As variaes dos intervalos de tempo entre as fases principais daLua

REVISTA BRASILEIRA DE ENSINO DE FSICAREVISTA BRASILEIRA DE ENSINO DE FSICA, SO PAULO, , SO PAULO, 2323 (3): 300 (3): 300 307, 307,SETEMBRO, 2001SETEMBRO, 2001

Fernando Lang da SilveiraUniversidade Federal do Rio Grande do Sul UFRGS

Instituto de FsicaCaixa Postal 15051 91501-970 Porto Alegre, RS Brasil

Endereo eletrnico: lang@if.ufrgs.br

Resumo. Os intervalos de tempo entre as sucessivas fases principais da Lua(Nova, Quarto Crescente, Cheia e Quarto Minguante) no so idnticos eapresentam pronunciadas variaes ao longo do tempo. Neste trabalho elaborada uma explicao qualitativa para essas "anomalias". tambmapresentado um conjunto de equaes que permite o clculo do momentoem que cada fase principal ocorre. As equaes foram geradas a partir detabelas de lunaes por procedimentos de regresso no-linear; com elas possvel se estimar os momentos das fases principais com um erro padro(desvio padro da estimativa) de 20 min. As tabelas de lunaes foramobtidas junto ao Observatrio Nacional do Brasil e se referem ao perodode 1940 a 2020.

1. Introduo

As quatro principais fases da Lua (Nova, Quarto Crescente, Cheia e QuartoMinguante) ocorrem nessa ordem durante um ms sindico ou lunao, cuja durao deaproximadamente 29,5 dias. Ento, poder-se-ia pensar que o intervalo de tempo entre duasfases consecutivas da Lua um quarto de 29,5 dias. Contudo, a consulta a um calendriocom as datas das fases principais da Lua revela que tal idia seria errada. O nmero de diasentre fases consecutivas em sua maioria 7 ou 8, mas tambm ocorrem intervalos de at 9dias ou de apenas 6 dias. Por exemplo, em 5 de junho de 2001 ocorre uma Cheia que seguida 9 dias depois (14 de junho de 2001) pela Quarto Minguante; em 12 de agosto de2001 acontece uma Quarto Minguante que sucedida aps 6 dias (18 de agosto) pela Nova.Entre 2000 e 2002 ocorrem, entre as fases principais sucessivas, apenas 5 intervalos de 6dias e 4 de 9 dias. Dos restantes 90 intervalos, 55 so de 7 dias e 35 so de 8 dias. Sefizermos um levantamento do nmero de dias entre as fases principais consecutivas duranteum grande perodo de tempo (entre 1940 e 2020), verificaremos que 48,0% desses

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intervalos so de 7 dias, 40,9% so de 8 dias, somente 8,3% so de 6 dias e apenas 2,8%so de 9 dias. A Figura 1 mostra, em dias inteiros, o tempo que, entre 2000 e 2002, separacada fase principal da Lua da fase seguinte.

Figura 1 Dias inteiros que transcorrem entre uma fase principal da Lua e a faseseguinte no perodo de 2000 a 2002.

Observa-se na figura 1 que para uma especfica fase principal, por exemplo Nova, otempo para a fase que lhe sucede varivel (6, 7, 8 ou 9 dias).

A explicao para a existncia das diferentes fases da Lua j era conhecida desde aAntiguidade. Aristteles (384 322 A.C.), em sua obra Analtica Posterior, j destacavaque a Lua no possui luz prpria e que a sua face brilhante a face voltada para o Sol(Losee, 1993). Como a Lua gira em torno da Terra, sua aparncia para um observadorterrestre depender da posio relativa Sol LuaTerra.

2. Uma explicao para as fases da Lua

Na figura 2 apresentado um tpico diagrama utilizado para explicar as fases daLua, representando-a em movimento de translao circular uniforme em torno da Terra; aparte da Terra que ali aparece o hemisfrio norte1, que gira no sentido anti-horrio

1 Na verdade o eixo de rotao da Terra est inclinado cerca de 66,5o em relao ao plano de suarbita em torno do Sol (eclptica). Desta forma, a regio da Terra vista na figura em sua maior

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(mesmo sentido da translao da Lua em torno da Terra). O Sol, muito distante, ilumina aregio do sistema TerraLua com raios luminosos praticamente paralelos entre si, mas noexatamente paralelos ao plano da rbita da Lua.

Figura 2 Lua em rbita circular em torno da Terra.

O plano da rbita da Lua em torno da Terra se inclina aproximadamente 5 graus emrelao ao plano da rbita da Terra em torno do Sol (eclptica), conforme representa afigura 3 (para que esse ngulo possa ser representado, a figura o exagera). Caso esses doisplanos coincidissem, a cada Nova ocorreria um eclipse do Sol e a cada Cheia ocorreria umeclipse da Lua. Os eclipses somente so possveis quando a Lua, na fase Nova ou Cheia,estiver prxima a um dos dois pontos de interseo da sua rbita com o plano da eclptica(esses pontos so denominados nodos); a cada ano ocorrem no mnimo dois e no mximosete eclipses(Mouro,1993).

parte o hemisfrio norte, mas tambm aparece uma pequena parcela do hemisfrio sul.

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Figura 3 Plano da rbita da Lua e a eclptica.

A figura 4 explicita melhor as posies relativas SolLuaTerra em cada uma das quatrofases principais. importante destacar que, nas figuras deste trabalho, os dimetros dos trscorpos, bem como as distncias entre seus centros, no esto representados em escala. UmaNova ou Cheia ocorre quando, ignorando-se o fato de que o plano da rbita lunar nocoincide com a eclptica, os trs corpos esto alinhados. A fase ser Quarto Crescente ouQuarto Minguante quando o ngulo SolLuaTerra for 90o.

Figura 4 Posio relativa SolLuaTerra para as quatro fases principais da Lua.

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Cada posio relativa est associada a uma especfica posio da Lua em sua rbita.O horrio em que ocorre uma fase principal muito bem conhecido e pode ser encontradoem uma tabela de lunaes2 (essas tabelas adotam preciso de minuto; j a maioria doscalendrios comuns assinalam apenas o dia em que ocorre uma fase principal). Umaconsulta tabela para 2002, produzida pelo Observatrio Nacional, revela que a primeiraLua Nova de 2002 ser em 13 de janeiro, s 10 h 29 min pelo horrio normal de Braslia.

O grfico da figura 5 constitui-se em uma representao mais precisa dos intervalosde tempo que separam uma fase principal da subseqente. Percebe-se que esses intervalosvariam entre aproximadamente 6,5 dias e 8,3 dias; em mdia transcorrem 7,38 dias entreuma fase principal e a subseqente.

Figura 5 Tempo decorrido entre uma fase principal da Lua e a fase seguinte noperodo de 2000 a 2002.

O modelo adotado na figura 2 no consegue explicar as variaes do intervalo detempo entre duas fases principais consecutivas; da representao feita naquela figuradecorre que o intervalo de tempo entre duas fases principais consecutivas deveria ser

2 Uma tabela de lunaes, para um determinado ano, fornece, para qualquer das fases principaisda Lua, a data do evento (ms e dia) e o horrio com preciso de minuto. O clculo de tais tabelasno simples, pois a rbita da Lua irregular. Tais irregularidades ocorrem devido s influnciasdo Sol e dos planetas, no esfericidade da Terra e aos efeitos de mar (clculos precisos da rbitada Lua envolvem mais de uma centena de termos). Neste trabalho utilizamos tabelas de lunaesgeradas pelo Observatrio Nacional do Brasil.

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sempre o mesmo, j que a Lua se encontra em movimento circular uniforme em torno daTerra.

No presente trabalho pretende-se descrever com mais preciso o movimento da Lua,possibilitando assim uma explicao qualitativa para a irregularidade dos intervalos detempo entre as fases principais. No final sero apresentadas algumas equaes que auxiliama efetuar o clculo do momento em que cada uma das quatro fases ocorrem. Todos os dadossobre os momentos em que ocorrem as fases principais da Lua foram retirados de tabelas delunaes de 1940 a 2020, produzidas pelo Observatrio Nacional3.

3. Aprimorando a explicao: a rbita do sistema Terra-Lua em torno do Sol e arbita da Lua em torno da Terra so elpticas

A primeira correo importante no modelo apresentado na figura 2 que a distnciaTerra-Lua varivel, sendo a rbita lunar em relao Terra aproximadamente elptica4. Aexcentricidade da rbita lunar no desprezvel; a distncia mdia entre o centro da Terra eo centro da Lua 384.000 km (60,3 raios terrestres), variando entre 356.800 km (56,0 raiosterrestres) no perigeu e 406.400 km (63,8 raios terrestres) no apogeu (Oliveira Filho eSaraiva, 1997).

O perodo sideral da Lua (intervalo de tempo em que a Lua descreve uma volta emtorno da Terra no sistema de referncia das estrelas fixas) aproximadamente 27,32 dias5.O tempo entre duas fases iguais consecutivas (por exemplo, duas Novas consecutivas),denominado de perodo sindico da Lua, aproximadamente 29,53 dias. Para secompreender a diferena entre esses dois perodos, deve-se ter em conta que enquanto a Luadescreve uma volta em torno da Terra, o centro de massa do sistema TerraLua6 setranslada em torno do Sol em uma rbita aproximadamente circular7. A figura 6 representaessa situao (as dimenses dos trs corpos, as distncias entre os seus centros e a

3 O leitor interessado poder facilmente obter tabelas de lunaes (e outras tantas informaesastrnomicas) acessando o endereo eletrnico do Observatrio Nacional (www.on.br). Existeminmeros outros "sites" de Astronomia que podem ser consultados, entre eles, www.usno.navy.mil,www.if.ufrgs.br/ast.4 Caso o sistema Terra-Lua consistisse de dois corpos com distribuio de massa esfrica e nointeragisse com qualquer outro corpo (Sol, planetas e demais constituintes do sistema solar), omovimento relativo Terra-Lua seria exatamente elptico, sempre com o mesmo perodo.5 Mais precisamente, o perodo sideral da Lua em mdia 27,32166 dias, variando em at 7horas devido s perturbaes que o sistema TerraLua sofre (Payne-Gaposchkin e Haramundanis;1970).6 A massa da Lua aproximadamente 1/81 da massa da Terra. O centro de massa do sistemaTerra-Lua situa-se na linha que une o centro dos dois corpos, em mdia a 0,74 raios terrestres docentro da Terra. Assim sendo, o centro de massa do sistema encontra-se dentro da Terra.7 A excentricidade da rbita do sistema TerraLua em torno do Sol 0,017; ao periliocorresponde uma distncia de 147,1 x 106 km e ao aflio 152,1 x 106 km. A excentricidade da rbitada Lua em torno da Terra 0,055, portanto cerca de trs vezes a do sistema TerraLua em torno doSol.

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excentricidade da rbita da Lua no esto em escala; a distncia mdia TerraSol cerca de394 vezes a distncia mdia Terra-Lua).

Figura 6 Representao de trs Novas consecutivas.

A figura 6 nos ajuda a perceber que, aps transcorrer um ms sindico, isto , noperodo entre duas Novas consecutivas, a Lua se translada mais do que uma volta completaem torno da Terra; assim, o perodo sindico da Lua acaba sendo maior do que o seuperodo sideral.

Devido excentricidade da rbita do sistema Terra-Lua em torno do Sol e da rbitada Lua em torno da Terra, as velocidades angulares desses dois movimentos so variveis8.Como a durao do ms sindico depende das duas velocidades angulares, o perodosindico da Lua no poderia ser constante.

O grfico da figura 7 mostra como a durao do ms sindico (de Nova a Nova)varia entre 1984 e 2006.

8 A Mecnica Newtoniana (conservao da quantidade de movimento angular) permitedemonstrar que quando diminui o raio da rbita, aumenta a velocidade angular.

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Figura 7 Variao do perodo sindico da Lua entre 1984 e 2006.

O perodo sindico da Lua em mdia 29,53 dias, variando entre 29,3 e 29,8 dias.As causas dessas variaes, alm das j referidas acima, so diversas (mais adianteretomaremos essa questo).

A excentricidade da rbita da Lua em torno da Terra tambm responsvel porvariaes no intervalo de tempo que separa duas fases principais consecutivas. Na figura 8 possvel perceber que em um dado ms lunar, os comprimentos das trajetrias entre as fasesprincipais consecutivas no so iguais9; tambm a figura 8 indica que em meses diversos, ocomprimento da trajetria entre as mesmas duas fases principais consecutivas (porexemplo, entre Nova e Quarto Crescente) diferente. Assim, os intervalos de tempoassociados s passagens entre as fases principais (que dependem no apenas do

9 Por simplicidade, na Figura 8, no est sendo considerada a translao do sistema TerraLuadurante o ms sindico. Esta translao determina que o deslocamento angular da Lua em relao Terra entre duas fases principais consecutivas seja maior do que 90o (aproximadamente 97o).

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comprimento das trajetrias mas tambm da velocidade linear10 em cada ponto datrajetria), no so iguais ao longo do mesmo ms lunar, variando tambm de um ms paraoutro (vide os grficos das figuras 1 e 5).

Figura 8 Representao das fases principais da Lua em diferentes meses lunares.

4. Perturbaes sofridas pelo sistema TerraLua

O movimento da Lua em relao Terra depende preponderantemente da interaogravitacional entre esses dois corpos. Entretanto, tal movimento sofre perturbaes devidass aes gravitacionais dos demais corpos do sistema solar. As perturbaes maisimportantes so aquelas produzidas pelo Sol porque o campo gravitacional do Sol sobre osistema TerraLua no uniforme. Conforme Silveira e Axt (p. 232233, 2000):

O campo gravitacional externo ao sistema Terra-Lua, produzido peloSol, no rigorosamente uniforme pois as dimenses do sistema no sodesprezveis frente distncia que o separa do Sol. Na Terra, cujo raio cerca de sessenta vezes menor do que a distncia Terra-Lua, umamanisfestao da no-uniformidade do campo gravitacional do Sol ocorre

10 A velocidade linear da Lua em relao Terra mxima no perigeu e mnima no apogeu,variando de um ponto para outro da trajetria.

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nos efeitos de mar observados nos oceanos: o Sol, que atrai a Terra comuma fora cerca de 200 vezes a fora de atrao da Lua, contribui para osefeitos de mar com foras de mar que perfazem 46% das foras de marlunares (Marion e Thornton, 1995). As variaes do campo gravitacionalproduzido sobre o sistema pelo Sol afetam o movimento relativo Lua-Terra,determinando pequenas perturbaes na trajetria da Lua. Caso o campogravitacional externo ao sistema Terra-Lua fosse uniforme, o movimentorelativo Lua-Terra dependeria apenas da atrao gravitacional mtuaentre o planeta e o seu satlite; como no o , esse movimento dependetambm do campo externo. De fato, a no-uniformidade do campogravitacional externo no se deve apenas ao Sol; os demais planetas dosistema solar tambm contribuem, produzindo outras tantas pequenasperturbaes no movimento relativo Lua-Terra.

Segundo as autoras Payne-Gaposchkin e Haramundanis (p. 169, 1970) "omovimento da Lua pode ser decomposto em aproximadamente 150 termos peridicosprincipais ao longo da eclptica, e outros tantos na direo perpendicular a ela". Elasenumeram as 8 perturbaes mais importantes sofridas pelo sistema TerraLua, sendoalgumas delas conhecidas anteriormente a Newton (sculo XVII), at mesmo naAntiguidade.

Em conseqncia das perturbaes, o movimento da Lua relativamente Terra irregular; a durao do ms sindico, bem como os intervalos de tempo entre as fasesprincipais consecutivas, so afetados por tais irregularidades. Para a anlise que serapresentada nas sees 5 e 6, importante destacar trs das 8 perturbaes principais: avariao, a equao anual e a rotao da linha de apside.

Segundo Payne-Gaposchkin e Haramundanis (p. 168, 1970):

A variao um efeito que faz com que a Nova e a Cheia ocorram maiscedo, e a Quarto Crescente e a Quarto Minguante mais tarde no ciclo.

A equao anual um resultado da mudana da fora perturbadora doSol quando a Terra viaja em sua rbita elptica, e a distncia que a separado Sol se modifica.

A variao e a equao anual foram observadas pela primeira vez porTycho Brahe por volta de 1600.

A linha de apside a linha que passa pelos pontos de mxima aproximao da Luaem relao Terra (perigeu) e mximo afastamento de Lua em relao Terra (apogeu); ouseja, a linha de apside constitui-se no semi-eixo maior da elipse que representa a rbita daLua em relao ao centro de massa do sistema TerraLua. O centro de massa do sistemaTerraLua, que est em um dos focos dessa elipse, translada-se em torno do Sol em umarbita aproximadamente circular (vide as figuras 6 e 8). Concomitante com essemovimento, a elipse gira lentamente (o que no est representado nas figuras 6 e 8); essarotao perfaz um ngulo de aproximadamente 40o por ano, de tal forma que em

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aproximadamente 9 anos ocorre uma rotao completa da linha de apside. As figuras 9(a) e9(b), que ajudam a imaginar o sistema TerraLua em dois momentos separados de um ano,representam tal rotao (novamente importante destacar que as dimenses dos trs corpose as distncias entre eles no esto em escala; tambm a excentricidade da rbita da Luaest exagerada); a figura 9(b) apresenta o ngulo rotado em um ano, isto , o ngulo entre alinha de apside (linha que passa por A e P) nessa figura com a linha de apside representadana figura 9(a), um ano antes.

Figura 9 Representao da rotao da linha de apside: (a) em t = 0 e (b) em t = 1ano e t = 1,13 ano.

A figura 9(b) tambm apresenta o tempo para que a linha de apside volte a coincidirem orientao com a linha TerraSol (direo de onde vem a luz solar); esse tempo aproximadamente 1,13 ano ou 13,9 meses sindicos, a contar do instante t=0 registrado nafigura 9(a).

5. Equao para calcular a durao do ms sindico

A partir das tabelas de lunaes de 1940 a 2020, foram calculados 1001 intervalosde tempo que separam as Luas Novas consecutivas. Cada intervalo de tempo constitui-seem um perodo sindico da Lua; o grfico da figura 7 mostra como esse perodo secomporta entre 1984 e o final de 2005. Cada ms lunar recebeu um nmero de ordem(nmero da lunao), iniciando em 1923. Por exemplo, se consultarmos uma tabela delunaes para 2000, veremos que ela inicia em 6 de janeiro, com a Nova da lunao 953,indo at 25 de dezembro, com a Nova da lunao 965. O grfico da figura 10 idntico aoda figura 7, exceto que, ao invs da data em anos, apresenta o nmero da lunao.

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Figura 10 Variao do perodo sindico da Lua entre 1984 (lunao 755) e 2006(lunao 1026).

Com auxlio do pacote estatstico SPSS Verso 10.0, foi implementada umaregresso no-linear com o objetivo de se encontrar uma equao que permitisse estimar operodo sindico da Lua em funo do nmero N da lunao. A equao obtida aseguinte:

29,53060,602953N13,9444

2cos0,1817

0,298953N12,3689

2cos0,0866Tsindico

(equao 1)

Nessa equao todos os nmeros expressos com fraes decimais so parmetrosobtidos no procedimento de regresso no-linear. A unidade de medida do perodosindico dia; portanto, as amplitudes das duas funes peridicas e do termoindependente da equao so, respectivamente, 0,0866 dia, 0,1817 dia e 29,5306 dias. Oerro de cada parmetro (desvio padro de cada parmetro) afeta apenas o ltimo algarismosignificativo do respectivo parmetro. O erro padro da estimativa (desvio padro da

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estimativa) do perodo 0,013 dia (19 minutos); os valores extremos do erro da estimativa11nos 1001 perodos sindicos utilizados no presente estudo (perodos sindicos entre 1940 e2020) so -0,031 dia (-45 minutos) e +0,032 dia (+46 minutos).

O grfico da figura 11 mostra em linha contnua o perodo sindico da Lua estimadopela equao 1; os pontos so os valores do perodo sindico obtido das tabelas delunaes entre 1984 (lunao 755) e o 2006 (lunao 1026). Observa-se que a curva nopassa exatamente pelos pontos que representam o perodo sindico pois, como referido nopargrafo anterior, a estimativa do perodo possui erro.

Figura 11 Perodo sindico da Lua estimado pela equao 1 e obtido das tabelas delunaes entre 1984 (lunao 755) e 2006 (lunao 1026).

O termo independente da equao 1 (29,5306 dias) contitui-se no perodo sindicomdio da Lua. O perodo da primeira funo peridica na equao 1 12,3689 lunaes;como uma lunao dura em mdia 29,5306 dias, pode-se facilmente calcul-lo em dias:12,3689 x 29,5306 = 365,261 dias. Esta a durao do ano e, portanto, a primeira funoperidica est relacionada com a perturbao denominada equao anual (vide seo 4). Operodo da segunda funo peridica 13,9444 lunaes ou 1,12738 ano; esse perodo,

11 O erro da estimativa ou resduo a diferena entre o valor do perodo predito pela equao deregresso e o valor obtido das tabelas de lunaes.

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conforme o ltimo pargrafo da seo anterior, est relacionado com a perturbaodenominada rotao da linha de apside.

6. Equaes para prever as quatro fases principais da Lua

Novamente, com auxlio do pacote estatstico SPSS Verso 10.0, foiimplementada a regresso no-linear com o objetivo de se encontrar equaes quepermitissem estimar os momentos em que ocorrem cada uma das quatro fases principais daLua desde 1940 at 2020 inclusive (um total de 4008 fases principais). As equaes obtidasso as seguintes12:

5,4716953N29,5305888

5,089953N13,94436

2cos 0,4067

1,526953N12,3689

2cos 0,1723tNova

(equao 2)

12,8571953N29,5305888

0,488953N13,94436

2cos0,6280

1,401953N12,3689

2cos0,1723t CrescenteQuarto

(equao 3)

20,2366953N29,5305888

2,172953N13,94436

2cos 0,4067

1,272953N12,3689

2cos 0,1723tCheia

(equao 4)

6163,72953N29,530588

856,3953N13,94436

2cos0,6280

143,1953N12,3689

2cos0,1723t MinguanteQuarto

(equao 5)

12 Os nmeros expressos com fraes decimais nas equaes 2 a 5 so os parmetros obtidosatravs do procedimento de regresso no-linear.

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Definindo-se o nmero N da lunao, as equaes 2, 3, 4 e 5, permitem que secalcule um intervalo de tempo em dias que dever ser adicionado zero hora (horrionormal de Braslia) do dia 01/01/2000 (N0 = 953). O resultado dessa adio estima omomento da fase principal na lunao N. Por exemplo, se especificarmos N = 980, naequao 4 encontraremos tCheia = 817,6524 dias. Adicionando esse intervalo de tempo zerohora de 01/01/2000 encontra-se 15 horas e 39 min (horrio normal de Braslia) do dia28/03/2002. Se consultarmos a tabela de lunaes do Observatrio Nacional para 2002,veremos que a Cheia da lunao 980 ocorre em 28/03/2002, s 15 horas e 25 min (portanto,nesse caso estamos estimando o momento da Cheia com erro de apenas 14 min).

O erro de cada parmetro nas equaes 2 a 5 (desvio padro de cada parmetro)afeta apenas o ltimo algarismo significativo do respectivo parmetro. O erro padro daestimativa (desvio padro da estimativa) do intervalo de tempo para cada fase principal 0,014 dia (20 minutos); os valores extremos do erro da estimativa nos 4008 intervalos detempo para as fases principais utilizados neste estudo so -0,037 dia (-53 minutos) e +0,035dia (+50 minutos).A figura 12 um histograma do erro da estimativa (ou resduo) com umacurva normal ou gaussiana ajustada; pode-se observar que a distribuio do erro aproximadamente gaussiana. Uma anlise do erro da estimativa ao longo do tempo (1940 a2020) mostrou no ser possvel rejeitar a hiptese de homocedatiscidade; ou seja, o erro daestimativa homogneo no tempo.

Figura 12 Histograma do erro da estimativa do momento da fase principal.

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Utilizando-se as equaes 2 a 5 para determinar apenas o dia em que ocorre cadauma das 4008 fases principais deste estudo (isto , no sendo relevantes os horrios doseventos), verificou-se um acerto de 3953 fases (98,63%); em 24 fases (0,60%) o erro foi de+1 dia e em 31 fases (0,77%) o erro foi de -1 dia.

Da mesma forma como na equao 1, as perturbaes denominadas equao anuale rotao da linha de apside so reconhecidas nas equaes 2 a 5. Adicionalmente,percebe-se que as amplitudes do segundo termo peridico para as equaes 2 e 4 somenores do que as das equaes 3 e 5; isto interpretado como decorrente da perturbaodenominada variao.

7. Concluso

Neste trabalho aprimoramos a explicao para a ocorrncia das fases da Lua emrelao usualmente encontrada em textos introdutrios de Astronomia. Apresentamosqualitativamente as razes mais importantes para a variao no intervalo de tempo quesepara duas fases principais consecutivas13.

O clculo do momento de uma fase principal da Lua, com a preciso encontrada nastabelas de lunaes do Observatrio Nacional, necessita mais de uma centena termos.Utilizando procedimentos de regresso no-linear, encontramos equaes que permitemestimar o momento de cada uma das quatro fases principais da Lua, no perodo de 1940 a2020, com erro padro de 20 minutos.

AgradecimentosAos professores Rolando Axt, Maria Cristina Varriale, Joo Batista Harres, Kepler OliveiraFo e Maria de Ftima Saraiva agradeo a leitura crtica deste trabalho e as sugestes valiosaspara o seu aprimoramento.

Bibliografia

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13 Para maiores detalhes sobre os conceitos astronmicos relevantes ao problema da determinao das fasesda Lua pode-se consultar Explanatory supplement to the astronomical ephemeris and the american ephemerisand nautical almanac (1977) ou Smart (1979).

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