Aritmética 0.5cmClasses Residuais

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Aviso Este material ´ e apenas um resumo de parte do conte´ udo da disciplina. O material completo a ser estudado encontra-se no Cap´ ıtulo 11 - Se¸c˜ ao 1.3 do livro texto da disciplina: Aritm´ etica, A. Hefez, Cole¸c˜ ao PROFMAT. Colaborou na elabora¸c˜ ao desse resumo a professora Liane Mendes Feitosa Soares. PROFMAT - SBM Aritm´ etica , Classes Residuais slide 1/24

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Aviso

Este material e apenas um resumo de parte do conteudo dadisciplina.

O material completo a ser estudado encontra-se no Capıtulo 11 -Secao 1.3 do livro texto da disciplina:

• Aritmetica, A. Hefez, Colecao PROFMAT.

Colaborou na elaboracao desse resumo a professora Liane MendesFeitosa Soares.

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Aritmetica

Classes Residuais

Carlos Humberto Soares Junior

PROFMAT - SBM

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Objetivo:

Construir novas estruturas algebricas a partir da congruenciamodulo um numero natural m > 1.

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Classes Residuais

Dado um inteiro positivo m > 1, particionamos o conjunto Z emsubconjuntos, cada um formado pelos numeros inteiros que deixamo mesmo resto quando divididos por m.

Desta forma, obtemos os subconjuntos

[0] = {x ∈ Z / x ≡ 0 mod m},[1] = {x ∈ Z / x ≡ 1 mod m},

...

[m − 1] = {x ∈ Z / x ≡ m − 1 mod m}.

Observe que paramos em [m − 1] pois teremos repeticoes, isto e,[m] = [0], [m + 1] = [1], . . . .

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Classes Residuais

Definicao

Definimos a classe residual modulo m do elemento a ∈ Z,denotada por [a], como sendo o subconjunto

[a] = {x ∈ Z / x ≡ a mod m}.

O conjunto de todas as classes residuais modulo m sera denotadopor Zm, isto e,

Zm = {[0], [1], · · · , [m − 1]}.

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Exemplos

Exemplo 1: Para m = 2, temos:

[0] = {x ∈ Z / x ≡ 0 mod 2} = {x ∈ Z / x e par}, e

[1] = {x ∈ Z / x ≡ 1 mod 2} = {x ∈ Z / x e ımpar}.

Alem disso,

[a] = [0] ⇔ a e par, e

[a] = [1] ⇔ a e ımpar.

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Exemplos

Exemplo 2: Para m = 3, temos:

[0] = {3q / q ∈ Z},[1] = {3q + 1 / q ∈ Z},[2] = {3q + 2 / q ∈ Z}.

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Representante de uma classe residual

Definicao

Dado [a] ∈ Zm, um inteiro x tal que [x ] = [a] sera chamado umrepresentante de [a].

Observacao

Existe uma infinidade de representantes da classe [a] ∈ Zm.

Basta tomar qualquer inteiro da forma b = mq + a, q ∈ Z.

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Classe residual

Proposicao

1 Para cada a ∈ Z tem-se que [a] = [r ], para algumr ∈ {0, 1, · · · ,m − 1};

2 As classes [0], [1], · · · , [m − 1] sao duas a duas distintas.

Demonstracao:

• a ∈ Z⇒ a = mq + r , 0 ≤ r < m⇒ a ≡ r mod m⇒ [a] = [r ].

• O ıtem 2 segue da unicidade do resto. �

Obs.: Classe residuais transformam a congruencia a ≡ b mod mna igualdade [a] = [b].

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Operacoes em Zm

Definicao

Em Zm definimos adicao e multiplicacao por:

[a] + [b] := [a + b];

[a] · [b] := [a · b].

Obs.: Segue-se dos ıtens (i) e (ii) da proposicao 9.3 que asoperacoes definidas acima independem da escolha dosrepresentantes.

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Propriedades das operacoes em Zm

Observemos que as operacoes em Zm foram definidas a partir dasoperacoes de seus representantes. Desta forma, as operacoes emZm gozam das seguintes prorpiedades:

Propriedades

Propriedades da Adicao:

Dados [a], [b] e [c] ∈ Zm, temos

[A1] Associatividade: ([a] + [b]) + [c] = [a] + ([b] + [c]);

[A2] Comutatividade: [a] + [b] = [b] + [a];

[A3] Existencia de zero: [0] + [a] = [a], ∀ [a] ∈ Zm;

[A4] Existencia de simetrico: [a] + [−a] = [0].

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Propriedades das operacoes em Zm

Propriedades

Propriedades da Multiplicacao:

Dados [a], [b] e [c] ∈ Zm, temos

[M1] Associatividade: ([a].[b]).[c] = [a].([b].[c]);

[M2] Comutatividade: [a].[b] = [b].[a];

[M3] Existencia de unidade: [1].[a] = [a], ∀ [a] ∈ Zm;

[M4] Distributividade: [a].([b] + [c]) = [a].[b] + [a].[c].

Zm com as operacoes acima e um anel, chamado anel das classesresiduais modulo m, ou anel dos inteiros modulo m.

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Tabuadas

Definicao

Um elemento [a] ∈ Zm e dito invertıvel quando existir [b] ∈ Zm

tal que [a].[b] = [1]. Neste caso diremos que [b] e o inverso de [a].

Tabelas de adicao e multiplicacao em Z2 = {[0], [1]}.

+ [0] [1]

[0] [0] [1][1] [1] [0]

· [0] [1]

[0] [0] [0][1] [0] [1]

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Tabuadas

Tabelas de adicao e multiplicacao em Z3 = {[0], [1], [2]}.

+ [0] [1] [2]

[0] [0] [1] [2][1] [1] [2] [0][2] [2] [0] [1]

· [0] [1] [2]

[0] [0] [0] [0][1] [0] [1] [2][2] [0] [2] [1]

Observacao: Observe que todo elemento nao nulo de Z2 e de Z3

e invertıvel.

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Tabuadas

Tabelas de adicao e multiplicacao em Z4 = {[0], [1], [2], [3]}.

+ [0] [1] [2] [3]

[0] [0] [1] [2] [3][1] [1] [2] [3] [0][2] [2] [3] [0] [1][3] [3] [0] [1] [2]

· [0] [1] [2] [3]

[0] [0] [0] [0] [0][1] [0] [1] [2] [3][2] [0] [2] [0] [2][3] [0] [3] [2] [1]

Observacao: Observe que o elemento nao nulo [2] ∈ Z4 nao einvertıvel. Alem disso, [2].[2] = [0].

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Divisor de zero

Definicao

Um elemento nao-nulo [a] ∈ Zm e chamado um divisor de zero seexistir um elemento nao nulo [b] ∈ Zm tal que [a].[b] = [0].

Observacao (1): Z2 e Z3 nao possuem divisores de zero;

Observacao (2): O elemento [2] ∈ Z2 e um divisor de zero, pois[2].[2] = [0];

Observacao (3): Um divisor de zero nunca e invertıvel. De fato,se [a] fosse um divisor de zero invertıvel, existiriam [b], [c] ∈ Zm

tais que [a].[b] = [0] e [a].[c] = [1];Neste caso,

[0] = [c].[0] = [c].([a].[b]) = ([c].[a]).[b] = [1].[b] = [b],

o que e um absurdo.PROFMAT - SBM Aritmetica , Classes Residuais slide 16/24

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Tabuadas

Tabelas de adicao e multiplicacao em Z5 = {[0], [1], [2], [3], [4]}.+ [0] [1] [2] [3] [4][0] [0] [1] [2] [3] [4][1] [1] [2] [3] [4] [0][2] [2] [3] [4] [0] [1][3] [3] [4] [0] [1] [2][4] [4] [0] [1] [2] [3]

· [0] [1] [2] [3] [4][0] [0] [0] [0] [0] [0][1] [0] [1] [2] [3] [4][2] [0] [2] [4] [1] [3][3] [0] [3] [1] [4] [2][4] [0] [4] [3] [2] [1]

Observacao: Observe que todo elemento nao-nulo em Z2,Z3 e Z5

sao invertıveis.

Entretanto isso nao ocorre em todos os Zm, pois em Z4 vimos que[2] e um divisor de zero.

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Exercıcios

Exercıcio

Mostre que resolver em Zm a equacao

[a]Z = [b]

e equivalente a resolver a congruencia

aX ≡ b mod m.

Solucao: De fato

[x ] e solucao da equacao ⇔ [a].[x ] = [b]⇔ [a.x ] = [b]⇔

⇔ a.x ≡ b mod m⇔ x e solucao da congruencia. �

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Exercıcios

Exercıcio

Resolva a congruencia

3X ≡ 7 mod 5. (1)

Solucao: Pelo exercıcio anterior, essa congruencia e equivalente aresolver, em Z5, a equacao

[3]Z = [7].

Como, em Z5,[7] = [2],

basta resolvermos a equacao,

[3]Z = [2], em Z5.PROFMAT - SBM Aritmetica , Classes Residuais slide 19/24

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Exercıcios

Consultando a tabuada de Z5, observamos que [3] e invertıvel emZ5 e

[2].[3] = [1].

Portanto,[2].[3].Z = [2].[2] = [4]⇒ Z = [4].

Desta forma, concluımos que as solucoes da equacao (1) sao dotipo x = 4 + 5t, com t ∈ Z. �

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Invertıveis em Zm

O exercıcio anterior ressalta a importancia de determinarmos se umelemento e invertıvel em Zm. Esses elementos sao caracterizadosna proposicao seguinte.

Proposicao

Os elementos invertıveis em Zm sao aqueles cujos representantessao primos com m.

Demonstracao: De fato:

(a,m) = 1⇔ ∃x , y ∈ Z tais que ax + my = 1⇔

⇔ ax ≡ 1 mod m⇔ [a].[x ] = [ax ] = [1]⇔ [a] e invertıvel.

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Corpo

Corolario

Se p ∈ Z e um numero positivo primo, entao todos os elementosnao nulos em Zp sao invertıveis.

As estruturas algebricas, munidas de adicao e multiplicacao,satisfazendo as propriedades [A1], [A2], [A3], [A4], [M1], [M2],[M3], [M4] e o corolario anterior, sao chamadas de corpos.

Z2,Z3 e Z5 sao exemplos de corpos.

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Exercıcio

Exercıcio

Determine as raızes do polinomio p(X ) = X 2 + X , em Z6.

Demonstracao: Calculando diretamente, temos:

p([0]) = [0]2 + [0] =[0];

p([1]) = [1]2 + [1] = [2];

p([2]) = [2]2 + [2] = [4] + [2] = [6] = [0];

p([3]) = [3]2 + [3] = [3][3] + [3] = [12] = [0];

p([4]) = [4]2 + [4] = [4][4] + [4] = [16] + [4] = [20] = [2];

p([5]) = [5]2 + [5] = [5][5] + [5] = [25] + [5] = [30] = [0].

Portanto, [0], [1], [3], [5] sao raızes de p(X ) = X 2 + X .

Observe que o numero de raızes excedeu o grau do polinomio. Isso

ocorreu porque Z6 nao e um corpo.PROFMAT - SBM Aritmetica , Classes Residuais slide 23/24

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Ate a proxima ...

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