objetiv

os1AULA

Metas da aula

Movimento em uma dimenso

Discutir a equao diferencial que descreve o movimento de uma partcula em uma dimenso sob a ao de uma fora geral, o mtodo de soluo numrica,

e o papel das condies iniciais; apresentar mtodos simples de soluo desta equao quando a fora depende somente do

tempo ou somente da velocidade; mostrar a utilidade das expanses em sries nas aproximaes e anlise de resultados.

Esperamos que, aps o estudo do contedo desta aula, voc seja capaz de:

resolver a equao do movimento para foras do tipo F(t) e F(v);

usar a srie de Taylor para obter solues aproximadas simples a partir das solues analticas exatas.

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POR QUE MAIS MECNICA?

Vamos dar incio ao nosso curso de Mecnica Clssica com algumas

observaes gerais sobre seus objetivos. Voc vai ser professor de Fsica

para alunos do Ensino Mdio e nas disciplinas Fsica I e Fsica II j estudou,

provavelmente, mais do que vai poder ensinar de Mecnica para seus

alunos. Ento, qual a relevncia de um aprofundamento maior ainda

nos seus estudos? Primeiro, porque voc vai ser um professor e no um

mero repetidor e no h como ensinar sem um conhecimento slido dos

fundamentos do contedo do que est sendo ensinado. Voc dever ter uma

noo clara das aproximaes envolvidas nas aplicaes que apresentar

aos seus alunos, assim como ser capaz de analisar situaes novas que

certamente surgiro. Depois, importante saber situar a Mecnica Clssica

no contexto da Fsica Moderna e conhecer os limites de validade dos seus

resultados. Com o seu maior e melhor conhecimento, acima de tudo voc

tambm ser mais capaz de motivar seus futuros alunos.

Para concretizar esses objetivos, esperamos trein-lo neste curso

a pensar sobre fenmenos fsicos em termos matemticos. Isso no quer

dizer que voc deva abandonar uma abordagem qualitativa, guiada por

sua intuio do fenmeno mecnico, mas que voc desenvolva uma igual

intuio para a formulao matemtica de problemas fsicos e para a

interpretao fsica de solues matemticas.

O PROBLEMA GERAL DO MOVIMENTO EM UMA DIMENSO

Comearemos estudando o movimento de uma partcula de massa

m ao longo de uma linha reta, que vamos tomar como sendo o eixo

x. A partcula move-se sob a ao de uma fora F dirigida ao longo

do eixo x. O movimento da partcula, como voc j aprendeu, dado

pela segunda lei de Newton,

(1.1)

onde a a acelerao

(1.2)

F ma=

ad xdt

x= =2

2&&

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A fora F em geral depende do que a partcula est fazendo. Para

saber o que a partcula est fazendo, preciso conhecer sua posio

e sua velocidade x(t) = dx(t)/dt num dado instante de tempo t. Logo,

em geral, a fora F alguma funo de x(t), &x t( )0(t) e t, ou seja, F(x, &x t( )0, t).

Ento, a segunda lei de Newton assume a seguinte forma:

(1.3)

Exerccio 1.1. D exemplos de foras: (a) constantes; (b) que dependem da

posio; (c) que dependem da velocidade; (d) que dependem do tempo.

A Equao (1.3) uma equao diferencial de segunda ordem

porque ela envolve uma derivada segunda e nenhuma outra derivada

de ordem superior. Uma equao diferencial de segunda ordem para x

tem, em geral, um nmero infinito de solues que podem ser rotuladas

pelos valores de x e &x t( )0 num dado tempo, digamos, no instante em que

comeamos a observar o movimento. Estas condies que especificam a

soluo so chamadas condies iniciais. Uma vez dadas as condies

iniciais, ou seja, a posio inicial e a velocidade inicial, a soluo da

equao diferencial estar completamente especificada.

Exemplo 1.1. Considere o problema mais simples da mecnica que

o de encontrar o movimento de uma partcula movendo-se em uma

linha reta sob a ao de uma fora constante. Neste caso, F(x, &x t( )0, t) = F0

e a Equao (1.3) fica

(1.4)

Mas d x dt dx dt dv dt2 2 = =& e assim,

(1.5)

Integrando

(1.6)

ou

(1.7)

md xdt

F x x t2

2= ( , , )&

dvF

mdt= 0

vdxdt

vF

mt t= = + 0 0 0( )

d xdt

=F

m= const

2

2

0

dvF

mdt

v

v

t

t = 0 0

0

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Integrando novamente

(1.8)

ou

(1.9)

A soluo geral da Equao (1.4) , portanto,

(1.10)

Dados os valores de e no instante inicial t0 , a soluo x(t) estar

completamente especificada e ser nica.

RESOLVENDO A EQUAO DO MOVIMENTO NUMERICAMENTE

Se voc tiver uma fora complicada, dependendo de x, , e t, voc

no poder, na maioria das vezes, encontrar uma soluo em termos de

funes conhecidas. No entanto, voc sempre poder resolver a Equao

(1.3) numericamente. O modo de resolver seria assim: se voc conhece a

posio x t( )0 e a velocidade &x t( )0 no instante inicial t0, voc pode usar

esta informao para determinar a posio da partcula em um tempo

muito curto t0 + t posterior (ou anterior) atravs da expresso

(1.11)

Esta expresso vem da definio de derivada e tanto mais acurada

quanto menor for t. Ns queremos iterar este procedimento e achar x(t

0 + nt), o que significaria achar x(t) (pelo menos aproximadamente)

em toda uma seqncia de tempos futuros (ou passados). Na etapa

seguinte equao (1.11), isto , para n = 2, teremos:

(1.12)

x x v t tF

mt t = + 0 0 0 0 0 22

( ) ( )

x tF

mt t x t t t x t( ) ( ) ( )( ) ( )= + +0 0 2 0 0 02

&

x t( )0 &x t( )0

x t t x t x t t( ) ( ) ( )0 0 0+ = + &

x t t x t t x t t t( ) ( ) ( )0 0 02+ = + + + &

&x t( )0

dx dt vF

mt t

x

x

t

t = + 0 0

00

0( ( ))

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Note que agora precisamos de que no dado pela

condio inicial. Aqui entra em cena a segunda lei de Newton. Como

, (1.13)

para prosseguir precisamos saber qual o valor de . Mas a segunda

lei de Newton diz que dado dividindo-se a fora no instante t0 pela

massa da partcula

(1.14)

Pondo este valor da acelerao na Equao (1.13), obtemos a

velocidade no instante t0 + t que, por sua vez, substitudo na Equao

(1.12), permite encontrar x(t0 + 2t). Note que a acelerao necessria

em um passo sempre dada em termos dos valores de x, &x t( )0 j calculados

no passo anterior. Na prxima etapa, temos de calcular x(t0

+ 3t),e assim por diante.

Exerccio 1.2. Escreva os passos necessrios para calcular x, &x t( )0

em t0 + 3t.

O mtodo numrico deixa muito claro o papel da segunda lei de

Newton e descreve a estrutura da soluo do problema do movimento

da partcula em uma forma extremamente simples. Quando precisamos

do valor da acelerao em um dado instante, a segunda lei nos diz para

tomar o valor da fora naquele instante e dividir pela massa. Nada

mais simples. Por outro lado, a Equao (1.11), que apresentamos como

conseqncia da definio de derivada, tambm pode ser vista como

obtida a partir da definio da velocidade mdia

(1.15)

Quando t 0 as duas coisas coincidem. O mesmo comentrio vale para a Equao (1.13): vem da definio de acelerao mdia. Voc

j deve estar pensando: no h nada neste mtodo numrico que no

possa ser ensinado a um aluno do ensino mdio. At certo ponto isto

verdade. Voc ver este tema abordado nas aulas de Informtica para o

&x t t( )0 +

& & &&x t t x t x t t( ) ( ) ( )0 0 0+ = +

&&x t( )0

&& &x tm

F x t x t t( ) ( ( ), ( ), )0 0 0 01=

&&x t( )0

&x tx t t x t

t( )

( ) ( )0

0 0= +

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Ensino do Professor C.E. M. de Aguiar. Veja tambm a prxima aula,

na qual voc ter como exerccio resolver numericamente o problema

do oscilador harmnico unidimensional.

Uma outra coisa interessante do mtodo numrico diz respeito

s condies iniciais e unicidade da soluo da equao diferencial.

Observando as Equaes (1.11), (1.13) e (1.14) vemos que duas condies

iniciais bastam para especificar como a partcula se move, ou seja, para

fixar a soluo da equao diferencial. Isto porque a equao que descreve

o movimento uma equao diferencial de segunda ordem. Para uma

equao diferencial de primeira ordem evidente que precisaramos de

somente uma condio inicial. Uma equao diferencial de terceira ordem

iria requerer trs condies iniciais: x t( )0 , &x t( )0 , &&x t( )0 . A derivada terceira

seria dada pela equao diferencial. E assim por diante. A nossa partcula,

por sua vez, est se movendo somente em uma dimenso. Se o movimento

fosse em trs dimenses, teramos uma equao do movimento para cada

dimenso e seriam necessrias seis condies iniciais.

O nmero de graus de liberdade de um sistema igual ao nmero

de modos independentes no qual o sistema pode se mover. Assim,

precisamos de duas condies iniciais por grau de liberdade para dizer

como um sistema se move.

FORA APLICADA DEPENDENTE DO TEMPO

Para comear a desenvolver nossa intuio na soluo de problemas

mais complicados, interessante resolver problemas que possam ser

tratados por mtodos simples e que tenham soluo analtica.

O exemplo mais simples de uma lei de fora para a qual a Equao

(1.3) pode ser resolvida formalmente por integrao uma fora que

depende somente de t, F(t). Como a t dv t dt d x dt( ) ( )= = 2 2 , escrevemos a Equao (1.3) como

(1.16)

Integrando ambos os lados da Equao (1.16), obtemos

(1.17)

ddt

v tm

F t( ) ( )= 1

v tm

dt F t v tt

t( ) ( ) ( )= +1

00

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onde usamos a condio inicial = v(t). Como v(t) = dx(t)/dt,

repetindo o procedimento, temos para x(t)

(1.18)

Ento, substituindo a Equao (1.17) na (1.18),

(1.19)

ou

(1.20)

Esta a soluo procurada, x(t), em termos de duas integrais

que podem ser calculadas quando a fora F(t) dada. Uma integral

definida pode sempre ser calculada. Se uma frmula explcita no puder

ser encontrada, ento ela pode ser computada por mtodos numricos

com a preciso que for desejada. Os termos na soluo (1.20) so fceis

de entender. O primeiro onde a partcula comeou, a posio inicial.

O segundo termo descreve um movimento com velocidade constante v(t0),

que o que a partcula teria feito se no houvesse uma fora atuando

sobre ela. E o ltimo termo o efeito da fora.

Exerccio 1.3. Faa F(t) = F0 na soluo (1.20) e recupere a Equao (1.10).

Exemplo 1.2. Como uma aplicao menos trivial da Equao (1.20),

considere uma fora do tipo

(1.21)

Esta poderia ser a fora sobre uma partcula livre carregada

quando submetida a um campo eltrico oscilante ao longo da direo

x, de freqncia angular . A primeira integral na (1.20) d, tomando o instante inicial como sendo igual a zero,

(1.22)

&x t( )0

F t F t( ) cos( )= +0

x t x t dt v tt

t( ) ( ) ( )= + 0

0

x t x t dt v tm

dt F tt

t

t

t( ) ( ) ( ) ( )= + +

0 0

0 0

1

x t x t v t t tm

dt dt F tt

t

t

t( ) ( ) ( )( ) ( )= + +

0 0 0

10 0

F

mdt t

F

mt

t0

0

0 + = +

cos( ) [ ( ) ] sen sen

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Fazendo a segunda integral obtemos

(1.23)

O resultado final para x(t), supondo, por simplicidade, que a partcula

est inicialmente em repouso em x = 0,

(1.24)

Deixamos para voc, como exerccio, explicar a origem do termo

constante e do termo linear em t na Equao (1.24) em termos da fase

da fora no instante inicial.

EXEMPLOS DE FORAS DEPENDENTES DE VELOCIDADE

Considere uma fora dependente da velocidade, F(v), aplicada a

uma partcula que se move em uma dimenso. A segunda lei de Newton,

F = ma, toma a forma

(1.25)

Usando v = dx/dt, podemos reescrev-la

(1.26)

Para integrar esta equao, conveniente express-la como

(1.27)

Agora integramos os dois lados

(1.28)

onde, como de costume, colocamos uma linha nas variveis do integrando

para distingui-las dos limites de integrao.

A Equao (1.28) determina implicitamente v(t) em termos de

(t t0) e da condio inicial v(t

0). Uma vez determinado, podemos integrar

x tF

m

F

mt

F

mt( )

coscos( )= +0

20 0

2

sen

md xdt

F v2

2= ( )

mdvdt

F v= ( )

dt mdvF v

=( )

100

0

0

0

mdt dt F t

F

mdt t

F

m

tt t = +

=

( ) [ ( ) ]cos

sen sen

20 0

2 F

mt

F

mt

sencos( )+

dt t t mdvF vt

t

v t

v t = = 0 00 ( )( )( )

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A Figura 1.1 mostra uma van (que tem uma forma nada

aerodinmica mas simplifica nossos argumentos) movendo-se com

velocidade v. A van est sujeita a uma fora de arrasto de intensidade

dada por

(1.29)

onde S a rea da seo reta da van, o coeficiente (adimensional)

de arrasto e a densidade do ar. A fora (1.29) tem uma interpretao simples. A quantidade

(1.30)

para obter x(t) usando a outra condio inicial x(t0). Vejamos como isso

funciona em dois casos envolvendo uma fora dissipativa dependente da

velocidade, a fora de arrasto: (a) F = v, (b) F = mv.Antes, diremos o que uma fora de arrasto. Se voc apaixonado

por carros esportivos provavelmente j leu ou ouviu citarem coeficientes

de arrasto para realar as qualidades aerodinmicas de um carro. Ento

o que significa isso?

Figura 1.1: Van de seo reta S movendo-se atravs do ar com velocidade . a fora de arrasto.

F C SvA=12

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