Atividades_01

7/21/2019 Atividades_01

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Atividades 1 - Matematica Discreta - 2014/02

1. Descreva cada um dos conjuntos a seguir, listando seus elementos:(a) P = {x ∈ R | x2 − x − 2 = 0};

(b) Q = {x | x e uma letra na palavra “amor”};

(c) R = {x ∈ Z | x2 = 9 ou x − 3 = 5};

(d) D = {x ∈ R | 2x + 1 = 0 e 2x2 − x − 1 = 0};

(e) E = {x | x e algarismo do numero 234.543}

2. Quais dos seguintes conjuntos sao iguais?

(a) A = {x : x2

− 4x + 3 = 0}(b) B = {x : x2 − 3x + 2 = 0}

(c) C = {x : x ∈ N, x < 3}

(d) D = {x : x ∈ N, x e ımpar, x < 5}

(e) E = {1, 2}(f) F = {1, 2, 1}

(g) G = {3, 1}

(h) H = {1, 1, 3}.

3. Liste os elementos dos conjuntos seguintes considerando o conjunto universo U = {a,b,c, · · · , y , z}.Identifique tambem os conjuntos iguais, se existirem.

(a) A = {x : x e vogal}

(b) B = {x : x precede ’m’ no alfabeto}

(c) C = {x : x e uma letra na palavra matem´ atica }

(d) D = {x : x e uma letra na palavra tem´ atica }.

4. Sejam A = {1, 2, · · · , 8, 9}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9}, D = {3, 4, 5}, E = {3, 5}. Determineum conjunto X tal que:

(a) X e B sao disjuntos

(b) X ⊆ D, mas X B

(c) X ⊆ A, mas X C

(d) X ⊆ C, mas X A.

5. Considere os seguintes conjuntos U = {1, 2, 3, · · · , 8, 9}, A = {1, 2, 5, 6}, B = {2, 4, 7}, C = {1, 3, 5, 7, 9}.

Encontre:

(a) A ∩ B e A ∩ C

(b) A ∪ B e B ∪ C

(c) A e C

(d) A \ B e A \ C

(e) (A ∪ C ) B

(f) (A ∪ B)

(g) (A ∩ B) ∪ C

(h) (U \ A) \ C

(i) A ∩ B ∩ C

6. Sejam A e B conjuntos quaisquer. Mostre:

(a) A e a uniao disjunta de A − B e A ∩ B.

(b) A ∪ B e a uniao disjunta de A − B, A ∩ B e B − A.

7. Prove:

(a) A ⊆ B se, e somente se, A ∩ B =∅

.

(b) A ⊆ B se, e somente se, A ∪ B = U.

(c) A ⊆ B se, e somente se, B ⊆ A.

1



(d) A ⊆ B se, e somente se, A − B = ∅.

8. Prove as leis de absorcao:

(a) A ∪ (A ∩ B) = A (b) A ∩ (A ∪ B) = A.

9. A formula A − B = A ∩ B

define a operacao de diferenca em termos da operacao de intersecao e decomplementar. Ache uma formula que defina a uniao A ∪ B em termos da operacao de intersecao decomplementar.

10. O diagrama de Venn na Figura abaixo apresenta os conjuntos A, B e C . Hachure os seguintesconjuntos:

COLOCAR FIGURA

(a) A − (B ∪ C ) (b) A ∩ (B ∪ C ) (c) A ∩ (C − B).

11. Use o diagrama de Venn da figura abaixo para escrever cada um dos conjuntos como a uniao disjunta

dos produtos fundamentais:

COLOCAR FIGURA

(a) A ∩ (B ∪ C ) (b) A ∩ (B ∪ C ) (c) A ∪ (C − B).

12. Esboce um diagrama de Venn para os conjuntos A, B e C, onde A ⊆ B, os conjuntos B e C saodisjuntos, mas A e C tem elementos em comum.

13. Use as leis da algebra de conjuntos para provar cada uma das identidades:

(a) A ∪ B = (B

∩ C

)

(b) A = (B ∩ A) ∪ (A ∩ B)(c) A ∪ (A ∩ B) = A(d) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = U.

14. Determine quais dos seguintes conjuntos sao finitos.

(a) O conjunto das retas paralelas ao eixo x.

(b) O conjunto das letras do alfabeto.

(c) O conjunto dos numeros multiplos de 5.

(d) O conjunto dos cachorros que vivem na Terra.

(e) O conjunto dos numeros que sao solucoes da equacao x27 + 26x18 − 17x11 + 7x3 − 10 = 0.

(f) O conjunto das circunferencias contendo a origem (0, 0).

15. Se A e B sao conjuntos finitos, entao n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).

16. Foi realizada uma pesquisa com uma amostragem de 25 carros novos a venda em uma revendedoralocal para verificar quais dos tres opcionais populares, ar condicionado (A), radio (R) e vidros eletricos(V), ja estavam instalados. A pesquisa concluiu: 15 tinham ar condicionado, 12 tinham radio, 11tinham vidros eletricos, 5 tinham ar condicionado e vidros eletricos, 9 tinham ar condicionado e radio,4 tinham radio e vidros eletricos, 3 tinham as tres opcoes. Ache o numero de carros que tem:

(a) apenas vidros eletricos

(b) apenas ar-condicionado

(c) apenas radio

(d) radio e vidros, mas nao ar condicionado

(e) ar condicionado e radio, mas nao vidroseletricos

(f) apenas uma das opcoes

(g) nenhuma das opcoes.

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17. Ache o conjunto das partes de A = {1, 2, 3, 4, 5}.

18. Dado A = {{a, b}, {c}, {d,e,f }}. Determine se cada uma das afirmativas seguintes e verdadeira oufalsa:

(a) a ∈ A

(b) {c} ⊆ A

(c) {d,e,f } ∈ A

(d) {{a, b}} ⊆ A

(e) ∅ ⊆ A

(f) {a,b,c} ∈ A.

Determine tambem o conjunto das partes de A.

19. Suponha que A seja um conjunto finito e n(A) = k. Mostre que P (A) tem 2k elementos.

20. Seja X = {1, 2, · · · , 8, 9}. Determine se cada uma das seguintes classes e ou nao uma particao de X.

(a) {{1, 3, 6}, {2, 8}, {5, 7, 9}}

(b) {{1, 5, 7}, {2, 4, 8, 9}, {3, 5, 6}}

(c) {{2, 4, 5, 8}, {1, 9}, {3, 6, 7}}

(d) {{1, 2, 7}, {3, 5}, {4, 6, 8, 9}, {3, 5}}.

21. Determine se cada uma das seguintes classes e ou nao uma particao do conjunto de inteiros positivos

N.

(a) {{n : n > 5}, {n : n < 5}} (b) {{n : n > 5}, {0}, {1, 2, 3, 4, 5}}

(c) {{n : n2 < 11}, {n : n2 > 11}}.

22. Use um diagrama de Venn para mostrar que o seguinte argumento e valido:

S 1 : Bebes sao ilogicos.S 2 : Ninguem que possa lidar com crocodilos e desprezado.

S 3 : Pessoas ilogicas sao desprezadas.S 4 : Bebes nao podem lidar com crocodilos.

23. Sejam A, B , C conjuntos quaisquer. Mostre que:

(a) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = A, (b) (A ∪ B) − B = A − B; (c) (A ∩ B) − B = ∅;

24. Prove que A ∩ B ⊆ A e A ⊆ A ∪ B.

25. Prove que se A ⊆ B , entao P (A) ⊆ P (B).

26. Quais dentre estes conjuntos sao iguais: {r,s,t}, {s,t,r,s}, {t,s,t,r} e {s,t,s,t,r}.

27. Liste os elementos dos seguintes conjuntos:

(a) A = {x : x ∈ N, 3 < x < 12};

(b) B = {x : x ∈ N, x e par, x < 15};

(c) C = {x : x ∈ N, 4 + x = 3}.

28. Considere os seguintes conjuntos:

3



∅A = {1}

B = {1, 3}C = {1, 5, 9}

D = {1, 2, 3, 4, 5}E = {1, 3, 5, 7, 9}

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Insira o sımbolo correto, ⊆,, em cada par de conjuntos:

(a) A ∅

(b) A B

(c) B C

(d) B E

(e) C D

(f) C E

(g) D E

(h) D U

Os problemas 5, 6 e 7 se referem ao conjunto universo U = {1, 2, 3, · · · , 9} e aos conjuntos:

A = {1, 2, 3, 4, 5}B = {4, 5, 6, 7}

C = {5, 6, 7, 8, 9}D = {1, 3, 5, 7, 9}

E = {2, 4, 6, 8}F = {1, 5, 9}.

29. Determine:

(a) A ∪ B e A ∩ B

(b) B ∪ D e B ∩ D

(c) A ∪ C e A ∩ C

(d) D ∪ E e D ∩ E

(e) E ∪ E e E ∩ E

(f) D ∪ F e D ∩ F

30. Determine:

(a) A

(b) B

(c) D

(d) E

(e) A − B

(f) B − A

(g) D − E

(h) F − E

31. Determine:

(a) A ∩ (B ∪ D) (b) (A − E ) (c) (A ∩ D) − B (d) (B ∩ F ) ∪ (C ∩ E )

32. Mostre que e possıvel que A ∩ B = A ∩ C sem que B = C.

33. Considere o diagrama de Venn de dois conjuntos arbitrario A e B na Figura abaixo.

Hachure os conjuntos:

(a) A ∩ B (b) (B − A)

34. Ilustre a lei da distribuidade A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) com diagramas de Venn.

35. Determine a validade do seguinte argumento:

S 1 : Todos os meus amigos sao musicos.S 2 : Joao e meu amigo.S 3 : Nenhum dos meus vizinhos e musico.

S 4 : Joao nao e meu vizinho.

36. Determine quais dos seguintes conjuntos sao finitos:

(a) A={estacoes do ano}

4



(b) B={estados Brasileiros}

(c) C={inteiros positivos menores do que 1}

(d) D={inteiros ımpares}

(e) E={divisores inteiros positivos de 12}

(f) F={gatos que vivem em Florianopolis}

37. Use o Problema ?? para provar que se A, B e C sao conjuntos finitos, entao A ∪ B ∪ C tambem efinito e

n(A ∪ B ∪ C = n(A) + n(B) + n(C ) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C ) − n(B ∩ C ) + n(A ∩ B ∩ C ).

38. Em uma pesquisa com 60 pessoas, verificou-se que: 25 leem Diario Catarinense, 26 leem A Folha deSao Paulo, 26 leem O Globo, 9 leem Diario Catarinense e O Globo, 11 leem Diario Catarinense e AFolha de Sao Paulo, 8 leem A Folha de Sao Paulo e O Globo e 3 leem os tres jornais.

(a) Ache o numero de pessoas que leem pelo menos um dos tres jornais.

(b) Preencha, com o numero correto de pessoas, cada uma das oito regioes do diagrama de Venn nafigura abaixo:

COLOCAR A FIGURA

(c) Ache o numero de pessoas que leem exatamente um jornal.

39. Prove as leis da comutatividade:

(a) A ∪ B = B ∪ A (b) A ∩ B = B ∩ A.

40. Prove a seguinte identidade: (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) = A.

41. Prove que (A ∪ B) − (A ∩ B) = (A − B) ∪ (B − A).

42. Determine os elementos do conjunto A = {{1, 2, 3}, {4, 5}, {6, 7, 8}}.

43. Considere a classe A de conjuntos do problema anterior. Determine se cada uma das afirmativasseguintes e verdadeira ou falsa:

(a) 1 ∈ A

(b) {1, 2, 3} ⊆ A

(c) {6, 7, 8} ∈ A

(d) {{4, 5}} ⊆ A

(e) ∅ ∈ A

(f) ∅ ⊆ A.

44. Determine o conjunto das partes de A, P (A), sendo A = {a,b,c,d}.

45. Seja S = {vermelho, azul, amarelo, verde}. Determine quais das seguintes classes sao particoes deS :

(a) {{vermelho}, {azul, verde}}

(b) {{vermelho, azul, amarelo, verde}}

(c) {∅, {vermelho, azul}, {verde, amarelo}}

(d) {{azul}, {vermelho, amarelo, verde}}.

46. Ache todas as particoes de S = {1, 2, 3}.

47. Prove que sao equivalentes:

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(i) A ⊆ B (ii) A ∩ B = A (iii) A ∪ B = B .

48. Sejam A, B , C conjuntos quaisquer. Mostre que:

(a) [(A ∩ B) ∪ (A ∩ B)] = A; (b) A ∩ (A − B) = A − B; (c) B ∪ (A − B) = A ∪ B;

49. Uma operacao binaria em conjuntos chamada diferenca simetrica e definida como A ⊕ B = (A −B) ∪ (B − A).

(a) Desenhe um diagrama de Venn para ilustrar A ⊕ B.

(b) Para A = {3, 5, 7, 9} e B = {2, 3, 4, 5, 6}, ache A ⊕ B.

(c) Prove que A ⊕ B = (A ∪ B) − (A ∩ B) para A e B arbitrarios.

(d) Para um conjunto A arbitrario, ache A ⊕ A e ∅ ⊕ A.

(e) Prove que A ⊕ B = B ⊕ A para conjuntos arbitrarios A e B.

(f) Para quaisquer conjuntos A, B e C demonstre que (A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C ).

50. Considere os seguintes subconjuntos de Z :A = {x | (∃y)(y ∈ Z e y ≥ 4 e x = 3y)}B = {x | (∃y)(y ∈ Z e x = 2y)}C = {x | x ∈ Z e |x| ≤ 10}.

Usando as operacoes de conjuntos, descreva cada um dos seguintes conjuntos em termos de A, B eC :

(a) o conjunto de todos os inteiros ımpares

(b) {−10, −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, 10}

(c) {x | (∃y)(y ∈ Z e y ≥ 2 e x = 6y)}

(d) {−9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9}

(e) {x | (∃y)(y ∈ Z e y ≥ 5 e x = 2y + 1)} ∪ {x | (∃y)(y ∈ Z e y ≤ −5 e x = 2y − 1)}

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