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Áreas – parte 1

Rodrigo Lucio Silva

Isabelle Araújo

Introdução

Desde os egípcios, que procuravam medir

e demarcar suas terras, até hoje, quando

topógrafos, engenheiros e arquitetos fazem

seus mapeamentos e plantas, o cálculo de

áreas tem sido uma preocupação constante

na história da Matemática.

Na aula de hoje você aprenderá como

resolver problemas envolvendo áreas.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2

Área do Retângulo


1 cm

1 cm

3 cm

4 cm

1cm²Tomando como unidade

de área o quadrado de

1cm², observamos que

cabem 12 desses

quadrados no retângulo

ao lado. Logo, a área

do retângulo é 12cm².

Área do Retângulo

Por outro lado, se multiplicarmos a medida do

comprimento do retângulo pela medida da sua

largura, obtemos o mesmo resultado.


4 cm . 3 cm = 12 cm²

Portanto, a área da superfície de um retângulo

é igual ao produto das medidas da base b e

da altura h.

Aretângulo = b . h

Em que: b e h são números reais positivos.

h

b.

A

Área do Quadrado

Particularmente, para o quadrado de lado a,

ou seja, b = a e h = a, temos :


Aquadrado = a . a ou Aquadrado = a²

Em que: a é um número real positivo.

A

a

a

.

Exercício

O comprimento de um terreno retangular tem

28 m a mais do que a frente. Sabendo-se que

o perímetro desse terreno é de 112 m,

determine:

a) As dimensões desse terreno.

b) A área desse terreno.


Resolução


x + 28x + 28

x

x

Como o perímetro de um

polígono plano é a soma

das medidas de todos os

seus lados, somamos

seus lados e igualamos

ao perímetro fornecido

pela questão, que é 112.

112)28()28( xxxx

Fazemos um esboço do terreno e suas dimensões

Resolução


144

56564

561124112564

112)28()28(

xxx

xx

xxxx14

14

14 + 28 14 + 28

Substituímos o valor encontrado

para x nas dimensões do

retângulo. Verificamos que o terreno mede 14 m

de frente e 42 m de comprimento.

a)= 42 = 42

Resolução


Sabemos as dimensões do retângulo e

queremos saber sua área. Vimos que a área

do retângulo é dada pelo produto das medidas

da base e da altura, no caso, a base e a altura

valem, respectivamente, 14 m e 42 m. Logo:

b)

²58842.14 mmmA

Exercício

(UFF-RJ) Num terreno retangular com 104 m²

de área, deseja-se construir um jardim,

também retangular, medindo 9 m por 4 m,

contornado por uma calçada de largura L,

como indica a figura. Calcule o valor de L.


L

L

CALÇADA

JARDIM

Resolução


L

L

4

9

De acordo com

as medidas

fornecidas do

jardim, sabemos

que a área do

terreno pode ser

escrita em

função de L da

seguinte forma:

L

L 9

4

)24).(29( LLA

A = Largura x Altura

Resolução


Como a questão nos fornece o valor da área

total, igualamos esse valor dado à equação que

montamos anteriormente para determinar L:

03413²2²21334

²42668²42636104

²481836104

)2(2)4(2)2(9)4(9104

104)24).(29(

LLLL

LLLL

LLL

LLLL

LLA

Resolução


5,84

34

4

2113

)2(2

44113''

24

8

4

2113

)2(2

44113'

441272169)34)(2(4²13

03413²2

L

L

LL

Resolvemos a equação de segundo grau e

acharemos possíveis valores para L:

Resolução


Depois de resolvermos a equação, achamos

2 e -8,5 como possíveis valores para L,

porém, o valor L é referente a medida,

dimensão, e como não existem medidas

negativas, desconsideramos o valor de -8,5.

Então, o valor de L é de 2 m.

5,84

34

4

2113

)2(2

44113''

24

8

4

2113

)2(2

44113'

L

L

Área do Paralelogramo


Cortando um pedaço do paralelogramo,

podemos encaixá-lo do outro lado,

transformando-o num retângulo. Veja:

hb

hb

Então, podemos definir que a área do

paralelogramo é igual à área do retângulo:Aparalelogramo = b . h


Área do Triângulo


Toda região triangular é metade da

região limitada por um paralelogramo

de mesma base e altura.

b

hComo dividimos um

paralelogramo em dois

triângulos iguais, a área

de cada um dos triângulos

é igual à metade da área

do paralelogramo:


2

h . bAtriângulo =

Exercício


A vela de um barco tem a forma triangular,

com 4m de base e 5 m de altura. Osmar quer

pintar 35% dessa vela de azul, 25% de verde

e o restante de branco.

a) Qual a área da parte azul?

b) Qual a área da parte verde? E da branca?

Resolução


Sabemos que a área do triângulo é a metade

do produto da base pela altura. Como temos

esses valores, apenas aplicamos a definição:

²102

20

2

5.4

2

.m

hbA

Como 35% dessa área será pintada de azul,

multiplicamos 35/100 pelo valor da área total

para saber a área azul que será pintada:

²5,3100

35010.

100

35mAazul A área pintada de

azul será 3,5 m².

a)

Resolução


25% da vela será pintada de verde, então:

²5,2100

25010.

100

25mAverde A área pintada de

verde será 2,5 m².

b)

Já foi pintada 60% da área da vela (35% de

azul e 25% de verde). Como o restante será

pintado de branco, esse restante será de40% da área da vela (100% – 60%):

²4100

40010.

100

40mAbranco

A área pintada de

branco será 4 m².

Exercício


Para decorar seu quarto, Carol preparou

bandeirinhas de papel. A partir do modelo

abaixo, ela fez 240 bandeirinhas. Qual a área

total de papel utilizado para fazer toda essa

decoração no quarto dela?

4 cm

4 cm

4 cm

Resolução


Para calcular a área total, achamos a área de

uma bandeira, e depois multiplicamos pelo

numero n de bandeiras.

4 cm

4 cm

4 cm

4 cm

2 cmAplicamos o teorema de

Pitágoras para achar a

altura h do triângulo.

3212²12

²416²²2²4

hhh

hh

Resolução


4 cm

2 cm

32 cm

Agora acharemos a área da

metade de uma bandeira, já

que temos sua base e altura:

²322

32.2cmA Como achamos a metade

da área de uma bandeira,

a área da bandeira será o

dobro dessa área:

²3432.2.2 cmAAbandeira

Resolução


Achamos a área de uma bandeira, a área total

será o número de bandeiras multiplicado por

essa área. Como o número de bandeiras é

240, multiplicamos esse valor pela área de

uma bandeira e acharemos a área total:

²396034.240.240 cmAA bandeiratotal

A área total de papel necessário para Carol

fazer suas bandeirinhas foi cm².3960

Áreas


Podemos, também, decompor uma figura plana

em regiões cujas áreas já sabemos calcular.

Assim, a área dessa figura será a soma das

áreas das regiões em que a figura foi

decomposta.

Veremos exemplos a seguir!

Área do trapézio


• Trapézio é todo quadrilátero com apenas um

par de lados paralelos, que são suas bases.

Vamos decompor a

região limitada por um

trapézio para encontrar

sua área.

Área do trapézio


b

B

a

Considere um trapézio de bases b, B e altura a(números reais positivos).

Primeiro, decompomos

a região traçando uma

de suas diagonais.

Observe que temos agora 2 regiões triangulares:

a a

b

B

Área do trapézio


b

B

a

A área de uma região triangular nós já aprendemos acalcular, então temos:

Ou seja:

A2

2

).(A

2

..A

2

.

2

.A

AAA

T

T

T

21T

aBb

aBab

aBab

2

)(AT

abB

Em que b, B e a são números reais positivos.

A1

Exercício


Determine a área do terreno plano abaixo usando as

medidas dadas.

6m

4m

12m 5m

9m

11m

Resolução


Modelo matemático:

decomposição do

terreno em três

regiões.

6m

4m

12m

5m

9m

11m

Retângulo

Trapézio

Triângulo

Como já sabemos calcular a área destas figuras, temos

que:

²127A2

4)119(

2

65)612(A

2

)(

2)(A

AAAA

terrenoterreno

terreno

trapéziotriânguloretânguloterreno

m

hbBbhbh

Área do losango


Todo losango pode ser transformado num retângulo

equivalente, com altura D e base d/2.

Assim, a área da região limitada

por um losango é dada pela

metade do produto das medidas

das diagonais.D

d/2

2

dD.Alosango

Em que D e d são números reaispositivos.

Exercício


(Unicamp-SP) Os vértices de um losango são ospontos médios dos lados de um retângulo. Qual arazão entre a área do retângulo (Ar) e a do losango(AL)?

a) ½

b) 2

c) 1/3

d) 4/3

Resolução


Temos a seguinte figura:

A partir disso, calculamos a área de cada figura:

e , logo a razão Ar/AL é:

D

d

DdAr 2

DdAL

22

1

2

A

A

L

r Dd

Dd

Dd

Dd

Exercício


(Unicamp-SP) Os vértices de um losango são ospontos médios dos lados de um retângulo. Qual arazão entre a área do retângulo (Ar) e a do losango(AL)?

a) ½

b) 2

c) 1/3

d) 4/3

Área de um triângulo equilátero

Observe o triângulo de vértices A, B e C

com lados medindo 𝒍 e altura h.


h𝑙𝑙

𝑙

A

BC


Nesse caso não sabemos a medida da altura, que deverá sercalculada através do Teorema de Pitágoras.

𝑙2 = h2 +𝑙

2

2

𝑙2 = h2 +𝑙2

4

h2 = 𝑙2 -𝑙2

44h2 = 4𝑙2 – 𝑙2

4h2 = 3𝑙2

h2 =3𝑙2

4

h =𝑙 3

2


h𝑙

𝑙

2


De acordo com a medida da altura h

calculada, determinaremos a área do

triângulo equilátero com base na seguinte

fórmula:

A =𝑏 . ℎ

2 A =

𝑙 .𝑙 3

2

2 A =

𝑙2 3

2

2 A =

𝑙2 3

2. 1

2

A =𝒍𝟐 𝟑

𝟒


Área de um hexágono regular


Como a área de uma região

triangular equilátera é dada por:

4

3²6

4

3²6Ahexágono

ll

4

3²A quiláterotriânguloe

l

Um hexágono regular é formado por seis regiões

triangulares equiláteras.

A área do hexágono é dada por:

Ou seja:

2

3²3Ahexágono

l

Em que l é um número realpositivo.

Área de um polígono regular


Exemplos:

Um polígono regular é aquele que tem todos os

lados e todos os ângulos internos congruentes. Ele

pode sempre ser inscrito em uma circunferência.

Triângulo equilátero Quadrado Pentágono regular

Polígono regular de

3 lados


4 lados


5 lados

Em que l : lado

a: apótema

n: número de lados, (valores reais positivos).

Área de um polígono regular


Pode-se perceber que se o polígono regular tem n

lados, a região limitada por ele pode ser decomposta

em n regiões limitadas por triângulos isósceles.

a

A B

O

Em cada um desses triângulos, abase é o lado (l ) e a altura é o

apótema (a). Logo:

l

2

anA

l

Exercício


Na figura, ABCD é um quadrado de

lado a. Tomando-se E e G nos

prolongamentos da diagonal AC e

F e H nos prolongamentos da

diagonal BD, com EA=AC=CG e

FB=BD=DH, determine a área do

octógono AFBGCHDE em função de

a.

Resolução

Podemos perceber que ooctógono é formado por 4triângulos congruentes:

Logo, a área total equivalea soma das áreas de cadatriângulo.


Sendo assim, vamos encontrar as

medidas, calcular a área de um

triângulo e multiplicar por 4.

Resolução

Primeiro considere o triângulo

isósceles (hachurado), de

medidas a, x e x.


a

xx

E note que o valor de x

corresponde a base dos

triângulos maiores.

Portanto, vamos calcular o valor de x (em função de a),

aplicando o teorema de Pitágoras:

.

2

ax

2

ax2xaxxa

2222222

Resolução

Sabendo o valor de x,podemos verificar as demaismedidas dos triângulosmaiores.


Para descobrir a alturado triângulo, voltamospara o enunciado daquestão, que diz queDB=DH, por exemplo.Logo a altura dotriângulo é o triplo desua base.

x

x3

x

2x

Resolução

Como , a base do triângulo é igual a e a

altura é .


Por fim a área de cada triângulo é dada por:

E a área do octógono:2

a

2

3a

2

ax

2

a

2

3a

4

3a

2

2

3a

2

2

3a

2

a

2

alturaBaseA

2

2

triângulo

22

total 3a4

3a4A

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