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PACOTE DE TEORIA E EXERCCIOS PARA CEF

PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1

Aula demonstrativa Apresentao ..................................................................................................................................................... 2

Juros Simples - Introduo ..................................................................................................................... 3

Juros ................................................................................................................................................................ 3

Formas de Representao da Taxa de Juros .................................................................................... 5

Elementos da Operao de Juros ......................................................................................................... 5

Regimes de Capitalizao ........................................................................................................................ 6

Capitalizao Simples ................................................................................................................................ 7

Capitalizao Composta ........................................................................................................................... 7

Juros Simples ............................................................................................................................................... 8

Homogeneizao entre a taxa e o prazo de capitalizao ........................................................ 10

Taxas Proporcionais ................................................................................................................................. 10

Juros Simples Ordinrios (Comerciais) e Exatos .......................................................................... 11

Relao das questes comentadas .................................................................................................... 32

Gabaritos ...................................................................................................................................................... 37


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Apresentao Ol pessoal!

Saiu o edital da Caixa Econmica Federal, organizado pela Fundao

CESGRANRIO. Esta a aula demonstrativa de Matemtica do pacote de teoria e exerccios.

Antes de iniciar a aula, permitam-me uma breve apresentao.

Meu nome Guilherme Neves. Sou matemtico e comecei a lecionar em cursos preparatrios para concursos aos 17 anos de idade, antes mesmo de iniciar o

meu curso de Bacharelado em Matemtica na UFPE. Minha vida como professor sempre esteve conectada com os concursos pblicos nas matrias de ndole

matemtica (matemtica financeira, estatstica e raciocnio lgico). Sou autor do livro Raciocnio Lgico Essencial Editora Campus-Elsevier. O curso seguir o seguinte cronograma (baseado no edital publicado).

Aula 0 Juros Simples

Aula 1 Descontos Simples

Aula 2 Juros Compostos e Taxas de Juros.Descontos Compostos.

Aula 3 Clculo financeiro. Equivalncia. Anuidades e Sries de Pagamentos

Aula 4 Mtodos de Amortizao e Avaliao de Alternativas de Investimentos.

Para quem nunca fez cursos com a nossa equipe, as aulas tm a seguinte estrutura:

- Teoria completa

- Exerccios resolvidos dando nfase para concursos recentes da banca organizadora (no nosso caso, CESGRANRIO).

- Colocamos no final de cada aula a lista das questes comentadas com os

respectivos gabaritos.

- Frum de dvidas

Espero que voc goste desta aula demonstrativa e tenha certeza que me

esforarei bastante para te deixar mais perto da to sonhada vaga.


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Juros Simples - Introduo

A Matemtica Financeira uma cincia que no se preocupa apenas com o

clculo dos juros simples e compostos. Esta a funo de um dos captulos iniciais da matemtica comercial.

A Matemtica Financeira o elo entre os mtodos matemticos e os

fenmenos financeiro-econmicos. uma cincia que se preocupa com a construo de modelos gerais, representao de variveis monetrias na linha

do tempo. Matemtica Financeira a disciplina que estuda o entendimento dos modelos de aplicao, avaliao de investimentos e captao de recursos.

A operao bsica da matemtica financeira a operao de emprstimo.

Algum dispe de certo capital, empresta-o por certo perodo de tempo. Aps esse perodo, recebe o seu capital acrescido de uma remunerao pelo

emprstimo. A essa remunerao denominamos juro.

Existem diversas razes que justificam o pagamento dos juros na operao de emprstimo. O primeiro deles o custo de oportunidade. Obviamente, quando

algum disponibiliza certa quantia para ser emprestada, deixar de investir o capital em outros projetos. Portanto, o no-uso deste capital dever ser

remunerado.

Deve-se levar em considerao a perda do poder de compra na linha do tempo. Com o aumento generalizado de preos causado pela inflao, quem

empresta o dinheiro quer preservar o poder de compra. O elemento que ser responsvel por preservar o valor do dinheiro no tempo o juro.

Os bancos em geral tm despesas administrativas e obviamente tm o interesse de repassar essas despesas para os devedores.

Um aspecto de destaque o de considerar os valores em seu momento no

tempo. A valorao que fazemos de algo est diretamente associada ao momento em que ocorre.

Juros

O juro o dinheiro pago pelo dinheiro emprestado. o custo do capital de

terceiros colocado nossa disposio.

Algum que dispe de um capital C (denominado principal, capital inicial, valor atual), empresta-o a outrem por certo perodo de tempo, e aps esse perodo

recebe o seu capital de volta. Esse capital ao ser devolvido dever ser

remunerado. Essa remunerao chamada de juro.

Ao emprestarmos uma quantia em dinheiro, por determinado perodo de tempo, costumamos cobrar o juro, de tal modo que, no fim do prazo


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estipulado, disponhamos no s da quantia emprestada, como tambm de um

acrscimo que compense a no-utilizao do capital financeiro, por nossa parte, durante o perodo em que foi emprestado.

A soma capital + juros chamada de montante e ser representada por M.

Os juros so fixados atravs de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: dia, ms, bimestre, trimestre, semestre, ano,... .

Utilizamos, usualmente, a letra i para denotar a taxa de juros. A letra i a

inicial da palavra inglesa interest, que significa juros.

O elemento que faz a equivalncia dos valores ao longo do tempo o juro, que

representa a remunerao do capital. Exemplo:

Veremos ao longo deste curso, que no permitido em Matemtica Financeira operar com quantias em pocas diferentes.

O objetivo da Matemtica Financeira permitir a comparao de valores em

diversas datas de pagamento ou recebimento e o elemento chave para a

comparao destes valores a taxa de juros.

Imagine que o Banco Agi Ota cobra uma taxa de 6% ao ms no uso do cheque especial. E em determinado ms, Alberto precisou pegar emprestado do banco

R$ 15.000,00. Que valor ele deve depositar na sua conta daqui a um ms para saldar a dvida?

Vimos anteriormente que ao pegar alguma quantia emprestada, alm de

devolver o principal, deve-se remunerar o capital.

E quanto ser a remunerao? Quem responder essa pergunta a taxa de juros.

Se a taxa de juros de 6% ao ms e a quantia emprestada de R$ 15.000,00, ento para saldar a dvida deve-se pagar os R$ 15.000,00 e mais

os juros cobrados pelo banco. O juro que dever ser pago daqui a um ms

ser 6% de R$ 15.000,00. Ou seja,


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O valor total que Alberto deve depositar na sua conta para saldar a dvida

igual a .

Formas de Representao da Taxa de Juros

importante observar que no clculo anterior, a taxa de juros 6% foi

transformada em frao decimal para permitir a operao. Assim, as taxas de juros tero duas representaes:

i) Sob a forma de porcentagem (taxa percentual): 6% ao ano = 6% a.a.

ii) Sob a forma de frao decimal (taxa unitria):

A representao em percentagem a comumente utilizada; entretanto, todos os clculos e desenvolvimentos de frmulas sero feitos atravs

da notao em frao decimal.

Elementos da Operao de Juros

Na situao descrita acima, podemos perceber os principais elementos de uma

operao de juros.

Imagine que o Banco Agi Ota cobra uma taxa de 6% ao ms no uso do cheque especial. E em determinado ms, Alberto precisou pegar

emprestado do banco R$ 15.000,00. Que valor Alberto deve depositar na sua conta daqui a um ms para saldar a dvida?

Capital (C) Pode ser chamado de principal, capital inicial, valor

presente, valor atual, montante inicial, valor de aquisio, valor vista.

No nosso exemplo, o dinheiro que Alberto pegou emprestado do banco.

Temos ento, no nosso problema, que o capital igual a R$ 15.000,00.

Juros (J) Tambm chamado de rendimento. Quando uma pessoa

empresta a outra um valor monetrio, durante certo tempo, cobrado um

valor pelo uso do dinheiro. Esse valor denominado juro.

Pelos clculos que fizemos:

Taxa de juros (i) A taxa de juros representa os juros numa certa unidade

de tempo. A taxa obrigatoriamente dever explicitar a unidade de tempo. Por exemplo, se Alberto vai ao banco tomar um emprstimo e o gerente diz:


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- Ok! O seu emprstimo foi liberado! E a taxa de juros que ns cobramos de apenas 8%.

Ora, a informao desse gerente est incompleta. Pois se os juros forem de 8% ao ano... timo! E se essa taxa de juros for ao dia? PSSIMO! Portanto,

perceba que a indicao da unidade da taxa de juros FUNDAMENTAL.

Tempo (n) Quando falamos em tempo, leia-se NMERO DE PERODOS.

No nosso exemplo, se Alberto ficasse devendo ao banco por 3 meses, o nmero de perodos seria igual a 3. Agora, imagine a seguinte situao. Toma-

se um emprstimo com a taxa de 7,5% a.b. (ao bimestre). Se Alberto demorar 6 meses para efetuar o pagamento da dvida, o seu n, ou seja, o seu tempo no ser igual a 6. O seu tempo ser igual a 3!!! Pois a taxa bimestral, e em um perodo de 6 meses temos 3 bimestres. No nosso caso, a taxa era mensal

e Alberto usou o cheque especial durante apenas um ms.

Montante (M) Pode ser chamado de montante, montante final, valor

futuro. o valor de resgate. Obviamente o montante maior do que o capital inicial. O montante , em suma, o capital mais os juros.

As operaes de emprstimo so feitas geralmente por intermdio de um

banco que, de um lado, capta dinheiro de interessados em aplicar seus recursos e, de outro, empresta esse dinheiro aos tomadores interessados no

emprstimo.

Regimes de Capitalizao

Denominamos regimes de capitalizao aos diferentes processos como os juros so gerados e agregados ao capital aplicado.

Os juros so normalmente classificados em simples ou compostos,

dependendo do processo de clculo utilizado. Ou seja, se um capital for aplicado a certa taxa por perodo, por vrios intervalos ou perodos de tempo,

o valor do montante pode ser calculado segundo duas convenes de clculo, chamadas de regimes de capitalizao: capitalizao simples (juros

simples) e capitalizao composta (juros compostos).

A definio e a frmula que demos para MONTANTE, independe do

processo de capitalizao. Ou seja, no interessa se o regime adotado o simples ou o composto, sempre teremos:

Vejamos dois exemplos para entender os esses dois tipos de capitalizao.


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Capitalizao Simples

De acordo com esse regime, os juros gerados em cada perodo so sempre os mesmos.

Nessa hiptese, os juros pagos de cada perodo so calculados sempre

em funo do capital inicial empregado.

Vejamos um exemplo numrico visando a fixao desse conceito.

Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros simples durante 5 anos taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada perodo e o montante aps o

perodo de aplicao.

Como a prpria leitura da taxa indica: 20% ao ano (vinte por cento ao ano).

Cada ano, de juros, receberei 20%. 20% de quem? Do capital aplicado R$ 10.000,00. A taxa de juros, no regime simples, sempre incide sobre o

capital inicial.

Os juros gerados no primeiro ano so

.

Os juros gerados no segundo ano so

.

Os juros gerados no terceiro ano so

.

Os juros gerados no quarto ano so

.

Os juros gerados no quinto ano so

.

Na CAPITALIZAO SIMPLES os juros gerados em cada perodo so sempre os mesmos, ou seja, a taxa incide apenas sobre o capital inicial.

Dessa forma, o montante aps os 5 anos vale R$ 10.000,00 (capital

aplicado) mais 5 vezes R$ 2.000,00 (juros). Concluso: o montante igual a R$ 20.000,00 (lembre-se que o montante o capital inicial

mais o juro).

Capitalizao Composta

No regime de capitalizao composta, o juro gerado em cada perodo agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o prximo

perodo. Da que surge a expresso juros sobre juros.

Imagine a seguinte situao: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros

compostos durante 5 anos taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada perodo e o montante aps o perodo de cada aplicao.

Os juros gerados no primeiro ano so

e o montante aps

o primeiro ano 10.000 + 2.000 = 12.000.


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Os juros gerados no segundo ano so

e o montante aps

o segundo ano 12.000+2.400=14.400.

Os juros gerados no terceiro ano so

e o montante aps o

terceiro ano 14.400 + 2.880 = 17.280.

Os juros gerados no quarto ano so

e o montante aps o

quarto ano 17.280 + 3.456 = 20.736.

Os juros gerados no quinto ano so

e o montante aps

o quinto ano 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20.

Observao: Se a operao de juros for efetuada em apenas um perodo, o montante ser igual nos dois regimes.

No nosso exemplo, se parssemos a aplicao no primeiro ms, teramos um

montante de R$ 12.000,00 nos dois regimes de capitalizao.

Observe ainda que o dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples.

Juros Simples

Como vimos anteriormente, juros simples so aqueles calculados sempre sobre

o capital inicial, sem incorporar sua base de clculo os juros auferidos nos perodos anteriores. Ou seja, os juros no so capitalizados.

Vejamos outro exemplo para entendermos bem a frmula de juros simples.

Imagine que voc aplique R$ 5.000,00 taxa de juros simples de 3% ao ms. Ento, ao final do primeiro ms de aplicao, o juro produzido ser:

Ou seja, para calcular o juro produzido no primeiro ms, basta

multiplicar a taxa de juros pelo capital inicial.

Como, sob o regime de capitalizao simples, os juros produzidos em cada perodo so sempre iguais, podemos concluir que, se esse capital fosse

aplicado por 10 meses, produziria juros de:

150 x 10 = 1.500.

A partir desse exemplo, fcil compreender a frmula para o clculo do juro simples.

Adotaremos as seguintes notaes:





C Capital inicial

i taxa de juros simples

n tempo de aplicao

J juro simples produzido durante o perodo de aplicao.

M montante ao final da aplicao

O juro produzido no primeiro perodo de aplicao igual ao produto do capital inicial (C) pela taxa de juros (i), como foi feito no nosso

exemplo. E, consequentemente, o juro produzido em n perodos de aplicao ser:

J C i n (1) E, lembrando tambm que o montante a soma do capital com os juros

produzidos, temos a seguinte frmula abaixo:

M C J (2) Substituindo a frmula (1) na frmula (2), temos ento a seguinte expresso:

M C C i n

Em lgebra, C significa 1 C , portanto,

1M C C i n

Colocando o C em evidncia,

(1 )M C i n (3)

de suma importncia memorizar as trs frmulas abaixo.

J C i n (1) M C J (2)

(1 )M C i n (3) E devemos estar atentos ao seguinte fato:

Deve-se utilizar a taxa na forma unitria. Assim, por exemplo, se a taxa

for de 30% , utilizamos

.

J





Homogeneizao entre a taxa e o prazo de capitalizao

A taxa de juros dever estar explicitada na mesma unidade de tempo

apresentada pelo prazo de capitalizao. Ou seja, deve existir concordncia entre as unidades da taxa de juros e do tempo.

Assim, se a taxa for mensal, o tempo dever ser expresso em meses;

Se a taxa for bimestral, o tempo dever ser expresso em bimestres;

E assim sucessivamente. Exemplos

i=3% a.m.

n=150 dias.

A taxa est expressa em meses e o tempo em dias. Para que haja concordncia entre as unidades, deveremos escolher uma unidade comum e

transformar um dos objetos.

O ms comercial de 30 dias. Portanto, para transformar o tempo de 150 dias para meses, basta dividir por 30.

i=3% a.m.

n= 5 meses

Para efetuar a transformao da taxa, no regime de juros simples, utilizaremos o conceito de taxas proporcionais.

Transformar a taxa significa encontrar uma taxa equivalente, ou seja, que para

um mesmo perodo, os juros gerados sejam o mesmo. No regime de capitalizao simples, taxas proporcionais so equivalentes.

Taxas Proporcionais

Duas taxas so proporcionais quando a razo entre elas igual razo entre

os respectivos perodos expressos na mesma unidade de tempo.

A definio de taxas proporcionais no est condicionada ao regime de capitalizao. Portanto, teremos taxas proporcionais tanto no regime de

capitalizao simples quanto no regime de capitalizao composta. O fato importante que no regime de capitalizao simples as taxas

proporcionais so equivalentes.





Simbolicamente, dizemos que a taxa referente ao perodo proporcional taxa referente ao perodo se

Para exemplificar, no regime de juros simples, um capital aplicado por 1 ano (12 meses) a uma taxa de 36% ao ano produz o mesmo montante quando o

mesmo capital aplicado a uma taxa de 3% ao ms por 12 meses.

Neste exemplo,dizemos que 3% ao ms proporcional a 36% ao ano, pois como 1 ano o mesmo que 12 meses, tem-se:

Poderamos ter adotado a seguinte linha de raciocnio. Como 1 ano 12 vezes

maior do que o perodo de 1 ms, ento a taxa anual proporcional 12 vezes maior do que a taxa mensal.

Exemplo: Determinar a taxa diria proporcional a 3% ao ms.

Aplicando a definio de taxas proporcionais (lembre-se que o ms comercial

possui 30 dias).

Em toda proporo, o produto dos meios igual ao produto dos extremos.

Poderamos ter adotado a seguinte linha de raciocnio. Como 1 dia 30 vezes

menor do que o perodo de 1 ms, ento a taxa diria proporcional 30 vezes menor.

Juros Simples Ordinrios (Comerciais) e Exatos

Na prtica, usualmente, adotado o juro simples ordinrio (utiliza o ano

comercial com 360 dias e meses com 30 dias). O juro simples exato (utiliza o ano civil com 365 dias) somente usado quando para isso for expresso

explicitamente na operao.





Os juros so considerados ordinrios ou comerciais quando utilizam o ano comercial para estabelecer a homogeneidade entre a taxa e o tempo. Logo,

em juros ordinrios, consideramos que todos os meses tm 30 dias e o ano tem 360 dias.

Juros exatos so aqueles em que se utiliza o calendrio civil para

verificarmos a quantidade de dias entre duas datas. Logo, quando o ms tem 31 dias deveremos considerar o total e no 30 dias.

Para facilitar o clculo de juros nestas modalidades, fundamental efetuarmos

o clculo com taxa anual e o tempo expresso em dias. Para calcular a taxa equivalente diria devemos dividir a taxa anual pelo nmero total de dias do

ano comercial (360 dias) ou ano exato (365 ou 366 dias).

Devemos ficar atentos ao fato de o ano ser ou no bissexto no caso de juros

exatos.

Podemos criar dois processos mnemnicos para saber quais anos so bissextos ou no.

Para comear, os anos bissextos obrigatoriamente so pares.

Um ano dito bissexto se for mltiplo de 4, exceto os que so

mltiplos de 100, a no ser que sejam mltiplos de 400.

Dica: Para verificar se um nmero divisvel por 4 basta dividir os ltimos dois dgitos do nmero por 4.

Assim, 1998 no divisvel por 4 e, portanto, no bissexto.

Uma maneira mais ldica de memorizar o seguinte:

Os anos pares ou so anos de Olimpada ou so anos de Copa do Mundo.

Os anos bissextos so os anos de Olimpadas!!!

Como em 1998 houve a Copa do Mundo da Frana, o ano no foi bissexto.

01. (Analista Contabilidade FINEP 2011/CESGRANRIO) Uma aplicao de R$ 23.390,00 resultou, em quatro meses, no montante de R$ 26.383,92. A taxa mensal de juros simples que permitiu esse resultado foi

(A) 4,14%

(B) 3,20% (C) 3,18%

(D) 3,10% (E) 2,88%





Resoluo

Se uma pessoa aplica R$ 23.390,00 e resgata um montante de R$ 26.383,92,

quanto ela ganhou de juro?

Basta calcular a diferena entre o montante e o valor aplicado.

Temos os seguintes dados:

Para calcular a taxa mensal, vamos aplicar a frmula de juros simples.

Para transformar esta taxa para a forma percentual, devemos multiplicar o

resultado por 100%.

Letra B

02. (Petrobras Auditor Jr 2010 CESGRANRIO) O Banco WS emprestou a um de seus clientes a quantia de R$ 12.000,00, a uma taxa de 5% ao ms, no regime de juros simples, para pagamento nico no final de 90 dias. De acordo

com as condies do emprstimo, o cliente dever pagar ao Banco, em reais, o montante total de

a) 12.600,00 b) 12.800,00

c) 13.200,00 d) 13.600,00

e) 13.800,00

Resoluo

A questo muito clara: o regime de juros simples, o capital de R$

12.000,00, a taxa de 5% ao ms e o prazo de 90 dias (3 meses).





Lembre-se que SEMPRE deve haver conformidade entre as unidades da taxa de juros e do tempo. Como a taxa mensal, o tempo deve ser trabalhado em

meses.

Vamos calcular o juro simples utilizando a sua frmula bsica.

O montante a soma do capital inicial com o juro. Portanto:

Letra E

03. (BACEN 2010 CESGRANRIO) Um aplicador vai obter de resgate em um

ttulo o valor de R$ 30.000,00. Sabendo-se que a operao rendeu juros simples de 5% ao ms, por um perodo de 6 meses, o valor original da

aplicao foi, em reais, de a) 21.066,67

b) 21.500,00

c) 22.222,66 d) 23.076,93

e) 23.599,99

Resoluo

Observe que o perodo de aplicao e taxa de juros j esto em conformidade em termos de unidade.

Sabemos que o montante no regime de capitalizao simples dado por

O montante igual a R$ 30.000,00, a taxa de juros de 5% = 0,05 ao ms e o tempo de aplicao de 6 meses.

Letra D

04. (Tcnico de Administrao e Controle Jnior Petrobras 2008/CESGRANRIO) Se o capital for igual a 2/3 do montante e o prazo de aplicao for de 2 anos, qual ser a taxa de juros simples considerada?





(A) 1,04% a.m.

(B) 16,67% a.m. (C) 25% a.m.

(D) 16,67% a.a. (E) 25% a.a.

Resoluo

Para facilitar nossos clculos, vamos estipular um valor para o montante. J

que o capital 2/3 do montante, ento escolherei um montante que seja mltiplo de 3. Vamos considerar que o montante seja de R$ 90,00. Desta

forma:

O capital aplicado , portanto, de R$ 60,00. Como o juro a diferena entre o

montante e o capital aplicado, ento:

Sabemos, portanto que:

Estamos prontos para aplicar a frmula de juros simples. Note que como o tempo dado em anos, a taxa calculada ser anual.

Letra E

05. (Tcnico de Administrao e Controle Jnior Petrobras 2008/CESGRANRIO) Calcule o prazo, em meses, de uma aplicao de R$20.000,00 que propiciou juros de R$ 9.240,00 taxa de juros simples de

26,4% ao ano. (A) 21

(B) 12 (C) 5

(D) 4,41 (E) 1,75

Resoluo





A questo pede o prazo em meses. A taxa dada foi de 26,4% ao ano. Para

calcular a taxa mensal, basta dividir a taxa anual por 12. Assim:

O capital aplicado foi de R$ 20.000,00 e os juros auferidos so iguais a R$ 9.240,00. Vamos aplicar a frmula de juros simples.

Letra A

06. (PETROBRAS 2010/CESGRANRIO) Hugo emprestou certa quantia a Incio a juros simples, com taxa mensal de 6%. Incio quitou sua dvida em um

nico pagamento feito 4 meses depois. Se os juros pagos por Incio foram de R$ 156,00, a quantia emprestada por Hugo foi

(A) menor do que R$ 500,00.

(B) maior do que R$ 500,00 e menor do que R$ 1.000,00. (C) maior do que R$ 1.000,00 e menor do que R$ 2.000,00.

(D) maior do que R$ 2.000,00 e menor do que R$ 2.500,00. (E) maior do que R$ 2.500,00.

Resoluo

Vamos aplicar diretamente a frmula dos juros simples.

Letra B

07. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um capital no valor de R$ 12.500,00 aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual

a R$ 15.000,00. Um outro capital aplicado, durante 15 meses, a juros simples a uma taxa igual da aplicao anterior, produzindo juros no total de

R$ 5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do primeiro em a) R$ 10.000,00

b) R$ 8.500,00

c) R$ 7.500,00 d) R$ 6.000,00

e) R$ 5.850,00

Resoluo





Primeira aplicao:

Um capital de R$ 12.500,00 gera um montante de R$ 15.000,00, logo o juro do perodo de R$ 2.500,00.

Sabemos a relao de juro simples:

Segunda aplicao:

O segundo capital supera o primeiro em 21.000 12.500 = 8.500 Letra B

08. (CVM 2003 FCC) Em determinada data, uma pessoa aplica R$ 10.000,00

taxa de juros simples de 2% ao ms. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$ 8.000,00 taxa de juros simples de 4% ao ms. No momento em que o

montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros

correspondente aplicao da primeira pessoa ser de a) R$ 4.400,00

b) R$ 4.000,00 c) R$ 3.600,00

d) R$ 3.200,00 e) R$ 2.800,00

Resoluo

Vamos analisar separadamente as duas aplicaes.

1 pessoa





Aplicou R$ 10.000,00 taxa de juros simples de 2% ao ms. Lembremos a frmula do montante:

1 (1 )M C i n Chamando de M1 o montante da primeira pessoa, ele ser dado por:

1

1

10.000 (1 0,02 )

10.000 200

M n

M n

2 pessoa

Aplicou R$ 8.000,00 taxa de juros simples de 4% ao ms. O problema quanto ao tempo de capitalizao. A segunda pessoa

comeou a aplicar o seu dinheiro 2 meses aps a primeira pessoa. Se o tempo de aplicao da primeira pessoa igual a n, o tempo de

aplicao da segunda pessoa ser n-2. Ou seja, nas frmulas de juros

simples, ao invs de colocarmos n para o tempo, colocaremos n-2.

Assim, chamando de M2 o montante da segunda pessoa, ele ser dado por:

No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros correspondente aplicao da primeira pessoa ser

de... Devemos, portanto, igualar os montantes calculados anteriormente.

2 1M M

Essa ainda no a resposta do problema. A questo pediu o total dos juros correspondente aplicao da primeira pessoa.





Lembremos que a primeira pessoa aplicou R$ 10.000,00 taxa de 2% ao ms

durante 22 meses (observe que se estivssemos calculando o juro correspondente a segunda pessoa, deveramos utilizar 20 meses!).

Portanto, o juro ser 10.000 0,02 22

4.400

J C i n

J

J

Letra A

09. (AFTE-RO 2010 FCC) Dois capitais foram aplicados a uma taxa de juros

simples de 2% ao ms. O primeiro capital ficou aplicado durante o prazo de um ano e o segundo, durante 8 meses. A soma dos dois capitais e a soma dos

correspondentes juros so iguais a R$ 27.000,00 e R$ 5.280,00, respectivamente. O valor do mdulo da diferena entre os dois capitais igual

a

a) R$ 2.000,00 b) R$ 2.500,00

c) R$ 3.000,00 d) R$ 4.000,00

e) R$ 5.000,00

Resoluo

Chamemos o primeiro capital de C1 e o segundo capital de C2. J que a soma

dos dois capitais igual a R$ 27.000,00, podemos escrever que

1 2 27.000C C

Lembre-se que o juro simples calculado de acordo com a frmula

J C i n , em que C o capital aplicado, i a taxa de juros e n o nmero de perodos.

Assim, o juro do primeiro capital ser 1 1 1 10,02 12 0,24J C J C

E o juro do segundo capital ser

2 2 2 20,02 8 0,16J C J C A segunda equao pode ser escrita da seguinte forma:

1 2 5.280J J

1 20,24 0,16 5.280C C





Para no trabalhar com nmeros decimais (e facilitar um pouco nossas

contas), podemos multiplicar ambos os membros dessa equao por 100.

1 224 16 528.000C C

Acabamos de formar o seguinte sistema linear:

1 2

1 2

27.000

24 16 528.000

C C

C C

Faremos, por exemplo, pelo mtodo da substituio. Basta isolar na primeira

equao o termo C2.

2 127.000C C Substitui-se essa expresso na segunda equao:

1 124 16 (27.000 ) 528.000C C

1 124 432.000 16 528.000C C

18 528.000 432.000C

18 96.000C

1 12.000C E como a soma dos dois capitais igual a 27.000, o segundo capital ser:

2 27.000 12.000C

2 15.000C O valor do mdulo da diferena entre os dois capitais igual a 15.000 12.000 = 3.000.

Letra C

10. (Esp-Adm-Or-Fin-Pb Pref. de So Paulo 2010/FCC) Um investidor aplica

um capital a juros simples, durante 10 meses, apresentando montante no valor de R$ 30.000,00 no final do perodo. Caso este capital tivesse sido

aplicado durante 16 meses a juros simples, e com a mesma taxa de juros anterior, o valor do montante no final deste perodo teria sido de R$

33.600,00. O valor do capital aplicado pelo investidor igual a (A) R$ 21.000,00.

(B) R$ 22.500,00. (C) R$ 23.600,00.

(D) R$ 24.000,00. (E) R$ 25.000,00.





Resoluo

Sabemos que o montante a soma do capital com os juros. Logo,

No regime simples, o juro calculado da seguinte maneira:

Vejamos a primeira aplicao:

1 aplicao:

Como n = 10 meses,

Lembre-se que em lgebra C significa C vezes 1.

Podemos colocar o C em evidncia.

Vamos guardar esta equao.

2 aplicao:

Como n = 16 meses,

Lembre-se que em lgebra C significa C vezes 1.

Podemos colocar o C em evidncia.

Na primeira aplicao, descobrimos que





Podemos igualar as expresses:

O produto dos meios igual ao produto dos extremos:

Vamos dividir ambos os membros por 100 para simplificar.

Voltando equao descrita acima:

Letra D

11. (SEFAZ-RJ 2011/FGV) Um indivduo deixa de pagar um ttulo no valor de

R$ 2.000,00, atrasando o pagamento em trs meses. A taxa de juros, juros simples, de 35% ao ano. Ao pagar o ttulo, seu valor

a) R$ 2.250,00. b) R$ 2.325,00.

c) R$ 2.175,00. d) R$ 2.155,00

e) R$ 4.100,00

Resoluo

A situao do problema muito direta: h uma dvida de R$ 2.000,00, que ser paga 3 meses aps a data de vencimento a uma taxa de 35% ao ano

(juros simples).

Como a taxa anual, o tempo deve ser dado em anos. Como o ano possui 12 meses, ento o tempo ser igual a 3/12 = 1/4 de ano.





Vamos calcular o valor do juro simples.

Como o montante a soma do capital com o juro, ento:

O valor da dvida, trs meses aps o vencimento, ser igual a R$ 2.175,00.

Letra C

12. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) O valor a ser pago por um emprstimo de R$

4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias de:

a) R$ 6.255,00

b) R$ 5.500,00 c) R$ 6.500,00

d) R$ 4.855,00 e) R$ 4.675,00

Resoluo

Temos todas as informaes necessrias para o clculo dos juros simples: o

capital, a taxa e o tempo. Alm disso, a taxa e o tempo j conformidade em

relao unidade.

Lembremos a frmula de juros simples:

Temos que o capital igual a R$ 4.500,00, a taxa igual a

ao dia e o tempo igual a 78 dias.

O valor a ser pago o montante (capital + juros).





Letra A

13. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um capital aplicado durante 120 dias a uma taxa

de juros simples ordinrios de 15% ao ano, produzindo um montante de R$ 8.400,00. Nestas condies, o capital aplicado, desprezando os centavos :

a) R$ 6.500,00

b) R$ 7.850,00 c) R$ 8.017,00

d) R$ 8.820,00 e) R$ 8.000,00

Resoluo

As unidades de tempo de referncia do perodo de aplicao e da taxa devem ser iguais, porm a taxa de juros e o perodo de aplicao no esto expressos

na mesma unidade. Devemos traar a nossa estratgia: escolher uma unidade comum para a taxa e para o perodo de capitalizao.

Lembre-se que juro ordinrio um sinnimo de juro comercial. Desta forma,

consideramos que cada ms tem 30 dias e o ano possui 360 (12 x 30) dias.

Ora, se o ano comercial possui 360 dias, ento os 120 dias do problema

representam:

Agora temos homogeneidade entre as unidades. A taxa de juros igual a 15% = 0,15 ao ano e o tempo de aplicao igual a 1/3 do ano. Lembremos a

frmula do montante simples:

O montante fornecido igual a R$ 8.400,00.

Desta forma, o capital aplicado igual a R$ 8.000,00.





Letra E

14. (Vestibular FGV 2002) Um capital aplicado a juros simples, taxa de 2,5%

ao ms, triplica em: a) 75 meses

b) 80 meses c) 85 meses

d) 90 meses e) 95 meses

Resoluo

Dizer que um capital triplica o mesmo que dizer que o montante final igual

ao triplo do capital inicial.

Lembrando que o montante a soma do juro com o capital:

Vamos substituir na expresso acima a frmula de juros simples.

A taxa fornecida pelo enunciado igual a 2,5% ao ms.

Como efetuar esta diviso? Ora, o denominador possui 3 casas decimais.

Vamos ento igualar a quantidade de casas decimais e, em seguida, apagar as

vrgulas.

Letra B





15. (SEFAZ-RJ 2011/FGV) O nmero de anos para que um capital quadruplique de valor, a uma taxa de 5% ao ms, juros simples, de

a) 7,50

b) 3,80 c) 4,50

d) 5,00 e) 6,00

Resoluo

Dizer que um capital quadruplica o mesmo que dizer que o montante final igual ao qudruplo do capital inicial.

Lembrando que o montante a soma do juro com o capital:

Vamos substituir na expresso acima a frmula de juros simples.

A taxa fornecida pelo enunciado igual a 5% ao ms.

Como efetuar esta diviso? Ora, o denominador possui 2 casas decimais.

Vamos ento igualar a quantidade de casas decimais e, em seguida, apagar as vrgulas.





Letra D

16. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) A taxa de juros simples de 0,05% ao dia equivale

taxa semestral de: a) 15,00%

b) 1,50% c) 18,00%

d) 9,00% e) 12,00%

Resoluo

No regime de capitalizao simples as taxas proporcionais so

equivalentes.

Duas taxas so proporcionais quando a razo entre elas igual razo entre os respectivos perodos expressos na mesma unidade de tempo.

Simbolicamente, dizemos que a taxa referente ao perodo proporcional taxa referente ao perodo se

Queremos comparar a taxa diria com a taxa semestral. Lembre-se que um semestre a metade de um ano. Como o ano comercial tem 360 dias, um

semestre tem 180 dias.

O produto dos meios igual ao produto dos extremos.

Poderamos ter resolvido utilizando o raciocnio seguinte: como um semestre

tem 180 dias, ento a taxa semestral ser igual a taxa diria multiplicada por 180.

Letra D





17. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) Um montante inicial foi aplicado a uma taxa de juros simples de 5% ao ms durante 2 meses e depois reaplicado a uma taxa de

juros simples de 10% ao ms durante 2 meses, resultando em R$ 13.200,00. O valor do montante inicial era de:

a) R$ 18.500,00

b) R$ 13.000,00 c) R$ 12.330,00

d) R$ 11.000,00 e) R$ 10.000,00

Resoluo

Tm-se duas aplicaes a juros simples sucessivas. Digamos que o capital inicial aplicado seja igual a C. Desta forma, aplicando C reais durante 2 meses

a uma taxa de 5% ao ms, o montante ser igual a:

Este montante M1 ser o capital de uma nova aplicao. Aplicaremos M1 reais durante dois meses a uma taxa de 10% ao ms. O novo montante ser igual

a:

O montante final igual a R$ 13.200,00. Portanto:

O capital inicial de R$ 10.000,00.

Letra E





18. (Vestibular FGV 2001) Um vidro de perfume vendido vista por R$48,00

ou a prazo, em dois pagamentos de R$25,00 cada um, o primeiro no ato da compra e o outro um ms depois. A taxa mensal de juros do financiamento

aproximadamente igual a: A) 6,7%

B) 7,7% C) 8,7%

D) 9,7% E) 10,7%

Resoluo

O valor vista de R$ 48,00. Se o indivduo d uma entrada de R$ 25,00,

ento ficou devendo R$ 23,00. Mas o pagamento feito um ms depois foi de

R$ 25,00. Assim, o juro cobrado foi de R$ 2,00. Observe que a taxa de juros s incide no valor devido e no sobre o valor j pago.

Letra C

19. (BESC 2004/FGV) Um artigo vendido, vista, por R$ 150,00 ou em dois pagamentos de R$ 80,00 cada um: o primeiro, no ato da compra e o segundo,

um ms aps a compra. Os que optam pelo pagamento parcelado pagam juros mensais de taxa aproximadamente igual a:

a) 14,29% b) 13,33%

c) 9,86% d) 7,14%

e) 6,67%

Resoluo


ento ficou devendo R$ 70,00. Mas o pagamento feito um ms depois foi de R$ 80,00. Assim, o juro cobrado foi de R$ 10,00.





Letra A

20. (SEFAZ-MS 2006/FGV) Um artigo custa, vista, R$ 200,00 e pode ser comprado a prazo com uma entrada de R$ 100,00 e um pagamento de R$

120,00 um ms aps a compra. Os que compram a prazo pagam juros mensais de taxa:

a) 5% b) 10%

c) 20% d) 25%

e) 30%

Resoluo


ento ficou devendo R$ 100,00. Mas o pagamento feito um ms depois foi de R$ 120,00. Assim, o juro cobrado foi de R$ 20,00.

Letra C

21. (Auditor da Receita Estadual/AP 2010/FGV) Em certa loja, um artigo pode ser comprado por R$ 172,00 vista ou em duas prestaes de R$ 92,00, uma

no ato da compra e outra 30 dias depois. A taxa de juros (embutida) que a loja est cobrando nesta operao de:

(A) 15% (B) 13%

(C) 11% (D) 9%

(E) 7%

Resoluo

O artigo custa R$ 172,00. Como o indivduo deu uma entrada de R$ 92,00,

ento ele ficou devendo .

Simplificando a conversa: H uma dvida de 80 reais (capital inicial) a ser paga

em 30 dias (1 ms). O valor pago em um ms foi de R$ 92,00. Portanto, o cliente pagou R$ 12,00 de juros em um ms.





Vamos aplicar a frmula de juros simples.

Letra A

Um abrao e at a prxima aula.

Guilherme Neves





Relao das questes comentadas

01. (Analista Contabilidade FINEP 2011/CESGRANRIO) Uma aplicao de R$ 23.390,00 resultou, em quatro meses, no montante de R$ 26.383,92. A

taxa mensal de juros simples que permitiu esse resultado foi (A) 4,14%

(B) 3,20% (C) 3,18%

(D) 3,10% (E) 2,88%

02. (Petrobras Auditor Jr 2010 CESGRANRIO) O Banco WS emprestou a um de seus clientes a quantia de R$ 12.000,00, a uma taxa de 5% ao ms, no regime de juros simples, para pagamento nico no final de 90 dias. De acordo

com as condies do emprstimo, o cliente dever pagar ao Banco, em reais, o

montante total de a) 12.600,00

b) 12.800,00 c) 13.200,00

d) 13.600,00 e) 13.800,00

03. (BACEN 2010 CESGRANRIO) Um aplicador vai obter de resgate em um

ttulo o valor de R$ 30.000,00. Sabendo-se que a operao rendeu juros simples de 5% ao ms, por um perodo de 6 meses, o valor original da

aplicao foi, em reais, de a) 21.066,67

b) 21.500,00 c) 22.222,66

d) 23.076,93

e) 23.599,99

04. (Tcnico de Administrao e Controle Jnior Petrobras 2008/CESGRANRIO) Se o capital for igual a 2/3 do montante e o prazo de

aplicao for de 2 anos, qual ser a taxa de juros simples considerada? (A) 1,04% a.m.

(B) 16,67% a.m. (C) 25% a.m.

(D) 16,67% a.a. (E) 25% a.a.

05. (Tcnico de Administrao e Controle Jnior Petrobras 2008/CESGRANRIO) Calcule o prazo, em meses, de uma aplicao de R$20.000,00 que propiciou juros de R$ 9.240,00 taxa de juros simples de

26,4% ao ano.

(A) 21 (B) 12

(C) 5





(D) 4,41

(E) 1,75

06. (PETROBRAS 2010/CESGRANRIO) Hugo emprestou certa quantia a Incio a juros simples, com taxa mensal de 6%. Incio quitou sua dvida em um

nico pagamento feito 4 meses depois. Se os juros pagos por Incio foram de R$ 156,00, a quantia emprestada por Hugo foi

(A) menor do que R$ 500,00. (B) maior do que R$ 500,00 e menor do que R$ 1.000,00.

(C) maior do que R$ 1.000,00 e menor do que R$ 2.000,00. (D) maior do que R$ 2.000,00 e menor do que R$ 2.500,00.

(E) maior do que R$ 2.500,00.

07. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um capital no valor de R$ 12.500,00

aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante igual a R$ 15.000,00. Um outro capital aplicado, durante 15 meses, a juros

simples a uma taxa igual da aplicao anterior, produzindo juros no total de R$ 5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do primeiro em

a) R$ 10.000,00 b) R$ 8.500,00

c) R$ 7.500,00 d) R$ 6.000,00

e) R$ 5.850,00

08. (CVM 2003 FCC) Em determinada data, uma pessoa aplica R$ 10.000,00 taxa de juros simples de 2% ao ms. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica

R$ 8.000,00 taxa de juros simples de 4% ao ms. No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for igual ao

montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros

correspondente aplicao da primeira pessoa ser de a) R$ 4.400,00

b) R$ 4.000,00 c) R$ 3.600,00

d) R$ 3.200,00 e) R$ 2.800,00

09. (AFTE-RO 2010 FCC) Dois capitais foram aplicados a uma taxa de juros

simples de 2% ao ms. O primeiro capital ficou aplicado durante o prazo de um ano e o segundo, durante 8 meses. A soma dos dois capitais e a soma dos

correspondentes juros so iguais a R$ 27.000,00 e R$ 5.280,00, respectivamente. O valor do mdulo da diferena entre os dois capitais igual

a

a) R$ 2.000,00

b) R$ 2.500,00 c) R$ 3.000,00

d) R$ 4.000,00 e) R$ 5.000,00





10. (Esp-Adm-Or-Fin-Pb Pref. de So Paulo 2010/FCC) Um investidor aplica um capital a juros simples, durante 10 meses, apresentando montante no

valor de R$ 30.000,00 no final do perodo. Caso este capital tivesse sido aplicado durante 16 meses a juros simples, e com a mesma taxa de juros

anterior, o valor do montante no final deste perodo teria sido de R$ 33.600,00. O valor do capital aplicado pelo investidor igual a

(A) R$ 21.000,00. (B) R$ 22.500,00.

(C) R$ 23.600,00. (D) R$ 24.000,00.

(E) R$ 25.000,00.

11. (SEFAZ-RJ 2011/FGV) Um indivduo deixa de pagar um ttulo no valor de

R$ 2.000,00, atrasando o pagamento em trs meses. A taxa de juros, juros

simples, de 35% ao ano. Ao pagar o ttulo, seu valor

a) R$ 2.250,00. b) R$ 2.325,00.

c) R$ 2.175,00. d) R$ 2.155,00

e) R$ 4.100,00

12. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) O valor a ser pago por um emprstimo de R$ 4.500,00, a uma taxa de juros simples de 0,5% ao dia, ao final de 78 dias

de:

a) R$ 6.255,00 b) R$ 5.500,00

c) R$ 6.500,00

d) R$ 4.855,00 e) R$ 4.675,00

13. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um capital aplicado durante 120 dias a uma taxa

de juros simples ordinrios de 15% ao ano, produzindo um montante de R$ 8.400,00. Nestas condies, o capital aplicado, desprezando os centavos :

a) R$ 6.500,00 b) R$ 7.850,00

c) R$ 8.017,00 d) R$ 8.820,00

e) R$ 8.000,00

14. (Vestibular FGV 2002) Um capital aplicado a juros simples, taxa de 2,5% ao ms, triplica em:

a) 75 meses b) 80 meses

c) 85 meses





d) 90 meses

e) 95 meses

15. (SEFAZ-RJ 2011/FGV) O nmero de anos para que um capital quadruplique de valor, a uma taxa de 5% ao ms, juros simples, de

a) 7,50

b) 3,80 c) 4,50

d) 5,00 e) 6,00

16. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) A taxa de juros simples de 0,05% ao dia equivale

taxa semestral de:

a) 15,00% b) 1,50%

c) 18,00% d) 9,00%

e) 12,00%

17. (SEFAZ-RJ 2009/FGV) Um montante inicial foi aplicado a uma taxa de juros simples de 5% ao ms durante 2 meses e depois reaplicado a uma taxa de

juros simples de 10% ao ms durante 2 meses, resultando em R$ 13.200,00. O valor do montante inicial era de:

a) R$ 18.500,00

b) R$ 13.000,00 c) R$ 12.330,00

d) R$ 11.000,00

e) R$ 10.000,00

18. (Vestibular FGV 2001) Um vidro de perfume vendido vista por R$48,00 ou a prazo, em dois pagamentos de R$25,00 cada um, o primeiro no ato da

compra e o outro um ms depois. A taxa mensal de juros do financiamento aproximadamente igual a:

A) 6,7% B) 7,7%

C) 8,7% D) 9,7%

E) 10,7%

19. (BESC 2004/FGV) Um artigo vendido, vista, por R$ 150,00 ou em dois pagamentos de R$ 80,00 cada um: o primeiro, no ato da compra e o segundo,

um ms aps a compra. Os que optam pelo pagamento parcelado pagam juros

mensais de taxa aproximadamente igual a: a) 14,29%

b) 13,33% c) 9,86%





d) 7,14%

e) 6,67%

20. (SEFAZ-MS 2006/FGV) Um artigo custa, vista, R$ 200,00 e pode ser comprado a prazo com uma entrada de R$ 100,00 e um pagamento de R$

120,00 um ms aps a compra. Os que compram a prazo pagam juros mensais de taxa:

a) 5% b) 10%

c) 20% d) 25%

e) 30%

21. (Auditor da Receita Estadual/AP 2010/FGV) Em certa loja, um artigo pode

ser comprado por R$ 172,00 vista ou em duas prestaes de R$ 92,00, uma no ato da compra e outra 30 dias depois. A taxa de juros (embutida) que a loja

est cobrando nesta operao de: (A) 15%

(B) 13% (C) 11%

(D) 9% (E) 7%





Gabaritos

01. B

02. E

03. D

04. E

05. A

06. B

07. B

08. A

09. C

10. D

11. C

12. A

13. E

14. B

15. D

16. D

17. E

18. C

19. A

20. C

21. A

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