Aula 03 - Parte 02 Física

FÍSICA PARA PRF PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1

Aula 3 – Parte 2

Exercícios ............................................................................................ 2

Colisões .............................................................................................. 5

Quantidade de movimento e energia mecânica nas colisões ....................... 6

Velocidade relativa entre duas partículas que percorrem uma mesma reta .. 6

Coeficiente de restituição ...................................................................... 7

Centro de massa ................................................................................. 13

Sistema constituído por diversas partículas ............................................. 14



Exercícios Antes de começarmos esta segunda parte da aula, vamos resolver três questões de assuntos da primeira parte. 01. (Polícia Civil PE 2006/IPAD) Sobre uma partícula de massa M = 0,5 kg é aplicada uma força resultante de direção constante e de intensidade variável, conforme o gráfico abaixo. Se a partícula está inicialmente em repouso, calcule a sua velocidade no instante t = 2,0 s.

A) 20 m/s B) 30 m/s C) 40 m/s D) 50 m/s E) 60 m/s Resolução Vimos que: Dado um diagrama do valor algébrico da força atuante em uma partícula em função do tempo, a “área” compreendida entre o gráfico e o eixo dos tempos expressa o valor algébrico do impulso da força. Temos um triângulo. Vamos calcular a sua área.

� � �� ∙ ��2 � 2 ∙ 25

2 � 25 Este é o valor do impulso. Pois bem, vimos que impulso de uma força resultante, por causa da sua aplicação em um corpo durante um intervalo de tempo, é igual à variação da quantidade de movimento ocorrida nesse intervalo de tempo.

� � �� ∙ �� ∙ ��

25 � 0,5 ∙ �� 0,5 ∙ 0



�� 250,5 � 50�/�

Letra D 02. (Polícia Civil RJ 2008/FGV) Uma pequena esfera de massa m está presa à extremidade inferior de uma mola ideal de constante elástica k cujo extremo superior está fixo ao teto. Com a mola na vertical, nem distendida e nem comprimida, abandona-se a esfera a partir do repouso. O trabalho realizado pela força elástica da mola desde o instante em que a esfera foi abandonada até o instante em que ela atinge pela primeira vez o repouso (ponto mais baixo de sua trajetória) é (A) −2m2g2/k (B) +2m2g2/k

(C) −m2g2/k

(D) +m2g2/k (E) −m2g2/(2k) Resolução Vamos utilizar o teorema da energia cinética. O trabalho da força resultante é igual à variação da energia cinética. Uma coisa boa: a velocidade inicial é nula e a velocidade final é nula. Portanto, a variação da energia cinética é igual a 0 – 0 = 0. Quais são as forças que atuam na esfera? Peso e força elástica. O peso realiza um trabalho motor e a mola realiza um trabalho resistente (o peso tenta levar a esfera para baixo e a mola tenta levar a esfera para cima). Assim, já podemos descartar as alternativas B e D. Bom, a soma do trabalho do peso com o trabalho da força elástica é igual a 0.

��ℎ + �� 0

�� ℎ A altura h é justamente a distensão da mola (x).

��

�! ²2 � ��

! ² � 2��



! � 2��

� 2��!

Voltemos à expressão inicial:

��

�� ∙ 2��!

�� 2�²�²!

Letra A 03. (Polícia Civil PE 2006/IPAD) Uma mola, de constante elástica k = 300 N/m, lança um bloco de massa m = 0,5 kg ao longo da superfície mostrada na figura abaixo. Considerando que a deformação da mola foi igual a 0,1 m, determine a velocidade do bloco ao atingir uma altura h = 0,1 m (ponto A). Despreze o atrito sobre o bloco e considere g = 10 m/s².

A) 1 m/s B) 2 m/s C) 3 m/s D) 4 m/s E) 5 m/s Resolução Se o atrito é desprezado, então o sistema é conservativo e a energia mecânica é conservada. No início do movimento, a velocidade era nula e a energia cinética era igual a 0. Portanto, temos apenas a energia potencial elástica. No final do movimento, temos energia potencial gravitacional e energia cinética.

#$%&'()* + #+ � #,%&-.á01



��ℎ +��22 � ! 2

2

0,5 ∙ 10 ∙ 0,1 + 0,5 ∙ �²2 � 300 ∙ 0,1²

2

0,5 + 0,5 ∙ �²2 � 1,5

0,5 ∙ �²

2 � 1

0,5 ∙ �² � 2

�² � 4

� � 2�/� Letra B Colisões Consideraremos como “colisão” quando dois corpos se aproximam durante um curto intervalo de tempo e interagem fortemente, de modo que tanto antes como depois desse intervalo de tempo as forças de interação entre eles são nulas ou desprezíveis. Durante este curto intervalo de tempo houve uma colisão ou um choque entre os corpos. São exemplos de choques entre corpos macroscópicos: o impacto entre duas bolas de bilhar, o chute em uma bola de futebol, etc. Entretanto, quando se trata de corpos microscópicos (prótons, nêutrons, elétrons), não é necessário haver contato entre os corpos. Na realidade, entre os corpos macroscópicos nunca há um contato. O que ocorre é que, quando eles ficam muito próximos, há uma intensa força de repulsão de origem elétrica, mas, até onde nosso olhos conseguem perceber, tudo se passa como se de fato houvesse contato. Há várias possibilidades para o que acontece após a colisão de dois corpos. Pode ocorrer o caso de os corpos continuarem separados após a colisão, como no exemplo das bolas de bilhar. Também é possível que os corpos fiquem unidos após o choque, como ocorre no caso de uma bala de revólver penetrando um grande bloco de madeira (desde que a bala não atravesse o bloco todo). Outra possibilidade é que os dois corpos se quebrem durante o choque, de modo que, após o choque, tenhamos mais de dois corpos.



Daqui pra frente vamos tratar, quase exclusivamente, de colisões entre corpos macroscópicos que não se quebrem. Um choque entre dois corpos é chamado de unidimensional quando, tanto antes quanto depois do choque, os corpos se movem sobre a mesma reta. Esse tipo de choque também é chamado de choque central direto ou choque frontal. Quantidade de movimento e energia mecânica nas colisões Qualquer tipo de colisão mecânica pode ser considerado um sistema isolado. Portanto, para qualquer colisão, podemos aplicar o princípio da conservação da quantidade de movimento. Resumindo, em qualquer tipo de colisão mecânica, a quantidade de movimento total do sistema mantém-se constante. A quantidade de movimento imediatamente após a interação é igual à quantidade de movimento imediatamente antes. Entretanto, é muito importante notar que, embora a quantidade de movimento total se conserve nas colisões, o mesmo não ocorre, necessariamente, com a energia mecânica total do sistema. Quando dois corpos colidem, há, geralmente, degradação da energia mecânica em energia térmica e acústica, trabalho de deformação, etc. Por isso, na maior parte dos casos, uma colisão mecânica constitui um sistema dissipativo. Excepcionalmente, no caso de as perdas de energia mecânica serem desprezíveis, e somente nesse caso, a colisão constitui um sistema conservativo. Velocidade relativa entre duas partículas que percorrem uma mesma reta Se duas partículas percorrem uma mesma reta no mesmo sentido, o módulo da velocidade escalar relativa entre elas é o módulo da diferença entre as velocidades escalares das duas, medidas em relação ao solo. Imagine que dois corpos se movem no mesmo sentido (da esquerda para a direita, por exemplo). Se um corpo tem velocidade igual a 10 m/s e o outro tem velocidade iguala 50 m/s, a velocidade relativa entre eles será de 40 m/s. Se duas partículas percorrem uma mesma reta em sentidos opostos, o módulo da velocidade escalar relativa entre elas é a soma dos módulos das velocidades escalares das duas, medidas em relação ao solo.



Coeficiente de restituição Vamos chamar o módulo da velocidade relativa de afastamento após a colisão de 6�7�6. Chamemos o módulo da velocidade relativa de aproximação (antes da colisão) de 6�7$6. Estamos considerando uma colisão unidimensional, ok? Pois bem, o coeficiente de restituição ou de elasticidade (e) para esta colisão é dada por:

� � 6�7�66�7$6

O coeficiente de restituição é tal que 0 ≤ � ≤ 1. Se o coeficiente de restituição for igual a 1, ou seja, se a velocidade relativa de afastamento for igual à velocidade relativa de aproximação, a colisão é chamada de colisão elástica (ou perfeitamente elástica). O interessante é que nas colisões elásticas, o sistema é conservativo. A energia mecânica se conserva. A energia cinética total antes da colisão é igual à energia cinética total depois da colisão. Colisão inelástica (ou perfeitamente inelástica) é aquela em que o coeficiente de restituição é nulo. Para que isso ocorra, é necessário e suficiente que a velocidade relativa de afastamento seja nula. Neste caso, após a interação, os corpos envolvidos não se separam. Na colisão inelástica, o sistema é dissipativo. A energia mecânica total do sistema imediatamente após a interação é menor do que a energia mecânica total do sistema imediatamente antes da interação. Colisão parcialmente elástica é toda aquela em que o coeficiente de restituição está entre 0 e 1. Neste caso, a velocidade relativa de afastamento é menor que a velocidade relativa de aproximação. Numa colisão parcialmente elástica, os corpos envolvidos separam-se após a interação. Entretanto, os corpos afastam-se com velocidade escalar relativa de módulo menor do que o da aproximação. Neste caso, o sistema é dissipativo. A energia cinética após a colisão é menor do que a energia cinética antes da colisão. Vejamos um exemplo no cálculo do coeficiente de restituição.



Como os corpos movem-se no mesmo sentido, a velocidade relativa de aproximação é o módulo da diferença das velocidades.

6�7$6 � 60 � 10 � 50�/� Após a colisão, os corpos movem-se em sentidos opostos. A velocidade relativa de afastamento é a soma dos módulos das velocidades.

6�7�6 � 8 + 32 � 40�/� Assim, o coeficiente de restituição é dado por:

� � 6�7�66�7$6 �

4050 � 0,8 � 80%

04. (Polícia Civil PE 2006/IPAD) Considere a colisão perfeitamente inelástica de dois corpos A e B, de massas MA e MB, que se movem ao longo de uma mesma linha reta. Sabendo que as velocidades dos corpos antes da colisão são VA=V0 e VB=0, determina a razão Kf/Ki entre a energia cinética total depois da colisão (Kf) e a energia cinética total antes da colisão (Ki).

�) =>=> �=?

�)=> �=?=>

@)=> �=?=?

A) =>=> +=?

�) =?=> +=?

Resolução Colisão inelástica (ou perfeitamente inelástica) é aquela em que o coeficiente de restituição é nulo. Para que isso ocorra, é necessário e suficiente que a



velocidade relativa de afastamento seja nula. Neste caso, após a interação, os corpos envolvidos não se separam. Antes da colisão O corpo B estava parado e, portanto, sua energia cinética é nula. A energia cinética do corpo A, antes da colisão, era igual a:

#+> � �> ∙ �>22 � �> ∙ �B2

2

Portanto, a energia cinética total antes da colisão é igual à energia cinética do corpo A.

C� � �> ∙ �B22

Pela conservação da quantidade de movimento, temos:

�7 ∙ �7 + �D ∙ �D � (�7 +�D) ∙ �

�7 ∙ �B + �D ∙ 0 � (�7 +�D) ∙ �

�7 ∙ �B � (�7 +�D) ∙ �

� � �7 ∙ �B�7 + �D

Esta é a velocidade do conjunto depois da colisão. Vamos agora calcular a energia cinética do conjunto depois da colisão (M é a massa do conjunto).

C� � = ∙ �²2

C� �(�7 +�D) ∙ F �7 ∙ �B�7 + �DG

2

2

C� � �72 ∙ �B22 ∙ (�7 + �D)

Agora vamos calcular a razão pedida.



C�C�

��72 ∙ �B22 ∙ (�7 + �D)�> ∙ �B22

Repetimos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda.

C�C�

� �72 ∙ �B22 ∙ (�7 + �D) ∙

2�7 ∙ �B2

C�C�

� �7(�7 +�D)

Letra D 05. (Polícia Civil RJ 2008/FGV) O pêndulo balístico é um dispositivo utilizado para medir a velocidade de balas de armas de fogo. Considere o caso em que uma bala de massa 16g é disparada contra um bloco de 4984g suspenso por fios ideais. Em uma colisão considerada instantânea e totalmente inelástica, a bala aloja-se no bloco e o centro de massa do conjunto formado pelo bloco e a bala sobe a uma altura máxima de 3,2cm (com relação à posição inicial, antes da colisão). Considerando g = 10m/s2, o módulo da velocidade da bala, imediatamente antes de atingir o bloco é: (A) 120m/s. (B) 180m/s. (C) 200m/s. (D) 210m/s. (E) 250m/s. Resolução Se o projétil fica incrustado no bloco, a colisão é inelástica. Calculemos o módulo da velocidade do conjunto bloco-projétil, imediatamente após o impacto (v). Para tanto, apliquemos o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento.

��H7� � ��H�I�7�

(4,984 + 0,016) ∙ � � 0,016�B

� � 0,016�B5

� � 0,0032�B

Devido às condições ideais, imediatamente após a colisão, o sistema torna-se conservativo, valendo a partir daí o Princípio da Conservação da Energia Mecânica.



Vamos adotar o plano horizontal de referência passando pela posição inicial do centro de massa do conjunto bloco-projétil. Assim, imediatamente após o impacto, a energia mecânica do conjunto será puramente cinética (pois no início o centro de massa está sobre o plano horizontal de referência) e, no ponto de altura máxima, a energia é puramente potencial gravitacional (pois a velocidade é zero).

#$%&KLM). � #I�HLMLNL).

(4,984 + 0,016) ∙ � ∙ ℎ � (4,984 + 0,016) ∙ �²2

5 ∙ 10 ∙ 0,032 � 5 ∙ �²2

Cortando o “5”...

0,32 � �²2

�² � 0,64

� � 0,8�/�

Mas sabemos que � � 0,0032�B, portanto:

0,8 � 0,0032�B

�B � 250�/� Letra E 06. A figura representa a situação imediatamente anterior à colisão unidimensional entre duas partículas A e B.

Sabendo-se que a massa de B é o dobro da de A e que o coeficiente de restituição vale 0,80, calcular as velocidades de A e B imediatamente após o choque. Resolução Vamos considerar que a massa de A é m e que a massa de B é 2m. Aplicando o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento, temos:



��H7� � ��H�I�7�

� ∙ �7 + 2��D � � ∙ 3 + 2� ∙ (�2)

Cortando “m”...

�7 + 2�D � 3 + 2 ∙ (�2)

�7 + 2�D � �1 Utilizemos o coeficiente de restituição.

� � 6�7�66�7$6

0,8 � �D � �73 + 2

�D � �7 � 4

Temos um sistema:

O�7 + 2�D � �1�D � �7 � 4

Somando as duas equações, temos:

3�D � 3

�D � 1,0�/� Como a velocidade de B foi positiva, concluímos que após a colisão ele se moverá para a direita.

�7 + 2�D � �1

�7 + 2 ∙ 1 � �1

�7 � �3,0�/� Como a velocidade de A foi negativa, concluímos que após a colisão ele se moverá para a esquerda.



Centro de massa Vamos estudar agora um importante ponto geométrico dos sistemas mecânicos denominado centro de massa. Um sistema mecânico pode ser constituído por um conjunto de diversas partículas ou poderá ser ainda um único corpo extenso. O movimento de translação do corpo rígido é igual ao movimento de uma partícula de massa m, colocada no centro de massa, com força resultante igual à soma vetorial de todas as forças externas que atuam sobre o corpo rígido. Como localizar o centro de massa? Vamos começar com um exemplo bem simples.

Por definição, o centro de massa desse sistema é o ponto CM, cuja abscissa é dada pela seguinte fórmula:

+P � �Q ∙ Q + �2 ∙ 2�Q + �2

Ou seja, a abscissa do centro de massa é uma média ponderada das posições dos centros das partículas em que os fatores de ponderação são as massas. No caso particular de as partículas terem massas iguais, o centro de massa coincidirá com o ponto médio entre elas. Quando as massas forem diferentes, o centro de massa estará mais próximo da partícula de maior massa. Imagine que as duas partículas se movem sobre o eixo x com velocidades v1 e v2, respectivamente. A velocidade do centro de massa é dada pela seguinte fórmula:

�+P � �Q ∙ �Q + �2 ∙ �2�Q + �2

A velocidade do centro de massa é dada pela média ponderada entre as velocidades das partículas e o fator de ponderação são as respectivas massas. Podemos também obter a equação da aceleração do centro de massa de maneira análoga:



�+P � �Q ∙ �Q + �2 ∙ �2�Q + �2

Sistema constituído por diversas partículas Os resultados obtidos para um sistema unidimensional de duas partículas podem ser facilmente generalizados para um sistema com várias partículas em três dimensões. Um corpo rígido pode ser estudado como um sistema de muitas partículas. A massa total, m, será a soma das massas de todas as partículas.

� � �Q +�2 +⋯+�H � S��H

�TQ

Sabendo as 3 coordenadas (x,y,z) de todas as partículas, podemos calcular as coordenadas do centro de massa.

+P � �Q ∙ Q + �2 ∙ 2 + ⋯+�H ∙ H�Q + �2 +⋯+�H

U+P � �Q ∙ UQ + �2 ∙ U2 + ⋯+�H ∙ UH�Q + �2 +⋯+�H

V+P � �Q ∙ VQ + �2 ∙ V2 + ⋯+�H ∙ VH�Q +�2 +⋯+�H

Se um sistema for constituído por partículas de massas iguais distribuídas nos vértices de uma figura geométrica regular, o centro de massa coincidirá com o centro geométrico da figura. É o caso de uma distribuição nos vértices de um triângulo equilátero, onde o centro de massa coincidirá com o baricentro; se for um quadrado, o centro coincidirá com o encontro das diagonais. Se um sistema de partículas de massas iguais admitir um ponto de simetria, o centro de massa coincidirá com esse ponto. É o caso de um retângulo. O centro de massa coincide com o encontro das diagonais. É o caso também de uma esfera; o centro de massa coincide com o centro da esfera. Temos ainda como exemplo um cubo, ou um paralelepípedo reto retângulo; o centro de massa coincide com o encontro das diagonais internas.



07. (Polícia Civil PE 2006/IPAD) A figura abaixo mostra uma chapa homogênea de espessura uniforme. Determine a abscissa e a ordenada do centro de massa da chapa.

A) x = 5 cm e y = 5 cm B) x = 5 cm e y = 7 cm C) x = 5 cm e y = 9 cm D) x = 7 cm e y = 5 cm E) x = 7 cm e y = 9 cm Resolução Vamos dividir a chapa em três retângulos, conforma a figura a seguir.

O retângulo da esquerda será o nº1, o da direita o nº2 e o que está embaixo será o nº3. Retângulo nº1 As coordenadas do centro de massa são x1 = 1 e y1 = 7. Retângulo nº2 As coordenadas do centro de massa são x2 = 9 e y2 = 7.



Retângulo nº3 As coordenadas do centro de massa são x3 = 5 e y2 = 1. IMPORTANTE Neste caso, como a chapa é homogênea de espessura uniforme, podemos utilizar as seguintes fórmulas para as coordenadas do centro de massa:

+P � WQ ∙ Q + W2 ∙ 2 + WX ∙ XWQ + W2 + WX

U+P � WQ ∙ UQ + W2 ∙ U2 + WX ∙ UXWQ + W2 + WX

Em que Si é a área da placa i. As áreas dos retângulos valem:

WQ � 2 × 10 � 20

W2 � 2 × 10 � 20

WX � 10 × 2 � 20 Agora é só aplicar as fórmulas:

+P � 20 ∙ 1 + 20 ∙ 9 + 20 ∙ 520 + 20 + 20 � 5

U+P � 20 ∙ 7 + 20 ∙ 7 + 20 ∙ 120 + 20 + 20 � 5

Letra A

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