Aula 02

MATEMÁTICA P/ PRF TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS

Prof. Arthur Lima – Aula 02

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AULA 02: PROBABILIDADE

SUMÁRIO PÁGINA

1. Teoria 01

2. Resolução de exercícios 17

3. Questões apresentadas na aula 67

4. Gabarito 88

Prezado aluno, em nossa segunda aula trataremos sobre a teoria da

Probabilidade, dando sequência ao estudo de Problemas de Contagem que fizemos

no último encontro.

Tenha uma ótima aula!

1. TEORIA

Imagine que você possui um dado e vai lançá-lo uma vez. Os resultados

possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Isso é o que chamamos de espaço amostral – o

conjunto dos resultados possíveis de um determinado experimento aleatório.

Chamamos este experimento de aleatório pois: antes de executá-lo (jogar o dado)

não podemos prever o resultado que será obtido; podemos repetir este experimento

indefinidamente; e após executá-lo várias vezes, esperamos ver um certo padrão

(neste caso, esperamos que após vários lançamentos tenhamos um número

parecido de resultados 1, 2, 3, 4, 5 e 6).

Digamos que só nos interessam os resultados pares. Isto é, apenas os

resultados 2, 4 e 6. Esse subconjunto do espaço amostral é chamado de Evento,

sendo composto apenas daqueles resultados que nos são favoráveis.

Conhecendo essas duas definições, podemos definir a probabilidade de obter

o nosso Evento em um determinado experimento aleatório como:

n(Evento)Probabilidade do Evento=

n(Espaço Amostral)

Na fórmula acima, n(Evento) é o número de elementos do subconjunto

Evento, isto é, o número de resultados favoráveis; e n(Espaço Amostral) é o número




total de resultados possíveis no experimento aleatório. Por isso, costumamos dizer

também que:

número de resultados favoráveisProbabilidade do Evento=

número total de resultados

Em nosso exemplo, n(Evento) = 3 possibilidades, e n(Espaço Amostral) = 6

possibilidades. Portanto:

3 1Probabilidade do Evento= 0,50 50%

6 2= = =

Uma propriedade importante do espaço amostral é: a probabilidade de

ocorrência do próprio espaço amostral é 100%. No caso do dado, a probabilidade

de obter um dos 6 números existentes é de 100%, pois isso sempre vai ocorrer. Na

fórmula, teríamos:

n(Espaço Amostral)Probabilidade do Espaço Amostral= 1 100%

n(Espaço Amostral)= =

Observe que, sabendo o número total de resultados e o número de

resultados favoráveis, o cálculo da probabilidade é muito simples. Portanto,

normalmente a dificuldade dos exercícios está justamente no cálculo dessas duas

parcelas. Em alguns casos (como no exemplo do dado) é possível simplesmente

contar os casos possíveis e os casos favoráveis. Entretanto, na maioria das vezes

será necessário lembrar os conceitos de princípios de contagem / análise

combinatória para resolver a questão. Veja um exemplo a seguir:

0. ESAF – MPOG – 2009) As apostas na Mega-Sena consistem na escolha de 6 a

15 números distintos, de 1 a 60, marcados em volante próprio. No caso da escolha

de 6 números tem-se a aposta mínima e no caso da escolha de 15 números tem-se

a aposta máxima. Como ganha na Mega-Sena quem acerta todos os seis números

sorteados, o valor mais próximo da probabilidade de um apostador ganhar na Mega-

sena ao fazer a aposta máxima é o inverso de:

a) 20.000.000.

b) 3.300.000.

c) 330.000.

d) 100.000.




e) 10.000.

RESOLUÇÃO:

Sabemos que a probabilidade de acertar na Mega-Sena é a divisão entre o

número de resultados favoráveis (isto é, os conjuntos de 6 números formados com

os 15 que preenchemos em nossa cartela) e o número de resultados possíveis (os

conjuntos de 6 números que podem ser formados com os 60 números disponíveis).

Quantos conjuntos de 6 números podemos obter a partir de 15 números

marcados? Veja que a ordem dos números não importa (o resultado 1, 2, 3, 4, 5, 6 é

igual ao resultado 4, 5, 3, 6, 2, 1). Portanto, estamos diante de um caso de

combinação de 15 números em grupos de 6, ou simplesmente C(15,6).

15 14 13 12 11 10(15,6)

6 5 4 3 2 1C

× × × × ×=× × × × ×

E quantos conjuntos de 6 números podemos formar com os 60 números

disponíveis na cartela da Mega-Sena? Ora, combinação de 60, 6 a 6:

60 59 58 57 56 55(60,6)

6 5 4 3 2 1C

× × × × ×=× × × × ×

Portanto, a probabilidade de se acertar na Mega-Sena fazendo a aposta

máxima (15 números) é dada pela divisão:

(15,6) (60,6)

resultados favoráveis CP

total de resultados C= =

Substituindo nesta expressão os resultados que obtivemos acima, temos:

15 14 13 12 11 1015 14 13 12 11 106 5 4 3 2 1

60 59 58 57 56 55 60 59 58 57 56 556 5 4 3 2 1

P

× × × × ×× × × × ×× × × × ×= =

× × × × × × × × × ×× × × × ×

Veja que a questão pediu o inverso de P. Invertendo a expressão acima, e

simplificando o que for possível, temos:

1 60 59 58 57 56 55 4 59 58 57 4 515 14 13 12 11 10 1 1 13 12 1 10

1 1 59 58 19 2 110002,7

1 1 13 1 1 1

P

P

× × × × × × × × × ×= =× × × × × × × × × ×

× × × × ×= =× × × × ×




Portanto, o inverso da probabilidade de acertar é aproximadamente igual a

10.000. Veja que a probabilidade de acertar é de apenas 0,00001, ou 0,001%,

mesmo fazendo a aposta máxima!

Resposta: E

1.1 Eventos independentes

Qual seria a probabilidade de, em dois lançamentos consecutivos do dado,

obtermos um resultado par em cada um deles? Veja que temos dois experimentos

independentes ocorrendo: o primeiro lançamento e o segundo lançamento do dado.

O resultado do primeiro lançamento em nada influencia o resultado do segundo.

Quando temos experimentos independentes, a probabilidade de ter um

resultado favorável em um E um resultado favorável no outro é dada pela

multiplicação das probabilidades de cada experimento:

P(2 lançamentos) =P(lançamento 1) P(lançamento 2) ×

Em nosso exemplo, teríamos:

P(2 lançamentos) =0,50 0,50 0,25 25% × = =

Portanto, a chance de obter dois resultados pares em dois lançamentos de

dado consecutivos é de 25%.

Generalizando, podemos dizer que a probabilidade de dois eventos

independentes A e B acontecerem é dada pela multiplicação da probabilidade de

cada um deles:

P (A e B) = P(A) x P(B)

Sendo mais formal, também é possível escrever P(A B)=P(A) P(B)∩ × , onde

∩ simboliza a intersecção entre os eventos A e B.

Analise essa questão:

1. ESAF – ATRFB – 2009) Para acessar a sua conta nos caixas eletrônicos de

determinado banco, um correntista deve utilizar sua senha constituída por três

letras, não necessariamente distintas, em determinada sequência, sendo que as

letras usadas são as letras do alfabeto, com exceção do W, totalizando 25 letras.




Essas 25 letras são então distribuídas aleatoriamente, três vezes, na tela do

terminal, por cinco teclas, em grupos de cinco letras por tecla, e, assim, para digitar

sua senha, o correntista deve acionar, a cada vez, a tecla que contém a respectiva

letra de sua senha. Deseja-se saber qual o valor mais próximo da probabilidade de

ele apertar aleatoriamente em sequência três das cinco teclas à disposição e acertar

ao acaso as teclas da senha?

a) 0,001.

b) 0,0001.

c) 0,000125.

d) 0,005.

e) 0,008.

RESOLUÇÃO:

Na primeira tecla apertada ao acaso temos 5 das 25 letras disponíveis.

Portanto, a chance dessa tecla conter a primeira letra da senha (que pode ser

qualquer uma das 25) é de 5 em 25, isto é, P = 5/25 = 1/5.

Da mesma forma, a chance da segunda tecla apertada ao acaso conter a

segunda letra da senha é de 5 em 25, ou seja, P = 1/5. Analogamente, a chance da

terceira tecla apertada conter a terceira letra da senha é P = 1/5.

A chance de acertar a primeira E acertar a segunda E acertar a terceira letras

da senha é dada pela multiplicação dessas probabilidades, pois temos três eventos

independentes entre si:

1 1 1 10,008

5 5 5 125P = × × = =

Resposta: E

1.1.1 Eventos mutuamente exclusivos

Existem certos eventos que, se ocorrerem, excluem a possibilidade de

ocorrência de outro. Por exemplo, imagine que A é o evento “obter um resultado par

no lançamento de um dado”, e B é o evento “obter um resultado ímpar”. Veja que,




se A ocorrer, ele impossibilita a ocorrência simultânea de B (afinal, não há um

número que seja par e ímpar ao mesmo tempo).

Chamamos esses eventos de mutuamente exclusivos, pois A exclui a

possibilidade de ocorrer B, e B exclui a possibilidade de ocorrer A. Quando tempos

eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrência simultânea é nula:

( ) 0P A B∩ =

1.1.2 Probabilidade da união de dois eventos

Dados dois eventos A e B, chamamos de A B∪ o evento que ocorre quando

ocorrem A, B ou ambos.

Se A = probabilidade de obter um número par no lançamento de um dado e B

= probabilidade de obter o número 5, A B∪ ocorre se o resultado do dado for {2, 4,

5, 6}. Portanto, a probabilidade do evento A B∪ é:

4 2( )

6 3P A B∪ = =

Essa probabilidade pode ser calculada também através da seguinte

expressão:

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩

Neste caso, veja que P(A) = 3/6 e P(B) = 1/6. Note ainda que A e B são

eventos mutuamente exclusivos, pois o número 5 não é par. Portanto, ( ) 0P A B∩ = ,

como vimos logo acima.

Assim,

( ) ( ) ( ) ( )

3 1 4 2( ) 0

6 6 6 3

P A B P A P B P A B

P A B

∪ = + − ∩

∪ = + − = =

Note, portanto, que a probabilidade do evento A OU do evento B ocorrerem é

simplesmente igual à soma das probabilidades, caso sejam eventos mutuamente

exclusivos.

1.2 Eventos complementares

O lançamento de um dado só pode ter resultados pares ou ímpares.

Portanto, somando a probabilidade de obter resultados pares com a probabilidade




de obter resultados ímpares, teremos 100%. Se já calculamos a probabilidade de ter

resultados pares (50%), podemos obter a probabilidade de ter resultados ímpares

segundo a fórmula abaixo:

Probabilidade(ímpares) = 1 - Probabilidade(pares)

O subconjunto dos resultados pares é o complemento do subconjunto dos

resultados ímpares, pois unindo esses dois subconjuntos obtemos o espaço

amostral. Em outras palavras, o que estamos dizendo aqui é que a probabilidade de

um evento ocorrer é igual a 100% menos a probabilidade do seu complemento

ocorrer. Portanto, podemos utilizar a expressão abaixo:

Probabilidade(E) = 1 - Probabilidade(Ec)

Nesta fórmula, E é o Evento procurado e Ec o seu complemento. Vamos

utilizar essa propriedade para resolver o seguinte problema: qual a probabilidade de,

efetuando duas vezes o lançamento de um dado, obter pelo menos um resultado

par?

Neste caso, o nosso Evento é: “obter pelo menos um resultado par”. O seu

complemento é “não obter nenhum resultado par”, ou simplesmente “obter apenas

resultados ímpares”. A propriedade vista acima nos diz que:

Probabilidade(pelo menos 1 par) = 1 - Probabilidade(só ímpares)

Usamos a propriedade pois é bem fácil calcular a probabilidade de ter apenas

resultados ímpares. Sabemos que, no primeiro lançamento, a chance de ter um

resultado ímpar é de 50%, e no segundo lançamento, outros 50%. Para que o

resultado seja ímpar no primeiro E no segundo lançamentos, basta multiplicar essas

duas probabilidades: 50% x 50% = 25%. Portanto:

Probabilidade(pelo menos 1 par) = 1 - Probabilidade(só ímpares)

Probabilidade(pelo menos 1 par) = 1 - 25%=75%

Vamos trabalhar isso no exemplo abaixo:




2. ESAF – MPOG – 2009) Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce,

Carlão, Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está

comemorando 100 anos de existência. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou

encarregada de formar uma comissão que será a responsável pela decoração da

festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, três pessoas entre os amigos

Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendo-se que Denílson não pertence

à comissão formada, então a probabilidade de Carlão pertencer à comissão é, em

termos percentuais, igual a:

a) 30 %

b) 80 %

c) 62 %

d) 25 %

e) 75 %

RESOLUÇÃO:

Chamemos os 5 moradores de A, B, C, D e E. Sabendo que D não pertence

à comissão, podemos calcular o total de comissões de 3 pessoas que podem ser

criadas utilizando-se um total de 4 indivíduos. Trata-se da combinação de 4, 3 a 3:

C(4,3) = C(4,1) = 4

São tão poucas comissões que podemos listá-las rapidamente:

A, B, C

A, B, E

A, C, E

B, C, E

Veja que, das 4, C participa de 3. Portanto, a probabilidade dele estar na

comissão é:

P = 3 / 4 = 0,75 = 75% (letra E)

A probabilidade de C participar também pode ser calculada sem listar as

comissões, lembrando que:

Probabilidade de C fazer parte = 1 – Probabilidade de C não fazer parte




Se nem D nem C fizerem parte das comissões, temos 3 pessoas para formar

3 comissões. O total de comissões que podem ser formados é C(3,3) = 1. Assim, a

probabilidade de C não fazer parte é de 1 em 4 comissões, ou seja:

(3,3) 11 1 75%

(4,3) 4C

PC

= − = − =

Para este cálculo acima, basta lembrar que, caso nem D nem C façam parte,

restam apenas 3 pessoas para serem escolhidas formando grupos de 3, isto é,

C(3,3).

Resposta: E

1.3 Cálculo de probabilidades com e sem reposição

Um problema muito comum em questões de concursos segue o seguinte

modelo: você possui uma urna com 2 bolas brancas, 3 bolas pretas e 2 bolas azuis.

Você retira uma bola, vê a sua cor, coloca-a de volta na urna retira outra bola. Qual

a probabilidade das duas bolas retiradas serem brancas?

Veja que, após retirar a primeira bola, você a colocou de volta no saco, ou

seja, você a repôs. Estamos diante de um cálculo de probabilidades com reposição.

A probabilidade de ter retirado uma bola branca do saco é de 2 em 7, isto é, 27 .

Como você devolveu esta bola ao saco, a probabilidade de retirar outra bola branca

é novamente de 27 . Temos dois eventos independentes, portanto a probabilidade

combinada será a multiplicação dessas duas: 2 2 47 7 49× = .

Agora, e se o exercício dissesse que você não coloca de volta na urna a bola

que retirou? Estaríamos diante de um cálculo de probabilidades sem reposição.

Neste caso, a probabilidade de retirar uma bola branca inicialmente continua igual:

27 . Já no momento de retirar a segunda bola, teremos apenas 6 bolas dentro da

urna, sendo que destas apenas 1 é branca. Portanto, a probabilidade de retirá-la

não é mais de 27 , e sim 1

6 . Assim, a probabilidade de retirar duas bolas brancas

da urna será: 2 1 2 17 6 42 21× = = .

Outra forma de efetuar esse cálculo último cálculo é observando que o

número de conjuntos de 2 bolas que podemos formar com 7 bolas é igual a




combinação de 7, 2 a 2: C(7,2) = 21. E o número de conjuntos de 2 bolas que

podemos formar apenas com as 2 bolas brancas é igual a C(2,2) = 1. Portanto, a

probabilidade de tirar exatamente duas bolas brancas, sem reposição, é P = 1/21.

Para finalizar, vejamos uma variação do problema envolvendo a urna: qual

seria a probabilidade de se retirar uma bola branca ou retirar uma bola preta?

Veja que, das 7 bolas, 2 são brancas e 3 são pretas. A probabilidade de se

retirar uma bola branca já foi calculada anteriormente, e é igual a 27 .

Analogamente, a probabilidade de se retirar uma bola preta é de 37 . A

probabilidade de ocorrer um evento (bola branca) OU o outro evento (bola preta) é

dada por:

( Pr ) ( ) (Pr ) - ( Pr )P Branca eta P Branca P eta P Branca eta∪ = + ∩

Sabemos que a probabilidade de uma bola ser branca e preta ao mesmo

tempo é nula, ou seja, ( Pr ) 0P Branca eta∩ = . Isto é, estamos diante de eventos

mutuamente excludentes.

Portanto, bastaria somar 27+3

7 =57 .

Dica: repare que quando utilizamos o E (probabilidade dos eventos A e B

acontecerem) basta multiplicar as probabilidades de cada evento. Já quando

utilizamos o OU (probabilidade dos eventos A ou B), basta somar as probabilidades

de cada evento. Isso só vale para probabilidade de eventos independentes (no caso

do E) ou mutuamente excludentes (no caso do OU) – mas a grande maioria dos

exercícios de concurso são assim.

Vamos exercitar com o seguinte exemplo:

3. CEPERJ – SEE-RJ – 2009) Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas

pretas, todas de mesmo tamanho e peso. Sacando ao acaso duas bolas da urna, a

probabilidade de que sejam da mesma cor é de:

a) 20%

b) 30%

c) 40%




d) 50%

e) 60%

RESOLUÇÃO:

Veja a expressão “sacando ao acaso duas bolas”. Ela nos dá a idéia de que

não há reposição de bolas, isto é, após pegar a primeira bola e verificar a sua cor,

ela não é devolvida à urna para só então retirar a segunda. Devemos assumir que

estamos diante de um experimento aleatório sem reposição.

Se temos 5 bolas na urna, o total de maneiras de combiná-las duas a duas é:

C(5,2) = 10

Vamos calcular a probabilidade de pegar 2 bolas brancas, e a seguir a

probabilidade de pegar 2 bolas pretas:

� 2 bolas brancas:

O número de formas de pegar duas bolas brancas, dado que temos apenas 2

bolas dessa cor disponíveis, é C(2,2) = 1. Portanto, a probabilidade de pegar

2 bolas brancas é:

(2,2) 10,10 10%

(5,2) 10= = = =C

PC

� 2 bolas pretas:

O número de formas de pegar duas bolas pretas, dado que temos apenas 3

bolas dessa cor disponíveis, é C(3,2) = 3. Portanto, a probabilidade de pegar

2 bolas pretas é:

(3,2) 30,30 30%

(5,2) 10= = = =C

PC

A chance de pegar 2 bolas brancas OU 2 bolas pretas é dada por:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 10% 30% 0 40%

P A B P A P B P A B

P A B

∪ = + − ∩

∪ = + − =




Veja que ( )P A B∩ , isto é, a probabilidade de pegar uma bola que seja

branca e preta ao mesmo tempo, é igual a zero, pois os eventos A e B são

mutuamente excludentes.

Resposta: C

1.4 Probabilidade de um evento ocorrer se outro oco rreu

Neste tópico vamos tratar sobre outro tipo muito comum de questões em

concursos. Imagine que vamos lançar um dado, e estamos analisando 2 eventos

distintos:

A � sair um resultado par

B � sair um resultado inferior a 4

Para o evento A ser atendido, os resultados favoráveis são 2, 4 e 6. Para o

evento B ser atendido, os resultados favoráveis são 1, 2 e 3. Vamos calcular

rapidamente a probabilidade de cada um desses eventos:

3( ) 50%

6

3( ) 50%

6

P A

P B

= =

= =

A pergunta em sua prova pode ser: no lançamento de um dado, qual é a

probabilidade de obter um resultado par, dado que foi obtido um resultado inferior a

4?

Em outras palavras, essa pergunta é: qual a probabilidade do evento A, dado

que o evento B ocorreu? Matematicamente, podemos escrever P(A/B) (leia

“probabilidade de A, dado B”).

Aqui já sabemos de antemão que B ocorreu. Portanto, o resultado do

lançamento do dado foi 1, 2 ou 3 (três resultados possíveis). Destes resultados,

apenas um deles (o resultado 2) atende o evento A. Portanto, a probabilidade de A

ocorrer, dado que B ocorreu, é simplesmente:

1( / ) 33,3%

3P A B = =

E se nos fosse perguntado qual a probabilidade de obter um resultado inferior

a 4, dado que o resultado do lançamento foi um número par? Isto é, qual a

probabilidade de B ocorrer, dado que A ocorreu?




Veja que, se A ocorreu, o resultado foi 2, 4 ou 6. Destes, apenas o resultado

2 atende o evento B (é inferior a 4). Portanto,

1( / ) 33,3%

3P B A = =

Coincidentemente, obtivemos o mesmo resultado para P(A/B) e P(B/A). A

probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro ocorreu, é chamada de

probabilidade condicional. Uma outra forma de calculá-la é através da seguinte

divisão:

( )( / )

( )P A B

P A BP B

∩=

A fórmula nos diz que a probabilidade de A ocorrer, dado que B ocorreu, é a

divisão entre a probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente e a probabilidade

de B ocorrer.

Para que A e B ocorram simultaneamente (resultado par e inferior a 4), a

única possibilidade é o resultado igual a 2. Isto é, apenas 1 dos 6 resultados nos

atende. Assim, 1

( )6

P A B∩ = .

Para que B ocorra (resultado inferior a 4), já vimos que 3 resultados atendem.

Portanto,

3( )

6P B =

Logo, usando a fórmula acima, temos:

1( ) 16( / ) 33,3%3( ) 3

6

P A BP A B

P B∩= = = =

Veja essa questão:

4. CEPERJ – FAETEC – 2010) Certo dia, a professora colocou na gaveta 9 canetas

esferográficas de ponta fina, sendo 4 azuis e 5 pretas. No dia seguinte, ela colocou

na mesma gaveta 11 canetas esferográficas de ponta grossa, sendo 8 azuis e 3

pretas. No dia seguinte, a professora retirou da gaveta, ao acaso, uma caneta, e

percebeu que ela era azul. A probabilidade de que esta caneta fosse de ponta

grossa é:




a) 1/2

b) 1/3

c) 2/3

d) 2/5

e) 3/5

RESOLUÇÃO:

Aqui é possível destacar 2 eventos: A = retirar uma caneta azul; e B = retirar

uma caneta de ponta grossa. O exercício pede a probabilidade de a caneta retirada

ter ponta grossa, dado que ela é azul, ou seja, P(B/A):

( )( / )

( )P A B

P B AP A

∩=

A probabilidade de retirar uma caneta azul é:

P(A) = 12/20 = 3/5

A probabilidade de retirar uma caneta azul E de ponta grossa é:

( ) 8 / 20 2 / 5P A B∩ = =

Portanto, a probabilidade de retirar uma caneta de ponta grossa, dado que

ela é azul, é:

2( ) 25( / )3( ) 3

5

P A BP B A

P A∩= = =

Assim, o gabarito é a letra C.

Uma forma mais direta de se resolver esse tipo de questão, sem o uso de

fórmulas, é simplesmente pensar que das 12 canetas azuis, apenas 8 tem ponta

grossa. Portanto, se foi pega uma das 12 canetas azuis, a probabilidade de ela ter

ponta grossa é:

Canetas azuis de ponta grossa 8 2Probabilidade=

Canetas azuis 12 3= =

Resposta: C.




1.4.1 Independência estatística

Vimos acima que, quando dois eventos A e B são independentes, podemos

dizer que:

P(A B)=P(A) P(B)∩ ×

Por outro lado, vimos que:

( )( / )

( )P A B

P A BP B

∩=

Substituindo a primeira equação nesta segunda, temos:

( ) ( ) ( )( / )

( ) ( )

( / ) ( )

P A B P A P BP A B

P B P B

P A B P A

∩ ×= =

=

Esta última equação nos diz que, se A e B são dois eventos independentes, a

probabilidade de A ocorrer dado que B ocorreu é igual aprópria probabilidade de A

ocorrer. Isto é, o fato de B ter ocorrido em nada altera a probabilidade de A ocorrer

ou não. Da mesma forma, podemos dizer que:

P(B/A) = P(B)

Exemplificando, sejam os eventos A = obter o número 2 no primeiro

lançamento de um dado; e o evento B = obter o número 6 no segundo lançamento.

Qual a probabilidade de obter o número 6 no segundo lançamento, dado que foi

obtido o número 2 no primeiro?

Sabemos que esses dois eventos são independentes, afinal o fato de ter

saído o número 2 no primeiro lançamento em nada altera a probabilidade de sair o

número 6 no segundo lançamento. Portanto, a probabilidade de B ocorrer, dado que

A ocorreu (P(B/A)), é simplesmente a probabilidade de B ocorrer (isto é, P(B)).

Como P(B) = 1/6, podemos dizer que:

P(B/A) = P(B) = 1/6

Portanto, a probabilidade de obter 6 no segundo lançamento, dado que foi

obtido 2 no primeiro, é igual a 1/6.




1.5 Número de sucessos esperados após N repetições do experimento

Imagine que vamos vamos executar o experimento aleatório “X”, que consiste

em efetuar o lançamento do nosso dado. Buscamos a ocorrência do evento “obter

um resultado par”. Já vimos que, em cada lançamento, a probabilidade de obter um

resultado par é P = 50%.

Após 40 lançamentos, esperamos que quantos tenham dado resultado par?

Ora, basta multiplicar a probabilidade de ter resultado par em cada

lançamento (50%) pelo número de lançamentos (40):

Sucessos = 50% x 40 = 20

Ou seja, é esperado que 20 resultados sejam pares. Generalizando, após N

repetições de um experimento com “p” chances de que o nosso Evento ocorra, , é

esperado que o número de resultados em que o nosso evento ocorreu seja:

Sucessos = N x p




2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS

Vejamos mais uma série de exercícios para você praticar bastante o cálculo

de probabilidades.

5. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) Julgue os itens seguintes, que dizem respeito

à determinação do número de possibilidades lógicas ou probabilidade de algum

evento.

( ) Considere que 9 rapazes e 6 moças, sendo 3 delas adolescentes, se envolvam

em um tumulto e sejam detidos para interrogatório. Se a primeira pessoa chamada

para ser interrogada for escolhida aleatoriamente, então a probabilidades de essa

pessoa ser uma moça adolescente é igual a 0,2.

RESOLUÇÃO:

Temos ao todo 15 pessoas, das quais 3 são moças adolescentes. A

probabilidade de uma delas ser escolhida é P = 3/15 = 1/5 = 0,2. Item CERTO.

Resposta: C

6. CESPE – TRT/16ª – 2005) Uma moeda é jogada para o alto 10 vezes. Em cada

jogada, pode ocorrer 1 (cara) ou 0 (coroa) e as ocorrências são registradas em uma

seqüência de dez dígitos, como, por exemplo, 0110011010. Considerando essas

informações, julgue os próximos itens.

( ) A probabilidade de serem obtidas sequências nas quais ocorra coroa nas

primeiras 3 jogadas é inferior a 1/4.

RESOLUÇÃO:

O número total de sequências possíveis é 210 = 1024, uma vez que para cada

um dos 10 dígitos da sequência existem 2 possibilidades (0 ou 1).

O número de sequências começando com 3 dígitos iguais a 0

(correspondente a 3 coroas) é igual a 1x1x1x2x2x2x2x2x2x2 = 27 = 128

Assim, a probabilidade de se obter uma sequência com 3 coroas nas

primeiras jogadas é igual a:




7

10 3

2 1 12 2 8

favoráveisP

total= = = =

Este valor é inferior a 1/4, portanto este item está CORRETO.

Resposta: C

7. CESPE – PREVIC – 2011) Estimou-se que, na região Norte do Brasil, em 2009,

havia 1.074.700 analfabetos com 15 anos de idade ou mais, em uma população

total de, aproximadamente, 10.747.000 habitantes, e que na região Centro-Oeste,

no mesmo ano, havia 840.433 analfabetos com 15 anos de idade ou mais, em uma

população total de, aproximadamente, 10.505.415 habitantes. A partir dessas

informações, julgue o item subsequente.

( ) A probabilidade de uma pessoa com 15 anos de idade ou mais escolhida ao

acaso em 2009, na região Norte ou na região Centro-Oeste, ser analfabeta é inferior

a 20%.

RESOLUÇÃO:

Somando a população com 15 ou mais anos de idade das regiões Norte e

Centro-Oeste, temos 10.747.000+10.505.415 = 21.252.415 pessoas. Destas, o total

de analfabetos é de 1.074.700+840.433 = 1.915.133.

Veja que 20% de 21 milhões é igual a 4,2 milhões. Como o total de

analfabetos é inferior a isto, podemos dizer que o percentual de analfabetos é

inferior a 20% - logo, a probabilidade de se escolher um analfabeto é inferior a 20%.

Item CORRETO.

Você também poderia calcular a probabilidade de uma dessas pessoas ser

analfabeta:

19151330,09 9%

21252415favoráveis

Ptotal

= = = =

Resposta: C

8. CESPE – Banco do Brasil – 2007) Uma pesquisa, realizada com 900 pessoas

que




contraíram empréstimos bancários e tornaram-se inadimplentes, mostrou a seguinte

divisão dessas pessoas, de acordo com a faixa etária.

A partir da tabela acima e considerando a escolha, ao acaso, de uma pessoa entre

as 900 que participaram da referida pesquisa, julgue os itens subseqüentes.

( ) A probabilidade de essa pessoa não ter menos de 41 anos de idade é inferior a

0,52.

( ) A probabilidade de essa pessoa ter de 41 a 50 anos de idade, sabendo-se que

ela tem pelo menos 31 anos, é superior a 0,5.

( ) A probabilidade de a pessoa escolhida ter de 31 a 40 anos de idade é inferior a

0,3.

( ) A chance de a pessoa escolhida ter até 30 anos de idade ou mais de 50 anos de

idade é superior a 30%.

RESOLUÇÃO:


0,52.

O total de pessoas que não tem menos de 41 anos é de 356 + 154 = 510.

Assim, a probabilidade de uma pessoa não ter menos de 41 anos é:

P = 510/900 = 0,566 = 56,6%

Item ERRADO.



Se uma pessoa tem pelo menos 31 anos, ela está nos 3 grupos da direita,

que totalizam 250+356+154 = 760 pessoas. Dessas 760, sabemos que 356 tem

entre 41 e 50 anos de idade.




Assim, a probabilidade de uma pessoa ter entre 41 e 50 anos, sabendo que

ela tem pelo menos 31 anos, é de:

P = 356/760 = 0,468 = 46,8%

Item ERRADO.


0,3.

Existem 250 pessoas nesta faixa de idade, de um total de 900. Assim, a

probabilidade procurada é:

P = 250/900 = 0,277 = 27,7%

Item CORRETO.



O número de pessoas que tem até 30 anos é de 140, e que tem mais de 50 é

de 154. Assim, o total de casos “favoráveis” é de 140 + 154 = 294. Como o total de

pessoas é de 900, a probabilidade de se escolher uma pessoa com até 30 ou com

mais de 50 anos é:

P = 294/900 = 0,326 = 32,6%

Item CORRETO.

Resposta: E E C C

9. CESPE – MPE/AM – 2008) Julgue os itens seguintes, relativos a conceitos

básicos de probabilidade:

( ) Considere que, em um jogo em que se utilizam dois dados não-viciados, o

jogador A pontuará se, ao lançar os dados, obtiver a soma 4 ou 5, e o jogador B

pontuará se obtiver a soma 6 ou 7. Nessa situação, é correto afirmar que o jogador

2 tem maior probabilidade de obter os pontos esperados.




( ) Ao se lançar dois dados não-viciados, a probabilidade de se obter pelo menos

um número ímpar é superior a 5/6.

RESOLUÇÃO:

� PRIMEIRO ITEM: para obter a soma 4 ou 5, temos as seguintes

possibilidades de combinação de resultado entre os dados:

1 e 3; 1 e 4; 2 e 2; 2 e 3; 3 e 1; 3 e 2; 4 e 1

Já para obter a soma 6 ou 7, os resultados possíveis são:

1 e 5; 1 e 6; 2 e 4; 2 e 5; 3 e 3; 3 e 4; 4 e 2; 4 e 3; 5 e 1; 5 e 2; 6 e 1

Portanto, existem apenas 7 resultados favoráveis ao jogador A e 11

resultados favoráveis ao jogador B. Este último leva clara vantagem. Item

CORRETO.

� SEGUNDO ITEM: a probabilidade de obter pelo menos um número ímpar é

igual a 100% menos a probabilidade de obter apenas números pares. Esta

última é facilmente calculada.

Existem 3 números pares e 3 números ímpares em um dado. Assim, a

probabilidade de obter um número par ao lançar um dado é:

3 1(resultado par em 1 dado)

6 2P = =

Portanto, a probabilidade de obter um número par no primeiro dado E obter

um número par também no segundo dado é dada pela multiplicação das

probabilidades de cada evento isolado:

1 1 1(resultado par em 2 dados)

2 2 4P = × =

Portanto, a probabilidade de obter pelo menos um número ímpar é:

(pelo menos 1 ímpar em 2 dados) 100% (resultado par em 2 dados)

1 3(pelo menos 1 ímpar em 2 dados) 1 75%

4 4

P P

P

= −

= − = =




Assim, a probabilidade de ter pelo menos 1 resultado ímpar é de 75%, que é

inferior a 5/6 (aproximadamente 83%).

Resposta: C E

10. CESPE – Polícia Civil/TO – 2008) Cada um dos itens subseqüentes contém

uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada:

( ) Um policial civil possui uma vestimenta na cor preta destinada às solenidades

festivas, uma vestimenta com estampa de camuflagem, para operações nas

florestas. Para o dia-a-dia, ele possui uma calça na cor preta, uma calça na cor

cinza, uma camisa amarela, uma camisa branca e uma camisa preta. Nessa

situação, se as vestimentas de ocasiões festivas, de camuflagem e do dia-a-dia não

podem ser misturadas de forma alguma, então esse policial possui exatamente 7

maneiras diferentes de combinar suas roupas.

( ) Uma empresa fornecedora de armas possui 6 modelos adequados para

operações policiais e 2 modelos inadequados. Nesse caso, se a pessoa

encarregada da compra de armas para uma unidade da polícia ignorar essa

adequação e solicitar ao acaso a compra de uma das armas, então a probabilidade

de ser adquirida uma arma inadequada é inferior a 1/2

RESOLUÇÃO:

� PRIMEIRO ITEM:

O policial tem a roupa de ocasiões festivas, a camuflada, 2 calças e 3

camisas. Ele pode combinar as 2 calças com as 3 camisas, obtendo 2 x 3 = 6

formas diferentes de se vestir. Além dessas 6, ele ainda pode usar a roupa

festiva ou a camuflada, totalizando 8 formas de se vestir. Observe que ele

não pode misturar essas 2 últimas, como disse o enunciado. Item ERRADO.

� SEGUNDO ITEM:

A probabilidade de adquirir uma arma inadequada é:




tipos de armas inadequadas 2 1

total de tipos de armas 8 4P = = =

Como 1/4 é inferior a 1/2, temos um item CORRETO.

Resposta: E C

11. FDC - PREF. PALMAS - 2010) João possui figurinhas com a foto de jogadores

das seleções de 3 países. O quadro abaixo mostra a distribuição dessas figurinhas

por cada um desses países.

Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas 50 figurinhas, a probabilidade de que

nela haja uma foto de um jogador brasileiro é igual a:

a) 10%

b) 20%

c) 30%

d) 40%

e) 50%

RESOLUÇÃO:

Para resolver essa questão, basta nos lembrarmos que:

possibilidades favoráveisProbabilidade do Evento=

total de possibilidades

Neste caso, as possibilidades favoráveis são 20 (pois temos 20 jogadores

brasileiros), enquanto o total é 50. Assim, a probabilidade do evento “pegar uma

figurinha com jogador brasileiro” é:




20Probabilidade = 0,4 40%

50= =

Resposta: D.

12. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) A questão da desigualdade de gênero na

relação de poder entre homens e mulheres é forte componente no crime do tráfico

de pessoas para fins de exploração sexual, pois as vítimas são, na sua maioria,

mulheres, meninas e adolescentes. Uma pesquisa realizada pelo Escritório das

Nações Unidas sobre Drogas e Crime (UNODC), concluída em 2009, indicou que

66% das vítimas eram mulheres, 13% eram meninas, enquanto apenas 12% eram

homens e 9% meninos.

Ministério da Justiça. Enfrentamento ao tráfico de pessoas: relatório

do plano nacional. Janeiro de 2010, p. 23 (com adaptações).

Com base no texto acima, julgue os itens a seguir.

( ) Se for escolhida ao acaso uma das vítimas indicadas na pesquisa, a

probabilidade de que ela seja ou do sexo feminino ou um menino será inferior a

80%.

RESOLUÇÃO:

Veja que as vítimas do sexo feminino são 66% + 13% = 79%. Isto é, a

probabilidade da vítima ser do sexo feminino é de 79%. Já a probabilidade da vítima

ser um menino é de 9%. Temos dois eventos mutuamente excludentes, isto é, não é

possível uma vítima ser do sexo feminino e ser menino ao mesmo tempo. A

probabilidade da união desses dois eventos (feminino ou menino) é, portanto, a

soma das probabilidades: 79% + 9% = 88%, que é superior a 80%. Item ERRADO.

Resposta: E

13. CESPE – Polícia Federal – 2004)




Com a campanha nacional do desarmamento, a Polícia Federal já recolheu em todo

o Brasil dezenas de milhares de armas de fogo. A tabela acima apresenta a

quantidade de armas de fogo recolhidas em alguns estados brasileiros.

Considerando que todas essas armas tenham sido guardadas em um único

depósito, julgue os itens que se seguem.

( ) Escolhendo-se aleatoriamente uma arma de fogo nesse depósito, a probabilidade

de ela ter sido recolhida no Rio Grande do Sul é superior a 0,11.


de ela ter sido recolhida em um dos dois estados da região Sudeste listados na

tabela é superior a 0,73.

() Escolhendo-se aleatoriamente duas armas de fogo nesse depósito, a

probabilidade de ambas terem sido recolhidas em Pernambuco é inferior a 0,011.

RESOLUÇÃO:



5500 das 33000 armas recolhidas são do RS. Portanto, a probabilidade do

evento “pegar uma arma do Rio Grande do Sul” é de 5500 chances em 33000, ou

seja:

possibilidades favoráveisProbabilidade do Evento=

total de possibilidades

5500Probabilidade do Evento= 0,1666

33000=

Como vemos, essa probabilidade é superior a 0,11. Item CERTO.







21000 armas foram recolhidas na região Sudeste (SP e RJ), de um total de

33000. Assim, a probabilidade de uma arma ser da região Sudeste é de 21000

chances em 33000:

210000,6363

33000P = =

Veja que este número é inferior a 0,73. Item ERRADO.



Casos favoráveis: o número de formas de escolher 2 armas dentre as 6500

de Pernambuco é dado pela combinação de 6500, 2 a 2.

Total de casos: O número de formas de escolher 2 armas dentre as 33000

(total) é dado pela combinação de 33000, 2 a 2.

Assim, a probabilidade de escolher 2 armas de Pernambuco é:

6500 6499(6500,2) 2 1

33000 32999(33000,2)2 1

6500 64990,038

33000 32999

favoráveis CP

total C

P

××= = =××

×= =×

Portanto, o item está ERRADO.

Resposta: C E E

14. CESPE – Polícia Federal – 2009) De acordo com o jornal espanhol El País, em

2009 o contrabando de armas disparou nos países da América Latina, tendo

crescido 16% nos últimos 12 anos. O crime é apontado como o principal problema

desses países, provocando uma grande quantidade de mortes. O índice de




homicídios por 100.000 habitantes na América Latina é alarmante, sendo, por

exemplo, 28 no Brasil, 45 em El Salvador, 65 na Colômbia, 50 na Guatemala.

Internet: <www.noticias.uol.com.br>

Tendo como referência as informações apresentados no texto acima, julgue o item

que se segue.

( ) Se, em cada grupo de 100.000 habitantes da Europa, a probabilidade de que um

cidadão desse grupo seja assassinado é 30 vezes menor que essa mesma

probabilidade para habitantes de El Salvador ou da Guatemala, então, em cada

100.000 habitantes da Europa, a probabilidade referida é inferior a 10-5.

RESOLUÇÃO:

Se, em El Salvador, temos 45 mortes para cada 100.000 habitantes, e na

Europa este número é 30 vezes menor, teremos 45 / 30 = 1,5 mortes para cada

100.000 habitantes na Europa. Portanto:

55

1,5 1,51,5 10

100000 10P −= = = ×

Já se, na Guatemala, temos 50 mortes para cada 100.000 habitantes, e na

Europa este número é 30 vezes menor, teremos 50 / 30 = 1,667 mortes para cada

100.000 habitantes na Europa. Portanto:

55

1,667 1,6671,667 10

100000 10P −= = = ×

Como tanto 1,5x10-5 como 1,667x10-5 são maiores que 10-5, o item está

ERRADO.

Resposta: E

15. CESPE – Polícia Federal – 2009) Considerando que, em um torneio de

basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B, e que, para

formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, julgue os itens que se seguem.

( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o

grupo A será inferior a 400.




( ) Considerando que cada equipe tenha 10 jogadores, entre titulares e reservas,

que os uniformes de 4 equipes sejam completamente vermelhos, de 3 sejam

completamente azuis e de 4 equipes os uniformes tenham as cores azul e vermelho,

então a probabilidade de se escolher aleatoriamente um jogador cujo uniforme seja

somente vermelho ou somente azul será inferior a 30%.

RESOLUÇÃO:



Temos 11 equipes, e delas devemos escolher um grupo de 5. Para isto,

basta efetuar a combinação de 11, 5 a 5:

11 10 9 8 7(11,5) 462

5 4 3 2 1C

× × × ×= =× × × ×

Item ERRADO.






Temos, ao todo 11 x 10 = 110 jogadores. Destes, 40 usam somente

vermelho, 30 somente azul e outros 40 usam azul e vermelho. Se queremos os

jogadores que usam apenas azul ou apenas vermelho, o número de casos

favoráveis é de 30 + 40 = 70, em um total de 110. Assim, a probabilidade que

buscamos é:

40 300,6363 63,63%

110 110P = + = =

Item ERRADO. O gabarito inicial foi dado como CERTO, e a banca preferiu

anular a questão a alterar o gabarito.

Resposta: E, E (Anulada)




16. CESPE – DETRAN/DFT – 2010) Considere que, em uma amostra composta por

210 pessoas atendidas em unidade de atendimento do DETRAN, 105 foram ao

DETRAN para resolver pendências relacionadas à documentação de veículos; 70,

para resolver problemas relacionados a multas; e 70, para resolver problemas não

relacionados à documentação de veículos ou a multas. A respeito dessa situação

hipotética, julgue os itens a seguir.

( ) Em face dessa situação, é correto afirmar que, nessa amostra, menos de 30

pessoas procuraram a unidade de atendimento do DETRAN para resolver

problemas relacionados simultaneamente à documentação de veículos e a multas.

( ) Caso se selecionem, ao acaso, duas pessoas, entre as 210 da amostra, a

probabilidade de que ambas tenham procurado a unidade do DETRAN para

solucionar pendências relacionadas à documentação de veículos ou que a tenham

procurado para resolver problemas relacionados a multas será superior a 1/6.

( ) Entre as 210 pessoas da amostra, para se selecionar, ao acaso, ao menos duas

que tenham procurado a unidade do DETRAN para solucionar pendências

relacionadas à documentação de veículos ou ao menos duas que a tenham

procurado para resolver problemas relacionados a multas, o menor número de

pessoas que devem ser selecionadas será igual a 73.

RESOLUÇÃO:




Para resolver essa questão vamos usar alguns conceitos básicos sobre

Conjuntos. Usando os conjuntos Documentação, Multas e Outros, a única certeza

que temos é que 70 pessoas não foram tratar nem de documentação e nem de

multas. Além disso, do contexto podemos assumir que as pessoas que foram

resolver problemas de documentação ou de multas não foram também resolver

outras coisas, mas pode haver pessoas que foram resolver problemas de

documentação e de multas também. Assumindo que X pessoas foram resolver

problemas de documentação e de multas, temos que 105 – X foram resolver apenas

problemas de documentação, e 70 – X foram resolver apenas problemas de multas:




Portanto, podemos dizer que:

210 = 70 + (105 – X) + X + (70 – X)

210 = 245 – X

X = 35 pessoas

Assim, mais de 30 pessoas foram resolver problemas de documentação e

também de multas. Item ERRADO.





Usando o diagrama acima, sabendo que X = 35, temos:




Veja que 140 pessoas foram resolver problemas de documentação ou de

multas. O número de formas de escolher 2 dessas 140 pessoas é dada pela

combinação C(140,2).

O total de pessoas é de 210. Assim, o número de formas de escolher 2

dessas 210 pessoas é C(210,2).

Portanto, a probabilidade de escolher 2 pessoas que foram resolver

problemas de documentação ou de multas é:

140 139(140,2) 140 139 2 1392 1

210 219(210,2) 210 219 3 2192 1

favoráveis CP

total C

×× ××= = = = =

× × ××

Veja que esta é superior a 1/6. Portanto, o item está CERTO.






Veja que, se selecionarmos 70 pessoas, pode ser que as 70 façam parte do

grupo que foi resolver outros problemas. Se escolhermos mais uma (71), esta

certamente foi resolver problemas de documentação ou de multas. Se escolhermos

mais uma, chegando a 72, esta também foi resolver problemas de documentação ou

de multas. Mas pode ser que a 71ª tenha ido resolver apenas um desses problemas

(ex.: documentação) e a 72ª tenha ido resolver apenas o outro (multas). Ao escolher

a 73ª, esta também certamente foi resolver problemas de documentação ou de

multas. Seja qual for, podemos garantir que agora temos pelo menos 2 pessoas que

foram resolver problemas de documentação ou de multas. Item CERTO.

Resposta: E C C

17. ESAF – AFT – 2010) Em uma amostra aleatória simples de 100 pessoas de

uma população, 15 das 40 mulheres da amostra são fumantes e 15 dos 60 homens




da amostra também são fumantes. Ao se escolher ao acaso cinco pessoas da

amostra, sem reposição, a probabilidade de exatamente quatro delas serem

homens fumantes é dada por:

a) Cn.k pk (1-p)n-k, sendo p=0,15, n=5 e k=4.

b) Cm,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=5, m=15 e k=4.

c) CM,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=5, m=60 e k=4.

d) Cm,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=15, m=5 e k=4.

e) Cn.k pk (1-p)n-k, sendo p=0,25, n=5 e k=4.

RESOLUÇÃO:

Temos 15 homens fumantes no grupo de 100 pessoas. Para escolher 4

homens fumantes, basta calcular a combinação de 15, 4 a 4: C(15,4).

Para que a outra pessoa não seja um homem fumante, temos 85

possibilidades (40 mulheres, fumantes ou não, e mais os 45 homens não fumantes).

Assim, temos 85 x C(15,4) possibilidades de escolher 5 pessoas, sendo

exatamente 4 homens não fumantes.

A quantidade de formas de se escolher 5 pessoas em um grupo de 100 é

dado pela C(100,5).

Portanto, a probabilidade de escolher 5 pessoas, contendo exatamente 4

homens não fumantes, é:

85 (15,4)(100,5)

favoráveis CP

total C×= =

Veja que na letra B temos Cm,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=5, m=15 e k=4.

Substituindo as letras N, n, m e k pelos valores dados nessa alternativa, temos:

C15,4 C100-15, 5-4 / C100, 5 = C15,4 C85, 1 / C100, 5 = C15,4 85 / C100, 5

Portanto, esta é a resposta.

Resposta: B

18. ESAF – ATRFB – 2009) Três amigas participam de um campeonato de arco e

flecha. Em cada tiro, a primeira das amigas tem uma probabilidade de acertar o alvo

de 3/5, a segunda tem uma probabilidade de acertar o alvo de 5/6, e a terceira tem




uma probabilidade de acertar o alvo de 2/3. Se cada uma das amigas der um tiro de

maneira independente dos tiros das outras duas, qual a probabilidade de pelo

menos dois dos três tiros acertarem o alvo?

a) 90/100

b) 50/100

c) 71/100

d) 71/90

e) 60/90

RESOLUÇÃO:

Para que pelo menos dois tiros acertem o alvo, é preciso que uma dessas

situações ocorra:

1. As três amigas acertem. Aqui, a probabilidade é dada pela multiplicação das três

probabilidades:

1

3 5 2 15 6 3 3

P = × × =

2. A primeira e segunda amigas acertarem, e a terceira errar. Note que a

probabilidade da terceira errar é de 1 – 2/3 = 1/3. Assim:

2

3 5 1 15 6 3 6

P = × × =

3. A primeira e terceira amigas acertarem, e a terceira errar. Note que a

probabilidade da segunda errar é de 1 – 5/6 = 1/6. Assim:

3

3 1 2 15 6 3 15

P = × × =

4. A segunda e terceira amigas acertarem, e a primeira errar. Note que a

probabilidade da primeira errar é de 1 – 3/5 = 2/5. Assim:




4

2 5 2 25 6 3 9

P = × × =

Assim, a probabilidade de pelo menos 2 acertarem é:

P = P1 + P2 + P3 + P4

P = 1/3 + 1/6 + 1/15 + 2/9

P = 30/90 + 15/90 + 6/90 + 20/90

P = 71/90

Resposta: D

19. ESAF – MPOG – 2009) Em uma urna existem 200 bolas misturadas, diferindo

apenas na cor e na numeração. As bolas azuis estão numeradas de 1 a 50, as bolas

amarelas estão numeradas de 51 a 150 e as bolas vermelhas estão numeradas de

151 a 200. Ao se retirar da urna três bolas escolhidas ao acaso, com reposição, qual

a probabilidade de as três bolas serem da mesma cor e com os respectivos

números pares?

a) 10/512.

b) 3/512.

c) 4/128.

d) 3/64.

e) 1/64.

RESOLUÇÃO:

Muito cuidado ao seguinte detalhe: vamos retirar as bolas com reposição, ou

seja, vamos retirar uma, devolve-la à urna, e retirar outra. Podemos acabar tirando a

mesma bola duas ou três vezes.

Se queremos retirar 3 bolas da mesma cor e pares, temos as seguintes

possibilidades:

- retirar 3 bolas azuis pares OU retirar 3 bolas amarelas pares OU retirar 3

bolas vermelhas pares.




Vamos calcular separadamente a probabilidade de cada uma dessas

possibilidades, e a seguir somá-las, pois temos o conectivo “OU”.

Das 200 bolas, 50 são azuis e, destas, 25 são pares. A probabilidade de retirar

uma bola azul par é de 25/200 = 1/8. A probabilidade da primeira E da segunda E

da terceira bola serem azuis e pares é P = 1/8 x 1/8 x 1/8 = 1/512 (multiplicamos

pois temos o conectivo “E” – eventos independentes).

Das 200 bolas, 100 são amarelas e, destas, 50 são pares. A probabilidade de

retirar uma bola amarela par é de 50/200 = 1/4. A probabilidade da primeira E da

segunda E da terceira bola serem amarelas e pares é P = 1/4 x 1/4 x 1/4 = 1/64.

Das 200 bolas, 50 são vermelhas e, destas, 25 são pares. A probabilidade de

retirar uma bola vermelha par é de 25/200 = 1/8. A probabilidade da primeira E da

segunda E da terceira bola serem vermelhas e pares é P = 1/8 x 1/8 x 1/8 =

1/512.

Portanto, a probabilidade de tirar 3 bolas da mesma cor e pares é dada pela

soma:

P = 1/512 + 1/64 + 1/512 = 10/512

Resposta: A

20. ESAF – SMF/RJ – 2010) Em cada um de um certo número par de cofres são

colocadas uma moeda de ouro, uma de prata e uma de bronze. Em uma segunda

etapa, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, é colocada uma

moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de prata. Por fim,

em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, coloca-se uma moeda de

ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de bronze. Desse modo,

cada cofre ficou com cinco moedas. Ao se escolher um cofre ao acaso, qual é a

probabilidade de ele conter três moedas de ouro?




a) 0,15

b) 0,20

c) 0,5

d) 0,25

e) 0,7

RESOLUÇÃO:

Vamos seguir os passos do enunciado, considerando que temos um número

par de cofres, neste caso 2xN cofres.

- Em cada um de um certo número par de cofres são colocadas uma moeda de

ouro, uma de prata e uma de bronze.

Portanto, cada um dos 2N cofres tem 1 moeda de cada tipo.

- Em uma segunda etapa, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso,

é colocada uma moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de

prata.

Portanto, N cofres passam a ter 2 moedas de ouro, 1 de prata e 1 de bronze;

e N cofres passam a ter 1 moeda de ouro, 2 de prata e 1 de bronze.

Por fim, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, coloca-se uma

moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de bronze.

Até aqui, veja que N cofres possuem 2 moedas de ouro e outros N possuem

apenas uma. Ao escolher, ao acaso, metade dos cofres para colocar mais uma

moeda de ouro, serão escolhidos novamente N cofres. Porém estes não serão,

necessariamente, os mesmos N cofres que já tem 2 moedas de ouro. A chance de

escolher um cofre que já possui 2 moedas de ouro é P = N/2N = 1/2. Portanto,

espera-se que 1/2 dos N cofres que já tinham 2 moedas de ouro passem a ter 3.

Isto é, N/2 cofres do total de 2N cofres terão 3 moedas de ouro.

Ao se escolher um cofre ao acaso, qual é a probabilidade de ele conter três moedas

de ouro?

Essa probabilidade será dada por:




/ 20,25

2favoráveis N

Ptotal N

= = =

Resposta: D

21. ESAF – SUSEP – 2010) Admita que a probabilidade de uma pessoa de um

particular grupo genético ter uma determinada doença é de 30%. Um custoso e

invasivo exame para diagnóstico específico dessa doença tem uma probabilidade

de um resultado falso positivo de 10% e de um resultado falso negativo de 30%.

Considerando que uma pessoa desse grupo genético com suspeita da doença fez o

referido exame, qual a probabilidade dela ter a doença dado que o resultado do

exame foi negativo?

a) 30%.

b) 7,5%.

c) 25%.

d) 15%.

e) 12,5%.

RESOLUÇÃO:

Veja que há 30% de chance da pessoa efetivamente ter a doença, e 70% de

chance dela não ter a doença.

Um resultado falso negativo ocorre quando a pessoa tem a doença, mas o

exame indica que a pessoa não a tem. Já um falso positivo ocorre quando a pessoa

não tem a doença, mas o exame indica que a pessoa a tem.

Assim, o resultado do exame pode dar negativo em 2 casos:

- a pessoa ter a doença (probabilidade = 30%) e o resultado do exame for der

negativo (isto é, ocorrer um falso negativo � probabilidade = 30%).

As chances disso acontecer são P1 = 30% x 30% = 9%

- a pessoa não ter a doença (probabilidade = 70%), e o diagnóstico dado pelo

exame for correto (isto é, não ocorrer um falso positivo � probabilidade = 1 – 10% =

90%).




As chances disso acontecer são P2 = 70% x 90% = 63%.

Ou seja, no TOTAL, a chance de o resultado do exame dar negativo é dada

pela soma de 9% + 63% = 72%. Desses 72%, apenas em 9% dos casos a pessoa

efetivamente tem a doença. Portanto, as chances de a pessoa ter a doença, mesmo

o exame dando resultado negativo, são:

P = favoráveis/total = 9% / 72% = 0,125 = 12,5%

Resposta: E

22. ESAF – SUSEP – 2010) Considere um grupo de 15 pessoas dos quais 5 são

estrangeiros. Ao se escolher ao acaso 3 pessoas do grupo, sem reposição, qual a

probabilidade de exatamente uma das três pessoas escolhidas ser um estrangeiro?

a) 45/91.

b) 1/3.

c) 4/9.

d) 2/9.

e) 42/81.

RESOLUÇÃO:

O número de formas de se escolher 3 pessoas em um grupo de 15, sem

reposição, é C(15,3) = 455.

Para formar grupos com exatamente 1 estrangeiro e 2 brasileiros, temos 5

possibilidades de escolha do estrangeiro e C(10,2) = 45 formas de escolher os

brasileiros. Ao todo, temos 5 x 45 = 225 formas de escolher 1 estrangeiro e 2

brasileiros.

Portanto, a chance de formar grupos dessa forma é:

P = favoráveis/total = 225 / 455 = 45/91

Resposta: A




23. ESAF – SUSEP – 2010 – Adaptada) Um estudo indica que, nas comunidades

que vivem em clima muito frio e com uma dieta de baixa ingestão de gordura

animal, a probabilidade de os casais terem filhos do sexo masculino é igual a 1/4.

Desse modo, a probabilidade de um casal ter dois meninos e três meninas é igual a:

a) 37/64

b) 45/216

c) 1/64

d) 135/512

e) 9/16

RESOLUÇÃO:

Se a probabilidade de ter um homem (H) é de 1/4, a probabilidade de ter uma

mulher (M) é de 1 – 1/4 = 3/4. Portanto, a probabilidade de ter H H M M M,

exatamente nessa ordem, é:

1 1 3 3 3 274 4 4 4 4 1024HHMMMP = × × × × =

Entretanto, veja que podemos ter esses 5 filhos em outra ordem (ex.: H M H

M M). Temos, portanto, que permutar esses 5 filhos. Veja que se trata de uma

permutação de 5 filhos, com a repetição de 2 H e 3M. Isto é:

5!(5,3,2) 10

3!2!Permutação = =

Portanto, a probabilidade de ter 2 H e 3M é:

27 135Probabilidade 10

1024 512= × =

Resposta: D

Obs.: na prova, a letra D era 45/512, de modo que a questão ficou sem

resposta.

24. ESAF – SUSEP – 2010) Uma urna contém bolas vermelhas, azuis, amarelas e

pretas. O número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis, o número




de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas, e o número de

bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas. Se as bolas diferem apenas

na cor, ao se retirar ao acaso três bolas da urna, com reposição, qual a

probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas?

a) 100/729.

b) 100/243.

c) 10/27.

d) 115/243.

e) 25/81.

RESOLUÇÃO:

Chamando de P, AZ, AM e V o número de bolas Pretas, Azuis, Amarelas e

Verdes, temos:

P = 2AZ

AM = 5V

AZ = 2AM

Podemos escrever tudo em função de V. Veja:

AZ = 2AM = 2x(5V) = 10V

P = 2AZ = 2x(10V) = 20V

Portanto, o total de bolas é:

Total = P + AZ + AM + V = 20V + 10V + 5V + V = 36V

Temos 36V bolas, das quais 20V são pretas. A chance de retirar uma bola

preta é de 20V/36V = 20/36 = 5/9. Como o exercício diz que devemos repor a bola

(“com reposição”), a chance de tirar uma segunda bola preta é também 5/9. E a

chance da terceira bola não ser preta é de 16V/36V = 16/36 = 4/9.

Assim, a probabilidade da primeira E da segunda bolas serem pretas E da

terceira bolas não ser preta é:

5 5 4 100Probabilidade(preta, preta, não preta)

9 9 9 729= × × =




Veja que este é o caso onde temos Preta – Preta – Não Preta. Devemos

ainda permutar esses 3 resultados, com a repetição de 2:

3!(3,2) 3

2!P = =

Portanto, a probabilidade de ter 2 bolas pretas e uma não preta, em qualquer

ordem, é:

100 100Probabilidade 3

729 243= × =

Resposta: B

25. FCC – Banco do Brasil – 2011) Para responder às questões a seguir,

considere as informações abaixo:

Suponha que certa Agência do Banco do Brasil tenha 25 funcionários, cujas idades,

em anos, são as seguintes:

24 - 24 - 24 - 25 - 25 - 30 - 32 - 32 - 32

35 - 36 - 36 - 40 - 40 - 40 - 40 - 46 - 48

48 - 50 - 54 - 54 - 60 - 60 - 65

A probabilidade de que, ao escolher-se aleatoriamente um desses funcionários, a

sua idade seja superior a 48 anos é de:

a) 28%

b) 27,4%

c) 27%

d) 25,8%

e) 24%

RESOLUÇÃO:

Observe que temos 25 funcionários, dos quais apenas 6 tem mais de 48

anos. A probabilidade de escolher um deles é:

P = favoráveis/total = 6/25 = 0,24 = 24%




Resposta: E

26. FCC – Sergipe Gás S/A – 2010) A tabela abaixo apresenta o consumo médio

mensal de 100 residências em um bairro servido pela SERGAS.

Escolhendo-se uma dessas residências ao acaso, a probabilidade de que o seu

consumo médio mensal de gás natural seja de 25 m3 é

a) 2/25

b) 7/100

c) 3/50

d) 1/20

e) 1/25

RESOLUÇÃO:

Para começar, veja que temos 100 residências ao todo. Assim, podemos

descobrir o valor de X:

100 = 28 + 53 + 11 + X

X = 8

Portanto, 8 das 100 residências tem consumo igual a 25m3. A probabilidade

de escolher uma casa com este consumo é:

8 2100 25

favoráveisP

total= = =

Resposta: A




27. FCC – TCE/MG – 2007) Em uma caixa há 8 processos a serem arquivados, em

cada um dos quais foi colocada uma etiqueta marcada com um único dos números

de 1 a 8. Se no interior da caixa os processos não estão ordenados e, para dar

início à execução de tal tarefa, um funcionário do Tribunal de Contas pegar

aleatoriamente dois desses processos, a probabilidade de que nessa retirada os

números marcados em suas respectivas etiquetas sejam consecutivos é de

(A) 25%

(B) 20%

(C) 12,5%

(D) 10%

(E) 7,5%

RESOLUÇÃO:

Se temos 8 processos, a quantidade de duplas que podemos formar com

eles é dada pela combinação de 8, 2 a 2:

8 7(8,2) 28

2 1C

×= =×

Existem as seguintes possibilidades de pegar 2 processos consecutivos: (1 e

2), (2 e 3), (3 e 4), (4 e 5), (5 e 6), (6 e 7), (7 e 8). Isto é, 7 possibilidades atendem o

pedido do enunciado. A probabilidade de pegar uma delas é:

7 10,25 25%

28 4favoráveis

Ptotal

= = = = =

Resposta: A

28. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Everaldo deve escolher um número de quatro

algarismos para formar uma senha bancária e já se decidiu pelos três primeiros:

163, que corresponde ao número de seu apartamento. Se Everaldo escolher de

modo aleatório o algarismo que falta, a probabilidade de que a senha formada seja

um número par, em que os quatro algarismos são distintos entre si, é de

(A) 60%.

(B) 55%.




(C) 50%.

(D) 45%.

(E) 40%.

RESOLUÇÃO:

Existem 10 algarismos que podem ser escolhidos por Everaldo para

completar a senha. Destes 10, sabemos que 5 são pares, e permitiriam formar uma

senha par. Para que todos os algarismos sejam distintos entre si, o último algarismo

não pode ser o 6, que já foi usado na senha. Assim, sobram 4 opções que atendem

a condição dada no enunciado.

Portanto, das 10 opções existentes, apenas 4 atendem a condição. A

probabilidade de ser formada uma senha que seja um número par e tenha os quatro

algarismos distintos é P = 4/10 = 40%.

Resposta: E

29. FCC – SEFAZ/SP – 2010) O total de funcionários em uma repartição pública é

igual a 6. João e sua esposa trabalham nesta repartição em que será formada uma

comissão de 3 funcionários escolhidos aleatoriamente. A probabilidade de que no

máximo um deles, João ou sua esposa, faça parte da comissão é

a) 1/5

b) 2/5

c) 3/5

d) 4/5

e) 3/10

RESOLUÇÃO:

O total de comissões com 3 funcionários que podem ser formadas a partir de

um grupo de 6 funcionários é dada pela combinação de 6, 3 a 3:

C(6,3) = 20




Dessas, estamos interessados apenas nas que tenham, no máximo, ou João

ou sua esposa. Isto é, elas podem ter apenas João, apenas a esposa ou nenhum

deles.

Podemos resolver esse problema calculando quantas comissões podem ser

formadas incluindo tanto João quanto sua esposa. Neste caso, já temos 2 das 3

pessoas da comissão escolhidas. Temos ainda 4 pessoas disponíveis para a última

vaga restante, isto é, 4 possibilidades.

Se existem 4 possíveis comissões incluindo João e também sua esposa,

então o número de comissões que tenha, no máximo, um deles, é 20 – 4 = 16.

Assim, a chance de obter uma comissão que tenha no máximo 1 deles é:

P = 16/20 = 4/5

Resposta: D

30. FCC – TRF/4ª – 2010) O número de televisores vendidos diariamente em uma

loja apresenta a seguinte distribuição de probabilidades de venda:

A probabilidade de que, em um determinado dia, não seja vendido nenhum televisor

é igual a 10% e de que seja vendido mais que 3 é igual a 30%. Então, a

probabilidade de que em um determinado dia sejam vendidos 2 televisores é de

(A) 10%.

(B) 12%.

(C) 15%.

(D) 18%.

(E) 20%.

RESOLUÇÃO:

Veja na tabela que a probabilidade de que sejam vendidos zero televisores

(P(0)), isto é, não seja vendido nenhum, é igual a x. Como o próprio enunciado disse

que esta mesma probabilidade é igual a 10%, então x = 10%.




A probabilidade de que sejam vendidos mais do que 3 televisores (isto é,

sejam vendidos 4 OU 5 � P(4) + P(5)), é igual a 2y + x. Como enunciado disse que

esta mesma probabilidade é igual a 30%, então:

2y + x = 30%

2y + 10% = 30%

y = 10%

Repare que a soma das probabilidades deve ser igual a 100% (pois a

probabilidade do espaço amostral é sempre 100%). Portanto,

P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = 100%

x + 3y + z + z +2y + x = 100%

2x + 5y +2z = 100%

20% + 50% + 2z = 100%

z = 15%

Assim, P(2) é igual a 15%.

Resposta: C

31. CESPE – MPE/PI – 2012) Sabendo-se que em uma empresa que possui 80

empregados, 40 são mulheres e, dos homens, 30 atuam na área administrativa,

julgue os itens subsequentes.

( ) Se 1/3 dos empregados da área administrativa forem mulheres, então menos de

30 mulheres não atuam na área administrativa.

( ) Caso se escolha um empregado dessa empresa ao acaso, a probabilidade de ele

ser homem e não atuar na área administrativa será superior a 1/6.

RESOLUÇÃO:






Se 1/3 dos empregados da área administrativa são mulheres, então os outros

2/3 correspondem aos 30 homens que atuam nesta área. Assim:

2/3 da área administrativa --------------------------- 30 homens

1/3 da área administrativa ---------------------------- X mulheres

(2/3)X = (1/3) x 30

X = 15 mulheres

Como ao todo temos 40 mulheres, então 40 – 15 = 25 mulheres não atuam

na área administrativa. Item CORRETO.



Dos 80 empregados, 40 são mulheres, portanto os outros 40 são homens.

Destes 40 homens, 30 atuam na área administrativa, de modo que 40 – 30 = 10 não

atuam nesta área.

Assim, 10 dos 80 empregados são homens e não atuam na área

administrativa. A chance de escolher um deles ao acaso é:

P = 10 / 80 = 1/8

Este número é inferior a 1/6. Item ERRADO.

Resposta: C E

32. CESPE – MPE/PI – 2012) Por ocasião da apuração da frequência dos 21

servidores de uma repartição pública no mês de julho de 2011, indicou-se por Sx o

conjunto dos servidores que faltaram ao serviço exatamente x dias úteis naquele




mês, sendo 0 ≤ x ≤ 21. Indicando por Nx a quantidade de elementos do conjunto Sx,

julgue os itens a seguir.

( ) O conjunto S0 ∪ S1 ∪ S2 ∪ ... ∪ S21 contém todos os servidores da repartição.

( ) Há dois números inteiros a e b, com 0 ≤ a ≤ 21 e 0 ≤ b ≤ 21, tais que o conjunto

Sa ∩ Sb é não vazio.

( ) Se N3 = 5, então 5 servidores faltaram exatamente 3 dias no mês de julho de

2011.

( ) Se os conjuntos S0 , S1, S2, S3 e S4 forem não vazios, então a probabilidade de

um servidor da repartição, selecionado ao acaso, ter faltado ao serviço no máximo 4

dias úteis no mês de julho de 2011 é igual a N4 / 21.

RESOLUÇÃO:


Cada servidor se enquadra em um destes conjuntos, dependendo do número

x de faltas que cometeu: S0 , S1 , S2 , ... ou S21. Portanto, a união destes conjuntos

contém todos os servidores da repartição. Item CORRETO.



Repare que, se tivermos a = b, os conjuntos Sa e Sb certamente terão

elementos em comum, de modo que a intersecção entre eles não será vazia.


2011.

CORRETO. Nx nos fornece o número de servidores que pertencem ao

conjunto Sx, isto é, o número de servidores que faltaram exatamente x dias.

( ) Se os conjuntos S0, S1, S2, S3 e S4 forem não vazios, então a probabilidade de






O número de servidores que faltaram no máximo 4 dias úteis é dado pela

soma dos que faltaram 0, 1, 2, 3 e 4 dias, ou seja, N0 + N1 + N2 + N3 + N4. A

probabilidade de um deles ser escolhido é P = (N0 + N1 + N2 + N3 + N4) / 21. Item

ERRADO.

Resposta: C C C E

33. CESPE – TC/DF – 2012) Em um conjunto E de empresas, indica-se por Ex o

subconjunto de E formado pelas empresas que já participaram de pelo menos x

procedimentos licitatórios, em que x = 0, 1, 2, ..., e por Nx a quantidade de

elementos do conjunto Ex. Julgue os itens seguintes, a respeito desses conjuntos.

( ) Se x e y forem números inteiros não negativos e x y≤ , então Ey ⊂ Ex.

( ) A probabilidade de uma empresa selecionada ao acaso no conjunto E já ter

participado de exatamente 10 procedimentos licitatórios é igual a 10 11

0

N N

N

−.

RESOLUÇÃO:


Uma empresa que participou de 5 licitações certamente faz parte do conjunto

E5. Mas ela também faz parte dos conjuntos E4, E3, ..., E0. Isto porque podemos

afirmar que esta empresa participou de pelo menos 4 licitações, ou de pelo menos

3, e assim por diante. Assim, se x y≤ , todas as empresas que já participaram de y

licitações também já participaram de x licitações. Isto é, o conjunto Ey está contido

no conjunto Ex, como diz o enunciado. Item CORRETO.



0

N N

N

−.

N10 é o número de empresas que participaram de PELO MENOS 10

licitações. Ou seja, são empresas que participaram de 10 ou mais licitações. Para

saber quantas empresas participaram de exatamente 10 licitações, devemos

subtrair de N10 o total de empresas que participaram de MAIS DE 10 licitações, ou

seja, de pelo menos 11 licitações. Este último valor é N11. Portanto, a quantidade de

empresas que concorreram em exatamente 10 procedimentos é dada por N10 – N11.




Já total de empresas no conjunto E é dado por N0, que é o número de

empresas que participaram de ZERO OU MAIS licitações.

Assim, a probabilidade de selecionar uma empresa que esteve presente em

exatamente 10 certames é:

10 11

0

N NfavoráveisP

total N

−= =

Item CORRETO.

Resposta: C C

34. CESPE – Polícia Civil/CE – 2012) Estudo divulgado pelo Instituto de Pesquisas

Econômicas Aplicadas (IPEA) revela que, no Brasil, a desigualdade social está entre

as maiores causa s da violência entre jovens. Um dos fatores que evidenciam a

desigualdade social e expõem a população jovem à violência é a condição de

extrema pobreza, que atinge 12,2% dos 34 milhões de jovens brasileiros, membros

de famílias com renda per capita de até um quarto do salário mínimo, afirma a

pesquisa. Como a violência afeta mais os pobres, é usual fazer um raciocínio

simplista de que a pobreza é a principal causadora da violência entre os jovens,

mas isso não é verdade. O fato de ser pobre não significa que a pessoa será

violenta. Existem inúmeros exemplos de atos violentos praticados por jovens de

classe média.

Internet: <http://amaivos.uol.com.br> (com adaptações).

Tendo como referência o texto acima, julgue os itens seguintes.

( ) Selecionando-se ao acaso dois jovens brasileiros, a probabilidade de ambos

serem atingidos pela condição de extrema pobreza será inferior a 1,5%.

RESOLUÇÃO:

A probabilidade de um jovem ser atingido pela extrema pobreza é de 12,2%.

A probabilidade de um jovem E outro serem atingidos por essa condição é dada

pela multiplicação das probabilidades, pois temos dois eventos independentes entre

si ocorrendo simultaneamente:

P(um jovem E outro) = 12,2% x 12,2% = 1,488%

Item CORRETO.

Resposta: C




35. CESPE – Polícia Civil/CE – 2012) Dos 420 detentos de um presídio, verificou-

se que 210 foram condenados por roubo, 140, por homicídio e 140, por outros

crimes.

Verificou-se, também, que alguns estavam presos por roubo e homicídio. Acerca

dessa situação, julgue os itens seguintes.

( ) A quantidade de maneiras distintas de se selecionarem dois detentos entre os

condenados por outros crimes, que não roubo ou homicídio, para participarem de

um programa destinado à ressocialização de detentos é inferior a 10.000.

( ) Menos de 60 dos detentos estavam presos por terem sido condenados por roubo

e homicídio.

( ) Selecionando-se ao acaso dois detentos desse presídio, a probabilidade de que

ambos tenham sido condenados por roubo ou ambos por homicídio será superior a

1/6.

RESOLUÇÃO:

Temos os 3 conjuntos abaixo:

Foi dito que n(Total) = 420, n(Outros crimes) = 140, n(roubo) = 210 e

n(homicídio) = 140. Foi dito também que há intersecção entre os conjuntos Roubo e

Homicídio, ficando implícito que não existe essa intersecção com o conjunto Outros

crimes.

Como 140 cometeram apenas outros crimes, então 420 – 140 = 280

cometeram roubo, homicídio ou ambos. Isto é, n(roubo homicídio)=280∪ . Assim:




n(roubo homicídio) = n(roubo) + n(homicídio) - n(roubo homicídio)

280 = 210 + 140 - n(roubo homicídio)

n(roubo homicídio) 70

∪ ∩∩

∩ =

Vejamos os itens dados.




Para selecionar 2 dentre 140 detentos basta calcular o número de

combinações de 140, 2 a 2, isto é:

C(140,2) = 140 x 139 / 2 = 9730

Item CORRETO.


e homicídio.

Item ERRADO. Como vimos acima, n(roubo homicídio) 70∩ = , ou seja, 70

detentos estavam presos por roubo e homicídio.



1/6.

O número total de combinações de 2 dos 420 detentos é:

C(420,2) = 420 x 419 / 2 = 210 x 419

O número de detentos condenados APENAS por roubo é igual a 210 – 70 =

140. Portanto, o número de combinações destes detentos, 2 a 2, é:

C(140,2) = 140 x 139 / 2 = 70 x 139

O número de detentos condenados APENAS por homicídio é igual a 140 – 70

= 70. Logo, o número de combinações destes detentos, 2 a 2, é:

C(70,2) = 70 x 69 / 2 = 35 x 69

Assim, a probabilidade de escolher 2 detentos que tenham sido condenados

APENAS por roubo ou APENAS por homicídio é igual a:




70 139 35 69Pr

210 43935 2 139 35 69 35 347 1 347

Pr210 439 210 439 6 439

favoráveisobabilidade

total

obabilidade

× + ×= =×

× × + × ×= = = ×× ×

Este número é inferior a 1/6, pois ele é igual a 1/6 multiplicado por um fator

que é menor do que 1 (347/439). Item ERRADO.

Obs.: você reparou no “APENAS” que coloquei nesta resolução? A

interpretação do CESPE foi que, ao dizer “ambos tenham sido condenados por

roubo ou ambos por homicídio”, deveríamos considerar apenas os que foram

condenados por 1 crime, excluíndo aqueles que foram condenados por ambos.

Resposta: C E E

36. CESPE – TRT/21ª – 2010) Suponha que determinado partido político pretenda

ter candidatos próprios para os cargos de governador, senador e deputado federal e

que tenha, hoje, 5 possíveis nomes para o cargo de governador, 7 para o cargo de

senador e 12 para o cargo de deputado federal. Como todos os pré-candidatos são

muito bons, o partido decidiu que a escolha da chapa (governador, senador e

deputado federal) será por sorteio. Considerando que todos os nomes têm chances

iguais de serem escolhidos, julgue os itens seguintes.

( ) Caso João e Roberto sejam pré-candidatos ao cargo de senador e Maria e Ana

sejam pré-candidatas ao cargo de deputado federal, a chance de que a chapa

sorteada tenha qualquer um desses nomes será maior que 49%.

( ) A probabilidade de uma chapa ser sorteada é maior que 2

1

20

( ) Considerando que José seja um dos pré-candidatos ao cargo de governador, a

probabilidade de que José esteja na chapa sorteada será maior que 0,1.

( ) Considerando que Mariana seja pré-candidata ao cargo de governador e Carlos

seja pré-candidato ao cargo de senador, então a probabilidade de que a chapa

sorteada ou não tenha o nome de Maria ou não tenha o nome de Carlos será

inferior a 0,75.

RESOLUÇÃO:







A chance de que a chapa escolhida tenha qualquer destes nomes é igual a

100% menos a chance de que a chapa não tenha nenhum destes nomes. Para não

ter nenhum destes nomes, restam 5 pré-candidatos a governador, 5 para senador

(excluimos João e Roberto) e 10 para deputado (excluimos Maria e Ana). Existem

5x5x10 = 250 formas de se formar um trio com estas pessoas. Ao todo, haviam

5x7x12 = 420 formas. Portanto,

Probabilidade (ter qualquer dos nomes) = 100% - Probabilidade (não ter nenhum)

Probabilidade (ter qualquer dos nomes) = 100% - 250/420 = 40,5%

Item ERRADO.


1

20

Vimos que existem 5x7x12 = 420 chapas possíveis. Logo, a chance de uma dessas chapas ser

sorteada é de 1

420. Este número é menor do que

1

400, que é

21

20

. Item ERRADO.



A chance de José ser escolhido dentre os 5 pré-candidatos a governador é

de 1/5 = 0,2. Este número é maior que 0,1. Item CORRETO.

( ) Considerando que Maria seja pré-candidata ao cargo de governador e Carlos



inferior a 0,75.

A chance de que a chapa não tenha o nome Maria ou não tenha o nome

Carlos é igual a 100% menos a chance de ter ambos os nomes. Para Maria ser a

governadora e Carlos o senador, existem 1x1x12 = 12 possíveis trios. Já o total de

trios possíveis é 5x7x12 = 420. Logo,

Probabilidade(chapa não ter Maria ou não ter Carlos) = 100% - 12/420 = 97,1%




Item ERRADO.

Obs.: na redação original deste item havia o nome “Mariana” no lugar do primeiro

nome “Maria”, gerando a sua anulação. Efetuei a correção para você poder

exercitar.

Resposta: E E C E

37. CESPE – EBC – 2011) Uma pesquisa de opinião, para verificar a viabilidade das

candidaturas de um candidato a prefeito e de um candidato a vereador de

determinado município, entrevistou 2.000 pessoas: 980 responderam que votariam

apenas no candidato a prefeito; 680 responderam que votariam apenas no

candidato a vereador ou que não votariam em nenhum dos dois candidatos.

Considerando essa situação, julgue os itens a seguir.

( ) A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que

votaria nos dois candidatos é igual a 0,17.


votaria no candidato a prefeito é superior a 0,68.

( ) Se a probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que

votaria no candidato a vereador for igual a 0,40, então 220 dos entrevistados

responderam que não votariam em nenhum dos dois candidatos.

RESOLUÇÃO:

O diagrama a seguir sintetiza o enunciado:

Veja que 980 pessoas votam apenas para prefeito. X pessoas não votam

nem para prefeito nem para vereador, logo 680 – X votam apenas para vereador

(pois o enunciado disse que 680 votavam apenas para vereador, ou não votavam).




Por fim, Y pessoas votam para prefeito e para vereador. Como o total de pessoas é

igual a 2000, podemos dizer que:

2000 = 980 + Y + 680 – X + X

2000 = 980 + Y + 680

Y = 340

Vejamos os itens desta questão:



340 das 2000 pessoas votaria nos 2 candidatos. Logo, a probabilidade de

escolher uma dessas pessoas ao acaso é 340/2000 = 0,17. Item CORRETO.



980 pessoas votam apenas para prefeito, e 340 votam para prefeito e

vereador. Logo, 980 + 340 = 1320 votam para prefeito. A chance de escolher uma

dessas pessoas ao acaso é de 1320/2000 = 0,66. Item ERRADO.




O número de pessoas que votam para vereador é dado pela soma de 340

(que votam para ambos os cargos) com 680-X (que votam apenas para vereador).

Isto é, 340 + 680 – X = 1020 – X. A probabilidade de se escolher uma dessas

pessoas é:

1020

2000

XP

−=

Se esta probabilidade for igual a 0,40, podemos descobrir o valor de X:

10200,40

2000

X−=

X = 220

Como X é o número de pessoas que não votariam em nenhum dos

candidatos (veja no diagrama que desenhamos), este item está CORRETO.

Resposta: C E C











Ministério da Justiça. Enfrentamento ao tráfico de

pessoas: relatório do plano nacional. Janeiro de 2010, p.

23 (com adaptações).




80%.

( ) Se as vítimas indicadas na pesquisa totalizaram 250 pessoas, então o número de

maneiras distintas de se escolher um grupo de 3 homens entre as vítimas será

superior a 4.000.

RESOLUÇÃO:



80%.

Veja que as vítimas do sexo feminino são 66% (mulheres) + 13% (meninas) =

79%. Isto é, a probabilidade da vítima ser do sexo feminino é de 79%. Já a

probabilidade da vítima ser um menino é de 9%. Sabemos que não é possível uma

vítima ser do sexo feminino e ser menino ao mesmo tempo (ao longo do curso

veremos que temos dois eventos mutuamente excludentes).

Assim, a probabilidade de ocorrer um (ser do sexo feminino) ou outro (ser

menino) desses eventos, ou seja, a probabilidade da UNIÃO desses dois eventos é

a soma das probabilidades de cada um deles: 79% + 9% = 88%, que é superior a

80%.

Item ERRADO.




( ) Se as vítimas indicadas na pesquisa totalizaram 250 pessoas, então o número

de maneiras distintas de se escolher um grupo de 3 homens entre as vítimas será

superior a 4.000.

Se 12% das vítimas são homens, então o número de homens é:

Homens = 12% de 250 = 12% x 250 = 0,12 x 250 = 30

Temos 30 homens, e queremos saber quantos grupos de 3 homens podemos

criar. Repare que escolher os homens A, B e C é igual a escolher os homens C, B e

A (em ambos os casos temos grupos formados pelos mesmos 3 indivíduos). Em

outras palavras, a ordem de escolha dos homens para formar um grupo não

importa, não torna um grupo diferente do outro. Quando a ordem não importa,

devemos utilizar a fórmula da combinação de 30 homens, 3 a 3, para obter o total

de grupos possíveis:

30 29 28(30,3) 10 29 14 4060

3 2 1C

× ×= = × × =× ×

Este número é superior a 4000, portanto o item está CERTO.

Resposta: E C

39. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011)

Tecnologia no combate ao crime

Desde dezembro de 2009, uma aeronave não tripulada sobrevoa e monitora as

fronteiras do Brasil com o Paraguai, o Uruguai e a Argentina na região de Foz do

Iguaçu. Ao todo, serão 6 estações equipadas com 2 aeronaves cada, operadas pela

Polícia Federal, somando investimento da ordem de US$ 655,6 milhões.

Segurança pública com cidadania. Equipe

CGPLAN/MJ, agosto/2010 (com adaptações).

Considere que tenham sido sugeridos os seguintes critérios para a escolha das

rotas de vôo da aeronave mencionada no texto acima.

> Se a rota passar pelo Brasil ou pelo Paraguai, então ela deverá passar pelo

Uruguai;

> Se a rota passar pelo Paraguai, então ela não deverá passar pela Argentina;

> Se a rota passar pelo Uruguai e pela Argentina, então ela deverá passar pelo

Paraguai.




Suponha, também, que as estações A, B e C tenham sido construídas em pontos

equidistantes, de modo que a distância de uma dessas três estações para outra seja

de 150 km.

Com referência às informações contidas no texto acima e às considerações

hipotéticas que a ele se seguem, e considerando 1,73 como valor aproximado para

3 , julgue os itens seguintes.

( ) Considerando que devam ser escolhidas 3 aeronaves para inspeção e

manutenção, sendo que não podem ser selecionadas as 2 aeronaves de uma

mesma estação, e que todas as seis estações já possuam as duas aeronaves

previstas, então o número de formas distintas de se fazer essa escolha será

superior a 150.

RESOLUÇÃO:

Podemos pegar no máximo 1 aeronave em cada estação, e totalizar 3

aeronaves. Assim, será preciso escolher 3 estações e, em cada uma delas, pegar 1

das 2 aeronaves disponíveis.

O número de formas de se escolher 3 dentre 6 estações é C(6,3) = 20.

Escolhidas as estações, temos 2 opções de aeronave em cada uma delas,

totalizando 2x2x2 = 8 formas de se escolher as 3 aeronaves.

Ao todo, temos 20 formas de escolher 3 estações e, para cada uma dessas

20, temos 8 formas de separar 3 aeronaves. Assim, temos 20x8 = 160 formas de

efetuar a seleção. Item CORRETO.

Resposta: C

40. CESPE – Polícia Federal – 2012) Dez policiais federais – dois delegados, dois

peritos, dois escrivães e quatro agentes – foram designados para cumprir mandado

de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O

grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja

composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois

agentes.

Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.

( ) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas

as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro




de um veículo com cinco lugares – motorista e mais quatro pasageiros – será

superior a 100.

( ) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes.

( ) Se cinco dos citados policiais forem escolhidos, aleatoriamente e

independentemente dos cargos, então a probabilidade de que esses escolhidos

constituam uma equipe com a exigência inicial será superior a 20%

RESOLUÇÃO:




superior a 100.

Temos 5 lugares no carro para preencher com 5 pessoas. Pelo princípio

fundamental da contagem, o número de possibilidades é dado por 5x4x3x2x1 = 120.

Este número é superior a 100, tornando o item CORRETO.


Precisamos escolher 1 delegado dos 2 disponíveis, 1 perito dos 2

disponíveis, 1 escrivão dentre os 2 disponíveis e 2 agentes dentre os 4 disponíveis.

Como a ordem de escolha não importa, usamos a fórmula da combinação. Logo, o

total de maneiras de compor as equipes é dado por:

C(2,1)xC(2,1)xC(2,1)xC(4,2) = 2x2x2x6 = 48

Este número é inferior a 50, tornando o item ERRADO.



constituam uma equipe com a exigência inicial será superior a 20%.

O total de grupos de 5 pessoas que podemos formar utilizando as 10

disponíveis é dado por C(10,5) = 252. Já o número de casos favoráveis, isto é,

aqueles que formam equipes com 1 delegado, 1 perito, 1 escrivão e 2 agentes, é

igual a 48, como calculamos no item anterior.

Logo, a probabilidade de escolher um grupo de 5 pessoas que constitua uma

equipe é:




P = favoráveis/total = 48/252 = 19,04%

Esse valor é inferior a 20%, tornando o item ERRADO.

Resposta: C E E

41. CESPE – INPI – 2013) Em um rebanho de 30 novilhas 7 são marrons, 13 são

malhadas e 10 são brancas. A respeito desse rebanho, julgue os itens seguintes.

( ) Se um desses animais for selecionado ao acaso, a probabilidade de ele ser

malhado é inferior a 40%.

( ) A quantidade de maneiras distintas de se selecionar, nesse rebanho, duas

novilhas malhadas, uma marrom e duas brancas é superior a 75.

RESOLUÇÃO:



Temos 13 malhados dentre 30 ao todo. A probabilidade de selecionar um

malhado, ao acaso, é: P = 13 / 30 = 0,433 = 43,3%. Item ERRADO.



CORRETO. O número de maneiras de se escolher 2 das 13 malhadas é

C(13, 2). Já o número de maneiras de escolher 1 das 7 marrons é C(7, 1). E o

número de formas de escolher 2 das 10 brancas é C(10, 2). Assim, o número de

maneiras de selecionar 2 malhadas E 1 marrom E 2 brancas é:

C(13,2) x C(7,1) x C(10,2) =

13 12 10 97

2 1 2 1

× ×× × =× ×

13 6 7 5 9× × × ×

Faça uma análise rápida e veja que 13 6 7 5 9× × × × é maior que 7 7 7 7 7× × × × .

Ou seja, o item está CORRETO.

Resposta: E C




42. CESPE – INPI – 2013) Um órgão público pretende organizar um programa de

desenvolvimento de pessoas que contemple um conjunto de ações de educação

continuada. Quando divulgou a oferta de um curso no âmbito desse programa,

publicou, por engano, um anúncio com um pequeno erro nos requisitos. Em vez de

“os candidatos devem ter entre 30 e 50 anos e possuir mais de cinco anos de

experiência no serviço público” (anúncio 1), publicou “os candidatos devem ter entre

30 e 50 anos ou possuir mais de cinco anos de experiência no serviço público”

(anúncio 2). Considere que:

X = o conjunto de todos os servidores do órgão;

A = o conjunto dos servidores do orgão que têm mais de 30 anos de idade;

B = o conjunto dos servidores do orgão que têm menos de 50 anos de idade; e

C = o conjunto dos servidores do orgão com mais de cinco anos de experiência no

serviço público.

Sabendo que X, A, B, e C têm, respectivamente, 1.200, 800, 900 e 700

elementos, julgue os itens seguintes.

( ) Selecionando-se ao acaso um servidor no órgão, a probabilidade de ele ter mais

de 30 anos é superior a 75%.

RESOLUÇÃO:

Dos 1200 servidores, sabemos que 800 tem mais de 30 anos, de modo que a

probabilidade de selecionar um deles é:

P = 800 / 1200 = 66,67%

Item ERRADO.

Resposta: E

43. CESPE – TRT/10 – 2013) No concurso de loterias denominado miniquina, o

apostador pode marcar 5, 6 ou 7 dezenas em uma cartela que possui as dezenas

de 01 a 15. Nesse concurso, o prêmio principal é dado ao apostador que marcar em

sua cartela as cinco dezenas sorteadas aleatoriamente em uma urna. Com relação

ao concurso hipotético acima apresentado, julgue os itens subsequentes.

( ) Considere que o cálculo do valor a ser pago pela aposta seja feito mediante a

multiplicação do valor de uma aposta de 5 dezenas, que é fixo, pela quantidade de

jogos de cinco dezenas que é possível fazer com as dezenas que o apostador

marcar em sua cartela. Considere, ainda, que um jogo de 5 dezenas custe R$ 3,00.




Em face dessa situação, é correto afirmar que o apostador deverá pagar, caso

marque 7 dezenas em sua cartela, mais de R$60,00.

( ) Caso um apostador marque 5 dezenas em sua cartela, a chance de ele acertar

exatamente uma dezena entre as 5 sorteadas será superior a 30%.

( ) Se um apostador marcar apenas 5 dezenas em sua cartela, a probabilidade de

ele ganhar o prêmio principal com essa cartela será superior a 1/3.000.

( ) As dezenas que forem sorteadas em concursos anteriores terão mais chances de

serem sorteadas novamente.

( ) Se o apostador A marcar 6 dezenas em sua cartela e o apostador B marcar 5

dezenas, a probabilidade de A ganhar será seis vezes superior à de B.

RESOLUÇÃO:







Caso marque 7 dezenas, o número de combinações de 5 dezenas é:

C(7,5) = C(7,2) = 7x6 / (2x1) = 21 combinações

Portanto, como cada combinação de 5 dezenas custa 3 reais, ao todo este

apostador pagará 3 x 21 = 63 reais. Item CORRETO.



Temos 15 dezenas possíveis, sendo que 5 serão sorteadas e 10 não.

O número de combinações de 5 dezenas sorteadas, 1 a 1, é C(5,1) = 5. O número

de combinações das 10 dezenas não sorteadas, 4 a 4, é C(10,4) = 210. Assim, o

número de formas de pegar 1 dezena sorteada E 4 não sorteadas é 5 x 210 = 1050.

Já o total de formas de selecionar 5 das 15 dezenas possíveis é C(15,5) =

3003.

Portanto, a chance de acertar apenas 1 dezena é:

P = 1050 / 3003 = 0,349 = 34,9%




Item CORRETO.



Como vimos acima, o total de combinações das 15 dezenas, 5 a 5, é C(15,5)

= 3003. Como o apostador escolheu apenas 1 dessas combinações, a chance de

ele acertar é P = 1 / 3003, que é MENOR que 1/3000. Item ERRADO.



ERRADO. Não há nada que indique isto no enunciado e, em regra, neste tipo

de sorteio as dezenas não são “viciadas”, isto é, todas elas tem a mesma chance de

serem sorteadas.



Se A marcar 6 dezenas, o número de combinações de 5 dezenas que pode

ser formado é C(6, 5) = C(6, 1) = 6.

Portanto, ele tem 6 formas de acertar, enquanto o apostador B tem apenas 1

forma de acertar, dado que marcou apenas 1 conjunto de 5 dezenas. Assim, a

probabilidade de A ganhar é 6 vezes maior. Item CORRETO.

Resposta: C C E E C

44. CESPE – TRT/10 – 2013) Considerando que, dos 10 postos de combustíveis de

determinada cidade, exatamente dois deles cometam a infração de vender gasolina

adulterada, e que sejam escolhidos ao acaso alguns desses postos para serem

fiscalizados, julgue os itens seguintes.

( ) Cinco é a menor quantidade de postos que devem ser escolhidos para serem

fiscalizados de modo que, com certeza, um deles seja infrator.

( ) Há mais de 15 maneiras distintas de se escolher dois postos, de modo que

exatamente um deles seja infrator.

( ) Se dois postos forem escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de esses dois

postos serem os infratores será inferior a 2%.




( ) Há menos de 30 maneiras diferentes de se escolher quatro postos, de modo que

dois deles sejam os infratores.

RESOLUÇÃO:



ERRADO. Podemos “dar o azar” de escolher 5 dos 8 postos que não são

infratores. Para ter certeza de pegar pelo menos 1 infrator, deveríamos fiscalizar 9

postos.



Para escolher 1 posto infrator dentre os 2 possíveis, existem C(2,1) = 2

possibilidades.

Para escolher 1 posto não-infrator dentre o 8 possíveis, existem C(8,1) = 8

possibilidades.

Assim, o número de maneiras distintas de se escolher dois postos, de modo

que exatamente um deles seja infrator, é 2 x 8 = 16. Item CORRETO.



O total de maneiras de se escolher 2 postos em 10 é:

C(10,2) = 10 x 9 / (2 x 1) = 45

O total de maneiras de se escolher 2 dos 2 postos infratores é:

C(2,2) = 1

Portanto, a probabilidade de escolher exatamente dois postos infratores é:

P = 1 / 45 = 0,0222 = 2,22%

Item ERRADO.






Para escolher os 2 postos infratores, há apenas 1 forma, pois C(2,2) = 1.

Para os outros 2 postos a serem escolhidos, temos 8 possibilidades, o que nos dá

um total de maneiras de escolha igual a C(8,2) = 8 x 7 / (2 x 1) = 28.

Assim, o número de maneiras diferentes de se escolher quatro postos, de

modo que dois deles sejam os infratores, é 1 x 28 = 28. Item CORRETO.

Resposta: E C E C

***************************

Pessoal, por hoje, é só!! Até a aula 03.

Abraço,

Arthur

[email protected]




3. LISTA DAS QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA

0. ESAF – MPOG – 2009) As apostas na Mega-Sena consistem na escolha de 6 a

15 números distintos, de 1 a 60, marcados em volante próprio. No caso da escolha

de 6 números tem-se a aposta mínima e no caso da escolha de 15 números tem-se

a aposta máxima. Como ganha na Mega-Sena quem acerta todos os seis números

sorteados, o valor mais próximo da probabilidade de um apostador ganhar na Mega-

sena ao fazer a aposta máxima é o inverso de:

a) 20.000.000.

b) 3.300.000.

c) 330.000.

d) 100.000.

e) 10.000.

1. ESAF – ATRFB – 2009) Para acessar a sua conta nos caixas eletrônicos de

determinado banco, um correntista deve utilizar sua senha constituída por três

letras, não necessariamente distintas, em determinada sequência, sendo que as

letras usadas são as letras do alfabeto, com exceção do W, totalizando 25 letras.

Essas 25 letras são então distribuídas aleatoriamente, três vezes, na tela do

terminal, por cinco teclas, em grupos de cinco letras por tecla, e, assim, para digitar

sua senha, o correntista deve acionar, a cada vez, a tecla que contém a respectiva

letra de sua senha. Deseja-se saber qual o valor mais próximo da probabilidade de

ele apertar aleatoriamente em sequência três das cinco teclas à disposição e acertar

ao acaso as teclas da senha?

a) 0,001.

b) 0,0001.

c) 0,000125.

d) 0,005.

e) 0,008.




2. ESAF – MPOG – 2009) Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce,

Carlão, Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está

comemorando 100 anos de existência. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou

encarregada de formar uma comissão que será a responsável pela decoração da

festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, três pessoas entre os amigos

Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendo-se que Denílson não pertence

à comissão formada, então a probabilidade de Carlão pertencer à comissão é, em

termos percentuais, igual a:

a) 30 %

b) 80 %

c) 62 %

d) 25 %

e) 75 %

3. CEPERJ – SEE-RJ – 2009) Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas

pretas, todas de mesmo tamanho e peso. Sacando ao acaso duas bolas da urna, a

probabilidade de que sejam da mesma cor é de:

a) 20%

b) 30%

c) 40%

d) 50%

e) 60%

4. CEPERJ – FAETEC – 2010) Certo dia, a professora colocou na gaveta 9 canetas

esferográficas de ponta fina, sendo 4 azuis e 5 pretas. No dia seguinte, ela colocou

na mesma gaveta 11 canetas esferográficas de ponta grossa, sendo 8 azuis e 3

pretas. No dia seguinte, a professora retirou da gaveta, ao acaso, uma caneta, e

percebeu que ela era azul. A probabilidade de que esta caneta fosse de ponta

grossa é:

a) 1/2




b) 1/3

c) 2/3

d) 2/5

e) 3/5

5. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) Julgue os itens seguintes, que dizem respeito

à determinação do número de possibilidades lógicas ou probabilidade de algum

evento.

( ) Considere que 9 rapazes e 6 moças, sendo 3 delas adolescentes, se envolvam

em um tumulto e sejam detidos para interrogatório. Se a primeira pessoa chamada

para ser interrogada for escolhida aleatoriamente, então a probabilidades de essa

pessoa ser uma moça adolescente é igual a 0,2.

6. CESPE – TRT/16ª – 2005) Uma moeda é jogada para o alto 10 vezes. Em cada

jogada, pode ocorrer 1 (cara) ou 0 (coroa) e as ocorrências são registradas em uma

seqüência de dez dígitos, como, por exemplo, 0110011010. Considerando essas

informações, julgue os próximos itens.

( ) A probabilidade de serem obtidas sequências nas quais ocorra coroa nas

primeiras 3 jogadas é inferior a 1/4.

7. CESPE – PREVIC – 2011) Estimou-se que, na região Norte do Brasil, em 2009,

havia 1.074.700 analfabetos com 15 anos de idade ou mais, em uma população

total de, aproximadamente, 10.747.000 habitantes, e que na região Centro-Oeste,

no mesmo ano, havia 840.433 analfabetos com 15 anos de idade ou mais, em uma

população total de, aproximadamente, 10.505.415 habitantes. A partir dessas

informações, julgue o item subsequente.

( ) A probabilidade de uma pessoa com 15 anos de idade ou mais escolhida ao

acaso em 2009, na região Norte ou na região Centro-Oeste, ser analfabeta é inferior

a 20%.




8. CESPE – Banco do Brasil – 2007) Uma pesquisa, realizada com 900 pessoas

que

contraíram empréstimos bancários e tornaram-se inadimplentes, mostrou a seguinte

divisão dessas pessoas, de acordo com a faixa etária.

A partir da tabela acima e considerando a escolha, ao acaso, de uma pessoa entre

as 900 que participaram da referida pesquisa, julgue os itens subseqüentes.


0,52.




0,3.



9. CESPE – MPE/AM – 2008) Julgue os itens seguintes, relativos a conceitos

básicos de probabilidade:

( ) Considere que, em um jogo em que se utilizam dois dados não-viciados, o

jogador A pontuará se, ao lançar os dados, obtiver a soma 4 ou 5, e o jogador B

pontuará se obtiver a soma 6 ou 7. Nessa situação, é correto afirmar que o jogador

2 tem maior probabilidade de obter os pontos esperados.

( ) Ao se lançar dois dados não-viciados, a probabilidade de se obter pelo menos

um número ímpar é superior a 5/6.




10. CESPE – Polícia Civil/TO – 2008) Cada um dos itens subseqüentes contém

uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada:

( ) Um policial civil possui uma vestimenta na cor preta destinada às solenidades

festivas, uma vestimenta com estampa de camuflagem, para operações nas

florestas. Para o dia-a-dia, ele possui uma calça na cor preta, uma calça na cor

cinza, uma camisa amarela, uma camisa branca e uma camisa preta. Nessa

situação, se as vestimentas de ocasiões festivas, de camuflagem e do dia-a-dia não

podem ser misturadas de forma alguma, então esse policial possui exatamente 7

maneiras diferentes de combinar suas roupas.

( ) Uma empresa fornecedora de armas possui 6 modelos adequados para

operações policiais e 2 modelos inadequados. Nesse caso, se a pessoa

encarregada da compra de armas para uma unidade da polícia ignorar essa

adequação e solicitar ao acaso a compra de uma das armas, então a probabilidade

de ser adquirida uma arma inadequada é inferior a 1/2

11. FDC - PREF. PALMAS - 2010) João possui figurinhas com a foto de jogadores

das seleções de 3 países. O quadro abaixo mostra a distribuição dessas figurinhas

por cada um desses países.

Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas 50 figurinhas, a probabilidade de que

nela haja uma foto de um jogador brasileiro é igual a:

a) 10%

b) 20%

c) 30%




d) 40%

e) 50%








Ministério da Justiça. Enfrentamento ao tráfico de pessoas: relatório

do plano nacional. Janeiro de 2010, p. 23 (com adaptações).




80%.

13. CESPE – Polícia Federal – 2004)

Com a campanha nacional do desarmamento, a Polícia Federal já recolheu em todo

o Brasil dezenas de milhares de armas de fogo. A tabela acima apresenta a

quantidade de armas de fogo recolhidas em alguns estados brasileiros.

Considerando que todas essas armas tenham sido guardadas em um único

depósito, julgue os itens que se seguem.











14. CESPE – Polícia Federal – 2009) De acordo com o jornal espanhol El País, em

2009 o contrabando de armas disparou nos países da América Latina, tendo

crescido 16% nos últimos 12 anos. O crime é apontado como o principal problema

desses países, provocando uma grande quantidade de mortes. O índice de

homicídios por 100.000 habitantes na América Latina é alarmante, sendo, por

exemplo, 28 no Brasil, 45 em El Salvador, 65 na Colômbia, 50 na Guatemala.

Internet: <www.noticias.uol.com.br>

Tendo como referência as informações apresentados no texto acima, julgue o item

que se segue.

( ) Se, em cada grupo de 100.000 habitantes da Europa, a probabilidade de que um

cidadão desse grupo seja assassinado é 30 vezes menor que essa mesma

probabilidade para habitantes de El Salvador ou da Guatemala, então, em cada

100.000 habitantes da Europa, a probabilidade referida é inferior a 10-5.

15. CESPE – Polícia Federal – 2009) Considerando que, em um torneio de

basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B, e que, para

formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, julgue os itens que se seguem.











16. CESPE – DETRAN/DFT – 2010) Considere que, em uma amostra composta por

210 pessoas atendidas em unidade de atendimento do DETRAN, 105 foram ao

DETRAN para resolver pendências relacionadas à documentação de veículos; 70,

para resolver problemas relacionados a multas; e 70, para resolver problemas não

relacionados à documentação de veículos ou a multas. A respeito dessa situação

hipotética, julgue os itens a seguir.













17. ESAF – AFT – 2010) Em uma amostra aleatória simples de 100 pessoas de

uma população, 15 das 40 mulheres da amostra são fumantes e 15 dos 60 homens

da amostra também são fumantes. Ao se escolher ao acaso cinco pessoas da

amostra, sem reposição, a probabilidade de exatamente quatro delas serem

homens fumantes é dada por:

a) Cn.k pk (1-p)n-k, sendo p=0,15, n=5 e k=4.

b) Cm,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=5, m=15 e k=4.

c) CM,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=5, m=60 e k=4.

d) Cm,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=15, m=5 e k=4.

e) Cn.k pk (1-p)n-k, sendo p=0,25, n=5 e k=4.




18. ESAF – ATRFB – 2009) Três amigas participam de um campeonato de arco e

flecha. Em cada tiro, a primeira das amigas tem uma probabilidade de acertar o alvo

de 3/5, a segunda tem uma probabilidade de acertar o alvo de 5/6, e a terceira tem

uma probabilidade de acertar o alvo de 2/3. Se cada uma das amigas der um tiro de

maneira independente dos tiros das outras duas, qual a probabilidade de pelo

menos dois dos três tiros acertarem o alvo?

a) 90/100

b) 50/100

c) 71/100

d) 71/90

e) 60/90

19. ESAF – MPOG – 2009) Em uma urna existem 200 bolas misturadas, diferindo

apenas na cor e na numeração. As bolas azuis estão numeradas de 1 a 50, as bolas

amarelas estão numeradas de 51 a 150 e as bolas vermelhas estão numeradas de

151 a 200. Ao se retirar da urna três bolas escolhidas ao acaso, com reposição, qual

a probabilidade de as três bolas serem da mesma cor e com os respectivos

números pares?

a) 10/512.

b) 3/512.

c) 4/128.

d) 3/64.

e) 1/64.

20. ESAF – SMF/RJ – 2010) Em cada um de um certo número par de cofres são

colocadas uma moeda de ouro, uma de prata e uma de bronze. Em uma segunda

etapa, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, é colocada uma

moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de prata. Por fim,

em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, coloca-se uma moeda de




ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de bronze. Desse modo,

cada cofre ficou com cinco moedas. Ao se escolher um cofre ao acaso, qual é a

probabilidade de ele conter três moedas de ouro?

a) 0,15

b) 0,20

c) 0,5

d) 0,25

e) 0,7

21. ESAF – SUSEP – 2010) Admita que a probabilidade de uma pessoa de um

particular grupo genético ter uma determinada doença é de 30%. Um custoso e

invasivo exame para diagnóstico específico dessa doença tem uma probabilidade

de um resultado falso positivo de 10% e de um resultado falso negativo de 30%.

Considerando que uma pessoa desse grupo genético com suspeita da doença fez o

referido exame, qual a probabilidade dela ter a doença dado que o resultado do

exame foi negativo?

a) 30%.

b) 7,5%.

c) 25%.

d) 15%.

e) 12,5%.

22. ESAF – SUSEP – 2010) Considere um grupo de 15 pessoas dos quais 5 são

estrangeiros. Ao se escolher ao acaso 3 pessoas do grupo, sem reposição, qual a

probabilidade de exatamente uma das três pessoas escolhidas ser um estrangeiro?

a) 45/91.

b) 1/3.

c) 4/9.




d) 2/9.

e) 42/81.

23. ESAF – SUSEP – 2010 – Adaptada) Um estudo indica que, nas comunidades

que vivem em clima muito frio e com uma dieta de baixa ingestão de gordura

animal, a probabilidade de os casais terem filhos do sexo masculino é igual a 1/4.

Desse modo, a probabilidade de um casal ter dois meninos e três meninas é igual a:

a) 37/64

b) 45/216

c) 1/64

d) 135/512

e) 9/16

24. ESAF – SUSEP – 2010) Uma urna contém bolas vermelhas, azuis, amarelas e

pretas. O número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis, o número

de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas, e o número de

bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas. Se as bolas diferem apenas

na cor, ao se retirar ao acaso três bolas da urna, com reposição, qual a

probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas?

a) 100/729.

b) 100/243.

c) 10/27.

d) 115/243.

e) 25/81.

25. FCC – Banco do Brasil – 2011) Para responder às questões a seguir,

considere as informações abaixo:




Suponha que certa Agência do Banco do Brasil tenha 25 funcionários, cujas idades,

em anos, são as seguintes:

24 - 24 - 24 - 25 - 25 - 30 - 32 - 32 - 32

35 - 36 - 36 - 40 - 40 - 40 - 40 - 46 - 48

48 - 50 - 54 - 54 - 60 - 60 - 65

A probabilidade de que, ao escolher-se aleatoriamente um desses funcionários, a

sua idade seja superior a 48 anos é de:

a) 28%

b) 27,4%

c) 27%

d) 25,8%

e) 24%

26. FCC – Sergipe Gás S/A – 2010) A tabela abaixo apresenta o consumo médio

mensal de 100 residências em um bairro servido pela SERGAS.

Escolhendo-se uma dessas residências ao acaso, a probabilidade de que o seu

consumo médio mensal de gás natural seja de 25 m3 é

a) 2/25

b) 7/100

c) 3/50

d) 1/20

e) 1/25




27. FCC – TCE/MG – 2007) Em uma caixa há 8 processos a serem arquivados, em

cada um dos quais foi colocada uma etiqueta marcada com um único dos números

de 1 a 8. Se no interior da caixa os processos não estão ordenados e, para dar

início à execução de tal tarefa, um funcionário do Tribunal de Contas pegar

aleatoriamente dois desses processos, a probabilidade de que nessa retirada os

números marcados em suas respectivas etiquetas sejam consecutivos é de

(A) 25%

(B) 20%

(C) 12,5%

(D) 10%

(E) 7,5%

28. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Everaldo deve escolher um número de quatro

algarismos para formar uma senha bancária e já se decidiu pelos três primeiros:

163, que corresponde ao número de seu apartamento. Se Everaldo escolher de

modo aleatório o algarismo que falta, a probabilidade de que a senha formada seja

um número par, em que os quatro algarismos são distintos entre si, é de

(A) 60%.

(B) 55%.

(C) 50%.

(D) 45%.

(E) 40%.

29. FCC – SEFAZ/SP – 2010) O total de funcionários em uma repartição pública é

igual a 6. João e sua esposa trabalham nesta repartição em que será formada uma

comissão de 3 funcionários escolhidos aleatoriamente. A probabilidade de que no

máximo um deles, João ou sua esposa, faça parte da comissão é

a) 1/5




b) 2/5

c) 3/5

d) 4/5

e) 3/10

30. FCC – TRF/4ª – 2010) O número de televisores vendidos diariamente em uma

loja apresenta a seguinte distribuição de probabilidades de venda:

A probabilidade de que, em um determinado dia, não seja vendido nenhum televisor

é igual a 10% e de que seja vendido mais que 3 é igual a 30%. Então, a

probabilidade de que em um determinado dia sejam vendidos 2 televisores é de

(A) 10%.

(B) 12%.

(C) 15%.

(D) 18%.

(E) 20%.

31. CESPE – MPE/PI – 2012) Sabendo-se que em uma empresa que possui 80

empregados, 40 são mulheres e, dos homens, 30 atuam na área administrativa,

julgue os itens subsequentes.








32. CESPE – MPE/PI – 2012) Por ocasião da apuração da frequência dos 21

servidores de uma repartição pública no mês de julho de 2011, indicou-se por Sx o

conjunto dos servidores que faltaram ao serviço exatamente x dias úteis naquele

mês, sendo 0 ≤ x ≤ 21. Indicando por Nx a quantidade de elementos do conjunto Sx,

julgue os itens a seguir.





2011.

( ) Se os conjuntos S0 , S1, S2, S3 e S4 forem não vazios, então a probabilidade de



33. CESPE – TC/DF – 2012) Em um conjunto E de empresas, indica-se por Ex o

subconjunto de E formado pelas empresas que já participaram de pelo menos x

procedimentos licitatórios, em que x = 0, 1, 2, ..., e por Nx a quantidade de

elementos do conjunto Ex. Julgue os itens seguintes, a respeito desses conjuntos.




0

N N

N

−.

34. CESPE – Polícia Civil/CE – 2012) Estudo divulgado pelo Instituto de Pesquisas

Econômicas Aplicadas (IPEA) revela que, no Brasil, a desigualdade social está entre

as maiores causa s da violência entre jovens. Um dos fatores que evidenciam a

desigualdade social e expõem a população jovem à violência é a condição de

extrema pobreza, que atinge 12,2% dos 34 milhões de jovens brasileiros, membros

de famílias com renda per capita de até um quarto do salário mínimo, afirma a

pesquisa. Como a violência afeta mais os pobres, é usual fazer um raciocínio

simplista de que a pobreza é a principal causadora da violência entre os jovens,




mas isso não é verdade. O fato de ser pobre não significa que a pessoa será

violenta. Existem inúmeros exemplos de atos violentos praticados por jovens de

classe média.

Internet: <http://amaivos.uol.com.br> (com adaptações).

Tendo como referência o texto acima, julgue os itens seguintes.

( ) Selecionando-se ao acaso dois jovens brasileiros, a probabilidade de ambos

serem atingidos pela condição de extrema pobreza será inferior a 1,5%.

35. CESPE – Polícia Civil/CE – 2012) Dos 420 detentos de um presídio, verificou-

se que 210 foram condenados por roubo, 140, por homicídio e 140, por outros

crimes.

Verificou-se, também, que alguns estavam presos por roubo e homicídio. Acerca

dessa situação, julgue os itens seguintes.





e homicídio.



1/6.

36. CESPE – TRT/21ª – 2010) Suponha que determinado partido político pretenda

ter candidatos próprios para os cargos de governador, senador e deputado federal e

que tenha, hoje, 5 possíveis nomes para o cargo de governador, 7 para o cargo de

senador e 12 para o cargo de deputado federal. Como todos os pré-candidatos são

muito bons, o partido decidiu que a escolha da chapa (governador, senador e

deputado federal) será por sorteio. Considerando que todos os nomes têm chances

iguais de serem escolhidos, julgue os itens seguintes.





1

20






( ) Considerando que Mariana seja pré-candidata ao cargo de governador e Carlos



inferior a 0,75.

37. CESPE – EBC – 2011) Uma pesquisa de opinião, para verificar a viabilidade das

candidaturas de um candidato a prefeito e de um candidato a vereador de

determinado município, entrevistou 2.000 pessoas: 980 responderam que votariam

apenas no candidato a prefeito; 680 responderam que votariam apenas no

candidato a vereador ou que não votariam em nenhum dos dois candidatos.

Considerando essa situação, julgue os itens a seguir.















Ministério da Justiça. Enfrentamento ao tráfico de

pessoas: relatório do plano nacional. Janeiro de 2010, p.

23 (com adaptações).







80%.

( ) Se as vítimas indicadas na pesquisa totalizaram 250 pessoas, então o número de

maneiras distintas de se escolher um grupo de 3 homens entre as vítimas será

superior a 4.000.

39. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011)

Tecnologia no combate ao crime

Desde dezembro de 2009, uma aeronave não tripulada sobrevoa e monitora as

fronteiras do Brasil com o Paraguai, o Uruguai e a Argentina na região de Foz do

Iguaçu. Ao todo, serão 6 estações equipadas com 2 aeronaves cada, operadas pela

Polícia Federal, somando investimento da ordem de US$ 655,6 milhões.

Segurança pública com cidadania. Equipe

CGPLAN/MJ, agosto/2010 (com adaptações).

Considere que tenham sido sugeridos os seguintes critérios para a escolha das

rotas de vôo da aeronave mencionada no texto acima.

> Se a rota passar pelo Brasil ou pelo Paraguai, então ela deverá passar pelo

Uruguai;

> Se a rota passar pelo Paraguai, então ela não deverá passar pela Argentina;

> Se a rota passar pelo Uruguai e pela Argentina, então ela deverá passar pelo

Paraguai.

Suponha, também, que as estações A, B e C tenham sido construídas em pontos

equidistantes, de modo que a distância de uma dessas três estações para outra seja

de 150 km.

Com referência às informações contidas no texto acima e às considerações

hipotéticas que a ele se seguem, e considerando 1,73 como valor aproximado para

3 , julgue os itens seguintes.

( ) Considerando que devam ser escolhidas 3 aeronaves para inspeção e

manutenção, sendo que não podem ser selecionadas as 2 aeronaves de uma

mesma estação, e que todas as seis estações já possuam as duas aeronaves

previstas, então o número de formas distintas de se fazer essa escolha será

superior a 150.




40. CESPE – Polícia Federal – 2012) Dez policiais federais – dois delegados, dois

peritos, dois escrivães e quatro agentes – foram designados para cumprir mandado

de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O

grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja

composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois

agentes.

Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.




superior a 100.




constituam uma equipe com a exigência inicial será superior a 20%

41. CESPE – INPI – 2013) Em um rebanho de 30 novilhas 7 são marrons, 13 são

malhadas e 10 são brancas. A respeito desse rebanho, julgue os itens seguintes.





42. CESPE – INPI – 2013) Um órgão público pretende organizar um programa de

desenvolvimento de pessoas que contemple um conjunto de ações de educação

continuada. Quando divulgou a oferta de um curso no âmbito desse programa,

publicou, por engano, um anúncio com um pequeno erro nos requisitos. Em vez de

“os candidatos devem ter entre 30 e 50 anos e possuir mais de cinco anos de

experiência no serviço público” (anúncio 1), publicou “os candidatos devem ter entre

30 e 50 anos ou possuir mais de cinco anos de experiência no serviço público”

(anúncio 2). Considere que:

X = o conjunto de todos os servidores do órgão;




A = o conjunto dos servidores do orgão que têm mais de 30 anos de idade;

B = o conjunto dos servidores do orgão que têm menos de 50 anos de idade; e

C = o conjunto dos servidores do orgão com mais de cinco anos de experiência no

serviço público.

Sabendo que X, A, B, e C têm, respectivamente, 1.200, 800, 900 e 700

elementos, julgue os itens seguintes.

( ) Selecionando-se ao acaso um servidor no órgão, a probabilidade de ele ter mais

de 30 anos é superior a 75%.

43. CESPE – TRT/10 – 2013) No concurso de loterias denominado miniquina, o

apostador pode marcar 5, 6 ou 7 dezenas em uma cartela que possui as dezenas

de 01 a 15. Nesse concurso, o prêmio principal é dado ao apostador que marcar em

sua cartela as cinco dezenas sorteadas aleatoriamente em uma urna. Com relação

ao concurso hipotético acima apresentado, julgue os itens subsequentes.















44. CESPE – TRT/10 – 2013) Considerando que, dos 10 postos de combustíveis de

determinada cidade, exatamente dois deles cometam a infração de vender gasolina

adulterada, e que sejam escolhidos ao acaso alguns desses postos para serem

fiscalizados, julgue os itens seguintes.




4. GABARITO

0 E 01 E 02 E 03 C 04 C 05 C 06 C

07 C 08 EECC 09 CE 10 EC 11 D 12 E 13 CEE

14 E 15 EE 16 ECC 17 B 18 D 19 A 20 D

21 E 22 A 23 D 24 B 25 E 26 A 27 A

28 E 29 D 30 C 31 CE 32 CCCE 33 CC 34 C

35 CEE 36 EECE 37 CEC 38 EC 39 C 40 CEE 41 EC

42 E 43 CCEEC 44 ECEC

Aula 02

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