área do círculo

2círculoA r

r

Lembrete!

Comprimento da circunferência

r

C 2 r

DemonstraçãoConsidere o círculo de raio r.

Dividindo o círculo em partes congruente e decompondo-o, obtemos:

Verifique, então, que a área do círculo corresponde, aproximadamente, à metade da

área de um retângulo de base e altura r.

Assim:

2 r

22. . . .

2círculo círculo círculo

rA r A r r A r

4.2. Coroa circularÉ a área compreendida entre dois círculos concêntricos.

2 2coroa circularA (R r )

r

R

DemonstraçãoObserve que a área da coroa circular é a diferença entre as áreas das

circunferências concêntricas . 1 2C e C

2 2

1 2

2 2

coroa circular C C coroa circular

coroa circular

A A A A R r

A R r

4.3. Setor circular

2

setor o

rA

360

setor

rA

2

4.3.1. A partir do ângulo central

4.3.2. A partir do comprimento do arco

r

r

o 2 2

setor osetor

360 r rA

360A

2

setor

setor

2 r r rA

2A

DemonstraçãoA área de um setor circular pode ser determinada por uma simples regra de três

I. A partir do ângulo central

I. A partir do comprimento do arco

4.4. Área do segmento circular

segmento circular setor triânguloA A A

r

r

DemonstraçãoA do setor circular é a diferença entre as áreas do setor circular e do triângulo.

2. . . .

360º 2

segmento circular setor circular

segmento circular

A A A

r r r senA