Capítulo 04 -...

Capítulo

04Erros de

arredondamento e

Truncamento

(Parcial)

Objetivos do capítulo

• Entender a diferença entre acurácia e precisão.

• Aprender como quantificar o erro.

• Aprender a usar estimativas de erros para decidir quandoencerrar um cálculo iterativo.

Professor Tenani wwww.professortenani.com.br

Acurácia x PrecisãoAcurácia se refere a quão próximo o valor calculado ou medido estádo valor verdadeiro.

Precisão se refere a quão próximo os valores individuais calculadosou medidos estão uns dos outros.

a) Inacurado e impreciso.

b) Acurado e impreciso.

c) Inacurado e preciso.

d) Acurado e preciso


Definição de Erro VerdadeiroErros numéricos são causados pelo uso de aproximações pararepresentar operações e quantidades matemáticas exatas.

• O t vem do inglês true = verdadeiro.

• O erro verdadeiro normalmente é expresso como um

valor absoluto e referido com erro absoluto.


valor verdadeiro -aproximaçãot

E

Definição de Erro O Erro verdadeiro não leva em conta a ordem de grandeza do valorque está sendo examinado. Podemos definir então o erro relativopercentual verdadeiro.


100%valor verdadeiro -aproximação

valor verdadeirot

ExemploConsidere que você tenha a tarefa de medir os comprimentos deuma ponte e de um rebite e que obteve 9.999 cm e 9 cm,respectivamente. Se os valores verdadeiros forem 10.000 cm e 10cm, respectivamente, o erro verdadeiro em ambos os casos é 1 cm.Calculando o erro relativo temos:


100% 0,01%10.000-9.99910.000t

100% 10%10-910t

Erro aproximado• Em situações do mundo real, o valor verdadeiro dificilmente é

conhecido, por isso, o cálculo do erro verdadeiro ficaprejudicado.

• Um dos desafios dos Métodos é determinar estimativas de erroquando se desconhece o valor verdadeiro.

• Grande parte dos métodos numéricos utilizam uma abordagemiterativa para calcular as respostas. Isto é, uma aproximaçãoatual é feira com base em uma aproximação anterior.

• Assim, podemos definir nosso erro aproximado como:


100%aproximação atual - aproximação anterior

aproximação atuala

Erro tolerado• Os sinais nas equações anteriores podem ser positivos ou

negativos dependendo se a aproximação é maior ou menor quea aproximação anterior.

• Ao realizar cálculos não há preocupações com o sinal do erro.

• Estamos interessados em saber se o erro aproximado absoluto émenor que um percentual de tolerância pré-estabelecido

• Isto é, estamos interessados em saber se:


a s

𝜀𝑠

• Esta relação é chamada de critério de parada.

Critério de Parada• Se o critério de parada for satisfeito, supõe-se que o resultado

esteja dentro do nível aceitável pré-estabelecido .

• É conveniente relacionar esses erros ao número de algarismossignificativos da aproximação.

• Para ter certeza que o resultado aproximado está correto atépelo menos n algarismos significativos usamos o critério a seguir:

Exemplo: Se desejamos 4 algarismos significativos devemos tertolerância dada por:


a s

𝜀𝑠

2(0,5 10 )%ns

2 4 2(0,5 10 )% (0,5 10 )% 0,005%s

Exemplo : Estimativa de Erro


2 3

1 ...2 3! !

nx x x x

e xn

• Vamos usar a série de Maclaurim para aproximar valores para a função

exponencial para x=0,5.

• Conforme mais termos forem adicionados a sequência, a estimativa se

tornará cada vez mais próxima do valor verdadeiro de exp(x).

• Começaremos com e depois de adicionar cada novo termo vamos

calcular o erro verdadeiro percentual e o erro relativo percentual estimado.

• Adicionaremos termos até que o valor absoluto do erro relativo percentual

estimado esteja dentro do critério pré-estabelecido.

𝑒𝑥 = 1

a s



2 3

1 ...2 3! !

nx x x x

e xn

• Vamos adotar o critério de erro que garante o resultado correto até pelo

menos três algarismos significativo.

• Observe que o valor “verdadeiro” de calculado através do MATLAB é:

exp(0.5) = 1.648721270700128

• Olhando para a série acima, podemos adotar como uma primeira

aproximação como 1.

2 3(0,5 10 )% 0,05%s

𝑒0,5

0,5 1e



2 3

1 ...2 3! !

nx x x x

e xn

0.5

1,648721 1,5 100% 9,02%1,648721

1,5 1 100% 33,3% 0,05%1,5

02

1 1 0.5 1.5

t

a

x

x

x

Estimativa

e x e

2 2

20.5

1,648721 1,625 100% 1,44%1,648721

1,625 1,5 100% 7,69%1,625

0,05%

03

20,51 1 0.5 1.625

t

a

xx

x

x

Estimativa

e x e



2 3

1 ...2 3! !

nx x x x

e xn

Resumindo...

Termos Resultados Erro Verdadeiro(%) Erro

Aproximado(%)

1 1 39,3

2 1,5 9,02 33,3

3 1,625 1,44 7,69

4 1,645833333 0,175 1,27

5 1,648437500 0,0172 0,158

6 1,648697917 0,00142 0,0158 < 0,05

Estimativa de Erro - Algoritmo


2 3

1 ...2 3! !

nx x x x

e xn

• A implementação computacional envolve laços.

• A maior parte das soluções iterativas envolvem laços

condicionais ( while ).

• O processo é repetido até que o erro aproximado fique abaixo

de um critério de parada (es).

• Sempre devemos fornecer um número máximo de iterações

(maxIt) para não corrermos o risco de loop infinito.

Estimativa de Erro – Algoritmo (I)


function [ fx, eA, it ] = MetodoIteracao( x, es, maxIt )

% Série de Maclaurin da função exponencial

% [ fx, eA, iter ] = MetIt( x, es, maxIt )

% Entradas:

% x : valor no qual a série é avaliada

% es : Critério de parada ( opcional com padrão = 0.0001)

% maxIt : Número máximo de iterações ( opcional com padrão = 50)

% Saída:

% fx : valor estimado.

% eA : erro relativo aproximado (%)

% it: número de iterações

% padrões

Estimativa de Erro – Algoritmo (II)


function [ fx, eA, it ] = MetodoIteracao( x, es, maxIt )

if nargin < 2

es = 0.0001;

end

if nargin < 3

maxIteracoes= 50;

end

it = 1; solucao =1; eA = 100;

while (eA > es) && (it < maxIt)

solucaoAnterior = solucao;

solucao = solucao + x^it/factorial(it);

if solucao ~= 0

eA = abs( (solucao - solucaoAnterior)/solucao)*100;

end

it = it + 1;

end

fx = solucao;

end

Exercício 01


O método babilônico, um antigo sistema para aproximação

de raiz quadrada de qualquer número positivo a, pode ser

formulado como:

2

ax

xx

Escreva uma função para implementar esse algoritmo, com

base no exemplo apresentado anteriormente.

Exercício 01 (Continuação)


>> [fx,ea,iter] = RaizQuadrada(2)

fx = 1.414213562373095

ea = 1.127797413072556e-10

iter = 6

function [fx,ea,iter] = RaizQuadrada(a,es,maxit)

% Entrada:

% a = value a ser calculado a raiz

% es = criterio de parada (padrão = 0.0001)

% maxit = número max iterações (padrão = 50)

% output:

% fx = valor estimado

% ea = erro relativo aproximado (%)

% iter = número de iterações

Exercício 02


A expansão em série de Maclaurin para cos(x) é dada por:

Começando com uma versão mais simples, cos(x)=1, some

termos um a um para estimar cos(x). Depois que cada novo

termo for somado, calcule os erros relativos percentuais

verdadeiro e aproximado. Some termos até que o valor

absoluto da estimativa aproximada de erro fique abaixo de

um critério de erro. Use valores padrões caso não sejam

informados o critério de erro e o número máximo de

iterações. Teste a função para pi/4 e es=0.001. Monte uma

tabela com os resultados obtidos.

2 4 6 8

cos 1 ...2 4! 6! 8!x x x xx

Exercício 02 ( Continuação)


>> McCosseno(pi/4)

**************************************************************

Iteração Solução Erro V Erro A

1 1.0000000 41.421356 100.000000

2 0.6915749 2.196545 44.597506

3 0.7074292 0.045598 2.241121

4 0.7074256 0.045090 0.000508

5 0.7074256 0.045090 0.000000

*****************************************************************

function McCosseno(a,es,maxit)

% Entrada:

% a = value a ser calculado o cosseno

% es = criterio de parada (padrão = 0.0001)

% maxit = número max iterações (padrão = 50)

Tipos de Erros


Erros de Arredondamento

Os erros de arredondamento devem-se ao fato de que os

computadores digitais não podem representar algumas quantidades de forma

exata levando a resultados errados.

Os erros de arredondamento estão relacionados à maneira como os

números são armazenados no computador.

Erros de Truncamento

Os erros de truncamento resultam do uso de aproximação no lugar de

um procedimento matemático exato. Por exemplo, no capítulo 1 aproximamos

a derivada da velocidade do saltador de bungee jumping.

1i iv t v tdv v

dt t t

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