ANHANGUERA EDUCACIONALPELOTAS

CURSO SUPERIOR ENGENHARIA MECNICAIntegrantesN RA

Giovan Peter Lautenschlagger

Itamar Centeno dos Santos Junior

Pablo de Souza PereiraThais de Souza Santos

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ATIVIDADE PRTICA SUPERVISIONADACALCULO NUMRICOPELOTAS

2015Etapa 1

Passo1 Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equaes diferenciais em sistemas fsicos e problemas de engenharia.

Modelagem

A modelagem de acordo com nossos estudos a forma de analisar um problema (encontrar qual o foco principal a ser resolvido ou o resultado que queremos), buscar alternativas e verificar qual a melhor sada comparando com o objetivo; para isto fazemos um diagrama de blocos ou simples anotaes dos principais fatores do determinado problema.Na matemtica atravs deste mtodo, elaboramos uma funo onde temos uma varivel como fator principal em relao ao tempo; e atravs desta de acordo com os resultados finais; tambm podemos fazer uma representao grfica. Assim, podendo utilizar em uma pesquisa populacional ou at mesmo para verificar o crescimento de um tumor. Portanto, as modelagens atravs de equaes diferenciais nos explicam o comportamento de certos sistemas.

Equaes diferenciais Equao diferencial conjuntos de derivadas pertencentes ao uma funo desconhecida da varivel. A modelagem de sistemas por meio de equaes diferenciais em sistemas fsicos e problemas de engenharia. O sistema de modelagem analisa a melhor maneira de alcanar um resultado, enquanto as equaes diferenciais possuem um nvel de exatido muito grande, tornando em muitas vezes um mtodo bem vivel. A sua aplicabilidade notada na frmula S=So + VoT + (AT)/2 . O que se percebe na forma de S(t) = F(t) + F(t) + F(t) do qual um sistema preciso e completo quesito de calcular a velocidade, espao, acelerao e tempo. Por este motivo, est diretamente ligada modelagem e sua frmula na utilizao de Equaes Diferenciais.De acordo com Rangel(2013) "Uma das principais razes da importncia das equaes diferenciais que mesmo as equaes mais simples so capazes de representar sistemas teis. Mesmo alguns sistemas naturais mais complexos comportam modelagens em termos de equaes diferenciais bem conhecidas. Por outro lado, problemas cuja modelagem exige equaes diferenciais mais complicadas podem, hoje em dia, ser tratados atravs de mtodos computacionais. Assim, o estudo e o desenvolvimento da rea de modelagem de sistemas atravs de equaes diferenciais so de suma importncia para a compreenso de problemas reais, apresentando aplicaes nas mais diversas reas do conhecimento e, em particular, em Cincias Naturais".

Passo 2

Revisar os contedos sobre diferencial de uma funo e sobre as tcnicas de integrao de funes de uma varivel. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).

Equaes diferenciais

Uma equao diferencial uma equao com uma srie de funes derivadas de uma mesma funo comeando pela a de maior ordem. No caso de uma Equao Diferencial Ordinria, a soluo da equao a sua funo original no derivada.

Integral A integral foi criada para calcular reas curvas, geralmente de um plano cartesiano, porm com o tempo foi-se descobrindo novas formas de seu uso tornando cada vez mais complexa e importante para a cincia em si. Basicamente uma integral segue o caminho inverso da derivada. Existem vrias maneiras de calcular uma integral, como a integral definida que se tem os valores mximos e mnimos definidos da varivel. H tambm a indefinida, que em seu clculo chega em outra equao aplicvel, mantendo ainda a varivel da funo.

Passo 3

Estudar o mtodo de resoluo de equaes diferenciais lineares de variveis separveis e de primeira ordem. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS). Resoluo de equaes diferenciais lineares de variveis separveis e de primeira ordem.

Resoluo de equaes diferenciais lineares de variveis separveis. toda a soluo da equao diferencial que se obtm da soluo geral, por particularizao da(s) constante(s) e, geometricamente, representa uma das curvas da famlia de curvas integrais, correspondentes soluo ou integral geral.Para a particularizao das constantes, com vista obteno duma soluo ou integral particular, podem ser fornecidas condies que podem ser referidas a um mesmo valor da varivel independente, condies iniciais. Resolver ou integrar uma equao diferencial consiste em determinar a soluo geral ou integral geral ou sendo dadas condies, determinar a soluo ou integral particular que as satisfazem. Se a equao de variveis separveis ento podemos passar da forma cannica para a forma a( x ).b( y )dx+c( x ).d( y )dy= 0 . Separando as variveis x e y, de forma a que os coeficientes de dx e dy sejam respectivamente funes de x e de y, resulta uma equao de variveis separadas.

Assim vem:a(x)/c(x) dx +d(y)/b(y) dy = 0

Integrando temos:(a(x)/c(x) dx + d(y)/b(y) dy =c)

A equao obtida a soluo geral de uma equao de variveis separveis.Resoluo de equaes diferenciais de primeira ordem uma equao de primeira ordem diz-se linear se do primeiro grau na funo incgnita e na sua primeira derivada, podendo representar-se simbolicamente pory'+P( x )y = Q( x )

Com, P(x) e Q(x), funes contnuas.

Se Q(x)=0, y'+P( x )y = 0 diz-se uma equao linear homognea, que uma equaode variveis separveis. Se Q(x) 0, a equao linear no homognea, completa oucom segundo membro.

Resoluo Para resolver equaes diferenciais lineares utilizamos expresso:

Com c1 constante arbitrria.

Passo 4

Pesquisar, em livros, artigos e sites, sobre a modelagem de circuitos eltricos por meio de equaes diferenciais.Modelagem de circuitos eltricos por meio de equaes diferenciais.

De acordo com os arquivos estudados notamos que a modelagem de circuitos eltricos por meio de equaes diferenciais, feita atravs de equaes de primeira e segunda ordem diretamente ligadas a Lei de Ns e Lei das Malhas conhecidas como Leis de Kirchhoff, que so fundamentais para o sistema eltrico. Porm, Frana de Lima e Mor (2013) declaram que no h necessidade da utilizao de ambas as leis para a construo de um modelo matemtico de sistema eltrico simples. No entanto, o que ir mostrar qual das leis ser utilizada a complexidade e a aplicabilidade do circuito.

Exemplos

Objetivando ilustrar a modelagem com equaes diferencias, desenvolveremos a seguir modelos de sistemas dinmicos:

Circuito RC

Circuito RLC

O circuito RC composto de uma fonte de tenso, vi (t), em srie com um resistor R e um capacitor C.

A corrente no capacitor proporcional taxa de variao da tenso atravs do capacitor, matematicamente:

Sendo a capacitncia C a constante de proporcionalidade. Pela lei de Kirchoff, a soma das quedas dos potenciais ao longo da malha deve ser nula, o que leva expresso:

Substituindo i(t) em (2) pela relao (1), surge uma equao diferencial de primeira ordem:

Soluo analtica

Considere o caso simples onde = 0 para todo t e = (descarga do capacitor).

Ento, a soluo analtica de (3) pode ser obtida:

Onde k uma constante.

Portanto, a partir de (4), deduzimos que a tenso no capacitor decresce exponencialmente na taxa inversa de RC:

Para um circuito RC onde e , a curva de tenso no capacitor em funo do tempo pode ser observada na figura abaixo.

A curva caracteriza a descarga da energia do capacitor que, por sua vez, dissipada pelo resistor.

O circuito RLC consiste de uma fonte de tenso vi (t) em srie com um resistor R, um indutor L e um capacitor C, de acordo com o diagrama abaixo:

A soma das quedas dos potenciais ao longo da malha deve ser nula:

A queda de tenso no indutor proporcional taxa de variao da corrente, sendo L a constante de proporcionalidade. A corrente atravs do capacitor proporcional taxa de variao da queda de tenso no capacitor, obtemos assim o sistema de equaes diferenciais de 1a ordem:

O sistema acima pode ser colocado na forma matricial:

Alternativamente, o sistema de primeira ordem (9) pode ser colocado como uma equao diferencial de segunda ordem, bastando para isto substituir (8) em (7):

Aqui ilustramos como se transforma uma EDO de ordem n em um sistema EDO de primeira ordem com n equaes.

Definindo x como varivel de estado:

e estabelecendo u(t) como a entrada e y(t) como a sada, teremos:

Note que a entrada a tenso vi (t), enquanto a sada (o que observado) a queda de tenso no capacitor.

Podemos expressar a EDO (10) de 2a ordem em um sistema EDO de 1a ordem:

Soluo Analtica

As equaes diferenciais do circuito RLC, conforme (11), fazem parte dos sistemas de equaes diferenciais lineares:

Assumindo u = Kx, podemos assumir que acima da forma:

Uma soluo analtica para:

Pode ser obtida.

Note que tem soluo trivial da forma .

Para o caso geral, definimos a funo exponencial de matriz como:

Ento, a soluo de (13) com .

Basta verificar que:

Estabilidade de um sistema pode ser entendida como a convergncia do estado x(t) para um ponto de equilbrio x*.

Dizemos que o sistema (13) estvel se:

Sob quais condies o sistema caracterizado pela equao estvel?Estabilidade garantida a partir de qualquer ponto inicial

quando a < 0.

Isto equivale a dizer que:

O que podemos dizer sobre a convergncia de um sistema multivarivel caracterizado pelo sistema EDO x = Ax?

Convergncia pode ser garantida quando convergente.

Em outras palavras, quando a srie:

convergente, o que ocorre quando todos os autovalores de A tem parte real negativa.

A figura abaixo ilustra a resposta do circuito RLC para uma entrada nula, u(t) = 0, com:

O circuito estvel como pode ser verificado calculando os autovalores de A, a saber , os quais tem parte real negativa.

Isto garante convergncia a partir de qualquer estado inicial.

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