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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística

1.200 Questões Resolvidas e Comentadas Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 1

AULA 0 – Apresentação do Curso

Caro(a) concurseiro(a), Tudo bem com você? É uma imensa satisfação tê-lo como nosso aluno. Como este é o nosso primeiro encontro, pedimos a sua licença para uma breve apresentação. Prof. Moraes Junior: Sou Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil, aprovado em 5o lugar para as Unidades Centrais no concurso de 2005 e trabalho na Coordenação-Geral de Fiscalização. Sou professor de Contabilidade Geral, Avançada, Análise das Demonstrações Financeiras, Contabilidade de Custos, Matemática Financeira, Estatística e Raciocínio Lógico. Além disso, servi, durante 17 anos, à Marinha da Brasil, como oficial de carreira e trabalhei 1 ano, no Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada, como assessor da presidência. Sou Bacharel em Ciências Navais (ênfase em Eletrônica) pela Escola Naval e em Engenharia Elétrica (ênfase em Telecomunicações) pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Prof. Alexandre Lima: Obtive o grau de Bacharel em Ciências Navais com ênfase em Eletrônica pela Escola Naval e os de Engenheiro Elétrico com ênfase em Telecomunicações, Mestre e Doutor em Engenharia Elétrica pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Sou Auditor-Fiscal Tributário Municipal de São Paulo (“Fiscal do ISS/SP”) há mais de uma década. Em paralelo, exerço o magistério universitário e ministro aulas de Contabilidade, Raciocínio Lógico-Quantitativo e Estatística para concursos. Aqui no “Ponto”, já tive a oportunidade de ministrar vários cursos como Contabilidade de Custos, Contabilidade Gerencial e de Custos, Contabilidade Geral, Estatística, Econometria e Raciocínio Lógico-Quantitativo. Em 2010, ministramos um curso de Teoria e Exercícios, que foi um grande sucesso. Parte desse curso (Teoria e alguns exercícios comentados) se transformou no livro “Raciocínio Lógico – Incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística”, da Editora Método. No ano passado, lançamos a primeira turma do curso “Raciocínio Lógico para Traumatizados em Exercícios – Incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística” com, aproximadamente 900 questões comentadas e resolvidas. Para este curso, pretendemos chegar a 1.200 questões comentadas e resolvidas, incluindo mais questões de 2011 e algumas de 2012 (as questões serão numeradas de forma sequencial, de aula para aula, para que você acompanhe a quantidade de questões do curso).




Além disso, não se preocupe, pois os comentários serão detalhados e a teoria será explicada. A idéia é que o livro e o curso se complementem. Procuraremos comentar e resolver, em média, 75 exercícios por aula. Como os conceitos matemáticos não mudam, utilizaremos questões das principais bancas: Esaf, Cespe, FCC, FGV e Cesgranrio. Portanto, o curso é voltado para todos os concursos que cobram Raciocínio Lógico Quantitativo propriamente dito e as outras vertentes da Matemática. O curso terá uma aula a cada quinze dias, para que você possa estudar com calma e tirar as suas dúvidas com tranquilidade. Confira abaixo o conteúdo programático:

Aula Data Conteúdo 0 Modelos de Questões Comentadas e Resolvidas 1 02/03 Sinais, Frações, Decimais.

Expoentes e Radicais. Fatoração. Aplicações da Álgebra – Equações e Inequações

2 16/03 Conjuntos e Funções. Progressões Aritmética e Geométrica.

3 30/03 Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. 4 13/04 Trigonometria.

Geometria. 5 27/04 Estruturas Lógicas: Proposições; Valores Lógicos das

Proposições; Sentenças Abertas; Número de Linhas da Tabela Verdade; Conectivos; Proposições Simples; Proposições Compostas. Tautologia. Contradição. Contingência. Implicações Lógicas: Implicação entre Proposições; Propriedade das Implicações Lógicas; Relações entre Implicações. Equivalências Lógicas: Equivalência entre Proposições; Equivalência entre Sentenças Abertas; Propriedade das Equivalências Lógicas; Operação com Conjuntos. Lógica de Argumentação e Diagramas Lógicos.

6 11/05 Estatística Descritiva - Parte I. Gráficos, tabelas, séries, tipos de variáveis, distribuições de freqüência, medidas de posição (média, mediana e moda).

7 25/05 Estatística Descritiva - Parte II. Medidas de dispersão (desvio padrão etc.), medidas de assimetria, medidas de curtose, diagramas de caixa (box plots) e diagrama de ramo-e-folhas.

8 08/06 Análise Combinatória: combinações, arranjos e permutações. Probabilidades: conjuntos, eventos, axiomas, probabilidades conjunta e condicional, independência, regras de adição, regra da multiplicação, teoremas da




probabilidade total e de Bayes. 9 22/06 Variável Aleatória: definição, função discreta de

probabilidade, função de distribuição de probabilidade, função densidade de probabilidade. Valor Esperado: média, variância e valor esperado de função de variável aleatória. Desigualdade de Chebyshev. Principais distribuições de probabilidade (binomial, Poisson, normal etc.).

10 06/07 Variável Aleatória Bivariada: função de probabilidade conjunta, função de probabilidade marginal, função de probabilidade condicional. Variáveis aleatórias independentes. Esperanças envolvendo duas ou mais variáveis: correlação e covariância. Introdução à Regressão Linear.

11 20/07 Amostragem. Amostragem aleatória, teorema do limite central, distribuições amostrais. Estimação de Parâmetros. Estimador e estimativa, justeza, vício de estimação, eficiência, erro quadrático médio, método da máxima verossimilhança. Estimação por ponto e por intervalo. Intervalos de confiança.

12 10/08 Testes de hipóteses para médias, proporções e variâncias populacionais. Valor-p (probabilidade de significância). Testes de hipóteses não paramétricos (aderência e independência).

13 24/08 Inferência Estatística e Análise de Variância do modelo de Regressão Linear Simples.

14 07/09 Juros Simples. Montante e juros. Descontos Simples. Equivalência Simples de Capital. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Descontos: Desconto racional simples e desconto comercial simples.

15 21/09 Juros Compostos. Montante e juros. Desconto Composto. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Capitalização contínua. Equivalência Composta de Capitais. Descontos: Desconto racional composto e desconto comercial composto.

16 05/10 Sistemas de Amortização Taxa Interna de Retorno: TIR do acionista e TIR do projeto. Payback e Valor Presente Líquido. Metodologia de precificação de títulos públicos e privados: títulos pré-fixados, títulos pós-fixados, títulos com pagamentos de cupons, debêntures.

Esperamos que este curso seja bastante útil para você e que possa auxiliá-lo(a) de forma substantiva na preparação das disciplinas de Raciocínio Lógico Quantitativo, Matemática, Matemática Financeira e Estatística.




As dúvidas serão sanadas por meio do fórum do curso, ao qual todos os matriculados terão acesso. As críticas ou sugestões poderão ser enviadas para as seguintes caixas postais: Prof. Moraes Junior: [email protected] Prof. Alexandre Lima: [email protected]. Deixamos para você um provérbio bíblico:

“O preguiçoso deseja e nada consegue, mas os desejos do diligente são amplamente satisfeitos.”

Nunca desista do seu sonho. Deus nos deu o livre arbítrio para que possamos determinar nosso destino. Se você deseja ser aprovado em um concurso público, lute por isso, faça com dedicação, com sacrifício, sempre visando ao seu objetivo. Desta forma, você conseguirá ser aprovado!

Prof. Alexandre Lima Prof. Moraes Junior

Janeiro/2012




Aula Demonstrativa AULA 0 – Apresentação do Curso

Modelo de Questões Resolvidas 1. (Analista de Processos Organizacionais-Administração-Bahiagás- 2010-FCC) Sendo x e y números reais, definiremos a operação Θ tal que xΘy é igual a x−y. Partindo-se dessa definição, é correto dizer que (xΘy) Θ (yΘx) é igual a (A) 2x (B) 2y (C) 2(x−y) (D) −2(x−y) (E) −2x Resolução Primeiramente, não se assuste com o símbolo Θ e outros que possam vir a aparecer em questões desse tipo. O que você precisa “tirar de informação” da questão é qual o significado do símbolo. No caso desta questão, o símbolo significa o “sinal de menos”. Portanto: xΘy = x−y; ou seja, Θ = – (menos). Portanto, basta pegar a informação dada na questão, substituir na expressão que a questão informa e calcular o resultado. Vamos lá: (xΘy) Θ (yΘx) = (x – y) – (y – x). Beleza até aqui? Repare que, no segundo termo: – (y – x) = – (+ y – x). Se retirarmos os parênteses, teríamos: – + y – – x = – y + x. Portanto, o que temos que guardar, para adição e subtração, é: 1. Normalmente, não mostramos o sinal de mais (+) no primeiro termo, ou seja, (x + y) = (+ x + y). 2. Menos (–) com mais (+) é igual a menos (–): – + = –. 3. Menos (–) com menos (–) é igual a mais (+): – – = +. Voltando, a nossa questão, teríamos: (xΘy) Θ (yΘx) = (x – y) – (y – x) = x – y – y + x = 2x – 2y.




Como aparece o número 2 nos dois termos, podemos colocar em evidência (todos os termos estão multiplicados por 2). Logo: 2x – 2y = 2 . (x – y). GABARITO: C 2. (Analista Judiciário-Área Administrativa-TRT/15R-2009-FCC) Do

total de projetos que estavam em um arquivo, sabe-se que: 2

5 deveriam ser

analisados e 4

7 referiam-se ao atendimento ao público interno. Com essa

informação, é correto concluir que o total de projetos existentes nesse arquivo NUNCA poderia ser um número compreendido entre (A) 10 e 50. (B) 60 e 100. (C) 110 e 160. (D) 150 e 170. (E) 180 e 220. Resolução Se consideramos que o números total de projetos é igual a “X”, teremos:

Projetos a serem analisados = X . 2

5

Projetos relacionados ao público interno = X . 4

7

Repare que o número de projetos a serem analisados e o número de projetos relacionados ao público interno devem ser números naturais, certo? Claro! Você já viu alguém analisar meio processo ou um processo negativo? Risos. Esta é a “informação chave” da questão, pois, se são números naturais, o número total de processos deve ser divisível por 5 e divisível por 7. Também estudaremos os critérios de divisibilidade em aula posterior, mas, no momento, temos que saber que, se um número deve ser divisível por 5 e divisível por 7, ele deve ser divisível por 5 x 7 = 35 (que é o mínimo múltiplo comum de 5 e 7). Generalizando, se um número é divisível por A e divisível por B, ele deve ser divisível pelo mínimo múltiplo comum de A e B.




Portanto, basta conhecer os múltiplos de 35 para verificarmos a resposta correta. Veja: 1 x 35 = 35 2 x 35 = 70 3 x 35 = 105 4 x 35 = 140 5 x 35 = 175 6 x 35 = 210 7 x 35 = 245 Logo, o número total de projetos “X” pode ser: 35, 70, 105, 140, 175, 210, 245,... Analisando as alternativas, temos que verificar em qual delas não há algum dos números supramencionados: (A) 10 e 50. ⇒35 está compreendido entre 10 e 50. (B) 60 e 100. ⇒70 está compreendido entre 60 e 100. (C) 110 e 160. ⇒105 e 140 estão compreendidos entre 110 e 160. (D) 150 e 170. ⇒ não há número divisível por 35 neste intervalo (E) 180 e 220. ⇒210 está compreendido entre 180 e 220. GABARITO: D 3. (EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Se a idade de uma criança hoje é a diferença entre a metade da idade que ela teria daqui a dez anos e a metade da idade que ela tinha há dois anos, qual a sua idade hoje? a) 3 anos. b) 2 anos. c) 4 anos. d) 5 anos. e) 6 anos. Resolução Idade Hoje = X Idade Daqui a 10 anos = X + 10 Idade Há 2 anos = X – 2 Pelo enunciado: a idade de uma criança hoje (X) é a diferença entre a metade

da idade que ela teria daqui a dez anos 10

2

X +

e a metade da idade que ela

tinha há dois anos 2

2

X −

.




Ou seja, transformamos o enunciado em uma expressão:

10 2 10 2 126

2 2 2 2

X X X XX X anos

+ − + − += − = ⇒ = =

GABARITO: E 4. (Auditor do Tesouro Municipal-Prefeitura de Natal/RN–2008-Esaf) Uma função definida no conjunto dos números inteiros satisfaz a igualdade:

f(x) − (x + 1) f( 2− x) = 3 x , para todo x inteiro. Com estas informações, conclui-se que f(0) é igual a: a) – 2-1/3

b) 2-1/3

c) – 21/3

d) 2-2/3

e) – 2-2/3 Resolução Para resolver a questão, é necessário relembrar duas propriedades de potências: I) xn : xm = xn – m ⇒ divisão de potências de mesma base ⇒ conserva a base e subtrai os expoentes. Ex: 24 : 22 = 22

II) (xn)m = xn . m ⇒ potência de potência ⇒ multiplica os expoentes. Ex: (24)2 = 28

Sabemos que:

2= 21/2

3 x = x1/3

Portanto, podemos substituir a expressão f(x) − (x + 1) f( 2− x) = 3 x por: f(x) − (x + 1) f(21/2 − x) = x1/3

O enunciado da questão pede que calculemos f(0), ou seja, o valor da expressão para x = 0. Substituindo x na expressão, teríamos: x = 0 ⇒ f(0) − (0 + 1) f(21/2 − 0) = 01/3 ⇒ ⇒ f(0) – 1 x f(21/2) = 0 ⇒ f(0) = f(21/2) (I) Beleza. Sabemos que f(0) = f(21/2). Contudo, não temos o valor de f(21/2).




Podemos substituir x = 21/2 na mesma expressão, que vale para qualquer x, e calcular f(21/2). Vamos lá: x = 21/2 ⇒ f(21/2) − (21/2 + 1) . f(21/2 − 21/2) = (21/2)1/3 ⇒ ⇒ f(21/2) − (21/2 + 1) f(0) = 2 (1/2).(1/3) ⇒ ⇒ f(21/2) − (21/2 + 1) f(0) = 21/6 (II) Como calculamos, em (I), que f(0) = f(21/2), substituindo (I) em (II): f(21/2) − (21/2 + 1) f(0) = 21/6 ⇒ ⇒ f(0) – (21/2 + 1) . f(0) = 21/6 ⇒ ⇒ f(0) – 21/2 . f(0) – f(0) = 21/6 ⇒ ⇒ f(0) – f(0) – 21/2 . f(0) = 21/6 ⇒ ⇒ – 21/2 . f(0) = 21/6 ⇒

⇒ f(0) =

1

6

1

2

2

2

−⇒

⇒ f(0) = – 21/6 – 1/2 ⇒ Repare que, no expoente de 2, temos que fazer o seguinte cálculo: 1 1 1 1 3 1 3 2 1

6 2 6 2 3 6 6 3

− − −− = − × = = =

O m.m.c (mínimo múltiplo comum) dos denominadores 2 e 6 é igual a 6. Veremos o procedimento de cálculo do m.m.c com mais detalhes na aula 1. ⇒ f(0) = – 2 (1-3)/6 ⇒ ⇒ f(0) = – 2 -2/6 = – 2 -1/3

GABARITO: A 5. (Analista Judiciário-Área: Administrativa-TRT/15R-2010-FCC) Um criptograma aritmético é um esquema operatório codificado, em que cada letra corresponde a um único algarismo do sistema decimal de numeração. Considere que o segredo de um cofre é um número formado pelas letras que compõem a palavra MOON, que pode ser obtido decodificando-se o seguinte criptograma: (IN)2 = MOON Sabendo que tal segredo é um número maior que 5.000, então a soma M + O + O + N é igual a (A) 16 (B) 19 (C) 25 (D) 28 (E) 31




Resolução Calma! Não precisa ficar nervoso. A questão parece difícil, mas não é. Vejamos. Vamos, literalmente, “decifrar” a questão. I) Se o segredo do cofre é a palavra MOON e cada letra corresponde a um algarismo, temos: M = algarismo dos milhares. O = algarismo das dezenas e das centenas (iguais) N = algarismo das unidades II) Além disso, outras informações importantes são que o segredo (MOON) é maior que 5.000 e que um número de dois algarismos (IN) elevado ao quadrado é igual a MOON. Além disso, o algarismo das dezenas de IN (I) é diferente de quaisquer algarismos do segredo (MOON). Como faremos o teste? Vamos adotar o seguinte procedimento. I – Repare que os algarismos das unidades (N) do número elevado ao quadrado (IN) tem que ser igual ao algarismo das unidades do segredo (MOON). Ora, quais são os números de 1 a 9 que elevados ao quadrado possuem algarismos das unidades iguais? Vejamos 02 = 0 (ok) 12 = 1 (ok) 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 (ok) 62 = 36 (ok) 72 = 49 82 = 64 92 = 81 Por enquanto, temos que N pode ser 0, 1, 5 ou 6. II – Com isso, quais são os números de dois algarismos (I0 ou I1 ou I5 ou I6) possíveis? São eles: 10, 11, 15, 16, 20, 21, 25, 26, 30, 31, 35, 36, 40, 41, 45, 46, 50, 51, 55, 56, 60, 61, 65, 66, 70, 71, 75, 76, 80, 81, 85, 86, 90, 91, 95, 96. Repare ainda que: (60)2 = 3.600, que é menor que 5.000. Logo, o segredo (MOON) é maior que 60.




(70)2 = 4.900, que é menor que 5.000. Logo, o segredo (MOON) é maior que 70. Com isso todos os números menores ou iguais a 70 também terão os seus quadrados menores que 5.000. Com isso, eliminamos 10, 11, 15, 16, 20, 21, 25, 26, 30, 31, 35, 36, 40, 41, 45, 46, 50, 51, 55, 56, 60, 61, 65, 66 e 70. Nossa lista de testes ficou com: 71, 75, 76, 80, 81, 85, 86, 90, 91, 95, 96. IV – Vamos testar os demais: (IN)2 = (71)2 = 71 x 71 = 5.041 (é maior que 5.000, mas não atende a outra característica do segredo, ou seja, o algarismo das dezenas (4) não é igual ao algarismo das centenas (0)). (IN)2 = (75)2 = 75 x 75 = 5.625 (é maior que 5.000, mas não atende a outra característica do segredo, ou seja, o algarismo das dezenas (2) não é igual ao algarismo das centenas (6)). (IN)2 = (76)2 = 76 x 76 = 5.776 Será que este número atende todas as especificações da questão? Vejamos: I = 7 N =6 (IN)2 = MOON = 762 = 5.776 É maior que 5.000 e o algarismo das dezenas (7) é igual ao algarismo das centenas (7). Tudo bem até aqui? Sim, mas repare que o algarismo das dezenas de IN (I = 7) é igual do algarismo O (O = 7) do segredo, fato que não é possível, pois I é diferente de O. Portanto, 76 também não serve. Continuando os nossos testes: (IN)2 = (80)2 = 80 x 80 = 6.400 (é maior que 5.000, mas não atende a outra característica do segredo, ou seja, o algarismo das dezenas (0) não é igual ao algarismo das centenas (4)). (IN)2 = (81)2 = 81 x 81 = 6.561 (é maior que 5.000, mas não atende a outra característica do segredo, ou seja, o algarismo das dezenas (6) não é igual ao algarismo das centenas (5)). (IN)2 = (85)2 = 85 x 85 = 7.225 É maior que 5.000 e o algarismo das dezenas (2) é igual ao algarismo das centenas (2). Tudo bem até aqui? Sim. Além disso, o algarismo das dezenas de IN (I = 8) é diferente do algarismo O (O = 2) do segredo. Portanto, o segredo é 7.225.




M = 7 O = 2 O = 2 N = 5 A questão pede a soma: M + O + O + N = 7 + 2 + 2 + 5 = 16 GABARITO: A 6. (AFRFB-2009-Esaf) Considere uma esfera, um cone, um cubo e uma pirâmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. A esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirâmide. Considerando ainda que dois cones pesariam o mesmo que três pirâmides, quantos cubos pesa a esfera? a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1 Resolução Colocamos esta questão aqui com o objetivo de mostrar que as equações, praticamente, serão utilizadas para resolver todos os problemas de prova. Sempre teremos que utilizar uma equação, seja ela de primeiro ou segundo grau. Vamos à resolução da questão. Primeiramente, vamos verificar as informações fornecidas para que possamos “montar” nossas equações: Peso da Esfera = Pe Peso do Cubo = Pcb Peso do Cone = Pcn Peso da Pirâmide = Pp De acordo com a questão, a esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. Pe + Pcb = Pcn (I) Ainda de acordo com a questão, a esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirâmide. Pe = Pcb + Pp ⇒ Pp = Pe – Pcb (II) E, finalmente, que dois cones pesam o mesmo que três pirâmides. 2.Pcn = 3.Pp (III) A questão deseja saber quantos cubos pesa a esfera.




Substituindo (II) em (III): Pp = Pe – Pcb (II) 2.Pcn = 3.Pp (III) ⇒2.Pcn = 3.(Pe – Pcb) ⇒ ⇒Pcn = (3/2).(Pe – Pcb) ⇒ ⇒ Pcn = 1,5.(Pe – Pcb) (IV) Substituindo (IV) em (I): Pe + Pcb = Pcn (I) Pcn = 1,5.(Pe – Pcb) (IV) ⇒ Pe + Pcb = 1,5.(Pe – Pcb) ⇒ ⇒ Pe + Pcb = 1,5.Pe – 1,5.Pcb ⇒ ⇒ 1,5.Pe – Pe = Pcb + 1,5.Pcb ⇒ ⇒ 0,5.Pe = 2,5.Pcb ⇒ ⇒ Pe = 5.Pcb GABARITO: B 7. (Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP-2010-FCC) Na equação x3 + 3x2 + x − 1 = 0, substituindo-se x por z − 1 obtém-se uma equação em z sem o termo quadrático, o que facilita sua resolução. A partir disso, podem-se obter também as soluções da equação original, uma das quais é

(A) 2

(B) 2 1− (C) – 2

(D) 3 2

(E) 3 2 2− Resolução Bom, a questão já está nos indicando que caminho devemos seguir, ou seja, devemos substituir a incógnita x da equação por z – 1 (transformação): x3 + 3x2 + x − 1 = 0 ⇒ (z – 1)3 + 3.(z – 1)2 + (z – 1) – 1 = 0 Vamos calcular separadamente: (z – 1)2 = (z – 1).(z – 1) = z.(z – 1) – 1.(z – 1) ⇒ ⇒ (z – 1)2 = z.z + z.(-1) – 1.z – 1.(-1) ⇒ ⇒ (z – 1)2 = z2 – z – z + 1 = z2 – 2z + 1




Só estamos fazendo as contas detalhadamente para que você possa treinar, mas, na verdade, já estudamos que: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2. Portanto: (z – 1)2 = z2 – 2.z.1 + 12

= z2 – 2z + 1 Para calcular (z – 1)3 basta fazer (z – 1)2.(z – 1): (z – 1)3 = (z – 1)2.(z – 1) = (z2 – 2z + 1).(z – 1) ⇒ ⇒ (z – 1)3 = z2.(z – 1) – 2z.(z – 1) + 1.(z – 1) ⇒ ⇒ (z – 1)3 = z2.z + z2.(–1) – 2z.z – 2z.(–1) + 1.z + 1.(–1) ⇒ ⇒ (z – 1)3 = z3

– z2 – 2z2 + 2z + z – 1 ⇒ ⇒ (z – 1)3 = z3 – 3z2 + 3z – 1 Logo, temos: (z – 1)2 = z2 – 2z + 1 (z – 1)3 = z3 – 3z2 + 3z – 1 Substituindo tudo na equação abaixo: x3 + 3x2 + x − 1 = 0 ⇒ ⇒ (z – 1)3 + 3.(z – 1)2 + (z – 1) – 1 = 0 ⇒ ⇒ z3 – 3z2 + 3z – 1 + 3.( z2 – 2z + 1) + z – 1 – 1 = 0 ⇒ ⇒ z3 – 3z2 + 3z – 1 + 3z2 +3.(-2z) + 3.1 + z – 2 = 0 ⇒ ⇒ z3 – 3z2 + 3z – 1 + 3z2 – 6z + 3 + z – 2 = 0 ⇒ ⇒ z3 – 3z2

+ 3z2 + 3z – 6z + z – 1 + 3 – 2 = 0 ⇒ ⇒ z3 – 2z = 0 Repare que todos os termos da equação possuem z. Portanto, podemos colocar o z em evidência: ⇒ z3 – 2z = 0 ⇒ ⇒ z.(z2 – 2) = 0 Observe que, se temos A.B = 0, ou A = 0 ou B = 0 ou ambos são iguais a zero. Portanto, na equação z.(z2 – 2) = 0, temos as seguintes opções: z = 0 ou

z2 – 2 = 0 ⇒ z2 = 2 ⇒ z = 2± (repare que 2± elevado ao quadrado é

igual a 2). Cuidado, pois achamos as raízes da equação transformada para z e a questão pergunta as raízes para equação com a variável x. Contudo, sabemos que a transformação foi x = z – 1.




Portanto, as raízes da equação x3 + 3x2 + x − 1 serão: z = 0 ⇒ Como x = z – 1 ⇒ Como x = 0 – 1 ⇒ x = – 1

z = 2 ⇒ Como x = z – 1 ⇒ Como x = 2 – 1 ⇒ x = 2 – 1

z = 2− ⇒ Como x = z – 1 ⇒ Como x = 2− – 1 ⇒ x = 2− – 1 GABARITO: B 8. (Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental-MPOG-2009-Esaf) Se uma companhia telefônica cobrasse uma taxa de assinatura básica de R$100,00 mensais mais R$ 0,50 por cada pulso excedente à franquia, que é de 20 pulsos, quanto um assinante pagaria se telefonasse o equivalente a 50 pulsos no mês? a) R$ 50,00 b) R$ 100,00 c) R$ 80,00 d) R$ 115,00 e) R$ 125,00 Resolução Esta é uma questão em que temos que montar a função. Ou seja, é o tipo de questão que aparece muito em prova, onde a álgebra é aplicada à vida real, por meio de funções. Taxa de Assinatura Básica (Mensal) = R$ 100,00 Franquia = 20 pulsos Pulso Excedente = R$ 0,50 por pulso Note que o valor excedente somente será cobrado somente sobre os pulsos que ultrapassarem os 20 pulsos da franquia. Valor Excedente = 0,50 . (P – F) = 0,50 . (P – 20) P = número de pulsos por mês F = franquia = 20 pulsos Valor a ser Pago (P) = Taxa Básica + Valor Excedente Valor a ser Pago (P) = 100 + 0,50 . (P – 20) ⇒ ⇒ Valor a ser Pago (P = 50) = 100 + 0,50 . (50 – 20) ⇒ ⇒ Valor a ser Pago (P = 50) = 100 + 0,50 . 30 = R$ 115,00 GABARITO: D




9. (Assistente Técnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por –3, o determinante da matriz fica: a) Multiplicado por –1. b) Multiplicado por –16/81. c) Multiplicado por 2/3. d) Multiplicado por 16/81. e) Multiplicado por –2/3. Resolução Esta questão pede o determinante de uma matriz 4 x 4. Aí, você poderia indagar: os professores ficaram malucos, pois ensinaram apenas o procedimento de cálculo das matrizes quadradas de ordem 1 (1 x 1), ordem 2 (2 x 2) e de ordem 3 (3 x 3). E aí? Como fazer? Bom esta questão envolve as propriedades dos determinantes, que são aplicáveis a quaisquer matrizes quadradas, independentemente da ordem. Vamos relembrar a propriedade que será utilizada na questão: Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A, por um número k, o determinante na nova matriz A´ será o produto de k pelo determinante de A: det A´= k . det A. Também vale para a divisão por k: det A´= (1/k) . det A. Consideramos a matriz 4 x 4 igual A e o determinante de A igual a: det(A) I. Linha 2 da matriz A multiplicada por 2: logo, o novo determinante será: Novo Determinante = 2 x det(A) II. Linha 3 da matriz A dividida por -3: logo, o novo determinante será: Novo Determinante = 2 x det(A) x (-1/3) = (-2/3) x det(A) GABARITO: E




10. (AFRFB-2009-Esaf) Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em relação a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900 km/h, a que altura em relação ao ponto de lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o lançamento? a) 0,333 km b) 0,625 km c) 0,5 km d) 1,3 km e) 1 km Resolução Esta é uma questão de aplicação prática do triângulo retângulo e suas relações. A questão estabelece que a trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta. Portanto, inicialmente, vamos determinar quanto que o projétil percorreu em 5 segundos: Velocidade Média = 900 km/h, ou seja, o projétil é capaz de percorrer 900 km em 1 hora. Fazendo uma regra de três: 900 km ===== 1 hora = 60 minutos = 60 x 60 = 3.600 segundos Distância ===== 5 segundos Multiplicando em cruz:

Distância x 3.600 = 900 x 5 ⇒ Distância = 900 5

3.600

×= 1,25 km

Contudo, a trajetória do projétil forma um ângulo de 30º em relação ao plano horizontal. Portanto, temos o triângulo retângulo abaixo, onde a hipotenusa é distância percorrida e a altura do projétil após 5 segundos será um dos catetos: A questão pede a altura (h) que o projétil estará a 5 segundos do lançamento.

30º

1,25 h




Das relações trigonométricas, temos:

Seno 30º = _cateto oposto

hipotenusa= 1,25

h (I)

Também sabemos, da teoria, que:

Seno 30º = 1

2 (II)

Portanto, temos: 1,25

h= 1

2 ⇒h =

1,25

2⇒ h = 0,625 km

GABARITO: B Abraços e bons estudos, Alexandre Lima [email protected] Moraes Junior [email protected]




Questões Comentadas e Resolvidas Nesta Aula 1. (Analista de Processos Organizacionais-Administração-Bahiagás- 2010-FCC) Sendo x e y números reais, definiremos a operação Θ tal que xΘy é igual a x−y. Partindo-se dessa definição, é correto dizer que (xΘy) Θ (yΘx) é igual a (A) 2x (B) 2y (C) 2(x−y) (D) −2(x−y) (E) −2x 2. (Analista Judiciário-Área Administrativa-TRT/15R-2009-FCC) Do

total de projetos que estavam em um arquivo, sabe-se que: 2

5 deveriam ser

analisados e 4

7 referiam-se ao atendimento ao público interno. Com essa

informação, é correto concluir que o total de projetos existentes nesse arquivo NUNCA poderia ser um número compreendido entre (A) 10 e 50. (B) 60 e 100. (C) 110 e 160. (D) 150 e 170. (E) 180 e 220. 3. (EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Se a idade de uma criança hoje é a diferença entre a metade da idade que ela teria daqui a dez anos e a metade da idade que ela tinha há dois anos, qual a sua idade hoje? a) 3 anos. b) 2 anos. c) 4 anos. d) 5 anos. e) 6 anos.




4. (Auditor do Tesouro Municipal-Prefeitura de Natal/RN–2008-Esaf) Uma função definida no conjunto dos números inteiros satisfaz a igualdade:

f(x) − (x + 1) f( 2− x) = 3 x , para todo x inteiro. Com estas informações, conclui-se que f(0) é igual a: a) – 2-1/3

b) 2-1/3

c) – 21/3

d) 2-2/3

e) – 2-2/3 5. (Analista Judiciário-Área: Administrativa-TRT/15R-2010-FCC) Um criptograma aritmético é um esquema operatório codificado, em que cada letra corresponde a um único algarismo do sistema decimal de numeração. Considere que o segredo de um cofre é um número formado pelas letras que compõem a palavra MOON, que pode ser obtido decodificando-se o seguinte criptograma: (IN)2 = MOON Sabendo que tal segredo é um número maior que 5.000, então a soma M + O + O + N é igual a (A) 16 (B) 19 (C) 25 (D) 28 (E) 31 6. (AFRFB-2009-Esaf) Considere uma esfera, um cone, um cubo e uma pirâmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. A esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirâmide. Considerando ainda que dois cones pesariam o mesmo que três pirâmides, quantos cubos pesa a esfera? a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1




7. (Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Educação-SP-2010-FCC) Na equação x3 + 3x2 + x − 1 = 0, substituindo-se x por z − 1 obtém-se uma equação em z sem o termo quadrático, o que facilita sua resolução. A partir disso, podem-se obter também as soluções da equação original, uma das quais é

(A) 2

(B) 2 1− (C) – 2

(D) 3 2

(E) 3 2 2− 8. (Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental-MPOG-2009-Esaf) Se uma companhia telefônica cobrasse uma taxa de assinatura básica de R$100,00 mensais mais R$ 0,50 por cada pulso excedente à franquia, que é de 20 pulsos, quanto um assinante pagaria se telefonasse o equivalente a 50 pulsos no mês? a) R$ 50,00 b) R$ 100,00 c) R$ 80,00 d) R$ 115,00 e) R$ 125,00 9. (Assistente Técnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por –3, o determinante da matriz fica: a) Multiplicado por –1. b) Multiplicado por –16/81. c) Multiplicado por 2/3. d) Multiplicado por 16/81. e) Multiplicado por –2/3.




10. (AFRFB-2009-Esaf) Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em relação a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900 km/h, a que altura em relação ao ponto de lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o lançamento? a) 0,333 km b) 0,625 km c) 0,5 km d) 1,3 km e) 1 km




GABARITO: 1 – C 2 – D 3 – E 4 – A 5 – A 6 – B 7 – B 8 – D 9 – E 10 – B




Bibliografia

ALENCAR FILHO, Edgard de, Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo. Nobel, 2002. ANDRADE, Nonato de, Raciocínio Lógico para Concursos. Rio de Janeiro. Ed. Ferreira, 2008. ATENFELDER, Sérgio, Matemática Financeira para todos os concursos: com todas as questões comentadas. Rio de Janeiro. Elsevier, 2007. BARROS, Dimas Monteiro de, Raciocínio lógico, matemático e quantitativo. São Paulo. Novas Conquistas, 2001. BARROS, Dimas Monteiro de, Lógica para concursos. Araçatuba. São Paulo. Novas Conquistas, 2005. BARROS, Dimas Monteiro de, Enigmas, desafios, paradoxos e outros divertimentos lógicos e matemáticos. Araçatuba. São Paulo. Editora MB, 2009. CARVALHO FILHO, Sérgio de, Estatística Básica para concursos: teoria e 150 questões. Niterói/RJ. Impetus, 2004. CESAR, Benjamim, Matemática Financeira: teoria e 640 questões. 5a Edição. Rio de Janeiro. Impetus, 2004. DEWDNEY, A. K., 20.000 Léguas Matemáticas: um passeio pelo misterioso mundo dos números. Tradução: Vera Ribeiro; Revisão: Vitor Tinoco. Rio de Janeiro. Jorge Zahar Ed., 2000. DOLCE, Osvaldo, Fundamentos da Matemática Elementar. 9: Geometria Plana/ Dolce Osvaldo, José Nicolau Pompeo. 8a Edição. São Paulo. Atual, 2005. DOXIADIS, Apóstolos, Tio Petros e a conjectura de Goldbach: um romance sobre os desafios da Matemática. Tradução: Cristiane Gomes de Riba. São Paulo. Ed. 34, 2001. DOWNING, Douglas, Estatística Aplicada/Douglas Downing, Jeffrey Clark. Tradução: Alfredo Alves de Faria. 2a Edição. São Paulo. Saraiva, 2006. GUEDJ, Denis, O teorema do papagaio. Tradução: Eduardo Brandão. São Paulo. Companhia das Letras, 1999. IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar. 1: Conjuntos, Funções/ Gelson Iezzi, Carlos Murakami. 8a Edição. São Paulo. Atual, 2004.




IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar. 3: Trigonometria/ Gelson Iezzi. 8a Edição. São Paulo. Atual, 2004. IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar. 4: Seqüências, Matrizes, Determinantes, Sistemas/Gelson Iezzi, Samuel Hazzan. 7a Edição. São Paulo. Atual, 2004. IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar. 6: Complexos, Polinômios, Equações/Gelson Iezzi. 7a Edição. São Paulo. Atual, 2004. IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar. 11: Matemática Comercial, Matemática Financeira, Estatística Descritiva/Gelson Iezzi, Samuel Hazzan, David Mauro Degenszajn. 1a Edição. São Paulo. Atual, 2004. MORAES Junior, Alexandre Lima. Raciocínio Lógico, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística. Editora Método. Rio de Janeiro. 2011. MORGADO, Augusto César, Raciocínio Lógico-Quantitativo: teoria, questões resolvidas, questões de concursos e mais de 850 questões/Augusto César Morgado, Benjamim César de Azevedo Costa. 4a Edição. Rio de Janeiro. Elsevier, 2009. NORBIM, Fernando Dalvi, Raciocínio Lógico Descomplicado: Mais de 400 questões resolvidas, comentadas e com gabarito oficial. Rio de Janeiro. Editora Ciência Moderna Ltda, 2009. ROCHA, Enrique, Raciocínio Lógico: você consegue aprender. Rio de Janeiro. Elsevier, 2005. SINGH, Simon, O Último Teorema de Fermat: a história do enigma que confundiu as maiores mentes do mundo durante 358 anos. Tradução: Jorge Luiz Calife; 7a Edição. Rio de Janeiro. Record, 2000. SINGH, Simon, O livro dos códigos. Tradução: Jorge Luiz Calife; 7a Edição. Rio de Janeiro. Record, 2001. STEWART, Ian, Será que Deus joga dados? Tradução: Maria Luiza X. de A. Borges; Revisão: Ildeu de Castro Moreira. Rio de Janeiro. Jorge Zahar Ed., 1991. TAHAN, Malba, 1895-1974, O homem que calculava/Malba Tahan. 44a Edição. Rio de Janeiro. Record, 1997.

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