Etapa 1

CONCEITO DE FUNÇÃOO conceito de funções é um dos mais importantes em Matemática, e seu conhecimento impulsionou o desenvolvimento tecnológico em quase todas as áreas. As funções permeiam nossa vida cotidiana mesmo que não tenhamos consciência disso. Por exemplo, o valor da conta de luz depende da quantidade de energia gasta, a dose de remédio que é dada a uma criança depende do seu peso, o valor para fazer cópias de um material depende do número de páginas copiadas. Usando funções, também se estudam o crescimento de bactérias, o movimento dos astros, a variação da temperatura da Terra etc. A noção de função nos permite, enfim, descrever e analisar relações de dependência entre quantidades.

A função é uma relação entre duas variáveis x e y tal que o conjunto de valores para x é determinado, e a cada valor x está associado um e somente um valor para y. A relação é expressa por y=f(x), onde o conjunto de valores de x é dito domínio da função, e as variáveis x e y são ditas, respectivamente, independente e dependente.A relação entre as variáveis x e y tem uma representação, de grande apelo visual, que evidencia propriedades da função. Evidencia, por exemplo, se as variáveis estão em relação crescente (se o aumento de x corresponde ao aumento de y) ou se a variação de y é maior ou menor que a variação de x. A representação desta função é chamada de Gráfico da Função.

CONCEITO DE GRÁFICO DA FUNÇÃODada uma função y=f(x) consideramos no plano, com sistema de coordenadas cartesianas, o conjunto de pontos (x, y) este conjunto é denominado gráfico da função f.

A linguagem gráfica permite entender melhor diversos fenômenos da natureza e está cada vez mais presente no nosso dia-a-dia, nas informações veiculadas pelos meios de comunicação (revistas, jornais, televisão etc.) ou nas formas de arte e diversão (como os jogos de computadores e os efeitos especiais para a arte cinematográfica). A própria paisagem urbana está cada vez mais influenciada pela linguagem gráfica, e a matemática aparece aos olhos de quem observa as regularidades das construções arquitetônicas e a decoração dos ambientes.

FUNÇÃO DO 1º GRAUUma função do 1º grau pode ser chamada de função afim. Para que uma função seja considerada afim ela terá que assumir certas características, como: Toda função do 1º grau deve ser dos Reais para os Reais, definida pela fórmula f(x) =ax+b, sendo que A deve pertencer ao conjunto dos Reais menos o zero e que B deve pertencer ao conjunto dos Reais.Então, podemos dizer que a definição de função do 1º grau é:

f: R definida por f(x) = ax+b, com a Є R* e b Є R.

Alguns exemplos de função afim.f(x) = 2x + 1; a= 2 e b= 1f(x) = -5x - 1; a= -5 e b= -1f(x) = -1/2x + 5; a= -1/2 e b= 5

Toda função do 1º grau também terá domínio e contradomínio.A função 1º grau f(x)= 2x -3 pode ser representada por y= 2x -3. Para acharmos o seu domínio e

contradomínio, devemos primeiro estipular valores para x.Vamos dizer que x =-2; -1; 0; 1. Assim temos para cada valor de x um valor para y.x = -2y = 2. (-2) – 3y = 7

x = -1y = 2. (-1) – 3y = 5

x = 0y = 2. (0) – 3y = -3

x = 1y = 2. (1) – 3y = -1

Exercícios

1. Uma empresa do ramo agrícola tem o custo para a produção de q unidades de um determinado insumo descrito por C(q) = 3q+60. Com base nisso:a) Determinar o custo quando são produzidas 0, 5, 10, 15 e 20 unidades deste insumo.

C(0) = 3.0+ 60=0+60=60C(5) = 3.5+60=15+60= 75C(10) =3.10+60=30+60= 90C(15) = 3.15+60=45+60=105C(20) =3.20+60=60+60=120

b) Esboçar o gráfico da função

0 5 10 15 20 250

20

40

60

80

100

120

140

C(q)=3q+60

C(q)=3q+60

c) Qual é o significado do valor encontrado para C, quando q=0?R: O significado do valor de C= 60 quando q=0 é custo que independe da produção, também chamado de custo fixo.

d) A função é crescente ou decrescente? Justificar.R: Essa função é crescente porque quanto maior a produção (q), maior é o custo (C).

e) A função é limitada superiormente? Justificar.R: A função não é limitada superiormente porque, se continuar aumentando a produção (q), o custo também irá aumentar.

Etapa 2

FUNÇÃO DO 2º GRAUA função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo: y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e A diferente de 0.

a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )

b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )

c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )

As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em situações relacionadas á Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo e etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas diversas construções.A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.

As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, se f(x) = 0, obtemos uma equação do 2º grau,

ax² + bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante ? (delta), podemos ter as seguintes situações gráficas:

? > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.

? = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.

? < 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x.

Também teremos que determinar a raiz de uma função é calcular os valores de x que satisfazem a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, que podem ser encontradas através do Teorema de Bháskara: 

Número de raízes reais da função do 2º grau

Dada à função f(x) = ax² + bx + c, existirão três casos a serem considerados para a obtenção do número de raízes. Isso dependerá do valor do discriminante Δ. 

1º caso → Δ > 0: A função possui duas raízes reais e distintas, isto é, diferentes. 

2º caso → Δ = 0: A função possui raízes reais e iguais. Nesse caso, dizemos que a função possui uma única raiz. 

3º caso → Δ < 0: A função não possui raízes reais. 

Soma e produto das raízes 

Seja a equação, ax² + bx + c = 0, temos que: 

Se Δ ≥ 0, a soma das raízes dessa equação é dada por   e o produto das raízes

por   . De fato, x’ e x’’ são as raízes da equação, por isso temos: 

Soma das raízes

Produto das Raízes

Efetuando a multiplicação, temos:

Substituindo Δ por b² – 4ac, temos:

Após a simplificação, temos:

Exercícios

1. O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por E=t²-8 t+210, onde o consumo E é dado em KWh, e o tempo associa-se t=0 para janeiro, t=1 para fevereiro, e assim sucessivamente.a) Determinar o(s) mês (es) em que o consumo foi de 195KWh.

R: Foram os meses de Abril e Junho. (*Dados em Vermelho na Tabela).

Mês TConsumo

kWh E=t²-8 t+210Janeiro 0 210 E=0-8.0+210= 210Fevereiro 1 203 E=1-8.1+210=1-8+210=-7+210=203Março 2 198 E=2²-8.2+210=4+16+210=-12+210=198Abril 3 195 E=3²-8.3+210=9-24+120=-15+120=195Maio 4 194 E=4²-8.4+210=16-32+210=-16+210=194Junho 5 195 E=5²-8.5+210=25-40+210=-15+210=195Julho 6 198 E=6²-8.6+210=36-48+210=-12+210=198Agosto 7 203 E=7²-8.7+210=49-56+210=-7+210=203Setembro 8 210 E=8²-8.8+210=64-64+210=210Outubro 9 219 E=9²-8.9+210=81-72+210=219Novembro 10 230 E=10²-8.10+210=100-80+210=230Dezembro 11 243 E=11²-8.11+210=121-88+210=243

b) Determinar o consumo médio para o primeiro ano.R: O consumo médio foi de 208,17 kWh.

c) Com base nos dados obtidos no item anterior, esboçar o gráfico de E.

Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez190

200

210

220

230

240

250

Consumo (KWh)

Consumo

d) Qual foi o mês de maior consumo? De quanto foi esse consumo?R: Foi o mês de Dezembro com o consumo de 243 kWh.

e) Qual foi o mês de menor consumo? De quanto foi esse consumo?R: Foi o mês de Maio com o consumo de 194 kWh.(*Dados das questões d, e em lilás na Tabela).

Etapa 3

Função exponencialToda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe:

y = 2 x

y = 3 x + 4

y = 0,5 x

y = 4 x

A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:

f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 0 e a ≠ 1.

Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 0 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:

Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando às regras envolvendo potenciação quando necessário.

Exercícios

1. Sabe-se que o comportamento da quantidade de um determinado insumo, quando ministrado a uma muda, no instante t, é representado pela função Q(t) =250. (0,6)t, onde Q representa a quantidade (em mg) e t o tempo (em dias). Então, encontrar:a) A quantidade inicial administrada.

Q(t) = 250. (0,6)tQ(0) = 250. (0,6)ºQ(0) = 250.1Q (0) = 250 mg

b) A taxa de decaimento diária.R: Não tem cálculo o decaimento diário é 0,6 ou 60% por dia.

c) A quantidade de insumo presente 3 dias após a aplicação.

Q(t) = 250. (0,6)t    Q(3) = 250. (0,6)³     Q(3) = 250.0,216    Q(3) = 54 mg

d) O tempo necessário para que seja completamente eliminado.Ele nunca vai ser totalmente eliminado, pois como na função exponencial o Y nunca vai ser zero (0), no caso o Q(t) vai ser sempre Q.

Etapa 4Conceito de Derivadas

De um ponto de vista geométrico o conceito de derivada está relacionado com o de tangência. A

noção de tangência é de grande importância na vida diária, todos desenvolveram uma

considerável intuição a respeito. Ao nos apossarmos do conceito de derivada estaremos em

condições de dar maior precisão a esse nosso entendimento informal.

Do ponto de vista da Dinâmica, a velocidade escalar (instantânea) é uma derivada. A aceleração

também é. Nestes dois últimos casos vê-se a derivada como taxa de variação. Isto é, a medida

da evolução de uma grandeza quando uma ou outra, da qual ela depende, varia. A velocidade,

por exemplo, é a taxa de variação do espaço com relação ao tempo.

O quarto paradoxo formulado pelo filósofo grego Zenon (495-435 a.C.), chamado de ``A seta'',

pode-se enunciar da seguinte forma: ``Uma seta movendo-se, a cada instante está `em repouso'

ou `não em repouso' (isto é, `em movimento'). Se o instante é indivisível, a seta não pode se

mover em um instante, porque se ela o fizesse o instante seria imediatamente dividido. Mas

tempo é feito de instantes. Como a seta não pode se mover em nenhum instante, ela não pode se

mover em nenhum tempo. Então ela sempre permanece em repouso. '' Ou seja, não existe o

movimento da seta.

O leitor encontrará mais informações sobre os paradoxos de Zenon no livro de E. T. Bell ``Men

of Mathematics'', Dover, N. York (1937), por exemplo.

Este argumento de grande engenhosidade para a época em que foi estabelecido, pode ser

refutado hoje em dia com base em alguns conceitos mais refinados do que os disponíveis

naquele tempo. Uma análise do quarto paradoxo de Zenon nos leva ao conceito de velocidade

instantânea.

Suponhamos que um ponto descreva um movimento sobre uma reta de modo que sua

coordenada, em cada instante t, seja x=s(t). Esse ponto pode representar a seta disparada de um

arco. Ao se mover da posição a=s(t1) para b=s(t2), o ponto tem uma velocidade média v,

definida por

v= [s(t2) - s(t1)] / (t2 - t1).

Assim, a velocidade média envolve o lapso de certo tempo e as posições do ponto no início e no

final desse lapso. É uma noção fundamental, mas ainda um tanto grosseira, insuficiente para

explicar que, em cada instante fixado t0 entre t1 e t2, o ponto está em movimento e tem algo que

o diferencia de um ponto em repouso: uma velocidade não nula em t0, uma grandeza intrínseca

do movimento, isto é, uma grandeza que não depende de lapsos, mas está associada somente ao

instante t0. Como defini-la?

A ideia é tomar velocidades médias

vt = [s(t) - s(t0)]/(t - t0),

em lapsos entre instantes t e t0, e definir a velocidade instantânea em t0 como

ou seja:

Consideremos a questão de definir a reta tangente a uma curva y=f(x) (isto é, o gráfico de f, que

denotaremos por G(f)) num ponto p= (a, b), b=f(a), onde f é uma função definida numa

vizinhança de a. O que fazemos é considerar uma secante ao gráfico de f, passando pelos pontos

(a, b) e por (x, y) de G(f). Logo deslizamos (x, y) ao longo do gráfico aproximando-o do ponto

(a, b). Pode ocorrer que neste processo as secantes tendam para um reto limite. Quando este for

o caso, diremos que a curva y=f(x) tem uma reta tangente no ponto (a, b) e que a mencionada

reta limite é a reta tangente à curva y=f(x), no ponto (a, b).

É instrutivo imaginar um caso em que não existe essa tal reta limite. Pense, por exemplo, na

função:

tomando (a, b) = (0,0). Faça um esboço do gráfico de f. Considere um ponto (x, y) do gráfico

dessa função e imagine oque acontece com as retas secantes por (a, b) e (x, y), quando (x, y)

desliza sobre o gráfico, tendendo a (a, b). Não existe reta limite.

As Figuras representam dois casos de funções em que existe a reta tangente ao gráfico. Repare

que o caso não está muito de acordo com nossa intuição, digamos mais primitiva, pois a reta

tangente cruza a curva no ponto de tangência.

REGRAS DE DERIVAÇÃO

Nem sempre necessitamos calcular as derivadas diretamente a partir da definição, usando o

limite da razão incremental, mas esse método, além de ser repetitivo para certos tipos de

funções como as lineares e polinomiais, por exemplo, só é prático para funções muito

particulares e simples. Por este motivo, temos algumas regras de derivação que nos permitirão

encontrar derivadas de funções de uma forma mais fácil e rápida.

1. Derivada de uma função constante

Seja f: R R definida por f(x)=c. A sua derivada em um ponto x qualquer do seu domínio é dada

por:

f '(x)=0

O significado geométrico deste resultado é que, o gráfico da função f(x)=c é sempre paralelo ao

eixo dos x e a declividade da reta tangente ao gráfico de f em cada ponto do domínio de f é

sempre zero.

2. Derivada da função Potência

Se n é um número natural e f(x) =xn, então:

f '(x) = n xn-1

Na verdade esta função potência pode ser definida de uma forma muito mais ampla, pois esta

regra é válida também quando consideramos o número n inteiro, racional ou até mesmo um

irracional, isto é, para qualquer n real. Assim, se r é um número real e f(x) =xr, então:

f '(x) = r xr-1

3. Derivada da função Exponencial

Se f é uma função real definida por f(x) =exp(x) =ex, onde e=2,71828... (número de Euler),

então:

f '(x) = ex

Como a derivada da função exponencial é ela própria, esta função tem um papel de fundamental

importância no estudo de Equações Diferenciais.

4. Derivada da soma de duas funções

Se f e g são funções deriváveis sobre R, então a função h=f+g, definida por: h(x) = f(x) + g(x),

possui derivada dada por:

h'(x) = f '(x) + g'(x)

Este resultado pode ser estendido a uma soma finita de funções, isto é, se h(x)=h1(x)+h2(x)+...

+hn(x), então:

h'(x)=h'1(x)+h'2(x)+...+h'n(x)

isto é, a derivada da soma de um número finito de funções deriváveis é igual à soma de suas

derivadas.

5. Derivada do produto de uma constante por uma função

Se f é uma função derivável, c é uma constante e g=c.f é a função definida por g(x)=c. f(x),

então:

g '(x) = c.f '(x)

6. Derivada do produto de funções

Se f e g são funções deriváveis e h=f.g é definida por: h(x) =f(x). g(x), então

h'(x) = f '(x). g(x) + f(x). g '(x)

Podemos estender este fato a um produto finito de funções reais, como por exemplo

z(x)=f(x).g(x).h(x). Assim:

z'(x) = f '(x).g(x).h(x) + f(x).g '(x).h(x) + f(x).g(x).h '(x)

7. Derivada do quociente de duas funções

Se f e g são funções deriváveis e se h=f/g é a função definida por h(x) =f(x) /g(x) quando g(x) é

diferente de zero, então:

A ordem das derivadas das funções f e g não podem ser alteradas.

Regra da cadeia

As regras estabelecidas até aqui nos habilitaram a derivar qualquer função passível de

representação por expressões cujos termos fossem funções com derivadas conhecidas.

Entretanto, tais regras não se aplicam a funções, como por exemplo, f(x) =(4x+1)100 uma vez

que é praticamente impossível derivar um produto com 100 termos. Podemos, no entanto

expressar esta função como a composta de duas funções mais simples, motivo pelo qual,

aprenderemos a derivar qualquer função formada pela composição de funções com derivadas

conhecidas. A seguir apresentamos a Regra da Cadeia, que nos dá a derivada da função

composta.

Teorema: Sejam f e g funções diferenciáveis e h=fog a função composta definida por

h(x)=f(g(x)). Se u=g(x) é derivável no ponto x e se y=f(u) é derivável no ponto g(x), então a

função h é derivável no ponto x e sua derivada é dada por:

h '(x) = f '(g(x)). g '(x)

Com outras notações, como y=h(x) =f(g(x)), sendo u=g(x) e y=f(u), obteremos qualquer das

expressões equivalentes:

Dxy = Duy. Dxu

yx = yu. Ux

1. Exemplo: Se f é a função real definida por f(x)=(4x+1)100, então, tomando u(x)=4x+1 e

v(u)=u100, poderemos escrever:

f(x) = (v o u)(x) = v(u(x))

e pela regra da cadeia:

logo

f '(x) = 400 u99=400(4x+1)99

2. Derivada de uma função inversa

Seja y=f(x) uma função inversa, derivável em um ponto x tal que a derivada f '(x) não se anule e

x=g(y) a função inversa de f. Então g é derivável no ponto y=f(x) e sua derivada g' é dada por:>

Este resultado é uma aplicação imediata da regra da cadeia, pois se g é a inversa de f, temos

que:

x = g(f(x))

e derivando em relação à variável x em ambos os membros da igualdade, teremos:

1 = g '(f(x)). f '(x)

donde o resultado desejado.

3. Derivada da função logaritmo natural

Para deduzir a derivada da função logaritmo natural, usaremos o fato que esta função é a inversa

da função exponencial e a regra da cadeia.

Seja y=f(x) =ln(x), sendo x um número real positivo. Como x=g(y) =ey é a função inversa de f,

então:

y = f(x) = f(g(y)) = (fog) (y)

e como g'(y) =ey, para todo y real, então pelo Teorema anterior sobre a função inversa, obtemos

através da derivada em ambos os membros em relação à y, obteremos:

logo

(ln(x)' = f '(x) = 1/ey = 1/x

4. Derivada da função seno

Se f(x) = sen(x) e x é um número real qualquer, então:

f '(x) = cos(x)

5. Derivada da função arco cujo seno é x

Seja y=f(x) =arcsen(x), a função arco cujo seno é igual a x, que é a função inversa de f,

dependendo do intervalo onde tal inversa tem sentido. Como x=g(y) =sen(y) e g'(y) =cos(y),

então, pelo teorema da função inversa:

y = f(x) = f(g(y)) = (fog) (y)

Derivando ambos os termos em relação à y, seguirá:

1 = f '(g(y)). g'(y) = f '(x). cos(y)

f '(x) = 1/cos(y) desde que cos(y) seja não nulo.

6. Derivada da função cosseno

Se f:R R é definida por f(x)=cos(x), então

f '(x) = -sen(x)

7. Derivada da função arco cujo cosseno é x

É realizada de forma análoga ao caso anterior.

8. Derivadas de outras funções trigonométricas clássicas

Como todas as outras funções trigonométricas clássicas circulares são definidas a partir do seno

e cossenos podem encontrar suas derivadas com as regras de derivação apresentadas.

tg'(x) = sec2(x)

cotg'(x) = -cossec2(x)

sec'(x) = sec(x).tg(x)

cossec'(x) = -cossec(x).cotg(x)

arctg'(x) = 1/(1+x2)

9. Derivadas de funções de funções u=u(x)

Se f(x)=u(x)p onde u=u(x) é uma função derivável e p é um número real, então

f '(x) = p u(x)p-1.u '(x)

Se f(x)=u(x)v(x), onde u e v são funções deriváveis num intervalo I da reta real e para todo x no

intervalo I, se tem que u(x)>0. Então:

f'(x) = u(x)v(x) [(v(x).u'(x)/u(x)) + v'(x).ln(u(x))]

ou sem a variável x, como:

f' = uv [ v.u'/u + v'.ln(u)]

Resumo

Após o desenvolvimento desse breve trabalho podemos concluir que a teoria matemática tende a considerar uma grande variedade de atividades econômicas diferenciadas e que podem também atuar de forma interdependente.

De modo que, os modelos matemáticos vêm a envolver funções provenientes de um grande número de variáveis. As mesmas são determinadas de modo empírico e não através de teorias extremamente minuciosas. Por essa razão também foram apresentados problemas, os quais foram adotados funções simples para executar sua resolução, de modo que, esses se adaptassem da melhor maneira possível aos dados analisados. Contudo, é válido considerarmos que a Matemática vai tratar, a partir de técnicas que proporcionem o ajuste de funções não só lineares, mas também as chamadas quadráticas de muitas variáveis dos problemas observados, aproximando-as da realidade.

Referências Bibliográficas

Morettin, Pedro A. – Cálculo: funções de uma variável / São Paulo: Atual, 1987.

Links Sugerido:

http://www.brasilescola.com/matematica/

http://www.brasilescola.com/matematica/

PLT (Programa Livro Texto) 622, Matemática Aplicada a Administração Economia e Contabilidade, Afrânio Murolo e Giácomo Bonetto. (Cengage Learning)

Hariki, Seiji – Matemática aplicada: administração, economia, contabilidadeSão Paulo: Saraiva 2005.·.