AULA 02MATEMÁTICA II

Professor: João Alessandro

CÁLCULO DE LIMITES

Cálculo - Limites

Para o cálculo do limite de uma função basta substituir o valor para o qual x está tendendo (valor genérico “a”) na expressão da função f(x).

No entanto, esta regra falha, algumas vezes (nem

sempre) para funções racionais. Isto acontece quando se

faz a substituição direta de x por seu valor de tendência

e encontra-se indeterminação (0/0 ou b/0 ou / ou /0).

Veja os casos nos slides seguintes.

Cálculo - Limites

Regras adicionais • 1ª Regra: Para funções racionais cujos numeradores e denominadores são 0

quando se substitui x por a (valor de tendência). Neste caso, tanto o polinômio do numerador quanto o do denominador devem ser divididos por (x - a). Após esta simplificação, faz-se a substituição de x por a.

422)2(lim2

)2)(2(lim

2

4lim

0

0

22

42

2

4lim

22

2

2

22

2

xx

xx

x

x

x

x

xxx

xIndeterminação

Regras adicionais

• 2ª Regra: Quando somente o denominador for 0 na substituição direta de x, calcula-se os limites laterais. O limite existirá somente se os limites laterais forem iguais.

.limlim

lim

2

1

2

2

1

2

0

1

22

1

2

1

2

xxe

xx

xx

Portanto o limite não existe.Pois pela condição de existência de limite, o limite pela direita deve ser igual ao limite pela esquerda.

Regras adicionais – Limites com e/no Infinito • 3ª Regra: Quando se tem uma função polinomial ou uma função

racional, os limites destas funções, quando x tende para +∞ ou -∞, são calculados com base no termo de maior ordem, veja os exemplos abaixo.

222

22323

).(5)5(lim)125(lim

).(22lim2

lim2

352lim

xxx

xx

x

x

xxx

xx

xxx

1o exemplo (função racional):

2o exemplo (função polinomial):

Expressões indeterminadas: Considere o seguinte limite:

Se fôssemos resolver de acordo com as ferramentas já

conhecidas chegaríamos ao seguinte resultado:

0

0

33

273

3

27lim

33

3

x

xx

3

27lim

3

3

x

xx

EXEMPLO

EXEMPLOExpressões indeterminadas

Mas vejamos o gráfico desta função:

x f(x)2,7

2,8

2,9

3,03,1

3,2

3,3

24,39

25,24

26,11

2727,9

128,8

429,7

9

L

• Apesar da função não estar definida no ponto x = 3, quando nos aproximamos de x = 3, f(x) se aproxima de 27. Portanto:

• Mas como se resolve a equação algébrica de modo a chegar a este valor?

273

27lim

3

3

x

xx

• Com a FATORAÇÃO de Produtos Notáveis!!!

Neste exemplo,

Logo, podemos reescrever a função do seguinte modo:

Basta então calcular:

)93)(3(27 23 xxxx

93)3(

)93)(3()( 2

2

xx

x

xxxxf

27)93(lim 2

3

xx

x

FATORAÇÃO• Diferença de quadrados

Exemplos:

)).((22 bababa 2222 ..)).(( bababbaababa

)).(() 44162 xxxa

)).(() ayayayb 33229

)).().(()).((

)

9243232924924

81416

xxxxx

xc

FATORAÇÃO• Trinômio quadrado perfeito

Exemplos: 22442 )( aaa2

3349324616

yyy

22222 2)).(()( bababbaababababa 22222 2)).(()( bababbaababababa

Não confundir o quadrado da diferença (a - b)2, com a diferença de quadrados a2 - b2.

FATORAÇÃO• Soma e Diferença de Cubos

Exemplos:

)).(( 2233 babababa

)42).(2()22.).(2(8 2223 xxxxxxx

)252016).(54(5)4(12564 2333 aaaaa

)).(( 2233 babababa

PROPRIEDADES DE LIMITES• P1 - O limite da soma é igual a soma dos limites

(caso esses limites existam): )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf

axaxax

1552322

522

32

2

253

2

2

2

532

2

.

limlimlim

limlimlim

)(lim

xx

xx

x

xx

xx

x

xxx

Exemplo:

PROPRIEDADES DE LIMITES• P2- O limite da diferença é igual a diferença dos limites (caso esses limites existam):

)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax

622.2limlim2

lim2lim)2(lim

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

xxxx

xx

xxx

Exemplo:

PROPRIEDADES DE LIMITES• P3 - O limite do produto é igual ao produto dos limites (caso esses limites existam):

)(lim).(lim)().(lim xgxfxgxfaxaxax

93.3lim.lim.lim)(lim333

2

3

xxxxx

xxxx

Exemplo:

PROPRIEDADES DE LIMITES• P4- O limite do quociente é igual ao quociente dos limites

(caso esses limites existam):

)(lim

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

10

1-

20

2

727

53

73

3

53

735

3

)(lim

)(lim

limx

x

xx

x

x

x

Exemplo:

DÚVIDAS?