IV Congresso RIBIE, Brasilia 1998

A FORMALIZAÇÃO DE CONCEITOS DA GEOMETRIA ANALÍTICAATRAVÉS DO MICROMUNDO LOGO

Odete SidericoudesNúcleo de Informática Aplicada à Educação - NIED

Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP - São Paulo - Brasile-mail: odetes@turing.unicamp.br / fax: (019) 239-4717

Relato de uma experiência realizada com alunos do segundo grau de uma escolapública utilizando um micromundo desenvolvido no ambiente computacional Logo. Ametodologia desenvolvida privilegiou o processo de construção dos conceitos matemáticosda Geometria Analítica (ponto, reta e distância). Partindo da investigação e da descobertaos problemas propostos em atividades de sala de aula conduziram inicialmente à geraçãoda construção de conceitos matemáticos e posteriormente à formalização dos mesmos.

Introdução

Uma nova visão de educação é decorrente das transformações na atual sociedadeimpostas pela presença de novas tecnologias de comunicação. O conceito de educação parao século 21, caminha para uma forma diversa e com isso o professor, ator principal detodo o processo de inovação educativa, deverá estar cada vez mais comprometido com amelhoria da qualidade do seu trabalho de sala de aula, da sua atuação como educadoratendendo às necessidades dos seus alunos e às transformações sociais.

As discussões sobre o que é, como se ensina e como se aprende a Matemáticaescolar (D'Ambrósio, 1986, D'Ambrósio, 1990) cada vez mais ganham espaço naComunidade de Educação Matemática Internacional e Brasileira indicando a necessidadede reflexões sobre novas propostas de ensino através de renovações na prática docente. Odesafio para os professores de Matemática, reside em criar ambientes de aprendizagem queincentivem o uso de ferramentas para enriquecer a exploração e investigação de umproblema e dar origem a outros problemas. Além disso, esses ambientes devem instigar oestudante a encontrar suas próprias respostas, permitindo uma liberdade e iniciativa nassuas ações.

Para trabalhar a Matemática com a utilização desses ambientes é necessário oprofessor acreditar que de fato o processo de aprendizagem se baseia na ação do aluno emresolução de problemas, em investigações e explorações dinâmicas de situações que ointrigam (D’Ambrosio, 1993). A participação do aluno na elaboração de seu conhecimentoé um dos pontos fundamentais da atual concepção de aprendizagem matemática. Estaparticipação deve ser orientada tendo em vista os conceitos a serem construídos, bem comoas tarefas a serem realizadas para que esta construção se efetive.

Para tanto, a função do professor deve ser a de orientar a aprendizagem, ou seja,a de instigar idéias na apresentação de uma proposta tendo como ponto de partida acolocação de um problema, a partir do qual se iniciará a discussão das idéias centrais dotema em questão, levando em conta os objetivos que se quer atingir.

Por problema, entende-se uma situação que desafie o aluno a descrever suashipóteses, a refletir, a procurar caminhos para solucioná-la, a buscar novas aplicações deconceitos e a aprofundar a compreensão dos mesmos, a exercitar a criatividade, ageneralizar propriedades, a descobrir outras soluções e a discutí-las, verificando ascondições para que elas sejam válidas.

A discussão do problema, o levantamento de hipóteses que conduzam à suasolução e a verificação da validade (ou não) destas são ocasiões muito propícias para queocorra a verbalização das observações feitas pelos alunos, o desenvolvimento de umalógica de raciocínio para defender a sua opinião e a avaliação do ponto de vista do seucolega. Além disso, um trabalho construtivo com os “erros”, encarando-os como parte daelaboração do saber matemático, o qual necessita passar por explicitações, confrontações ejustificações que levam à reformulação do raciocínio e do processo de resolução realizadose a verificação da existência ou não de outras soluções.

Uma outra questão a ser considerada é a importância de se propor ao alunoproblemas abertos, podendo apresentar diferentes soluções. A discussão de uma ou deoutras soluções, possibilita uma reflexão sobre os dados e diferentes estratégias utilizadase contribui para que não se instale no aluno a crença de que todo problema tem uma únicasolução. Através da discussão de uma situação-problema, instala-se um diálogo entreprofessor-aluno e aluno-aluno e é através dele que se concretiza um processo defamiliarização com os conceitos matemáticos envolvidos e suas representações. Antes dequalquer tentativa de formalização, os conceitos precisam ser construídos pelo aluno.Além disso, a discussão dos processos de resolução utilizados e os resultados obtidosfavorece a explicitação das observações realizadas levando a uma linguagem formal damatemática. Os problemas propostos em atividades de sala de aula devem servirinicialmente para gerar a construção de conceitos matemáticos e posteriormente aformalização dos mesmos, propiciando um novo paradigma educacional: o centrado naaprendizagem.

Segundo a abordagem Construtivista, a aprendizagem é um processo deconstrução onde o aluno, apropriando-se para o seu uso de materiais que ele encontra e demodelos sugeridos pela cultura que o rodeia, constrói suas próprias estruturas intelectuais.Baseando-se nessas considerações, Papert criou o termo Construcionismo (Papert, 1986)para mostrar um outro nível de construção do conhecimento: o sujeito aprende quandoconstrói alguma coisa, ou seja, aprende fazendo; e o sujeito aprende porque ao construiralguma coisa, há um interesse e envolvimento nessa ação, enfatizando a importância dainteração entre o sujeito e os objetos de sua cultura. Papert sugere meios através dos quaisnovos materiais e ambientes de aprendizagem podem ser criados com o objetivo desuportar e alimentar a ativa construção do conhecimento pelas crianças. Esses meiosdevem ser dotados de bons materiais que permitam ao aluno um envolvimento na criaçãode alguma coisa pessoalmente significativa (Falbel, 1993).

O computador é um dos materiais de construção e o ambiente de aprendizagemLogo é onde o computador pode ser utilizado através de uma linguagem específicadenominada linguagem de programação com a qual nos comunicamos com ele. Esseambiente educacional facilita o processo de construção do conhecimento na resolução deum problema, levando o aluno a raciocinar, descrever seu raciocínio matemático e arefletir sobre o resultado obtido. A reflexão sobre o resultado alcançado desencadeia umprocesso extremamente rico de reformulação do raciocínio original na busca de melhoressoluções. Portanto, nesse sentido a linguagem de programação Logo apresenta-se como umrecurso que favorece o estabelecimento deste tipo de processo de aprendizagem daMatemática através da atividade de programar. Como menciona Papert, o Logo é aMathland, permitindo a exploração de várias formas de resolução de problemas. (Papert,1980)

Logo é uma ferramenta que torna a Matemática concreta, palpável, atraente eacessível aos estudantes. Enquanto “brincam” com a tartaruga, esperando pelo resultadodas ordens dadas a ela na tela do computador, realizam pequenas descobertas nasconstruções geométricas.

“Assim, o uso do Logo pode resgatar a aprendizagem construtivista e tentar provocaruma mudança profunda na abordagem do trabalho nas escolas. Uma mudança que coloca aênfase na aprendizagem ao invés de colocar no ensino; na construção do conhecimento e não nainstrução” (Valente, 1993 p.20).

E a construção do conhecimento é alimentada pela ocorrência do ciclo descrição-execução-reflexão-depuração (Valente, 1993), através da interação do aluno com ocomputador na atividade de programar.

Pelo fato de Logo ser “uma linguagem de programação de propósito geral, ou seja,não foi projetada para resolver problemas de um domínio específico” (Rocha, 1991 p.141), seuconjunto de ações (comandos e operações) podem ser ampliados possibilitando a suaexploração em domínios específicos. Para cada domínio, existem comandos do Logo comos quais podem ser descritas as soluções dos problemas que compõem cada um deles.Esses sub-conjuntos de ações é denominado de micromundos.

Segundo Papert, micromundo é como “um sub-conjunto da realidade ou umarealidade construída, cuja estrutura casa com a estrutura de um mecanismo cognitivo de maneiraa prover um ambiente onde esta pode operar efetivamente” (Papert, 1980, p.204).

“O uso mais poderoso feito para mudar a estrutura epistemológica da aprendizagemdas crianças até o momento foi a construção de micromundos, nos quais as crianças exercematividades matemáticas porque o mundo para o qual elas sentem-se atraídas requer que elasdesenvolvam habilidades matemáticas particulares.” (Papert, 1994, p.22).

Diz ainda que estes mundos possibilita “...a oportunidade de aprender e de usar aMatemática através de um modo não-formalizado de conhecer encoraja ao invés de inibir aeventual adoção também de um modo formalizado...” (Papert, 1994, p.22). O micromundo daGeometria da Tartaruga é o exemplo clássico de micromundo. Três componentes definem

o que chamamos de micromundo: a existência de um ou mais objetos, o uso de umconjunto de primitivas que permite a manipulação do objeto e atividades as quais o alunodeve desenvolver com o objeto (Valente, 1990).

O micromundo pode ser definido pelo próprio aluno ou pelo professor. A criaçãodesse ambiente pode surgir da necessidade de promover ambientes com capacidade demotivar e desafiar o aluno a explorar conceitos matemáticos por meio de atividadesadequadas ao nível dos alunos.

O trabalho relata uma atividade de sala de aula desenvolvida com alunos de umaterceira série do 2º grau de uma escola pública que, através da investigação e descoberta,foram levados a formalizar conceitos matemáticos referentes ao tópico de GeometriaAnalítica com a criação de um micromundo no ambiente computacional Logo(Sidericoudes, 1996).

Apresentação da atividade e o motivo da escolha do tema

A escolha deu-se pelo fato da linguagem Logo possuir comandos quepossibilitam trabalhar com a Geometria das Coordenadas. A abordagem desse conteúdonuma aula tradicional, teórica, tendo como recurso didático giz e quadro-negronormalmente é desenvolvida apresentando num primeiro momento os conceitos referentesao assunto programado para aquela determinada classe. Após as apresentações dessesconceitos, solicitamos a resolução de exercícios extraídos de um livro didático, ou talvez,criados no momento. Essa é a prática habitual na abordagem tradicional. O aluno espera oprofessor conduzí-lo durante as aulas, determinando o quê e como realizar qualquer tarefaproposta. O processo de formalização dos conceitos matemáticos antecipa-se ao processode exploração, de construção do conhecimento.

Objetivo e Metodologia UtilizadaA atividade proposta tinha como objetivo levar o aluno a participar da

descoberta e assimilação das idéias matemáticas no micromundo da Geometria Analítica,através de atividades de resolução de problemas envolvendo ponto, reta e distâncias,privilegiando o processo de construção dos conceitos partindo da investigação e dadescoberta a uma explicitação e formalização dos conceitos matemáticos envolvidos.

A classe, uma terceira série do segundo grau, com trinta e oito alunos, divididaem 13 grupos, trabalhou em horário regular de aula, num total de aproximadamente vintehoras/aula durante o módulo de Matemática1, com duração de vinte e oito dias, ou seja,aproximadamente, cento e vinte horas/aula.

Pelo fato do ambiente ser um micromundo, definiu-se o objeto como o ponto, alinguagem de comunicação, os comandos ponhaponto ou pp, mudepos, mudex, mudey,coorx, coory, paracentro ou pc e atividades programadas para serem desenvolvidas como objeto, pertinentes ao micromundo da Geometria Analítica, como segue no Quadro 1.

Quadro 1 - Atividades elaboradas para o micromundo da Geometria Analítica 1 Conjunto de aulas ministradas intensa e excludentemente, durante um determinado tempo relativo à cargahorária de cada disciplina (Santos, 1994).

1) Marque alguns pontos na tela do computador e dê as coordenadas dos referidos pontos.2) Implemente um procedimento em Logo, utilizando os comandos do micromundo da

Geometria Analítica que, quando executado:a) desenhe o referencial cartesiano.b) coloque na tela do computador, um ponto em qualquer lugar do plano.c) desenhe um quadrado, onde um dos vértices é a origem do referencial cartesiano.d) desenhe um quadrado, onde a origem do referencial cartesiano é o ponto de encontro

das suas diagonais.e) desenhe uma reta l(A , B) paralela ao eixo dos y. Dê o valor da distância entre os

pontos A e B.f) desenhe uma reta l(C , D) paralela ao eixo dos x. Dê o valor da distância entre os pontos

C e D.g) desenhe uma reta l(E , F) qualquer no plano. Dê o valor da distância entre os pontos E

e F.

ResultadosOs alunos começaram o trabalho, elaborando os procedimentos seguindo uma a

ordem descrita acima. A primeira tarefa tinha como objetivo que os alunos, num primeiromomento de investigação, explorassem a tela do computador, utilizando o objeto e alinguagem definida para o micromundo da Geometria Analítica.

No desenvolvimento da atividade, os alunos utilizaram os comandos pp,mudepos, mudex, mudey, coorx, coory e pc para a elaboração dos procedimentos. Acada procedimento elaborado pelos grupos, era realizada uma discussão e reflexão coletivados conceitos utilizados para a elaboração dos mesmos, por meio da apresentação dasatividades desenvolvidas por todos os grupos na lousa branca, com o intuito de explicitar eformalizar os conceitos matemáticos envolvidos nos procedimentos elaborados.

Dessa forma, todas as atividades propostas quando concluídas, eram discutidas eanalisadas pela classe mediadas pela professora. A partir da diversidade de resolução dasatividades por parte dos grupos, chegou-se a uma explicitação e formalização dosconceitos matemáticos.

Desenvolvimento da experiência por um grupo de alunosO desenvolvimento das atividades propostas será comentada abaixo e para

facilitar o acompanhamento por parte do leitor, a atividade proposta será seguida pelo seudesenvolvimento.

1) Marque alguns pontos na tela do computador e dê as coordenadas dos referidos pontos.No desenvolvimento da primeira atividade solicitada, os alunos começaram pela

exploração da tela, no modo direto de uso, solicitando ao computador que executasse asinstruções dadas. Essas instruções, utilizando o comando pp solicitavam que a tartarugacolocasse um ponto em algum lugar da tela.

E assim solicitaram:? pp [30 20]

A execução produz o desenho de um ponto no plano, cujas coordenadas sãoabscissa 30 e ordenada 20.

? pp [30 200]Produz na tela o desenho de um ponto no plano, cujas coordenadas são abscissa

30 e ordenada 200. Apesar da ordem recebida ser executada, não produz resultado na telapor ser um espaço visível limitado. Um dos objetivos dessa atividade era a de alertar aoaluno sobre esse fato. A partir daí, investigaram a área visível do espaço da tela a serexplorado. Experimentaram diversos valores para as coordenadas do ponto e a cada ordemexecutada, analisavam o resultado obtido.

2) Implemente um procedimento em Logo, utilizando os comandos do micromundo daGeometria Analítica que, quando executado:a) desenhe o referencial cartesiano.

Para a elaboração do procedimento que desenha o referencial cartesiano, osalunos não apresentaram dificuldades, por já conhecerem e terem utilizado esse conceitomatemático em outros conteúdos vistos anteriormente. E assim foi definido:

aprenda eixosmudex 100 mudex -100mudex 0mudey 100 mudey -100mudey 0fimO procedimento eixos desenha na tela do computador os eixos de coordenadas x

e y perpendiculares entre si, passando pelo centro ou origem do sistema cartesianoortogonal, dividindo o plano em quatro regiões. No Logo, o ponto [0 0] é a posição inicialda tartaruga. No procedimento eixos, o comando mudex 100 desloca a tartaruga nahorizontal, deixando um rastro equivalente a 100 passos à direita do centro da tela emudex -100, desloca a tartaruga na horizontal o equivalente a 200 passos de onde ela seencontrava, isto é, a 100 passos à esquerda do centro da tela. O comando mudex 0 devolvea tartaruga para a sua posição inicial (centro). De forma análoga, ocorre com os comandosmudey 100 e mudey -100, deslocando a tartaruga na vertical acima e abaixo do centro emudey 0 retornando ao centro. A execução do procedimento resultará a Figura 1:

Figura 1 - Resultado da execução do procedimento eixos na tela do computador

b) coloque na tela do computador, um ponto em qualquer lugar do plano.Para a elaboração de um procedimento que colocasse na tela do computador um

ponto em qualquer lugar do plano, pensaram da seguinte maneira: é preciso implementarum procedimento, que, quando executado, desenhe qualquer ponto no plano, como orealizado na primeira atividade. E começaram, implementando o seguinte procedimento:

aprenda pontopp [20 30]fimQuando executado, desenha o ponto de coordenadas 20 e 30 como na Figura 2.

Figura 2 - Resultado da execução do procedimento ponto na tela do computador

Perceberam que era semelhante a primeira atividade. Para solicitar um outroponto, precisariam de um outro procedimento, ou seja, para cada ponto um procedimento.Não era o mais indicado. Necessitavam de um único procedimento que, quando executado,desenhasse qualquer ponto solicitado.

Então, elaboraram um outro procedimento e "brincaram" várias vezes com omesmo, modificando seus valores e com isso, perceberam que a cada novo valor dado daabscissa do ponto (x) e da ordenada (y), o ponto tinha novo "endereço". Segundo osalunos, esse "endereço" era representado por uma dupla de números reais que variavam epor essa razão, elaboraram um procedimento, utilizando dois parâmetros. Assim:

aprenda ponto :x :ypp lista :x :yfimSegundo os alunos do grupo, esse procedimento foi elaborado, utilizando o

comando pp por ser mais apropriado para essa situação pois, quando executado, age daseguinte forma: a tartaruga se desloca até o local representado pela dupla de valores,coloca um ponto e retorna a sua posição inicial. Exploraram o procedimento por inúmerasvezes e perceberam que em duas situações o resultado da execução não era visível na tela:quando atribuiam um valor para :x ou para :y acima do valor que pudesse aparecer natela, ou o valor 0. Como o resultado da execução não pôde ser visto, decidiram alterar oprocedimento, escrevendo assim:

aprenda ponto :x :ymudecl 1se (:x > 150 e :x < -150) [esc [ Você não vai poder me ver] pare]se (:y > 150 e :y < -150) [esc [ Você não vai poder me ver] pare]

pp lista :x :yfimA alteração do procedimento tinha como objetivo delimitar o intervalo de valores

atribuídos às coordenadas do ponto solicitado e atribuir ao lápis uma cor diferente dautilizada para o desenho do referencial cartesiano. Foi percebido que, na condição dada noprocedimento ponto, escreveram a conclusão a que chegaram durante a exploraçãorealizada.

Essa atividade possibilitou aos alunos a exploração das propriedades dos pontosno sistema cartesiano. Puderam perceber em que condições um ponto pertence ao eixo dasabscissas, ao eixo das ordenadas e aos quatro quadrantes. Isso ficou em evidência quandodecidiram, pela segunda vez, alterar o procedimento. Pensaram o seguinte: toda vez que atartaruga colocasse o ponto solicitado, deveria escrever na tela do computador a sualocalização. E assim procederam:

aprenda ponto :x :ymudecl 1se :x > 150 e :x < -150 [esc [ Você não vai poder me ver] pare]se :y > 150 e :y < -150 [esc [ Você não vai poder me ver] pare]se :x = 0 [ esc [ (sn lista :x :y lista [pertence ao eixo x ])]se :y = 0 [ esc [ (sn lista :x :y lista [pertence ao eixo y ])]se (:x > 0 e :y > 0) [esc [ (sn lista :x :y lista [pertence ao 1° quadrante])]se (:x < 0 e :y > 0) [esc [ (sn lista :x :y lista [pertence ao 2° quadrante])]se (:x < 0 e :y < 0) [esc [ (sn lista :x :y lista [pertence ao 3° quadrante])]se (:x > 0 e :y < 0) [esc [ (sn lista :x :y lista [pertence ao 4° quadrante])]pp lista :x :yfim

Figura 3 - Resultado da execução do procedimento ponto -40 30 na tela do computador

c) desenhe um quadrado, onde um dos vértices é a origem do referencial cartesianoPara elaborarem o procedimento que desenha um quadrado, onde um dos vértices

é a origem do referencial cartesiano, decidiram elaborar um procedimento que, quandoexecutado, desenha um quadrado de lado 40 no primeiro quadrante, isto é, o vértice opostoao vértice que é a origem do sistema, está no primeiro quadrante. Assim:

aprenda quamudepos [0 40]mudepos [40 40]

mudepos [0 40]mudepos [0 0]fimDa mesma forma que elaboraram um procedimento que desenha um quadrado no

primeiro quadrante, poderiam elaborar outros procedimentos que desenham um quadradonos outros três quadrantes. Essa maleabilidade acontece também em relação aos comandosutilizados no procedimento. Assim como utilizaram o comando mudepos, poderiamtambém utilizar os comandos mudex e mudey que integram o micromundo da GeometriaAnalítica e obter o mesmo resultado desejado. Exemplificando:

aprenda quamudex 40mudey 40mudex 0mudey 0fimA execução dos dois procedimentos é apresentada abaixo na Figura 4:

Figura 4 - Resultado da execução do procedimento qua na tela do computador

A seguinte solicitação era a de desenhar um quadrado, em que a origem doreferencial cartesiano é o ponto de encontro de suas diagonais

A elaboração do procedimento solicitado foi fácil, pois puderam basear-se naatividade anterior. Levantaram a hipótese de que quando executado o procedimento,apareceria na tela uma figura composta por quatro figuras semelhantes à figura desenhadaanteriormente, onde cada quadrado apareceria em cada um dos quatro quadrantes, isto é,os vértices da figura solicitada seriam pontos pertencentes aos quatro quadrantes e que oquadrado maior seria um quadrado com o dobro do valor atribuído para o lado doquadrado maior, conforme a Figura 5 abaixo:

Figura 5 - Resultado da execução do procedimento qua1 na tela do computador

Para obterem essa figura, o procedimento foi elaborado da seguinte forma:aprenda qua1mudepos [40 0]mudepos [40 40]mudepos [-40 40]mudepos [-40 -40]mudepos [40 -40]mudepos [40 0]mudepos [0 0]fimPerceberam que o procedimento, apesar de ter sido escrito com os valores 40 e -

40 para as coordenadas, desenha um quadrado de lado 80. Essa atividade propiciou aoportunidade aos alunos, quando comparado com a atividade dos demais grupos, verificarque os vértices da figura apresentavam outras propriedades: os pontos eram simétricos emrelação ao eixo das abscissas e em relação ao eixo das ordenadas e ainda, que os vérticessimétricos em relação ao centro do sistema pertenciam às bissetrizes dos quadrantes pares(2° e 4° quadrantes) e ímpares (1° e 3° quadrantes). Exemplificando, o ponto (40 , 40) ésimétrico ao ponto (40 , -40) em relação ao eixo x e simétrico ao ponto (-40 , 40) emrelação ao eixo y.

e) desenhe uma reta l(A , B) paralela ao eixo dos y. Dê o valor da distância entre ospontos A e B.

Para desenhar essa reta, perceberam que o comando a ser utilizado para aelaboração do procedimento reta era o comando mudepos, pois esse comando faz atartaruga se deslocar da posição anterior para a posição solicitada, deixando um rastro nasua trajetória, se a tartaruga estiver usando lápis. Também que, se a reta for paralela aoeixo das ordenadas, os pontos que formam essa reta deveriam apresentar valores iguais àsabscissas dos pontos e valores diferentes às ordenadas dos mesmos. Por exemplo: o pontode coordenadas 20 e 10 e o ponto de coordenadas 20 e 50 formam uma reta paralela aoeixo y. E dessa forma elaboraram o procedimento:

aprenda retaun mudepos [20 10]ul mudepos [20 50]

fimA execução do procedimento tem o efeito apresentado na Figura 6.

Figura 6 - Resultado da execução do procedimento reta na tela do computador

Para o cálculo da distância entre esses dois pontos verificaram que bastariasubtrair os valores atribuidos às ordenadas dos dois pontos e obteriam o valor procurado.Fizeram a operação, mas encontraram dois valores diferentes, sendo um positivo e outronegativo. Para resolver essa situação, foram interpelados e lembrados pela professora dadefinição de módulo de um número real. Quando foram testar para outros valores, notaramque o procedimento da forma que foi elaborado, não permitia que os valores fossemsubstituídos por não terem elaborado o procedimento com parâmetros. Então, resolveramsubstituí-lo por outro procedimento que permitisse a sua execução com valores diferentes.

E assim foi implementado:aprenda reta1 :x :y1 :y2atribua “s (:y2 - :y1)un mudepos lista :x :y1ul mudepos lista :x :y2se :s < 0 [ atr “s :s * -1]mo :sfimEsse procedimento descreve claramente o que os alunos raciocinaram. O

procedimento reta1 :x :y1 :y2 revela que os alunos atribuiram a x um valor e a y doisvalores diferentes. O comando un mudepos lista :x :y1 suspende o uso do lápis e deslocaa tartaruga para o ponto de coordenadas :x e :y1, e o comando ul mudepos lista :x :y2devolve o uso do lápis e desloca a tartaruga verticalmente para o ponto de coordenadas :xe :y2. O comando atr “s (:y2 - :y1) atribui um nome (s) ao resultado da subtração dasordenadas dos dois pontos e se :s < 0 [ atr “s :s * -1] verifica o valor da diferença (:s),obedecendo a definição de módulo de um número real e por fim com o comando mo :spede que ele mostre o resultado obtido, que no caso trata-se da distância entre os doispontos.Exemplificando: o procedimento reta1 50 80 10 tem o efeito na tela conforme aFigura 7 e mostra o resultado do cálculo realizado.

Figura 7 - Resultado da execução do procedimento reta1 50 80 10 e o valor da distânciaentre os dois pontos extremos na tela do computador

f) desenhe uma reta l(C , D) paralela ao eixo dos x. Dê o valor da distância entre ospontos C e D.

De forma análoga, elaboraram o procedimento que desenha uma reta paralela aoeixo dos x. Na implementação desse procedimento, colocaram os valores das ordenadasiguais, variando apenas os valores das abscissas. Assim:

aprenda reta2 :x1 :x2 :yatribua “s (:x1 - :x2)un mudepos lista :x1 :yul mudepos lista :x2 :yse :s < 0 [atr “s :s * -1]mo :sfimNota-se que nesse procedimento os alunos, diferentemente do anterior, colocaram

as parcelas da subtração invertidas na ordem que se apresentavam no procedimentoanterior. Indagados pela professora sobre o motivo pelo qual foram levados a usar essamaneira, responderam que tanto fazia a ordem das parcelas, pois no procedimento jáhaviam dado a condição da definição de módulo de um número real para ser executadacaso precisasse.

g) desenhe uma reta l(E , F) qualquer no plano. Dê o valor da distância entre ospontos E e F.

Iniciaram a atividade pensando em desenhar dois pontos que determinassem umareta qualquer. Sabiam que precisariam desenhar uma reta usando parâmetros, porque oprocedimento serviria tanto para retas paralelas aos eixos x ou y quanto para retas nãoparalelas aos eixos x ou y. Então começaram a pensar com valores fixos e implementaramum procedimento denominado reta3 com a seguinte descrição:

aprenda reta3un mudepos [10 30]ul mudepos [40 50]fimExecutaram o procedimento e obtiveram o resultado da Figura 8.

Figura 8 - Resultado da execução do procedimento reta3 na tela do computador

Ficaram olhando para a tela tentando adivinhar quanto valeria a distância entreos pontos dados. Cada elemento do grupo chutava um valor para a distância e verificavama sua validade realizando a seguinte operação: colocavam a tartaruga na posição inicial[10 30], tentavam direcionar a tartaruga para o outro ponto [40 50] e com a utilização docomando pf iam movimentando a tartaruga o número de passos que acreditavam ser ovalor correspondente à distância entre os dois pontos. Depois de tentarem algumas vezes, aprofessora que já havia percebido o problema que estavam enfrentando, interferiuperguntando sobre o resultado obtido nas operações realizadas por eles.

Disseram que não estava acontecendo o que eles imaginavam, e que aqueladistância não era possível de ser calculada. Primeiramente, a professora perguntou sobre adireção que eles atribuiam à tartaruga quando movimentavam-na sobre a reta e disseramque estavam chutando um valor qualquer. A professora mostrou que essa não era a melhorestratégia para a resolução do problema, visto que não conheciam a direção que atartaruga deveria assumir para realizar aquela trajetória. A direção que a tartaruga deveriaassumir correspondia ao valor do ângulo formado pela reta desenhada e por uma outra retaparalela ao eixo dos x. Em segundo lugar, foram alertados em relação aos comandosutilizados no micromundo da geometria analítica e que o pf não poderia movimentar oponto dado neste contexto. Terceiro, ela sugeriu que retomassem e refletissem a atividadedesenvolvida por eles quando desenharam um quadrado onde a origem do sistemacartesiano era o encontro das diagonais desse quadrado, ou seja, o procedimentodenominado qua1. Essas intervenções foram propositais, visto que o objetivo era alertá-lospara a possibilidade de utilizarem o que já haviam realizado para auxiliá-los na resoluçãodo problema.

Foi pedido que pensassem numa outra estratégia e que tentassem executá-la.Então, solicitaram que a tartaruga executasse o procedimento qua1 (desenha

quatro quadrados de lado 40 cada um). Analisaram o desenho apresentado na tela einiciaram as discussões e cada um apresentava a sua idéia para a resolução do problema.Um deles sugeriu que no quadrado desenhado na tela traçassem as diagonais para depoispensar o que fazer. E assim fizeram. Colocaram a tartaruga no vértice pertencente aoprimeiro quadrante ( un mudepos [40 40] ) e com o comando ul mudepos [-40 -40]obtiveram a diagonal do quadrado de lado 80. Concluída a operação, continuaram com asconjecturas. Obtiveram uma das diagonais, e essa “cortava” os dois quadrados menores

(primeiro e terceiro quadrante) em dois triângulos iguais. Perceberam que, no casoespecífico, tratava-se de triângulos retângulos isósceles, como mostra a Figura 9 abaixo:

Figura 9 - Execução do procedimento qua1 com o desenho de uma das diagonais

Enquanto levantavam hipóteses para a resolução do problema, rabiscavam emuma folha de papel que estava ao lado do computador. Desenharam uma parte do desenhoda tela na folha de papel. O desenho tratava-se do triângulo retângulo de vértices (0 0), (400) e (40 40). Anotaram ao lado de cada cateto o valor 40 e escreveram sobre o traço dahipotenusa a palavra distância, como mostra a Figura 10.

Figura 10 - Desenho de uma parte da tela do computador feito pelos alunos nopapel

A professora chegou mais próximo do grupo e pediu para verificar o que haviamrealizado no papel e imediatamente os alunos explicitaram que pretendiam realizar. Aorelatarem, a professora percebeu que, além de expor suas idéias, o grupo pretendia obter aaprovação da mesma. Essa insegurança, é decorrência do tipo de abordagem em sala deaula a que estão acostumados. Quando esbarram em algum problema esperam que oprofessor decida por eles.

Explicando que a figura desenhada tratava-se de um triângulo retângulo,perguntaram se a distância entre os pontos poderia ser calculada com o uso da fórmula doTeorema de Pitágoras. A resposta foi afirmativa, seguida de elogios pela idéia e pelo fatode terem conseguido perceber que tratavasse dessa figura. Antes de realizarem o cálculojuntos, professor e alunos, com o uso da fórmula citada (o valor da distância entre ospontos), a professora perguntou como chegaram ao valor 40 atribuído aos catetos eresponderam que os catetos eram a projeção dos pontos no eixo de x e no eixo de y e porisso calcularam essa medida, utilizando o conceito utilizado na atividade anterior.

Após os cálculos realizados, foi lançada a eles uma questão instigante: “Se ahipotenusa que calculamos é a distância entre os pontos (0 0) e (40 40), comoimplementar um procedimento que calcula a distância entre outros dois pontos?”

Para a implementação do procedimento dist, decidiram que utilizariam oconceito de parâmetro, pois o procedimento deveria ser utilizado para desenhar e calculara distância entre dois pontos quaisquer. E elaboraram um procedimento com 4 parâmetros.Assim:

aprenda dist :x1 :x2 :y1 :y2un mudepos lista :x1 :y1ul mudepos lista :x2 :y2atr “s1 (:x2 - :x1)atr “s2 (:y2 - :y1)atr “d ( rq (:s1 * :s1) + (:s2 * :s2))mo :dfimO procedimento dist :x1 :x2 :y1 :y2 que tem como parâmetros os valores das

coordenadas de dois pontos quaisquer, desenha uma reta na tela do computador, calcula adiferença das coordenadas dadas, a distância entre dois pontos, utilizando a fórmula doTeorema de Pitágoras e mostra o valor calculado. No procedimento dist :x1 :x2 :y1 :y2, alinha de comandos un mudepos lista :x1 :y1, desloca a tartaruga, sem riscar a tela, docentro do sistema para o ponto de coordenadas :x1 :y1. Em seguida, usando o lápis (ul)desloca para o ponto de coordenadas :x2 :y2 com o comando mudepos lista :x2 :y2,desenhando uma reta na tela do computador. Calcula a diferença das coordenadas dadas,com os comandos atr “s1 (:x2 - :x1) e atr “s2 (:y2 - :y1) onde s1 é a diferença dasabscissas e s2 a diferença das ordenadas. A linha dos comandos atr “d (rq (:s1 * :s1) +(:s2 * :s2)) calcula a distância entre dois pontos através da fórmula do Teorema dePitágoras e o comando mo :d mostra o valor calculado da distância entre os dois pontosdados.

Durante a elaboração do procedimento, os alunos, apesar de usarem o conceitode subtração das coordenadas, não utilizaram o conceito de módulo de um número realcomo haviam utilizado anteriormente. Perguntado ao grupo o motivo de não o utilizarem,explicaram que esse conceito foi substituído pelo conceito de potência em ( :s1 * :s1 ) e (:s2 * :s2 ), pois essas operações sempre terão como resultado um valor positivo.

O papel da professoraCom a realização dessa experiência o propósito da professora foi o de

proporcionar um ambiente de aprendizagem que possibilitasse ao aluno desenvolver oprocesso de construção do seu conhecimento e a explicitação e formalização dos conceitosmatemáticos referentes ao tópico de Geometria Analítica através da investigação edescoberta.

Para atingí-lo, foram organizadas atividades de resolução de problemas,envolvendo ponto, reta e distância que pudessem ser trabalhadas no ambiente escolhido.Além da escolha do ambiente Logo, foi criado um micromundo para a Geometria Analítica

onde os conteúdos do currículo da referida classe pudessem ser manipulados através doscomandos da linguagem.

Como procedimento didático, as atividades foram desenvolvidas de formaorientada e estimulada procurando sempre criar condições de envolvimento na busca,indagação, descoberta e tentativa de soluções alternativas para a resolução dos problemasno desenvolvimento das tarefas de modo cooperativo.

A participação da professora como membro dos grupos e não comocoordenadora, reforçou a interação ativa entre professor-aluno e aluno-aluno, conseguindo,por meio de tarefas construtivas e problemáticas resolvidas em grupos, o desafio àsatividades mentais dos alunos.

Durante todo o desenvolvimento da atividade, o papel de desiquilibradora aopropor problemas e ao pedir aos alunos para avaliar ou julgar as idéias apresentadas,propiciou um espaço para que eles conseguissem desenvolvê-las e ultrapassar asdificuldades surgidas.

A todo momento incentivou a variedade de descrições computacionais. Como otrabalho foi desenvolvido em grupos, a cada atividade concluída solicitava aos váriosgrupos os procedimentos elaborados para uma reflexão coletiva. Essa foi a oportunidadede mostrar e discutir as várias formas de resolução de problemas, apontando os conceitos eestratégias utilizados por eles.

A constante investigação na realização das atividades motivadas pela descrição-execução-reflexão-depuração (Valente, 1993b) na implementação dos procedimentos foi ocomponente principal para a ocorrência da explicitação e da formalização dos conceitosmatemáticos envolvidos.

Discussão GeralA partir do acompanhamento e das observações realizadas pela professora

durante o desenvolvimento das atividades, destacam-se alguns comentários a cerca daexperiência.

Na primeira atividade solicitada, como a intenção era a exploração da tela docomputador através dos comandos pertinentes ao micromundo criado para a GeometriaAnalítica, os alunos limitaram-se às instruções, manuseando apenas as coordenadas de umponto, no modo direto de uso.

Vários pontos foram explorados até que chegassem aos valores que delimitam aárea visível da tela do computador. Atribuiram diferentes valores às abscissas e àsordenadas, alternando-os por positivos, nulos e negativos. Essa atividade permitiu que osalunos percebessem que existe um referencial cartesiano não visível na tela do computadore que a localização de um ponto depende dos valores dados às suas coordenadas.

Notou-se que os alunos, de uma maneira geral, no início da exploração atribuíamvalores baixos para as coordenadas pois estavam acostumados com a escala utilizada emsala de aula com o uso da régua graduada e ao executar, obtinham como resultado pontosmuito próximos da origem (0 , 0). Para obter pontos mais distantes da origem, decidiramexplorar valores maiores até que alguns desses pontos não apareciam na tela. A partir daífoi possível a determinação do espaço visível da tela do computador.

Na discussão da atividade com a participação de todos os grupos, regastou-se oconceito de escala, conceito tão pouco explorado numa abordagem tradicional onde utiliza-se, na maioria das vezes, a régua graduada como único instrumento de medição.

Na segunda atividade onde é solicitada a implementação de um procedimento quedesenhe um referencial cartesiano, os alunos basearam-se nos limites encontrados da áreavisível da tela do computador. Alguns elaboraram um procedimento que desenhava oreferencial cartesiano, ocupando toda a tela visível, outros optaram por parte dela.

Em alguns procedimentos utilizaram os comandos mudex e mudey e nos outrosmudepos, obtendo resultados semelhantes.

Após a atividade pronta, novamente realizou-se uma discução com todos osgrupos sobre os procedimentos realizados por eles, ressaltando os comandos utilizados,sua sintaxe e execução. Dessa forma, foi possível exibir as diferentes formas deimplementar um mesmo procedimento apontando e ressaltando a possibilidade que o Logopermite de resolver um mesmo problema de diferentes maneiras.

Para a atividade seguinte: colocar na tela do computador um ponto qualquer,deveriam implementar um procedimento que desenhasse um ponto qualquer na tela.Iniciaram a atividade, elaborando um procedimento sem o uso de variável comoparâmetro. Após várias execuções, verificaram que a cada novo ponto precisavam alteraros valores das coordenadas atribuidas no procedimento executado.

A intenção da atividade proposta era a de que os alunos percebessem anecessidade do uso de parâmetros no procedimento ponto visto que a cada ponto ascoordenadas assumiam valores diferentes. Modificaram por diversas vezes o procedimentoponto até que chegaram ao procedimento, dito por eles, geral:

aprenda ponto :x :ypp lista :x :yfimDurante a elaboração do procedimento, observou-se que na maioria dos grupos,

a dificuldade era em relação à sintaxe da linguagem, pois nas várias tentativas de executaro procedimento, a máquina reclamava por não entender as informações dadas. A todamensagem de erro, a professora era solicitada para ajudá-los quanto à sintaxe dalinguagem.

Após a depuração do procedimento, foi realizado comentários acerca dodesenvolvimento da atividade proposta solicitando que os procedimentos elaborados porcada grupo fossem apresentados.

Na apresentação dos procedimentos, os alunos também mostravam a execuçãodos procedimentos. Em alguns casos, quando executado o procedimento, o ponto nãoaparecia na tela. Ou o ponto estava sobre os eixos ou os valores atribuídos às coordenadasdo ponto não pertenciam ao intervalo de valores pertencentes à área visível da tela.Novamente, estavam com o problema da área visível da tela e quando questionadapercebia-se a necessidade de colocarem no procedimento uma condição para que eleexecutasse de maneira mais eficiente. Foi comentado sobre a existência da condicional noLogo para esses casos já que o programa ao ser executado deveria obedecer os limites paraa área visível da tela e explicado a sua utilização.

E assim, alteraram o procedimento ponto colocando na primeira linha ocomando mudecl 1 para que desenhasse o ponto com outra cor do desenho dos eixos e nassegunda e terceira linhas uma condição com se (:x > 150 e :x < -150) [esc [Você não vaipoder me ver] pare] e se (:y > 150 e :y < -150) [esc [Você não vai poder me ver] pare]tanto para a abscissa x como para a ordenada y determinando os limites da área visível.

Essa discussão oportuna para lançar mais um desafio para os alunos com estaquestão: “O que devo fazer para que o computador escreva o local do ponto que eledesenhou?” com o intuito de que investigassem sobre a localização de um ponto no planocartesiano.

Formulada a pergunta as idéias foram surgindo e cada grupo, com suasestratégias, tentava implementá-las. Alguns incrementaram mais rápido e sem dificuldadeso procedimento elaborado e os outros com mais dificuldades pediam auxílio aos colegas oua professora. Essa troca de informações gerou uma discussão entre professora e alunossobre o reconhecimento e localização de um ponto no plano; quais as coordenadas doponto e a região do plano a que pertence o ponto. Cada grupo tinha a sua opinião e nessemomento, percebeu-se que era preciso analisá-las e a professora se dirigiu para a lousabranca. Iniciou a análise com os alunos, solicitando a cada grupo as idéias e opiniões. Iaanotando-as na lousa, para dar início à reflexão coletiva onde as idéias eram colocadas e apartir disso, os conceitos utilizados referentes a quadrantes e propriedades dos eixoscoordenados, iam sendo generalizados e formalizados.

A partir dessa reflexão coletiva, os alunos voltaram a trabalhar e incrementaramo procedimento ponto, atribuindo as condições necessárias para que o programa fosseexecutado como pretendiam.

Depois de concluída a atividade, iniciaram a implementação de um procedimentoque desenhasse um quadrado, onde um dos vértices desse quadrado fosse a origem doreferencial cartesiano.

Essa atividade foi desenvolvida sem muita dificuldade pelos grupos, mas foi deextrema utilidade para a discussão quanto às diferentes formas de resolução de um mesmoproblema. Cada grupo apresentou uma solução. Quanto a utilização dos comandos,pertinentes ao micromundo da Geometria Analítica, alguns grupos optaram por mudepos,outros por mudex e mudey para desenharem o quadrado e quanto a localização doquadrado os grupos optaram pelos quatro diferentes quadrantes. Com isso, obtivemosdiferentes soluções para a mesma atividade. Essa maleabilidade que a linguagem Logopermite é muita rica no sentido de mostrar ao aluno que a resolução de um problema nãoestá rígida a fórmulas ou receitas e que não existe uma única forma de resolver umproblema.

Como o previsto, essa atividade serviu como suporte para a atividade seguinteque solicitava que desenhassem um quadrado, onde a origem do referencial cartesiano é oponto de encontro de suas diagonais.

Para a sua implementação poderiam pensar de diferentes formas: a primeira,poderiam implementar um procedimento que desenha um único quadrado onde o ponto deencontro de suas diagonais é o centro do referencial cartesiano; a segunda poderiamimplementar um procedimento que desenha quatro quadrados, como os da atividade

anterior, cada um localizado num dos quatro quadrantes. A execução dos doisprocedimentos geraria uma mesma figura. E foi o que ocorreu. Cada grupo resolveu oproblema da sua maneira, procurando a mais amigável possível.

O desenvolvimento desta atividade permitiu a exploração, discussão,generalização e a formalização de conceitos como: propriedades dos eixos coordenados,propriedades das bissetrizes dos quadrantes, simetria dos pontos e diagonais.

As duas atividades seguintes: desenhar uma reta l(A , B) paralela ao eixo dos y edesenhar uma reta l(C , D) paralela ao eixo dos x, dando o valor da distância entre ospontos A e B e entre os pontos C e D têm a elaboração dos procedimentos de formaanálogas. O objetivo era que trabalhassem com esses conceitos para poderem desenvolvera última atividade.

Iniciaram as atividades, implementando um procedimento sem o uso de variávelcomo parâmetro com a preocupação apenas de testarem os procedimentos. Atribuiamvalores diferentes às ordenadas e iguais às abscissas para conseguirem uma reta l(A , B)paralela ao eixo y e valores iguais às ordenadas e diferentes às abscissas para obteremuma reta l(C , D) paralela ao eixo x. Também testaram os comandos que melhor serviriampara a elaboração do procedimento e verificaram que o comando mudepos era o maisadequado para a situação pelo fato dele arrastar a tartaruga na tela deixando um rastrocaso usasse lápis.

Depois de vários testes, implementaram um procedimento para desenhar umareta l(A , B) paralela ao eixo y. Esta parte da atividade foi resolvida com uma certafacilidade o que não ocorreu com a outra parte que pedia o valor da distância entre ospontos A e B.

Para a determinação da distância entre os pontos A e B, logo perceberam que aresolução tratava-se de uma operação de subtração entre os valores das ordenadas ou dasabscissas. Mas, em alguns casos o valor da distância quando calculado era um númeronegativo. “E daí? O que fazer?” diziam os alunos. Começou a discussão sobre comoresolver a questão.

Novamente a professora dirigiu-se à lousa branca e lembrou-os dos axiomassobre medição de segmentos da geometria plana onde diz que: a todo par de pontos doplano corresponde um número maior ou igual a zero. Esse número é chamado de distânciaentre os pontos ou o comprimento do segmento determinado pelos dois pontos. Os pontospodem ser sempre colocados em correspondência biunívoca com os números reais, demodo que a diferença entre estes números meça a distância entre os pontoscorrespondentes. É equivalente tornar a diferença entre as coordenadas dos pontos emqualquer ordem, e em seguida, considerar o seu valor absoluto.

A partir dessa explanação, alguns grupos começaram a implementar osprocedimentos, seguindo as idéias sugeridas pela professora que eram: utilizar o conceitode valor absoluto ou ensinar ao computador que ao realizar a diferença entre dois númerosfizesse-o sempre quando o primeiro número fosse maior que o segundo número. E assimfizeram. Alguns implementaram o procedimento dessa forma:

aprenda reta1 :x :y1 :y2atribua “s (:y2 - :y1)

un mudepos lista :x :y1ul mudepos lista :x :y2se :s < 0 [ atr “s :s * -1]mo :sfime outros implementaram o procedimento assim:aprenda reta1 :x :y1 :y2se :y1 < :y2 [atribua “s (:y2 - :y1)] [atribua “s (:y1 - :y2)]un mudepos lista :x :y1ul mudepos lista :x :y2mo :sfimEmbora a implementação dos procedimentos acima apresentam-se diferentes, o

resultado de suas execuções são exatamente iguais. No primeiro, o grupo utilizou oconceito de valor absoluto (se :s<0 [atribua “s :s * -1] ), quando pediu que o resultado dadiferença entre os números fosse multiplicado pelo fator -1 caso o resultado fosse menorque zero e no segundo procedimento, o grupo deu a condição para que o computador, aoverificar a relação entre as ordenadas dos pontos, através dos comandos (se :y1 < :y2 [atribua “s (:y2 - :y1)] [atribua “s (:y1 - :y2)] realizasse a diferença entre o maior e omenor dos valores das coordenadas dos pontos.

Quando executados, ambos dão como resposta o mesmo valor. Isso mostra amaleabilidade do ambiente Logo em permitir que os alunos resolvam o problema da formaque acharem conveniente, ou seja, empregem as estratégias que forem mais “confortáveis”para eles. A diversidade na implementação dos procedimentos é um fator propiciador paraa geração de conflitos entre os alunos ocasionando a aquisição de novos conceitos. Aliberdade na maneira de resolver um problema é favorecida palo ambiente que é aberto,onde os alunos resolvem suas tarefas com liberdade de expressão, colocando em prática asua própria maneira de pensar, validar resultados e construir argumentos que convençam.

Da mesma forma realizaram a implementação do procedimento que desenhauma reta l(C , D) paralela ao eixo de x e com essas atividades, foram resgatados enomeados alguns conceitos usualmente utilizados.

Na última atividade proposta, desenha uma reta l(E , F) qualquer no plano, jáhaviam trabalhado com noções de distâncias entre dois pontos através da resolução dasduas atividades anteriores, onde as retas eram paralelas aos eixos. Nesse caso, desenharuma reta qualquer, o cálculo da distância entre as coordenadas dos pontos exigia umpouco mais dos alunos. Começaram a levantar hipóteses de como solucionar o problema.

Iniciaram, testando novamente com valores atribuídos às coordenadas e sentiramnecessidade de ir realizando a mesma operação no papel. Desenharam no papel o sistemacartesiano e dois pontos quaisquer. Mesmo com o uso da régua graduada os valoresobtidos diferiam de aluno para aluno. Não conseguiram chegar a uma conclusãosatisfatória de como ensinar o computador a calcular a distância entre os pontos. Tentaramutilizar outros comandos da linguagem Logo não pertencentes ao micromundo daGeometria Analítica e sem sucesso, pediram ajuda. Como a dúvida era geral, a professora

foi à lousa branca e desenhou o referencial cartesiano. Graduou os eixos e colocou ospontos dados por um grupo no plano. Desenhou as projeções dos pontos nos eixos dasabscissas e das ordenadas. Imediatamente perceberam que poderiam encontrar a diferençaentre os valores das abscissas e a diferença entre os valores das ordenadas dos pontoscomo haviam encontrado anteriormente.

Foi pedido que, a partir dos dados levantados pelos grupos e anotados na lousa,pensassem numa estratégia e tentassem executá-la.

Cada grupo utilizou uma estratégia para resolver o problema, mas todas assoluções levaram ao reconhecimento do desenho formado pela distância entre os doispontos e suas projeções nos dois eixos. Esse desenho era um triângulo retângulo. E portratar-se de um triângulo retângulo utilizaram o Teorema de Pitágoras. Implementaram oprocedimento com o uso de variáveis como parâmetro para que pudessem utilizá-lo paradesenhar e calcular a distância entre dois pontos quaisquer. Da mesma forma que as outrasatividades foram elaborados procedimentos com implementações bastante diversas.

Através dessa experiência, foi possível dar a oportunidade aos alunos deinteragirem com o seu objeto de conhecimento de uma forma diferenciada. Ao resolver osproblemas através de uma linguagem de programação, no caso descrito, o Logo, o alunonão apropriou-se de um conhecimento pronto transmitido pelo professor mas se viu frentea uma situação de aprendizagem que demanda uma ação imediata com base em suashipóteses e conhecimentos anteriores. Os resultados alcançados levaram o aluno aconstruir novos conhecimentos, em outras palavras, a aprender ou a sofisticar a soluçãoencontrada. Aprender desse modo é “aprender fazendo”, que caracteriza uma açãocontextualizada e significativa.

Observa-se aqui que, apesar das atividades terem sido propostas pela professora,o ambiente favoreceu aos alunos a possibilidade de realizarem as atividades da forma queeles consideraram ser a mais adequada. Essa liberdade de representação da linguagemLogo, ou seja, a diversidade das descrições na implementação de um mesmo procedimentofez com que os alunos se sentissem seguros na resolução dos problemas. Essamaleabilidade da atividade de programar permite ao aluno utilizar, criar e descobrir suaspróprias estratégias, evitando o estabelecimento de soluções padronizadas nas resoluçõesde problemas.

Embora nem todos os conceitos previstos para o programa de GeometriaAnalítica foram trabalhados no micromundo Logo, os priorizados nas atividadesdesenvolvidas foram manuseados e compreendidos pelos alunos, onde “aprenderamMatemática”, “fazendo Matemática”.

A compreensão e o aprendizado dos conceitos matemáticos no ambiente Logofavoreceu a compreensão de outros conceitos da Geometria Analítica, desenvolvidos emoutros momentos em atividades de sala de aula.

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