PRODUTO FINAL – PRD 2014

Roberto Alves da Costa Júnior

ATIVIDADES DE CONSTRUÇÃO E CONSOLIDAÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO INVERSA SEGUNDO A PROPOSTA DA TEORIA DE RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS.

Rio de Janeiro

Mar/2015

Roberto Alves da Costa Júnior

ATIVIDADES DE CONSTRUÇÃO E CONSOLIDAÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO INVERSA SEGUNDO A PROPOSTA DA TEORIA DE RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS.

Coordenador: Prof. Dr. Daniel Felipe Neves Martins Orientador/Supervisor: Prof. Dr. Daniel Felipe Neves Martins Campus de atuação no Colégio Pedro II: São Cristovão II Área/Disciplina: Matemática Instituição de Origem: Colégio Estadual Professora Marina Bento

Rio de Janeiro Mar/2015

Produto final apresentado ao Programa de Residência Docente, vinculado à Pró-Reitoria de Pós-Graduação, Pesquisa, Extensão e Cultura do Colégio Pedro II, como requisito parcial para obtenção do título de Especialista em Docência da Educação Básica na Disciplina Matemática.

CATALOGAÇÃO NA FONTE

Ficha catalográfica elaborada pela Bibliotecária Simone Alves da Silva – CRB7 5692

C837 Costa Júnior, Roberto Alves da

Atividades de construção e consolidação do conceito de função

inversa segundo a proposta da teoria de resolução de problemas /

Roberto Alves da Costa Júnior. – Rio de Janeiro, 2015.

79 f.

Produto Final (Especialização em Docência da Educação

Básica na Disciplina Matemática) – Colégio Pedro II. Pró-Reitoria

de Pós-Graduação, Pesquisa, Extensão e Cultura. Programa de

Residência Docente.

Orientador: Daniel Felipe Neves Martins.

1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Função inversa. 3.

Resolução de problemas. I. Martins, Daniel Felipe Neves. II.

Colégio Pedro II. III. Título.

CDD: 510.7

Roberto Alves da Costa Júnior

ATIVIDADES DE CONSTRUÇÃO E CONSOLIDAÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO INVERSA SEGUNDO A PROPOSTA DA TEORIA DE RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS.

Aprovado em: _____/_____/_____.

Profº Dr. Daniel Felipe Neves Martins - CP II

Prof° M. Claudio Dias - CP II

Prof° M. Raphael Henrique Sanches de Carvalho e Silva - CP II

Produto final apresentado ao Programa de Residência Docente, vinculado à Pró-Reitoria de Pós-Graduação, Pesquisa, Extensão e Cultura do Colégio Pedro II, como requisito parcial para obtenção do título de Especialista em Docência da Educação Básica na Disciplina Matemática.

Dedico a minha excepcional esposa Izabelle Medeiros e a meu super filho Kauay.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente a Deus que permitiu que tudo isso acontecesse, ao longo de minha

vida, e não somente nestes anos como Docente, mas que em todos os momentos é

o maior Mestre que alguém pode conhecer. Agradeço também ao Colégio Pedro II

pelo ambiente criativo e amigável que proporciona.

Agradeço aos meus pais e irmãos pelo amor, incentivo e apoio incondicional.

A minha esposa e filho por me ausentar em algumas ocasiões a fim de lhes

proporcionar uma melhor qualidade de vida.

Agradeço ao meu orientador Prof. Dr. Daniel Felipe Neves Martins por me

proporcionar o conhecimento não apenas racional, mas a manifestação do caráter e

afetividade da educação no processo de formação profissional, por tanto que

dedicou seu tempo a minha aprendizagem.

A todos que direta e indiretamente fizeram parte da minha formação, o meu muito

obrigado.

“Mantenha seus pensamentos positivos, porque seus pensamentos tornam-se suas palavras. Mantenha suas palavras positivas, porque suas palavras tornam-se suas atitudes. Mantenha suas atitudes positivas, porque suas atitudes tornam-se seus hábitos. Mantenha seus hábitos positivos, porque seus hábitos tornam-se seus valores. Mantenha seus valores positivos, porque seus valores... Tornam-se seu destino”.

Mahatma Gandhi

RESUMO

Roberto Alves da Costa Júnior. Atividades de construção e consolidação do conceito de função inversa segundo a proposta da teoria de resolução de problemas. 2015. XX f. Produto Final (Especialização em Docência da Educação Básica na Disciplina Matemática)– Colégio Pedro II, Pró-Reitoria de Pós-Graduação, Pesquisa, Extensão e Cultura, Rio de Janeiro, 2015. Este trabalho visa mostrar a importância da resolução de problemas como estratégia didática para o ensino da Matemática. O caminho escolhido para o desenvolvimento deste trabalho visou apresentar atividades de construção e consolidação dentro do conceito de Função Inversa, tendo como objetivo coletar informações que os diferentes pesquisadores do tema apresentam sobre esta temática e aplicá-las nas atividades com alunos do Ensino Médio Regular na disciplina Resolução de Problemas. Concluimos que não se pode programar ou mecanizar o ensino da resolução de problemas e que a aprendizagem só será significativa se alunos e professores se empenharem na construção dos seus conhecimentos, despertando o gosto pelo raciocínio independente. Palavras-chave: Resolução de problemas; Ensino da Matemática; Função Inversa.

ABSTRACT

Roberto Alves da Costa Júnior. Atividades de construção e consolidação do conceito de função inversa segundo a proposta da teoria de resolução de problemas. 2015. XX f. Produto Final (Especialização em Docência da Educação Básica na Disciplina Matemática)– Colégio Pedro II, Pró-Reitoria de Pós-Graduação, Pesquisa, Extensão e Cultura, Rio de Janeiro, 2015. This paper shows the importance of problem solving as a teaching strategy for teaching mathematics. The path chosen for the development of this work was to present the construction and consolidation activities within the concept of Reverse function, aiming to collect information that different theme researchers present on this subject and to apply exercises on High School Math classes. Thus, we show that teachers cannot program or mechanize the teaching of problem solving as well as to check that learning is meaningful only if students and teachers engage in the construction of their knowledge, awakening the taste for independent thought. Keywords: problem solving; teaching mathematics; Reverse function.

SUMÁRIO

1 Sobre a resolução de problemas......................................................................................................

11

2 Sobre as atividades envolvendo funções nas duas realidades.......................................................................................................

23

3 O caso CPMB: O que fazer?..............................................................................................................

38

4 CONCLUSÃO.................................................................................................. 42

5

BIBLIOGRAFIA................................................................................................

42

ANEXOS...........................................................................................................

43

- 11 -

Capítulo 1 – Sobre a resolução de problemas

I. Introdução

1.1 – Considerações iniciais

O Professor de Matemática tem uma grande oportunidade de fazer com que os

alunos “façam Matemática” através das aulas de resolução de problemas. A expressão

“fazer matemática”, incorporada do inglês “to do math” traduz muito bem o que se

espera do aluno frente a matemática: uma atitude positiva quanto a sua disposição

emocional assim como confiante e autônoma. Assim, contribuem para o

desenvolvimento intelectual de seus alunos dotados à Matemática e para aqueles não

simpatizantes a esta experiência em sala de aula minimiza muito os possíveis impactos

negativos que um adolescente possa vir desenvolver a medida que prosseguirem em

seus estudos.

De acordo com Pólya (2006, originalmente 1945), uma grande descoberta resolve

um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de

qualquer problema. Entendemos que mesmo que simples, um problema deve desafiar a

curiosidade do aluno além de fazer com que o Professor analise e interprete as

diferentes soluções que apareçam para este mesmo problema.

A resolução de problemas, onde estão incluídas as formas como os problemas

estão representados, os significados da linguagem Matemática, as formas como se

analisa e raciocina, é considerada a principal atividade desta disciplina. Através da

resolução de problemas os alunos têm a oportunidade de construir aprendizagens

significativas1.

A resolução de problemas tem sido recomendada em orientações curriculares

atuais como uma metodologia de ensino, ou seja, ela deve oferecer aos alunos a

possibilidade de construir conhecimento a partir e através de problemas, e de vivenciar

1 David Ausubel baseia-se na premissa de que existe uma estrutura na qual organização e integração de

aprendizagem se processam. Para ele, o fator que mais influencia a aprendizagem é aquilo que o aluno já sabe ou o que pode funcionar como ponto de ancoragem para as novas ideias.A aprendizagem significativa, conceito central da teoria de Ausubel, envolve a interação da nova informação com uma estrutura de conhecimento específica, a qual define como conceito subsunçor. Ausubel considera que a assimilação de conhecimentos ocorre sempre que uma nova informação interage com outra existente na estrutura cognitiva, mas não com ela como um todo; o processo contínuo da aprendizagem significativa acontece apenas com a integração de conceitos relevantes.

- 12 -

situações de aprendizagem por meio de um trabalho autônomo, criativo e significativo2.

Através da resolução de problemas, inserida em um ambiente propício e favorável, o

discente verifica a validade dos conceitos matemáticos, relaciona os conceitos, estimula

os procedimentos em um contexto significativo, toma uma atitude reflexiva e desenvolve

a capacidade de raciocínio contribuindo para a construção de um pensamento

matemático mais elaborado.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) elucidam que educadores de

Matemática apontam a resolução de problemas como ponto inicial para a atividade de

Matemática, deixando implícita a convicção de que o conhecimento da Matemática

ganha significado quando os alunos se deparam com situações desafiadoras. Ainda,

ressalta-se no PCNs que a resolução de problemas possibilita aos alunos mobilizar

conhecimentos e desenvolver a capacidade para gerenciar as informações que estão ao

seu alcance (Brasil, 1998).

Onuchic (2008) ressalta que as transformações sociais que pelas quais passamos

nas últimas décadas, e conclui que na sociedade do conhecimento, em que vivemos,

todos devem saber Matemática, compreender seus processos e objetos, e não apenas

reproduzi-los sem atribuir significados.

As novas abordagens do conteúdo Matemático consideram a capacidade de

resolução de problemas um dos objetivos centrais para a construção do conhecimento,

propiciando o aluno a ter a oportunidade de discutir com os colegas, de criticar, de

compartilhar suas idéias, estratégias, de raciocínios e de desenvolvimento da

capacidade de comunicação.

A resolução de problemas no contexto de Pólya (2006, originalmente 1945)

sugere uma aproximação à resolução de problemas em quatro etapas fundamentais. Na

verdade, essas etapas são subdivididas e sendo sugeridas inúmeras estratégias que

podem ser utilizadas quando apropriado. Apresentaremos as principais e as mais

amplamente discutidas pelo autor.

2 No anexo 2 inserimos a proposta da SEEDUC-RJ que designa a segunda série de Ensino Médio dois tempos de 50 minutos dedicados a uma disciplina denominada RPM ( Resolução de ). Esta disciplina vem ao encontro das pesquisas desenvolvidas por autores que compõem o referencial teórico neste produto final.

- 13 -

1. É preciso compreender o problema e saber exatamente o que é dado e o que é

pedido.

Lê o problema com muita atenção e se necessário ler em voz alta.

Identificar as incógnitas. Identificar as condicionantes. O que se pretende

exatamente calcular ou provar?

Desenvolver um esquema que te ajude a organizar e a visualizar o problema.

Reorganizar as informações de formas diferentes, ou pensá-lo e introduzi-lo em

uma situação que seja mais familiar para sua melhor interpretação.

2. É necessário planejar uma estratégia para resolver o problema.

Depois que conseguimos compreender o problema, temos que desenvolver uma

estratégia para começarmos a resolver. Esta é considerada a etapa mais difícil, pois

necessitamos de conhecimentos já adquiridos, mas que acabam caindo no

esquecimento ao decorrer dos anos.

Tentar pensar em algum problema semelhante já resolvido anteriormente.

Tentar fazer um diagrama que explique a estratégia que pretende para a

resolução.

Identificar as ferramentas necessárias para a resolução, ferramentas analíticas,

geométricas, combinatórias ou aritméticas ou topológicas.

Se não conseguirmos resolver o problema proposto, devemos procurar algum

problema do mesmo tipo. É possível imaginar um problema mais acessível? Um

problema mais específico? É possível resolver uma parte do problema?

Utilizaram-se todos os dados? Utilizaram-se todas as condicionantes?

- 14 -

3. Execute a estratégia que planejou, revendo tudo que desde o inicio, se necessário.

Guarde as anotações do seu planejamento, pois podem ser úteis se precisar

revê-las.

Verificar cada passo da resolução e confirmar se não há erros que interfiram na

solução final.

Teste sempre a estratégia que desenvolveu na 2º etapa, pois se encontrar erros,

contradições ou falta de informação para prosseguir, é natural que tenhas que

repensar toda a sua forma de resolução. Temos que ter paciência, pois esta é

uma chave essencial para o sucesso.

4. Verificar e refletir sobre os resultados encontrados.

Confirmar se os resultados obtidos tem sentido, verificando, por exemplo, se os

valores numéricos não são absurdos.

Testar a consistência dos resultados considerando casos particulares.

Procurar utilizar o resultado, ou método, em outros problemas.

Escrever a solução final de forma clara, usando linguagem simples sem qualquer

margem para a ambigüidade.

Cada uma destas fases tem a sua importância. Pode acontecer que a um

estudante ocorra uma excepcional idéia brilhante e, saltando por sobre todas as

preparações, ele chegue ao resultado correto. É claro que todos desejam este feito,

mas deixar de lado uma dessas fases pode resultar uma resolução desastrosa ou

inconveniente. O pior acontecerá se o estudante começar a fazer cálculos sem ter

compreendido o problema. Muitos enganos podem ser evitados se, na execução do seu

plano for verificado cada passo. Muitas idéias podem ficar perdidas se deixarmos de

reexaminar e de reconsiderar a solução completa.

- 15 -

De acordo com o que relatamos acima em relação à resolução de problemas

(compreensão, planejamento, execução, testagem e reflexão), procuramos desenvolver

atividades em sala de aula condizentes com o que expusemos, porém ao entrarmos em

contato com a Teoria de resolução de problemas de George Pólya para embasar

teoricamente nosso material didático, reorganizamos o nosso pensamento acerca da

proposta inicial pensadas por nós, devido às dificuldades encontradas em sala de aula.

Aspectos cognitivos importantes não adquiridos pelos alunos foram os principais

entraves do processo de aplicação e desenvolvimento da teoria proposta por Pólya. A

partir daí, a proposta inicial do trabalho não foi abandonada, porém um novo desafio se

fez presente: “como repensar o objeto do nosso estudo, sem sair da temática que

conhecemos por Teoria de Resolução de Problemas”, isto é, como recuperar conceitos

importantes e basais para que o aluno possa compreender o tema proposto por nós

como ilustrador da teoria de Pólya.

1.2 – Sobre a Teoria de Resolução de Problemas (TRP) de Pólya.

George Pólya (Hungria 1887, Califórnia 1985) foi um Matemático com uma

grande produção individual e também em colaboração com outros matemáticos.

Desenvolveu intensas atividades relacionadas ao Ensino da Matemática3, intervindo em

congressos, realizando palestras e escrevendo livros que servem de suporte ao

Docente da Disciplina.

Segundo Pólya (2006, originalmente 1945) é conveniente distinguir as quatro fases

durante a resolução de problemas.

(1) Em primeiro lugar é preciso compreender o problema e desenvolver ferramentas

necessárias para iniciar a resolução.

3 No início de sua carreira, Pólya escreveu, juntamente com Gábor Szegő, dois livros que trabalhavam a resolução de problemas: Problemas e Teoremas de Análise. Posteriormente, começou a pesquisar sobre métodos de resolução de problemas. Em In How to Solve It, Pólya dá uma ideia geral da heuristica de problemas matemáticos e não-matemáticos.Pólya formulou as quatro etapas essenciais para a resolução de problemas: 1ª etapa - Compreender o problema; 2ª etapa - Traçar um plano; 3ª etapa - Colocar o plano em prática; 4ª etapa - Comprovar os resultados

- 16 -

(2) Em segundo lugar, observar como os diversos itens estão relacionados, para assim

podermos estabelecer um plano.

(3) Depois de ter o plano estabelecido, executá-lo.

(4) Por conseguinte, fazer um retrospecto da resolução final a fim de corrigir erros que

possam aparecer no decorrer das etapas.

De acordo com Pólya, compreender o problema é uma etapa fundamental e

também considerada a mais importante, pois a partir desta compreensão o aluno irá

desencadear todas as outras.

É uma tolice responder a uma pergunta que não tenha sido

compreendida. É triste trabalhar para um fim que não se deseja. Estas

coisas tolas e tristes fazem-se muitas vezes, mas cabe ao Professor

evitar que elas ocorram nas suas aulas. O aluno precisa compreender o

problema, mas não só isto: deve também desejar resolvê-lo.

(Pólya, George, “A arte de resolver problemas”, pg. 5 2006)

O trajeto a ser percorrido pelo aluno desde a compreensão do problema até o

estabelecimento de um plano pode ser duradouro, nem sempre achar conexões é um

processo simples para o aluno. De certa forma, é conveniente tentar relacionar o

problema com outros já vistos, facilitando a construção de uma estratégia para a

resolução do problema que está tentando resolver.

O desenvolvimento de uma ideia para resolução deve ter uma interferência

mínima por parte do Professor a fim de fazer com que o aluno inicie sua estratégia de

resolução. Caso isso não seja possível, o Professor pode começar a dar sugestões com

a intenção de conduzir o aluno ao raciocínio da resolução. Ainda segundo o

matemático, o professor deve evitar uma interferência excessiva no nascimento natural

de uma ideia.

A elaboração de um plano de execução, geralmente é considerada a parte mais

difícil na resolução de um problema por parte do aluno, pois é difícil estabelecer uma

ideia de resolução de pouco conhecemos do assunto. Afirma Pólya me seu livro A arte

de Resolver Problemas que é difícil ter uma boa ideia se pouco conhecermos do

assunto e que é impossível tê-la se nada soubermos. A solução do problema pode ser

concluída até através de tentativas, que intuitivamente levarão o aluno à ideia do plano

- 17 -

efetivamente. Particularmente acreditamos que o aluno que chega a resposta sem a

compreensão global do problema ou sem a possibilidade de conjecturar ou inferir não

resolveu o problema, encontrou somente a resposta. Resolver para nós passou a ter

depois deste trabalho um aspecto indissociável dos conceitos advindos da psicologia

cognitiva.

Com efetiva estratégia de resolução concluída, o aluno deverá entrar na etapa de

execução e apenas colocar o seu plano em prática, porém a checagem de dados e a

conferencia de cada etapa anterior devem ser constantes durante todo o processo de

resolução da atividade proposta ao aluno. O maior risco é de o aluno esquecer seu

plano e ter que reconstruir novamente esta ideia, mas isso só irá ocorrer se ele obtiver

alguma ingerência de fora. No entanto é importante que o Professor mantenha o

incentivo para que o discente não perca sua estratégia, fazendo com que ele tenha

satisfação em atinar a resolução do problema proposto.

O maior risco é que o estudante esqueça o seu plano, o que pode

facilmente ocorrer se ele recebeu o plano de fora e o aceitou por

influência do Professor. Mas se ele próprio houver preparado o plano,

mesmo com alguma ajuda, e concebido com satisfação a ideia final, não

perderá facilmente essa ideia.

(Pólya, George, “A arte de resolver problemas”, pg. 11 2006)

Após a resolução do problema, é possível revisar todos os passos feitos pela

estratégia. Isso fará com que o aluno tenha uma tenha uma consolidação do

conhecimento através da resolução do problema. O retrospecto possibilita ao estudante

retificar possíveis erros que possam acontecer no decorrer da compreensão do

problema, elaboração e execução do plano. Afirma Pólya (2006) que apesar de tudo é

sempre possível haver erros, [...] daí a conveniência de verificações. Errar e poder

consertar nesta teoria significa ganho de aprendizagem.

- 18 -

1.3 – Novas tendências em Educação Matemática: O pensamento de Onuchi4

sobre a Teoria de Resolução de Problemas Matemáticos.

Resolver problemas sempre foi um desafio para alunos e professores. Na

aprendizagem da Matemática, os problemas são fundamentais visto que possibilita o

aluno a desenvolver questionamentos que promovem o exercício do raciocínio logico e

não apenas o uso padronizado de regras, contudo a perspectiva de resolução de

problemas matemáticos nas instituições escolares é bastante desconhecida, e quando é

incorporada a prática escolar aparece como uma disciplina isolada.

O ensino da Matemática no início do século XX foi pautado, em sua maioria, em

processos de repetição, algoritmos decorados sem a compreensão dos porquês da

execução de cada passo, e nem mesmo dos objetivos da execução desses processos.

Onuchic (2008), coordenadora do Grupo de Trabalho e Estudos em Resolução de

Problemas, GTERP, destaca que “problemas de Matemática têm ocupado um lugar

central no currículo da Matemática Escolar desde a antiguidade”. Outros pesquisadores

da área sinalizam problemas como elementos norteadores da evolução do

conhecimento matemático ao longo dos séculos, mas sem necessariamente uma

preocupação pedagógica por trás.

A caracterização da Educação Matemática, em termos de resolução de problemas, reflete uma tendência de reação a caracterizações passadas, que a configuravam como um conjunto de fatos, como o domínio de procedimentos algorítmicos ou como um conhecimento a ser obtido por rotina ou por exercício mental. (ONUCHIC, Lourdes de La Rosa, “GTERP”, pg. 67, 2008)

Para Onuchic (2006), problema é tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se

está interessado em fazer. Logo, devemos abdicar de problemas com respostas diretas,

4 Possui graduação em Bacharelado e Licenciatura em Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da USP/SP (1954), mestrado em Matemática pela Escola de Engenharia de São Carlos-USP (1971) e doutorado em Matemática pelo Instituto de Ciências Matemáticas de São Carlos-USP (1978). Atualmente é professora voluntária da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Tem experiência na área de Educação, com ênfase em Educação Matemática, atuando principalmente nos seguintes temas: Resolução de Problemas, Educação Matemática, Metodologia de Ensino, Formação de

Professores e Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da resolução de problemas.

- 19 -

que explorem apenas contas, em contrariedade aos raciocínios, que não precisam ser

perfeitamente elaborados, mas que deixem de ser um simples “arme e efetue”.

Acreditamos na importância do domínio do algoritmo de resolução das operações

básicas da aritmética, mas assim como Onucchi, partilhamos da ideia de que resolver

cálculos extensos ou complicados não se enquadra no que entendemos por resolver

problemas. O cálculo em si é para nós um statement.

O ensino e a aprendizagem da Matemática sem a resolução frequente de

problemas durante as aulas de matemática e nas tarefas propostas para serem feitas

em casa são um dos fatores do insucesso escolar. Frequentemente encontramos alunos

que manifestam aversão a Matéria, com dificuldade de realizar, até mesmo, atividades

mais simples como o reconhecimento de um determinado grupamento e quais as

propriedades que podem ser aplicadas a este grupamento. Por exemplo, um

determinado problema pede para calcular sob certas condições a quantidade de

crianças que tinha numa festa e a equação que modelou o problema possui como raízes

os números 25 e -18,25. Deve ser de entendimento do aluno que se o problema quer

saber a quantidade de pessoas então o grupamento é um subconjunto de IN, que a

resolução deve ser um número natural e que -18,25 não podem representar a resposta

do problema.

A maioria dos currículos escolares de Matemática se apresenta mais

ricos do que aqueles do começo do século. Apesar de tudo isso ainda

hoje se ouve as mesmas queixas: que os estudantes não gostam e não

aprendem Matemática suficientemente bem; que os professores não

sabe Matemática e não sabem ensiná-la; que os currículos escolares são

superficiais repetitivos e fragmentados. Todas essas queixas demonstram

que os alunos saem mal preparados da Escola, não sabendo fazer uso

da Matemática trabalhada ao longo de muitos anos de escolaridade.

Como já dissemos muitas vezes adultos demonstram ser incapazes de

tomar decisões na vida. Essas pessoas nem sempre pensam

matematicamente e tampouco percebem que, se o fizessem, poderiam

tomar melhores decisões.

(ONUCHIC, Lourdes de La, “GETRP”, pg. 67, 2008)

- 20 -

É consenso de todos que sempre existirá um problema a ser resolvido, pois a

ciência esta em constante renovação e transformação, trazendo novos problemas que

acabam por gerar mais problemas.

1.4 – A resolução de problemas Matemáticos segundo os Parâmetros Curriculares

Nacionais (PCNs)

Os Parâmetros Curriculares Nacionais são referências curriculares desenvolvidos

pelo Governo Federal para os Ensinos Fundamental e Médio, a fim de orientar e garantir

que todas as crianças e os jovens brasileiros possam usufruir dos conhecimentos

básicos necessários para o exercício da cidadania, subsidiando a elaboração ou a

revisão curricular dos Estados e municípios, dialogando com experiências e propostas

existentes, incentivando a discussão pedagógica interna, assim como servir de material

de reflexão para a prática de Professores.

Resolver problemas é fundamental no Ensino da Matemática, a busca pela resolução

faz com que os alunos utilizem inúmeros recursos, pensem e desenvolvam estratégias

para chegar ao resultado. Durante a resolução de um problema, o aluno pode descobrir

várias formas de soluciona – lo, ou ainda obter vários métodos de resolver a mesma

atividade, lhe propiciando um grande desenvolvimento cognitivo.

O exercício da indução e da dedução em Matemática reveste-se de

importância no desenvolvimento da capacidade de resolver problemas,

de formular e testar hipóteses, de induzir, de generalizar e de inferir

dentro de determinada lógica, o que assegura um papel de relevo ao

aprendizado dessa ciência em todos os níveis de ensino.

(Parâmetros curriculares nacionais Pág. 26 – 1998).

A fundamentação para o desenvolvimento dos PCN de Matemática esta em se

pensar a disciplina como uma ferramenta de cidadania e uma ciência que visa despertar

no aluno um olhar investigativo sobre a realidade, capaz de compreender os fenômenos

que o rodeiam e dominem a interpretação não apenas da linguagem, mas dos códigos e

símbolos matemáticos no intuito de compreendê-la enquanto ciência.

- 21 -

Na aprendizagem de Matemática, os problemas são fundamentais, pois permitem

ao aluno colocar-se diante de questionamentos e pensar por si próprio, possibilitando o

exercício do raciocínio lógico e não apenas o uso padronizado de regras. O que ocorre

frequentemente é que os problemas têm sido usados apenas para testar os

conhecimentos adquiridos sobre um determinado conteúdo. De acordo com os

Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN – 1998) a prática mais frequente consiste em

ensinar um conceito, procedimento ou técnica e depois apresentar um problema para

avaliar se os alunos são capazes de resolver.

De acordo com os Parâmetros curriculares Nacionais (PCNs) (Brasil, 1998), a

resolução de problemas matemáticos pode ser vista como ponto de partida da atividade

Matemática em contrapartida à simples resolução de procedimentos a ao acúmulo de

informações. Este método de ação possibilita ao estudante a mobilização de dos

conhecimentos e o gerenciamento das informações que estão ao seu alcance.

Educadores Matemáticos aquiescem que a capacidade de resolver problemas constitui

um dos principais objetivos do processo de ensino e aprendizagem da Matemática.

Acrescentamos criticamente aqui o ato de calcular por calcular somente desfavorece o

gosto pela disciplina, pois desta forma, a matemática para estar em dissonância com o

mundo real e a atual juventude tem buscado em seus discursos e brigas internas, a

utilização de determinados conteúdos para a vida prática.

Podemos observar que alguns educadores apoiam o ensino da Matemática pelo

acúmulo de conteúdos e pelo domínio do desenvolvimento de algoritmos.

Reconhecemos que as decisões muitas vezes tomadas poderiam se aproveitar de

percepções matemáticas, entretanto, os alunos não percebem que a Matemática pode

ser uma grande aliada na tomada de decisões importantes e que o fato de pensar

matematicamente poderia ajudá-los a refletir melhor em qual rumo deverá seguir. Isto é,

falha decorrente de conteúdos programáticos desvinculados do cotidiano do aluno

quanto do modo com que eles são ensinados.

Perante este quadro, como devemos desenvolver estratégias para resgatar a

Matemática como uma ciência que interfere em questões sócio-politico-culturais.

- 22 -

Falar em formação básica para a cidadania significa refletir sobre as

condições humanas de sobrevivência, sobre a inserção das pessoas no

mundo de trabalho, das relações sociais e da cultura e sobre o

desenvolvimento da crítica e do posicionamento diante das questões

sociais. Assim, é importante refletir a respeito da colaboração que a

Matemática tem a oferecer com vistas a formação da cidadania.

(Parâmetros Curriculares Nacionais, Matemática Pg.19 1998)

A formação para cidadania é uma responsabilidade que se impõe a todos. A

importância que hoje vem sendo dada a Resolução de Problemas Matemáticos norteia

que educadores Matemáticos passaram a assentir de que a capacidade de resolver

problemas merece mais crédito. Hoje, a tendência é salientar esse trabalho

considerando os discentes como participantes ativos, os problemas como mecanismos

concisos e a resolução de problemas como método complexo simultâneo de várias

competências.

Especificamente no que se referem à Matemática, os Parâmetros Curriculares

Nacionais (PCNs), indicam a resolução de problemas como ponto de partida das

atividades Matemáticas e discutem caminhos para se fazer Matemática na sala de aula.

Em contrapartida à simples reprodução de procedimentos e ao acúmulo

de informações, educadores Matemáticos apontam a Resolução de

Problemas como ponto de partida da atividade Matemática. Essa opção

traz implícita a convicção de que o conhecimento Matemática ganha

significado quando os alunos têm situações desafiadoras para resolver e

trabalham e trabalham para desenvolver estratégias de resolução.

(Parâmetros Curriculares Nacionais, Matemática Pg.39 1998).

É uma mudança conceitual e procedimental. Conceitual porque “resolver problemas”

não é a mesma coisa que situações-problemas, e procedimental, porque exige uma

mudança no currículo pedagógico e na forma de compreender Matemática.

- 23 -

Capitulo 2 – Sobre as atividades envolvendo funções nas duas realidades

Como a proposta do Produto final do Programa de Residência Docente do Colégio

Pedro II é levar a experiência adquirida durante estes nove meses para a nossa

realidade profissional, aproveitei minha estadia nas turmas de aprofundamento5 do 9º

ano do Ensino Fundamental do Campus São Cristóvão II, um projeto de DE do professor

Vladimir Thiengo no Campus, e aplicar as atividades de Funções inversas com minhas

turmas do segundo ano do Ensino Médio do Colégio Estadual Professora Marina Bento.

Vamos inicialmente resgatar alguns conceitos básicos que foram trabalhados com os

alunos nas aulas de aprofundamento e com os alunos do residente na primeira série do

Ensino Médio a fim de que o leitor se familiarize com a linguagem que utilizaremos ao

longo das atividades propostas com os alunos em geral.

2.1 - Um breve comentário sobre o surgimento do conceito de Funções

Desde o tempo dos Gregos até a idade Moderna a teoria dominante era a

Geometria Euclidiana que tinha como elementos base o ponto, a reta e o plano. A partir

dessa época surgi o Cálculo Infinitesimal, onde a noção de função será um dos

fundamentos deste conteúdo que estava a surgir naquela época. No entanto, aspectos

muito simples deste conceito podem ser encontrados em épocas anteriores, como por

exemplo, na mais elementar operação de contagem.

A noção de Função não é muito antiga, seu surgimento como conceito

claramente individualizado e como objeto de Estudo corrente em Matemática remonta

apenas aos finais do século XVII apesar de trabalhos de pesquisas em História de a

Matemática apresentar tabelas com regularidades em diversos períodos históricas

anteriores ao citado6.

5 Projeto que visa antecipar o conteúdo de funções dado no Ensino Médio para alunos dotados à Matemática que apresentam grau diferenciado de compreensão e experimentação da abstração matemática geralmente adquirida por volta de 16 anos, quando já alunos do final do primeiro ano do Ensino Médio. 6 A dissertação de mestrado de Isis Coutinho Duboc no Programa de Pós-Graduação em HCTE da UFRJ aborda a Evolução do Conceito de Função, mostrando que o conceito perpassa pelo momento de formalização do conceito.

- 24 -

As maiorias dos autores afirmam que a origem da noção de Função confunde-se

assim com os primórdios do Cálculo Infinitesimal. Ela surgiu de forma um tanto confusa

nos “fluentes” e “fluxões”7 de Newton (1642 – 1727).

] Newton aproximava-se bastante do sentido atual de função com a utilização dos

termos “relatia quantias” para designar variável dependente, e “genita” para designar

uma quantidade obtida a partir de outras por intermédio das quatro operações

aritméticas fundamentais. No entanto, foi Leibniz (1646 – 1716) quem primeiro usou o

termo “função” em 1673 no manuscrito Latino “Methodus Tangentium inversa”,

demonstrando em termos muitos gerais, a dependência de uma curva de quantidades

geométricas como as sub tangentes e sub normais, introduzindo as terminologias

constante, variável e parâmetro.

Nesta mesma época Johan Bernoulli (1667 – 1748) publicou um artigo contendo a

sua definição de função de certa variável como uma quantidade que é composta de

qualquer forma dessa variável e constante. Um ajuste dessa definição viria a ser dado

em 1748 por Euler (1707 – 1783), que foi um antigo aluno de Bernoulli, substituindo o

termo “quantidade” “por expressão analítica”, introduzindo também a notação f(x).

Assim o conceito de função que hoje nos parece simples é resultado de uma

evolução histórica conduzindo sempre cada vez mais à abstração e que só no século

XIX teve o seu final.

2.2 – O conceito de relação em funções e as atividades propostas no CP II e no

CEPMB

Como optaremos pela abordagem analítica ao conceito de funções, o conceito surgiu

naturalmente a partir da definição de relação e de uns exemplos tradicionais.

(1) Uma relação entre dois conjuntos é uma maneira qualquer de associar estes dois

conjuntos. O primeiro conjunto é chamado de domínio da relação e o conjunto de

7 Convidamos o leitor deste trabalho a explorar o texto que descreve a vida de Isaac Newton sucintamente em http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm31/Newton.htm

- 25 -

chegada o contradomínio. O elemento do contradomínio que está associado a

um elemento do contradomínio é chamado de imagem deste elemento.

(2) Uma função é um tipo de relação onde cada elemento do domínio possui a sua

imagem e esta imagem é única.

Abaixo destacamos dois gráficos que foram explorados em sala de aula como

atividade de verificação de aprendizagem da definição analítica de função, após três

encontros de 90 minutos cada um. Nesta atividade, o aluno é levado a seguir os quatro

passos propostos por Pólya.

Os alunos foram incentivados a analisar o gráfico a partir de questionamentos

sobre tempo, velocidade e sobre a própria natureza do esporte, como por exemplo: “Em

que intervalo de tempo podemos inferir que o atleta teve o seu consumo energético

crescente?”. Esta informação não está no gráfico, por isso a introdução do verbo inferir,

com a respectiva análise semântica do mesmo. A reposta correta é: durante os quatro

primeiros segundos. Note que entre quatro e dez segundos o consumo de energia do

atleta continua porque ele continua em atividade, porém acredita-se que não seja

crescente.

Observe os gráficos abaixo:

Gráfico 1:

O gráfico acima mostra como varia, aproximadamente, a velocidade de um atleta que

percorre 10 metros em 10 segundos.

- 26 -

Gráfico 2

Já este gráfico, não poderia representar o movimento de um atleta, pois,no

instante t=4 ele teria diferentes velocidades ao mesmo tempo. Foi perguntado ao aluno

que tipo de descrição este gráfico poderia representar. Os alunos conseguiram entender

a impossibilidade desta associação na vida real, assim como despertaram para a

continuidade do tempo. Este gráfico representa uma relação, porém não representa uma

função.

Os gráficos acima representam relações entre velocidade e tempo, mas apenas

o primeiro gráfico representa um gráfico de função, relembremos que o conceito

analítico de relação deve-se existir uma correspondência entre elementos do domínio e

do contradomínio.

A correspondência entre os dois conjuntos é dada em termos em pares

ordenados, onde o primeiro elemento do par ordenado procede do conjunto de partida e

o segundo elemento do par ordenado procede do conjunto de chegada.

A compreensão e a resolução dos questionamentos propostos pelo professor da

turma de aprofundamento do Colégio Pedro II foram prontamente atendidos e a

discussão foi interessante. Segundo o professor, foi a primeira vez que um aluno de

Ensino Fundamental associa o tempo ao conjunto dos números reais. Já a tentativa de

levar a atividade para o Colégio Estadual Professora Marina Bento foi um pouco

frustrante. Foi observado que os alunos não tinham familiaridade com a linguagem

matemática, com a linguagem gráfica e não sabiam extrair informações contidas num

- 27 -

texto específico como gráficos e tabelas. A atividade foi mantida, porém, as

recomendações de Pólya não foram seguidas à risca, principalmente o passo primeiro: a

compreensão. A pergunta motivadora foi: “É possível descrever a velocidade

desenvolvida pelo atleta durante os dez primeiros segundos de sua corrida?”.

Vimos a necessidade de, antes de apresentar o conteúdo, relembrar o conceito de

função, aprendido no ano escolar anterior. Voltamos a definição, desta vez

abandonando símbolos e explorando a oralidade, no exercício mais tradicional

característicos de livros cuja abordagem da definição de função é meramente analítica:

“qual(is) relações abaixo estão de acordo com a definição de função?”.

- 28 -

As várias apresentações de diversas relações foram apresentadas e igualmente

exploradas no Colégio Pedro II, porém ainda nas aulas de resolução de problemas do

CEPMB, a turma não engrenava e todo o planejamento de esvaia. Não havia qualquer

esboço de reação positiva frente às atividades apresentadas.

A turma de aprofundamento avançava no conteúdo. Abaixo a reprodução

tradicional do conceito de função do primeiro grau. Sem nenhuma alusão à modelagem

de problemas a definição veio seca, dura. Certamente os alunos do CEPMB que já não

acompanhavam o conceito analítico de funções, estariam completamente perdidos caso

optassem pela colocação a seguir...

2.3 – Definição de Função do 1º grau.

Sejam A, B 𝐴,𝐵 ⊂ ℝ. Uma função f definida em A e com valores em B é uma regra

que associa a cada elemento de 𝑥 ∈ 𝐴 um único elemento 𝑦 ∈ 𝐵.

As notações usuais são:

𝑓: 𝐴→𝐵 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦 = 𝑓(𝑥) ou 𝑓: 𝐴→𝐵 ou 𝑥 →𝑓(𝑥)

O número x é chamado de variável independente da função e y variável dependente da

função.

Uma função do primeiro grau pode ser definida como:

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥+𝑏 Onde 𝑚,𝑏 ∈ℝ.

Note que 𝐷𝑜𝑚(𝑓) =ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) =ℝ.

O gráfico de f é a reta de coeficiente linear m passando pelo ponto (0, b).

Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, o número

real x tal que f(x) = 0.

Temos:

f(x) = 0 ax + b = 0

- 29 -

Vejamos alguns exemplos:

Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:

f(x) = 0 2x - 5 = 0

Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:

g(x)=0 3x +6=0 x =-2

Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das

abscissas:

- O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:

h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5

2.3.1 Crescimento e decrescimento

Consideremos a função real de variável real, do 1º grau y(x) = 3x - 1. Vamos atribuir

valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com os valores de y:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -10 -7 -4 -1 2 5 8

Notemos que, a medida que os valores de x aumentam, os correspondentes valores

de y também aumentam. Dizemos, então que a função y = 3x - 1 é crescente.

- 30 -

Observamos novamente seu gráfico:

Regra geral:

- A função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo

(a>0), mas preferimos adotar a análise cuidadosa dos intervalos de crescimento (ou

decrescimento) das imagens e dos elementos do domínio.

- A função do 1º grau f(x) =ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a

< 0), igualmente exploraremos o fato de as imagens diminuirem a medida que os

elementos do domínio aumentam.

Justificativa:

Para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) <

f(x2);

Para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) >

f(x2).

2.3.2 – Funções bijetoras

Dado dois conjuntos não vazios A e B uma função f: A -> B é dita bijetora se ela for

tanto sobrejetora quanto injetora.

- 31 -

Exemplo 1:

Noção Via Conjunto

No exemplo acima temos que a lei de formação da função é expressa pela fórmula

y(x)= 2x+1, que o domínio e o contradomínio são conjuntos discretos e que além do

contradomínio ser exatamente igual ao conjunto imagem, nenhum elemento do

contradomínio representa imagem de dois ou mais elementos.É uma função do tipo 1-

para-1. A este tipo de função dizemos ser bijetora ou que há uma bijeçãoentre os

conjuntos dados.

O fato de elementos diferentes do domínio terem imagens diferentes classifica uma

função como injetora e o fato de o contra-dominio ser exatamente igual ao conjunto

imagem classifica uma função somo sobrejetora. A partir destas informações é que

afirmamos que funções que são ao mesmo tempo injetoras e sobrejetoras são bijetoras.

Exemplo 2:

Apenas Injetora

- 32 -

A função acima não é bijetora, pois a mesma não é sobrejetora. Podemos perceber

pelo simples fato de que o conjunto do contradomínio é diferente do conjunto imagem.

Esta é uma função injetora.

Exemplo 3:

Apenas Sobrejetora:

Essa função também não é bijetora uma vez que não é injetora. Note que 9 é imagem

de mais de um elemento do domínio. Sendo assim elementos distintos tendo a mesma

imagem representa uma função que não é injetora, conseqüentemente não é bijetora. É

somente uma função.

2.3.3 – Analisando um pouco as funções injetoras

Observe o gráfico da função f: R → R abaixo:

- 33 -

Valores diferentes de x estão correspondendo a valores diferentes de y, ou seja:

Note que o mesmo não ocorre no gráfico abaixo:

Existem valores diferentes de x que possuem a mesma imagem:

Se uma função é só crescente ou só decrescente, valores diferentes de x possuem

imagens diferentes. Quando isso ocorre dizemos que a função é injetora. Em outras

palavras, uma função é dita injetora se dois elementos distintos de A correspondem

sempre a duas imagens distintas em B.

- 34 -

Exemplo 1: O diagrama a seguir representa a função injetora f: A → B

Exemplo 2: O diagrama a seguir não representa uma função injetora f: A → B

Esta abordagem tradicional foi impossível de ser seguida pelos alunos do CEPMB

e mais do que nunca as leituras sobre a Teoria de Resolução de problemas de Pólya

eram vistas como as mais adequadas para a abordagem. Foi então que todas as

atividades aplicadas no Colégio Pedro II foram repensadas e o conteúdo de Função

Inversa adiado de ser aplicado no CEPMB, pelo menos até que os pré-requisitos

necessários para que os alunos atingissem o nível mínimo exigido de nível de abstração,

pertinente ao pensamento matemático.

Vejamos como os alunos da turma de aprofundamento do Colégio Pedro II

prosseguiu seus estudos, iniciando a aula sobre a conceituação de funções que

admitem inversa.

- 35 -

2.3.4 – O conceito de Função Inversa abordado no aprofundamento do CP II

Em linguagem comum, o termo inversão transmite a ideia de uma reversão. Por

exemplo, em uma dimensão climática, a inversão da temperatura é uma reversão nas

propriedades usuais da temperatura de camadas de ar. Em Matemática, o termo inversa

é usado para descrever funções que serão reversas uma da outra, no sentido que

desfaz o efeito da outra. Ou seja, se a função f é a inversa da função g então a função

f desfaz o que a função g faz.

Neste momento atividades com o que o professor chamou de “máquinas” foram

desenvolvidas com os alunos e sequencias com cálculos foram apresentadas com o

resultado final a fim de que os alunos descobrissem através do uso das operações

inversas os números ausentes ao longo do percurso.

Dados um conjunto X = {a, b, c, d ,e} e um conjunto Y = { A, B, C , D , E}, e bem

definida a função(f) que associa cada letra minúscula ao seu correspondente em

maiúsculo temos os seguintes diagramas representando esta função.

Esta função é uma função bijetora e também pode ser representada da seguinte forma

:f = { (a,A) , (b,B) , (c,C) , (d,D) , (e,E) } Onde o domínio de f é: Dom (f) = X e Imagem de

f é: Im(f) = Y.

Agora iremos definir uma função f-1 como sendo a função que associa cada letra

maiúscula ao seu correspondente em minúsculo.

- 36 -

Assim temos uma função bijetora do tipo:f = { (A.a) , (B,b) , (C,c) , (D,d) , (E,e) },

onde o domínio de f é: Dom (f-1) = Y e Imagem de f são: Im (f-1) = X. Note que f-1 desfaz

o que f faz, podemos dizer que f-1 é a inversa de f. É importante ressaltar que o

domínio de f será a imagem de f-1, e a imagem de f será o domínio de f-1.

Toda função admite uma inversa?

Toda função é invertivel?

Toda função admite inversa?

Um debate foi estabelecido e devido a impossibilidade natural de lançar mão da técnica

de demonstração, uma série de outros exemplos foram colocados a fim de que os

alunos descobrissem que somente as funções bijetoras são invertíveis.

Já que a função inversa desfaz o que a função f faz, e que o domínio de uma é o

contradomínio da outra e vice versa há um exemplo prático que funciona neste nível de

escolaridade para a obtenção da expressão analítica de uma função inversa

Exemplo prático:

Seja uma função bijetora f(x) = 3x + 6, teremos que a inversa de f(x), ou seja, f-1(x),

será , pois y = 3x + 6 → para a inversa x = 3y + 6 , então .

Calcular f(3) temos f(3) = 3.3 + 6 = 15.

- 37 -

Agora ao calcularmos f-1(15) = (15-6)/3 = 3 . Notemos que para todo x, f faz o que f-1

desfaz.

As duas últimas aulas sobre funções inversas, o professor analisou o

comportamento gráfico de várias funções polinomiais do primeiro grau e suas inversas

até que se estabeleceu a propriedade de que seus gráficos são simétricos em relação a

bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.

Análise dos gráficos do exemplo acima.

- 38 -

Cap. 3 O caso CEPMB: o que fazer?

Definitivamente os alunos do CEPMB não tinham condições de seguir estudando

funções através dessa abordagem analítica e com pouco significado. O conceito árduo,

a linguagem distante de seu dia a dia não aproximava o conteúdo ao aluno. A linguagem

da matemática sequer fazia sentido e a maioria dos alunos já havia desistido de

“aprender funções”.

O assunto foi retomado do zero, voltamos em um ano de escolaridade, mas

colocando em prática o que havíamos lido em Pólya e Onucchi. Algumas atividades

foram refeitas, mas as perdas e os gaps de escolaridade eram tão profundos que

resolvemos trabalhar o conceito de função através de problemas e logo em seguida

apresentar o conceito de função inversa.

O estudo das funções foi reiniciado utilizando basicamente padrões numéricos,

associações de ideias e generalizações. Conceitos foram formulados a partir de

exemplos que apresentam o mesmo padrão numérico e as atividades foram organizadas

em ordem crescente de complexidade: os que se destinam ao treino de observação a

fim de que o aluno compreenda e planeje e exercícios que se relacionam com o

cotidiano de modo que além da execução seja plena e que o aluno possa voltar ao

problema e verificar, testar, discutir sua solução.

O uso de máquinas e tabelas foram muito importantes para o desenvolvimento do

conceito intuitivo de função. O conceito de função inversa surge naturalmente após os

novos exercícios. Alguns exercícios foram encontrados na internet, como a tarefa

abaixo, através do link da Pós Graduação em ensino da Matemática da UFRGS,

http://mandrake.mat.ufrgs.br/~mem023/20072/cristiano_santos/applet_1 que

reproduzimos abaixo. Vale registrar que o uso da linguagem oral foi extremamente

difundida e a palavra relação, em sua maior definição matemática foi a mais explorada.

Muitas outras “máquinas” foram criadas pelos alunos e algumas com mais de um

comando, por exemplo, máquinas que transformavam os pares no seu dobro e os

impares no seu triplo.

Convém salientar que transformar números pares em seu dobro e números

impares em seu triplo, assim como desenhar e escrever o que acaba de ser dito faz

muito mais sentido para o aluno que escrever f(x) = 2x, se x for par

3x, se x for impar

- 39 -

3.1 – Atividades

1- Arraste cada número para dentro da máquina e descubra o número que saiu

dela. A seguir, responda as questões abaixo

a) Em cada jogada, escreva com suas palavras, o que a máquina está fazendo com

cada número ao ser colocado no dispositivo de entrada.

b) Há uma relação de dependência entre os números que entram e saem da máquina?

c) Para cada jogada realizada, chamemos de "x" os números que foram colocados no

dispositivo de entrada, e de "y" os números obtidos no dispositivo de saída. Sendo

assim, para cada máquina encontre uma relação de equivalência entre "y" e "x". Esta

relação pode ser dada por uma ou mais equações.

d) Criar novas máquinas para trocar entre os colegas da turma.

- 40 -

2- Explorando padrões numéricos

3- Explorando as máquinas de entrada e saída no dia a dia

Compreender- planejar- executar – verificar

O estudo das condições ambientais de uma comunidade indica que a taxa média

diária de monoxó de carbono no ar varia conforme a população c = 0,5.p + 1, sendo c a

taxa média diária de monoxó de carbono em milhão e p a população em mil de pessoas.

a) Discuta com seus amigos porque este problema se enquadra nos problemas de

função.

b) Podemos dizer que c depende de p ou p depende de c?

c) Qual a taxa média de monoxó de carbono no ar caso a comunidade tenha 1000

pessoas?

d) Calcule e interprete c(1)

e) O que podemos determinar se soubermos que c= 8001?

A quantidade de atividades realizadas em sala foram num número muito menor que as

atividades realizadas no Colégio Pedro II, porém elas foram de um ganho incalculável e

de um valor pedagógico que ultrapassam quaisquer outros já obtidos com esta turma de

ensino Médio do CEPMB.

Segundo a proposta de Pólya, chegamos às funções inversas estudando a

possibilidade de inverter. Foram dados exemplos orais em que os alunos tinham de

- 41 -

analisar a possibilidade ou não de inverter e ainda assim continuar encontrando uma

função. O conceito veio naturalmente: “as funções que admitem inversa são aquelas em

que cada elemento do primeiro conjunto tem um único correspondente e nenhum

elemento do outro conjunto fica sem se relacionar”. A definição é meio dura, mas foi a

mais próxima da definição formal que a turma encontrou.

3.2 – Ganhos com as atividades

a) Interesse indiscutível da turma

b) possibilidade de resolução dos exercícios com mais critério, de analisar e conjecturar

com maior precisão

c) reconhecimento da necessidade da função ser bijetora sem precisar saber o que é

uma função bijetora no cálculo da função inversa

d) ausência da linguagem simbólica da matemática facilitou, para este grupo, a

compreensão do tema

e) exercício da compreensão e do planejamento de ações resolutivas

f) o plano de execução e a solução dos problemas foram cumpridos com mais critérios

3.3 – Perdas com as atividades propostas

a) Distanciamento da linguagem matemática como linguagem especifica do mundo

cientifico dos alunos

b) A não exposição a conceitos e definições pertinentes a analise matemática que

poderão não ser retomados ao longo de sua vida escolar como classificação de funções

ou mesmo definições mais complexas como os de imagem inversa de uma relação ou

de funções trigonométricas inversas.

c) Demora em atingir o grau de abstração necessário ao nível de escolaridade.

- 42 -

4- CONCLUSÃO

As ideias de Pólya e Onucchi serviram para estimular meus alunos: a curiosidade,

o pensamento independente, favorecer conjecturas mentais, motivando-os para a

aprendizagem.

A busca de padrões, de desafios não é mais do que a interpretação do seu

cotidiano onde o erro é visto como fator considerável para a resolução de problemas,

uma vez que este é uma oportunidade de investigação e que por ele pode ser verificado

o raciocínio lógico que o aluno assumiu.

Para ajudar os alunos a superarem o problema de compreender a matemática de

forma significativa para a vida deles, ao mesmo tempo em que buscava usar a resolução

de problemas como método de ensino, a Teoria de Resolução de Problemas busca a

solução de uma situação inconfortável que a própria educação gerou.

Para tanto, é preciso encorajar os alunos a encarar situações novas e não desistir.

Tal prática docente em sala de aula contribui significativamente para a formação de

indivíduos autônomos e com a capacidade de enfrentar os problemas propostos sem

receio e com mais confiança, explorando sua linguagem, incentivando e desafiando

positivamente os alunos.

5- BIBLIOGRAFIA

1- D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: reflexões sobre a educação

matemática. 4

2- Ed. Campinas: Sammus. 1986.

3- DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas de matemática.

12 ed. Ática,

4- 1999.

5- POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência,

1995.

- 43 -

Anexos:Atividades

- 44 -

- 45 -

- 46 -

- 47 -

- 48 -

- 49 -

- 50 -

- 51 -

- 52 -

- 53 -

- 54 -

- 55 -

- 56 -

- 57 -

- 58 -

- 59 -

- 60 -

- 61 -

- 62 -

- 63 -

- 64 -

- 65 -

- 66 -

- 67 -

- 68 -

- 69 -

- 70 -

- 71 -

- 72 -

- 73 -

- 74 -

- 75 -

- 76 -

- 77 -

- 78 -

- 79 -