Aula 03 - Raciocínio Lógico.Text.Marked

Acesse www.baixarveloz.net

Raciocnio Lgico p/ ATA-MF

Prof. Vtor Menezes Aula 03

Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 1

AULA 3: lgebra linear 1. MATRIZES ....................................................................................................................................... 2

1.1. Introduo ............................................................................................................................................. 2

1.2. Diagonais da matriz quadrada ............................................................................................................. 5

1.3. Matrizes especiais ............................................................................................................................. 5

1.4. Igualdade entre matrizes ....................................................................................................................... 7

1.5. Adio e subtrao de matrizes ............................................................................................................ 7

1.6. Multiplicao de uma matriz por um nmero real ................................................................................ 9

1.7. Multiplicao entre matrizes. .............................................................................................................. 10

1.8. Matriz Inversa ..................................................................................................................................... 16 2. DETERMINANTES .......................................................................................................................... 20

2.1. Introduo ........................................................................................................................................... 20

2.2. Propriedades dos Determinantes. ....................................................................................................... 28

2.3. Situaes em que o determinante nulo. ............................................................................................ 28

2.4. Situaes em que o determinante no se altera. ................................................................................. 30

2.5. Situaes em que o determinante se altera. ........................................................................................ 30

2.6. Determinante da matriz-produto e determinante da inversa. ............................................................. 31

2.7. Casos especiais: clculo facilitado ..................................................................................................... 38 2.8. Detalhando um pouco mais: clculo de qualquer determinante (opcional) ....................................... 40

3. SISTEMAS LINEARES ..................................................................................................................... 50

3.1. Introduo ........................................................................................................................................... 50

3.2. Classificao dos Sistemas Lineares ................................................................................................... 53 3.3. Sistema Possvel e Determinado ......................................................................................................... 53

3.4. Sistema Possvel e Indeterminado ....................................................................................................... 54

3.5. Sistema Impossvel .............................................................................................................................. 54

3.6. Como classificar os sistemas e achar suas solues ........................................................................... 54 4. LISTA DAS QUESTES APRESENTADAS ......................................................................................... 65

5. GABARITO ..................................................................................................................................... 70





lgebra linear envolve: Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares.

Vamos comear nossa aula por matrizes. Existe um motivo importante para isso. Matrizes so ferramentas bsicas para a resoluo de sistemas lineares. Por isso, interessante sabermos bem as propriedades das matrizes.

1. MATRIZES

1.1. Introduo

Uma matriz uma tabela cheia de nmeros. Esta tabela apresenta algumas linhas e algumas colunas. Geralmente damos o nome para as matrizes de letras maisculas (A, B, C, etc).

Exemplos:

12

A = 2 5 73 0 01 2 0,3

B

=

[ ]1 2 1 0C =

Podemos usar colchetes, parnteses ou duplas barras para representar matrizes. Na aula, e no geral, so usados colchetes.

Como todas as matrizes possuem linhas e colunas, costumamos colocar dois ndices no nome dela. O primeiro o nmero de linhas e o segundo o nmero de colunas. Assim, a matriz A2x1 possui duas linhas e uma coluna. Simples assim.

A matriz B3x3 possui trs linhas e trs colunas. Finalmente, a matriz C1x4 possui uma linha e quatro colunas.

Quando queremos dizer que a matriz tem um nmero genrico de linhas e colunas, usamos fazer assim: Dmxn. Isto significa que a matriz D tem m linhas e n colunas.

Para as matrizes que tm o nmero de linhas igual ao nmero de colunas, ns damos tratamento especial. So as chamadas matrizes quadradas (as outras so chamadas retangulares). A ordem da matriz quadrada o nmero de linhas (e colunas, porque o mesmo). Assim uma matriz Y quadrada de ordem 5 possui 5 linhas e, obviamente, 5 colunas.

Exemplos de matrizes quadradas (X tem ordem 2 e A tem ordem 3):

2 10 3

X

=

1 4 30 1 27 0 0

A

=

Para localizarmos os elementos das matrizes ns precisamos de duas informaes: em que linha este elemento est e em que coluna.

Para nos referirmos a algum elemento da matriz, costumamos usar letras minsculas. Assim, por exemplo, na matriz A, temos o elemento a12. Vejam que este elemento tem dois





numerozinhos. So dois ndices. O que eles significam? O primeiro a linha e o segundo a coluna do elemento. Por isso, o elemento a12 o elemento da matriz A que est localizado na primeira linha e na segunda coluna, deste jeito:

Ou seja: 412 =a .

Quando queremos falar, genericamente, de algum elemento da matriz A, costumamos utilizar aij. Significa que o elemento que est na linha i e na coluna j. O primeiro ndice sempre se refere linha e o segundo sempre se refere coluna, assim:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a aa a a

=

Quando queremos falar matriz como um todo, formada por seus elementos, usamos falar assim:

[ ]mnijaA =

Esta matriz A, formada pelos elementos aij. Esta matriz tem m linhas e n colunas.

Exemplos

Exemplo 1:

Monte a matriz B3x4, cujos elementos so dados por jibij = 2 .

Resoluo:

A matriz B tem 3 linhas e 4 colunas. Desta forma:

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

b b b bB b b b b

b b b b

=

Sabemos que cada elemento de B construdo da seguinte maneira:





jibij = 2 Vamos fazendo, ento, cada elemento da matriz B. Por exemplo, o elemento b11 tem 1=i e

1=j . Ento 0112 ==ijb Colocando na matriz:

12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

0 b b bB b b b b

b b b b

=

Podemos achar todos os elementos dela assim:

2 2 2 211 12 13 14

2 2 2 221 22 23 24

2 2 2 231 32 33 34

1 1 0 1 2 1 1 3 2 1 4 32 1 3 2 2 2 2 3 1 2 4 03 1 8 3 2 7 3 3 6 3 4 5

b b b bB b b b b

b b b b

= = = = = = = =

= = = = = = = = = = = = = = = = =

Assim, encontramos todos os elementos da matriz B.

0 1 2 33 2 1 08 7 6 5

B

=

Exemplo 2:

Construa a matriz C, quadrada de ordem 2, sabendo que:

cij = 1, se i = j

cij = 0 se i j.

Resoluo:

A matriz C quadrada e tem duas linhas e duas colunas. Desse jeito:

11 12

21 22

c cC

c c

=

Temos dois casos. Quando i = j, cij = 1. Quando i j, cij = 0.

Quais so as situaes em que i = j? Ora, quando i = j = 1 (c11) e quando i = j = 2 (c22). Estes dois elemento, c11 e c22, sero iguais a 1:

11 12

21 22

11

c cC

c c

= =

=

Para os outros dois, i j. Neste caso, o valor zero. Da fica assim:





11 12

21 22

1 00 1

c cC

c c

= = =

= =

Pronto. J achamos todos os elementos.

1 00 1

C =

1.2. Diagonais da matriz quadrada

Numa matriz quadrada temos duas diagonais. A diagonal principal e a diagonal secundria.

Dada uma matriz A quadrada, a diagonal principal formada pelos elementos aij quando i = j. Assim, os elementos a11 (primeira linha e primeira coluna), a22, a33, etc. compem a diagonal principal de uma matriz quadrada. A diagonal secundria a diagonal restante. Para a diagonal secundria vale a seguinte regra: aij quando i + j = n + 1, onde n a ordem da nossa matriz quadrada. Assim, na matriz quadrada A de ordem 3, a diagonal secundria formada pelos elementos a13, a22 (este tambm est na diagonal principal) e a31. Repare que a soma dos ndices destes elementos da diagonal secundria sempre 4 (=3 + 1).

Vamos ver o exemplo para clarear as ideias.

2 1 00 7 31 2 9

A

=

Os nmeros 2, 7 e 9 formam a diagonal principal da matriz A, acima. Do mesmo modo, vejamos a diagonal secundria:

2 1 00 7 31 2 9

A

=

Os nmeros 1, 7 e 0 formam a diagonal secundria da mesma matriz. Lembrem-se que s faz sentido em falar das diagonais (principal e secundria) para matrizes QUADRADAS.

1.3. Matrizes especiais

Algumas matrizes tm nomes especiais.

A matriz cujos elementos so todos zerados chamada de matriz nula. Assim a matriz nula quadrada de ordem 2 e matriz retangular nula O3x1 so dadas por:





2 2

0 00 0x

O =

3 1

000

xO

=

Outra matriz importante a matriz identidade. Uma matriz identidade uma matriz quadrada, cuja diagonal principal formada apenas por 1 e o restante preenchido por zeros.

Exemplos de matriz identidade:

2

1 00 1

I

=

3

1 0 00 1 00 0 1

I

=

Reparem que quando a matriz quadrada no precisamos colocar dois ndices no nome dela para indicar a quantidade de linhas e colunas. Como ela tem o mesmo nmero de linhas e colunas, podemos colocar um ndice s. Assim, I2 a matriz identidade de ordem 2.

A matriz oposta a matriz negativa da matriz original. Assim, a oposta da matriz A a matriz A. A matriz oposta formada invertendo todos os sinais dos elementos da matriz A.

Exemplo:

2 10 73,5 1

A

=

2 10 7

3,5 1A

=

Uma matriz fundamental para conhecermos a matriz transposta (cuidado para no confundir com oposta). A matriz transposta construda trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas da matriz original.

Como assim?

A primeira linha da matriz A vai virar a primeira coluna na matriz transposta de A (chamada de AT). A segunda linha de A ser a segunda coluna de AT, e assim por diante.

Vejamos dois exemplos:

2 3 52 3 10 0 1

A

=

2 2 03 3 05 1 1

TA

=

[ ]1 2 3B =

123

TB

=





1.4. Igualdade entre matrizes

Duas matrizes so iguais se tiverem o mesmo nmero de linhas e colunas e se todos os seus elementos foram iguais.

Assim, duas matrizes A = [aij] e B = [bij] so iguais se tiverem mesma quantidade de linhas e de colunas e se aij = bij para todos os valores de i e de j.

Exemplos de matrizes que NO so iguais:

0 00 0

A =

0 00 00 0

B

=

Ento A B. J que B tem trs linhas e A tem 2 linhas.

2 21 0

C =

2 21 0

D

=

Ento C D porque os elementos da segunda linha e primeira coluna so diferentes

Exemplos de matrizes iguais:

1 00 1

Y

=

1 00 1

X

=

Ento X = Y.

123

Z

=

123

W

=

Ento Z = W.

1.5. Adio e subtrao de matrizes

Duas matrizes s podem ser somadas se possurem o mesmo nmero de linhas e de colunas.

Para somar as matrizes, basta somar os elementos que esto nas mesmas posies.

Assim, considere as matrizes A e B abaixo. A matriz C = A + B dada por:





1 21 5

A =

3 00 1

B

=

1 3 2 01 0 5 ( 1)C+ +

= + +

Desta maneira, todos os elementos da matriz C so dados por cij = aij + bij.

4 21 4

C =

A subtrao a mesma coisa. Basta subtrair os elementos que esto na mesma posio. Assim, a matriz D = A B ser assim:

1 21 5

A =

3 00 1

B

=

1 3 2 01 0 5 ( 1)D

=

Ou seja:

2 21 6

D

=

J podemos fazer um exerccio da Esaf!!

Questo 1 CGU 2004 [ESAF]

Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por ijm , onde

i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz ijxX = , de terceira ordem, a matriz resultante da soma das matrizes )( ijaA = e )( ijbB = . Sabendo-se que 2)( iaij = e que 2)()( jibij = , ento o produto dos elementos 31x e 13x igual a:

a) 16

b) 18

c) 26

d) 65

e) 169

Resoluo:

A matriz X de terceira ordem (ento quadrada). Ela tem essa cara:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

x x x

X x x xx x x

=





Ela a soma de A e B. Ou seja, X = A + B. Isto significa que as matrizes A e B tambm so quadradas de terceira ordem. Elas tm este aspecto:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a aa a a

=

11 12 13

21 22 23

31 32 33

b b bB b b b

b b b

=

Sabemos que cada elemento de X a soma dos respectivos elementos de A e de B. Ou seja,

ijijij bax += , para cada valor de i e de j. Desta maneira:

11 11 11 12 12 12 13 13 13

21 21 21 22 22 22 23 23 23

31 31 31 32 32 32 33 32 32

x a b x a b x a bX x a b x a b x a b

x a b x a b x a b

= + = + = +

= = + = + = + = + = + = +

Sabemos como calcular cada elemento da matriz A e cada elemento da matriz B. Sabemos calcular porque o enunciado nos diz como fazer.

2)( iaij = 2)()( jibij =

Com estes dados ns somos capazes de calcular todos os elementos de A e todos os elementos de B. Com isso, podemos achar todos os elementos de X (que a soma). Mas ns no precisamos de todos os elementos. O enunciado nos pediu apenas o produto dos

elementos 31x e 13x . Para calcular 31x precisamos saber 31a e 31b . Para calcular 13x , precisamos de 13a e 13b . Vamos calcular estes elementos?

93231 ==a 4)13( 231 ==b

a13 = 12 = 1 4)31( 213 ==b

Agora podemos calcular 31x e 13x .

1349313131 =+=+= bax

541131313 =+=+= bax

Desse modo, o produto igual a:

655131331 == xx

Gabarito: D

1.6. Multiplicao de uma matriz por um nmero real





Quando tnhamos a adio, ns s podamos somar uma matriz com outra matriz. Idem para subtrao. No podamos, nunca, somar uma matriz com um nmero real.

Aqui diferente. Aqui ns podemos multiplicar uma matriz por um nmero real qualquer.

Para tanto, a matriz resultante ter cada elemento da matriz original multiplicado por este nmero.

Assim, dada a matriz A abaixo, a matriz 3B A= ser igual a:

2 10 73,5 1

A

=

=

3135,337303132

B

Portanto:

6 30 21

10,5 3B

=

Veja que temos uma nova matriz, cujos elementos 3 , para todos os valores de

ie de j.

1.7. Multiplicao entre matrizes.

Multiplicar duas matrizes NO o mesmo que multiplicar os elementos que esto nas mesmas posies. Muita gente confunde isso. Como este era o procedimento usado l na adio e na subtrao, muitas pessoas acham que basta repetir o raciocnio aqui, no caso da multiplicao.

Nem sempre possvel fazer o produto entre duas matrizes. Temos uma exigncia para isso. Apenas podemos multiplicar duas matrizes se o nmero de colunas da primeira matriz for igual ao nmero de linhas da segunda.

Exemplo: vamos dizer que temos as matrizes A2x3 e a matriz B3x1. Podemos multiplicar essas matrizes? Resposta: sim, ns podemos fazer a matriz .

Por qu? Porque o nmero de colunas da matriz A igual ao nmero de linhas da matriz B (3 colunas em A e 3 linhas em B).

TOME NOTA!!!

S podemos multiplicar duas matrizes se o nmero de COLUNAS DA PRIMEIRA for igual ao nmero de LINHAS DA SEGUNDA.

Vamos agora aprender a multiplicar duas matrizes. Dadas duas matrizes, os elementos da matriz resultante do produto destas duas matrizes so obtidos multiplicando-se cada





elemento de uma linha da primeira matriz pelo elemento correspondente na coluna da segunda matriz e somando-se os valores obtidos.

Nossa!! Professor, agora no entendi nada!?!

Vamos ver um exemplo.

Sejam as matrizes A e B dadas:

2 10 1

A =

2 1 04 0 1

B

=

Queremos achar a matriz

Inicialmente, vamos ver se o produto possvel ou no.

A matriz A tem duas linhas e duas colunas. A matriz B tem duas linhas e trs colunas.

Podemos multiplicar estas matrizes porque o nmero de colunas de A (duas) o mesmo do nmero de linhas de B (duas tambm).

;

Os nmeros em vermelho so iguais (2 = 2), logo, a multiplicao possvel.

A matriz resultante ter o nmero de linhas da primeira matriz, e o nmero de colunas da segunda matriz.

Agora vamos multiplicao.

Primeiro fazemos um quadro, assim:

Agora, no canto inferior esquerdo colocamos a primeira matriz.





No canto superior direito, a segunda matriz:

2 1 0

-4 0 1

2 1

0 -1

Agora multiplicamos linha com coluna.

O primeiro termo da matriz C (o termo c11) encontrado multiplicando os termos da primeira linha de A pelos termos da primeira coluna de B e somando-se os valores obtidos. Ou seja, o primeiro termo da linha multiplicado pelo primeiro termo da coluna. O segundo termo da linha multiplicado pelo segundo termo da coluna.

Por fim, somamos estes valores. O resultado anotado no canto inferior direito:

2 1 0

-4 0 1

2 1

0 -1

0

2 2 1 4 0

O termo 12c segue o mesmo princpio, mas agora vamos usar a primeira linha de A e a

segunda coluna de B.

2 1 0

-4 0 1

2 1

0 -1

0 2

2 1 1 0 2

O termo c13 obtido usando a primeira linha de A e a terceira coluna de B.

2 1 0

-4 0 1

2 1

0 -1

0 2 1

2 0 1 1 1





Do mesmo modo, o termo 21c obtido usando a segunda linha de A e primeira coluna de B.

2 1 0

-4 0 1

2 1

0 -1

0 2 1

4

0 2 1 4 4

Continuando:

2 1 0

-4 0 1

2 1

0 -1

0 2 1

4 0

0 1 1 0 0

E por fim:

2 1 0

-4 0 1

2 1

0 -1

0 2 1

4 0 -1

0 0 1 1 1

No canto inferior direito surgiu a matriz produto (C).

Em geral, para acharmos qualquer termo cij de C, vamos usar a linha i de A e a coluna j de B. Multiplicar os termos e somar os resultados. Fica assim:

+++

+++=

1)1(000)1(10)4()1(2011020112)4(122

C

Resumindo:

0 2 1.

4 0 1C A B = =





TOME NOTA!!!

Dadas duas matrizes nmA , e Bnxp, a matriz C = BA ter m linhas e p colunas:

Cmxp

Para frisar: a matriz-produto A.B ter o nmero de linhas da matriz A e o nmero de colunas da matriz B.

Temos algumas concluses importantes para tirar. A primeira que, em geral, A.B B.A! Muitas vezes acontece de a matriz A.B existir (o nmero de linhas de A igual ao de colunas de B) e a matriz B.A no existir (porque o nmero de linhas de B no igual ao nmero de colunas de A).

Exemplo 1: A2x3 e B3x1. Existe C2x1 = A2x3. B3x1, mas no existe B3x1. A2x3

Exemplo 2: A2x3 e B4x2. No existe A2x3. B4x2, mas existe D4x3 = B4x2. A2x3

No caso de matrizes quadradas de MESMA ORDEM existem tanto A.B como B.A. Mesmo

assim, em regra, A.B B.A

Exemplo:

2 10 1

A =

2 14 0

B

=

0 2.

4 0A B =

4 1.

8 4B A =

Duas outras concluses importantes!

Primeira: a multiplicao de uma matriz qualquer por uma matriz nula resulta em outra matriz nula (com o nmero de linhas da primeira e o nmero de colunas da segunda).

Segunda e mais importante: multiplicar uma matriz A qualquer por uma matriz identidade tem como resultado a prpria matriz A (desde que, obviamente, esta multiplicao seja possvel).

Exemplo:

2 10 1

A =

1 00 1

I

=





Ento: B = A.I = A

2 10 1

B

=

TOME NOTA!!!

Qualquer matriz X multiplicada por uma matriz identidade resulta na prpria matriz X. Assim:

X.I = I.X = X

Mais uma observao deve ser feita com relao multiplicao. Ns podemos usar a mesma notao de potenciao que usamos para os nmeros. Assim A2 o mesmo que A.A. Do mesmo modo, B3 o mesmo que B.B.B. E assim por diante.

Vamos fazer mais um exerccio!

Questo 2 MPU 2004 [ESAF]

Sejam as matrizes:

=

336241

A e

=

43215431

B

e seja xij o elemento genrico de uma matriz X tal que TBAX )( = , isto , a matriz X a

matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razo entre x31 e x12 igual a

a) 1.

b) 2.

c) 3.

d) 1/3.

e) 1/2.

Resoluo:

Podemos dizer que a matriz X = CT e C = A.B. Ou seja, X a transposta da matriz C e C o produto A.B.

Vamos resolver esta questo sem achar todos os elementos de X. Por qu? Porque queremos ganhar tempo.

O enunciado pede que achemos a razo entre x31 e x12, ou seja:

31

12

x

x=?

Sabemos que X a trasposta de C (ou C a trasposta de X, d no mesmo). Na trasposta, as linhas e as colunas esto trocadas. Assim:





jiij cx =

Isto o mesmo que dizer que trocamos as linhas pelas colunas, ou seja, fizemos a transposta.

Podemos concluir que:

31 13x c=

12 21x c=

timo. Agora temos que achar estes elementos da matriz C.

O termo c13 encontrado usando a primeira linha de A e a terceira coluna de B.

1 42 63 3

A

=

1 3 4 51 2 3 4

B

=

13 11 13 12 23 13 13. . 1.4 4.3 16c a b a b c c= + = + =

Da mesma maneira, o elemento c21 encontrado usando a segunda linha de A e a primeira coluna de B.

1 4

2 63 3

A

=

1 3 4 51 2 3 4

B

=

21 21 11 22 21 21 21. . 2.1 6.1 8c a b a b c c= + = + =

Pronto:

31 13

12 21

16 28

x c

x c= = =

Gabarito: B

1.8. Matriz Inversa

L nos nmeros reais existe o inverso de um nmero.

Para as matrizes quadradas parecido: existe a matriz inversa.

No caso dos nmeros, o inverso de um nmero aquele que multiplicado por este nmero

resulta na unidade. Assim, dado um nmero x, dizemos que seu inverso 1/x ou 1x . Para o inverso vale a propriedade:

1. 1x x =





Do mesmo modo, para as matrizes, a inversa da matriz quadrada A (chamada de A-1) uma matriz quadrada de mesma ordem de A que, multiplicada por ela, resulta na matriz identidade (I). Deste jeito:

1 1. .A A A A I = =

Lembrem-se de que a regra que a multiplicao de duas matrizes A e B resulte em

matrizes diferentes, a depender da ordem em que a multiplicao acontece (em regra, AB BA ).

Esta regra no vale para a inversa. Tanto A.A-1, como A-1.A resultam na matriz identidade.

A matriz inversa sempre existe?? NO!! A condio para que a matriz inversa exista que o determinante de A seja diferente de zero.

Aqui tambm existe um paralelo com os nmeros reais. O inverso de um nmero sempre existe? NO! No existe o inverso de zero (1/0 no existe).

Com as matrizes parecido.

Todas as matrizes com determinante nulo no possuem inversa.

Existem mtodos para determinar a matriz inversa. Em geral, as provas no pedem matrizes inversas de ordem maior que 2, porque o tempo para calcular seria grande.

Ento fica a informao de que existe um modo sistemtico para calcular qualquer inversa. Para ordens superiores a dois, este mtodo bem custoso de fazer na mo.

Vejamos um exemplo:

Seja a matriz A dada por:

4 01 2

A =

Vamos calcular a matriz inversa (A-1). Sabemos que a matriz inversa tem a mesma ordem de A (segunda ordem). Ento ela vai ter esta cara:

1 x yAz w

=

At aqui no sabemos os valores dos elementos de A-1. Mas sabemos que:

1.A A I =

4 0 1 0.

1 2 0 1x yz w

=

Aprendemos a fazer a multiplicao de matriz, ficar assim:

4 12 0

x

x z

=

+ =1/ 4 0, 25x x = = e 2 0, 25 0,125z z= =





4 02 1

yy w

=

+ =0y = e 2 1 0,5w w= =

A matriz inversa fica:

1 0, 25 00,125 0,5

A =

Sempre podemos usar este mtodo para o clculo da inversa. Para matrizes de segunda ordem, teremos dois sistemas de duas incgnitas. Para matriz de ordem 3 teremos trs sistemas de trs incgnitas cada (o que j bastante trabalho), e assim por diante.

A matriz inversa usada para isolar matrizes. O que isso significa?

Vejamos um exemplo com nmeros:

3 9x =

O que fazemos para isolar o x? Dividimos os dois lados por 3 ( o mesmo que dizer que passamos o 3 para o outro lado dividindo). Desse modo:

1 13. . 9. 33 3

x x= =

Usamos o inverso do nmero 3 porque este inverso, multiplicado pelo prprio nmero 3, resulta em 1. E um multiplicado por x o prprio x.

Para matrizes vale a mesma coisa. S temos que tomar cuidado porque o lado da multiplicao importante, diferentemente do que acontece com os nmeros.

Vejamos um exemplo:

Seja:

1. . .A B X C D=

Considere que todas as matrizes so quadradas e de mesma ordem. Queremos isolar a matriz X.

Como fazemos?

Usamos o conceito de matriz inversa. A matriz que eu usar para multiplicar de um lado da igualdade, tambm usarei do outro lado.

Mais uma coisa: se eu multiplicar a matriz pela direita em um lado, terei que tambm multiplicar pela direita no outro. Isso importante!! Do mesmo modo, se eu multiplicar uma matriz pela esquerda, tambm terei que multiplicar pelo lado esquerdo do outro lado da igualdade.

Vamos comear eliminando a matriz B, que est ao lado de X. Para tanto, basta que multipliquemos os dois lados da equao por B-1 pelo LADO ESQUERDO. Deste modo:





1 1 1. . . . .B A B B X C D =

Qual o resultado de B-1.B? a matriz identidade I:

1 1. . . .B A I X C D =

Mas sabemos que I multiplicada por qualquer matriz, resulta na prpria matriz. como multiplicar um nmero por um. Resulta no prprio nmero. A matriz identidade some porque ela um elemento neutro na multiplicao de matrizes. Do mesmo modo que o 1 o elemento neutro na multiplicao de nmeros. Fica assim:

1 1. . .B A X C D =

timo. Agora vamos comear a sumir com o que est a direita de X. Temos que tirar primeiro o que est mais para fora. Porque s podemos multiplicar ou pela direita ou pela esquerda. No podemos multiplicar nada no meio. Temos que sumir com D-1. Para tanto, basta multiplicarmos por D do lado DIREITO nos dois lados da equao. Assim:

1 1. . . . .B A D X C D D =

Novamente, D-1.D resulta na identidade e ela, multiplicada pelas outras, desaparece.

1. . .B A D X C =

S falta C. Vamos multiplicar por C-1 do lado direito nos dois lados da equao. Assim:

1 1 1. . . . .B A D C X C C =

Resulta em:

1 1. . .B A D C X =

Pronto, isolamos a matriz X.

1 1. . .X B A D C =

Este mtodo til quando sabemos os elementos das outras matrizes (A, B, C e D) e queremos saber os elementos de X. Bastaria, neste momento, achar as inversas e fazer as multiplicaes. Nos exerccios, s vezes nem precisamos calcular mais nada. O examinador pode querer saber o que fizemos acima.

Questo 3 SEFAZ/ MG 2005 [ESAF]

A, B e C so matrizes quadradas de mesma ordem, no singulares e diferentes da matriz identidade. A matriz C igual ao produto BZA , onde Z tambm uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, igual a:

a) A-1 B C

b) A C-1 B-1

c) A-1 C B-1

d) A B C-1

e) C-1 B-1 A-1





Resoluo:

Este exerccio bem parecido com o que acabamos de fazer. Este at mais simples.

O enunciado diz que:

C AZB=

Queremos isolar Z. Vamos comear pelo lado esquerdo. Vamos sumir com A. Basta multiplicarmos os dois lados por A-1 pelo LADO ESQUERDO. Assim:

1 1A C A AZB =

Sabemos que AA 1 d a identidade. E a identidade o elemento neutro da multiplicao. Ou seja, ela desaparece.

1A C ZB = Agora queremos sumircom B. Basta multiplicarmos os dois lado por B-1 pelo LADO DIREITO.

1 1 1A CB ZBB = Novamente, simplificando, resulta em:

1 1A CB Z = Pronto, isolamos Z.

1 1Z A CB = Gabarito: C

2. DETERMINANTES

Vamos comear agora a estudar os determinantes.

Um determinante um nmero que se relaciona com uma determinada matriz quadrada. Cada matriz quadrada possui um e apenas um determinante.

Todas as matrizes quadradas possuem determinante? SIM!!

Por que ele importante? Porque ele aparece por diversas vezes em vrias reas da matemtica. Determinantes so muito teis para resolver sistemas lineares. Aparecem tambm em Geometria Analtica, no clculo de reas. E por a vai.

2.1. Introduo

Como j falamos, para cada matriz quadrada podemos associar um nico nmero real. Este nmero chamado de determinante da matriz e calculado conforme as regras que vamos aprender.





Dada a matriz A, quadrada, de terceira ordem:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a aa a a

=

Podemos representar o determinante da matriz A assim:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

deta a a

A a a aa a a

=

As barras verticais significam que estamos falando do determinante e no da matriz. Existem outras maneiras de chamar o determinante de A. Esta, detA, a mais comum.

Tambm usamos as seguintes notaes: |A| e .

Vamos ver como calculamos o determinante. Existe uma maneira que serve para todas as matrizes. Mas um jeito mais complicado. melhor aprendermos os atalhos.

Em uma matriz quadrada de ordem 1, o determinante igual ao elemento da matriz.

Exemplo:

[ ]7A = O determinante da matriz A 7. Assim, detA = 7.

Em uma matriz de ordem 2, que ter este aspecto:

11 12

21 22

a aA

a a

=

O determinante da matriz A dado por:

11 22 12 21det A a a a a=

Ou seja, em uma matriz de segunda ordem, o determinante dado pelo produto dos elementos da diagonal principal subtraindo do produto dos elementos da diagonal secundria.

Vejamos um exemplo:

5 12 1/ 5

A

=

O determinante de A ser calculado assim:





5 1det det 5.( 1/ 5) ( 1).( 2) det 1 2

2 1/ 5

det 3

A A A

A

= = =

=

Vamos para o caso da matriz de terceira ordem, que tem esta aparncia:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a aa a a

=

Queremos encontrar o determinante de A:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

deta a a

A a a aa a a

=

Para tanto, vamos usar uma regra que conhecida como regra prtica de Sarrus. Ns repetimos a primeira e a segunda coluna, na ordem, aps a terceira coluna, deste jeito:

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a a a a a

a a a a a

a a a a a

Agora multiplicamos as diagonais para direita e somados os valores. Assim:

Esta primeira parte tem como resultado:

11 22 33 12 23 31 13 21 32a a a a a a a a a+ +

Depois multiplicamos os valores nas diagonais para a esquerda com sinal negativo e somamos os valores. Assim:

Esta segunda etapa resulta em:

13 22 31 11 23 32 12 21 33a a a a a a a a a





Agora s somar as duas parcelas:

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33det A a a a a a a a a a a a a a a a a a a= + +

Vejamos um exemplo:

2 2 03 3 25 1 1

A

=

Vamos calcular o determinante de A:

2 2 0det 3 3 2

5 1 1A =

Temos que repetir as duas primeiras colunas, na ordem, aps a terceira coluna:

Assim, o determinante de A fica:

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33detdet 2.3.1 2.( 2).5 0.3.( 1) 0.3.5 2.( 2).( 1) 2.3.1det 6 20 0 0 4 6det 24

A a a a a a a a a a a a a a a a a a aAA

A

= + +

= + +

= +

=


Genericamente, qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por zij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz A = (aij), de terceira ordem, a matriz resultante da soma das matrizes X = (xij) e Y = (yij). Sabendo-se

que 2/1)( ixij = e que 2)( jiyij = , ento a potncia dada por 12)( 22 aa (ou seja, 22a elevado a 12a ) e o determinante da matriz X so, respectivamente, iguais a:

a) 2 e 2

b) 2 e 0

c) 2 e 1

d) 2 e 0

e) 2 e 0





Resoluo:

No seria necessrio montar todas as matrizes. Vamos fazer isso apenas como treino. No fim, mostramos a soluo mais rpida.

Sabemos que X e Y so quadradas de terceira ordem, j que A a soma das duas e A quadrada de terceira ordem. Elas so assim:

=

333231

232221

131211

xxx

xxx

xxx

X

=

333231

232221

131211

yyyyyyyyy

Y

Sabemos calcular os elementos de X, j que do enunciado: 2/1)( ixij = . Fica assim:

======

======

======

=

333333222222

111111

2/133

2/132

2/131

2/123

2/122

2/121

2/113

2/112

2/111

xxx

xxx

xxx

X

Ento:

=

333222

111X

Agora vamos ver os elementos de Y: 2)( jiyij = . Montando a matriz, fica:

======

======

======

=

0)33(1)23(4)13(1)32(0)22(1)12(4)31(1)21(0)11(

233

232

231

223

222

221

213

212

211

yyyyyyyyy

Y

Logo:

=

014101410

Y

O exerccio nos afirma que a matriz A a soma das matrizes X e Y. A assim:

=+++

+=++

=+=+=+

=

+

=

30313431220212541211101

014101410

333222

111A





++

++=

3134312212

521A

Precisamos dos valores de a22 e a12 para calcular a potncia 12)( 22 aa : 222 =a

212 =a

Logo:

2)2()( 222 12 ==aa

E com isso j d para marcar a alternativa correta. Mas, para treinarmos, vamos calcular o determinante de X.

=

333222

111X

Ento:

0666666333222

111det =++==X

0det = X

Gabarito: D

Vamos ver um jeito mais rpido?

02)22(2 22/1222222 +=+=+= yxa 222 =a

11)21(1 22/1121212 +=+=+= yxa 212 =a

Dessa forma:

2)2()( 222 12 ==aa O que j suficiente para responder a questo.

Para calcular o determinante de X, no tem jeito; temos que calcular a matriz X inteira como foi feito na primeira resoluo. Por sorte, nem era preciso calcular o determinante para marcar a resposta correta.






Sabendo-se que a matriz

=

1011

A e que n e 1n ento o determinante da matriz

1

nn AA igual a:

a) 1

b) -1

c) 0

d) n

e) n-1

Resoluo:

Quando o enunciado fala An, ele est querendo dizer A.A.... A, ou seja, trata-se da matriz A multiplica por ela mesma n vezes.

Beleza. O exerccio fala que 1n . Vamos comear a anlise com n = 1, j que este o menor valor que n pode assumir. Neste caso temos:

IAAAAAA

n

n

===

==

0111

1

Aqui temos um ponto interessante. Assim como qualquer nmero elevado a zero igual a 1 (menos 00 que no determinado), assim tambm para as matrizes. Qualquer matriz no nula elevada potncia zero igual matriz identidade.

Lembram-se de que a matriz identidade nosso elemento neutro para a multiplicao de matrizes assim como o 1 o elemento neutro para a multiplicao de nmeros? Este o motivo para que a matriz A (quadrada) elevada a zero seja igual matriz identidade de mesma ordem (I).

Deste modo temos:

=

==

0010

1001

10111 IAAA nn

=

00101nn AA para n = 1

Vejam que o determinante desta matriz :

00.10.00010)det( 1 === nn AA

Certo. Agora vamos ver para n = 2.

Neste caso:





AAAAAAAA

n

n

===

==

1121

2.

Vamos calcular A.A:

=

==

1021

1011

.

1011

.

2 AAA

Assim:

=

==

0010

1011

102121 AAAA nn para n = 2.

O resultado foi o mesmo encontrado para n = 1.

00.10.00010)det( 1 === nn AA

Vamos fazer para n = 3?

Neste caso:

2131

23.

AAAAAAA

n

n

==

==

J calculamos A2. Temos apenas que calcular A3.

=

==

1031

1011

.

1021

.

23 AAA

Portanto:

=

==

0010

1021

1031231 AAAA nn para n = 3.

Agora, calculando o determinante:

00.10.00010)det( 1 === nn AA

Se fizermos para outros valores de n, sempre vamos chegar mesma matriz e o determinante desta matriz sempre zero.

Gabarito: C

A vem a pergunta:





Professor, como podemos ter certeza de que sempre vai dar zero se no fizemos para todos

os valores de n?

Resposta: Esta pergunta muito pertinente. A priori, no temos como saber. Mas vejam que zero seria a nica resposta possvel, dadas as alternativas. J que resolvemos para 3 valores de n e sempre deu zero como resposta.

Existe um jeito de resolver que garanta que sempre vai dar zero? SIM!!

S que para resolver deste outro jeito temos que saber uma propriedade dos determinantes que ainda no vimos. Quando a virmos, vamos voltar nesta questo e fazer deste outro jeito. Ok?

2.2. Propriedades dos Determinantes.

A idia de conhecermos algumas propriedades dos determinantes, como sempre, facilitar a nossa vida.

Se no conhecermos as propriedades mais importantes, corremos o risco de perder questes simples. Algumas vezes, o exerccio pede apenas e to somente a aplicao imediata de uma propriedade conhecida sobre determinantes.

Algumas propriedades tm nome de matemticos famosos. Vez ou outra, vamos colocar o nome pelo qual a propriedade ficou conhecida. No se preocupem com isso. Vocs no precisam saber o nome de ningum. Isso no cai na prova. Vamos usar os nomes apenas para iniciar uma seo do texto e nada mais.

2.3. Situaes em que o determinante nulo.

Uma matriz possui determinante nulo quando:

uma fila (uma linha ou uma coluna) toda preenchida por zeros;

uma fila igual ou proporcional a uma fila paralela;

uma das filas uma combinao linear de outras filas paralelas.

O primeiro caso bem simples de entender. Uma das filas sendo composta s por zeros, o determinante nulo.

Exemplos:

=

1804101

001A det A = 0 porque a segunda coluna preenchida

apenas por zeros.

=

1100

B det B = 0 porque a primeira linha de B nula.





O segundo caso simples tambm. Sempre que duas filas paralelas forem iguais ou proporcionais, o determinante nulo. Duas filas so proporcionais quando uma igual outra multiplicada por um nmero real qualquer.

Exemplos:

=

18018707131

A det A = 0 porque as colunas 1 e 3 so iguais.

=

25,143

B det B = 0 porque a segunda linha igual primeira multiplicada por 0,5.

O terceiro caso nem sempre fcil de identificar. Uma combinao linear significa que uma das filas igual soma de outras multiplicadas, cada uma, por algum nmero real.

Exemplos:

=

18018437431

A det A = 0 porque a terceira coluna igual soma das duas outras. Significa que:

3 coluna = 1 (1 coluna) + 1 (2 coluna)

=

319000341102

0131

B

detB = 0 porque:

4 linha = 2 (1 linha) - 3 (2 linha) + 1 (3 linha)

Reparem que muitas vezes difcil de identificar que uma fila combinao linear de outras paralelas.

Fato que sempre que o determinante for nulo, ou seja, sempre que ns o calcularmos e ele for zero, porque uma trs situaes dadas acontece. Ou uma fila nula, ou uma fila proporcional a outra paralela, ou uma fila combinao linear de outras paralelas (no precisa ser de todas as outras, pode ser s de algumas).

Acontece que nem sempre somos capazes de bater o olho na matriz e verificar se um dos casos (em especial o ltimo) est acontecendo. o que ocorre, por exemplo, na ltima matriz dada acima. Se eu no tivesse inventado o exemplo, provavelmente no conseguiria bater o olho e ver que existe uma linha que combinao linear de outras.

Mesmo assim, sempre que conseguirmos verificar um destes casos, no precisamos calcular o determinante. Ele ser, com certeza absoluta, zero.

Aconteceu um caso destes l na Questo 4. Tnhamos que calcular o determinante da matriz X dada por:

0det333222

111=

= XX





Podemos perceber que a segunda linha de X igual primeira linha multiplicada por raiz de 2. Apenas sabendo disso, j concluiramos que o determinante de X zero.

2.4. Situaes em que o determinante no se altera.

Existem duas situaes em que um determinante no muda de valor. A primeira quando se trocam ordenadamente as linhas pelas colunas. Ou seja, o determinante da transposta igual ao determinante da matriz original.

TAA detdet = para qualquer matriz quadrada A. A segunda situao quando multiplicamos os elementos de uma fila por um nmero qualquer e somamos isso a uma fila paralela.

Exemplo:

=

1809431301

A

Vamos montar uma matriz B a partir da matriz A.

Vamos repetir as duas primeiras colunas.

A terceira coluna de B igual terceira coluna de A somando-se o valor da primeira coluna multiplicada por -3.

Ou seja:

b13 = a13 3.a11 = 3 3.(1) = 0

b23 = a23 3.a21 = 4 3.(-1) = 7

b33 = a33 3.a31 = 18 3.(9) = 9

=

909731001

B Assim: det B = det A = 27

2.5. Situaes em que o determinante se altera.

Existem duas situaes importantes, em que o determinante se altera. A primeira quando trocamos duas filas paralelas de lugar, uma com a outra. Neste caso, o determinante muda de sinal.

Exemplo:

=

1809431301

A Vamos montar uma matriz B repetindo a matriz A. S que vamos trocar a segunda com a terceira linha.





=

4311809301

B Neste caso: det B = det A = 27

Um outro caso importante de alterao do valor do determinante quando multiplicamos uma fila (linha ou coluna) por um determinado nmero k. Neste caso, o determinante tambm fica multiplicado por este mesmo nmero k.

Exemplo:

=

1809431301

A Vamos montar uma matriz B repetindo a matriz A. Mas multiplicando a segunda coluna por 1/3.

=

1809411301

B Neste caso: det B = 9det31

= A

De forma geral, se uma fila de uma matriz A multiplicada por um nmero k qualquer, dando origem a uma nova matriz B, ento temos:

det B =k. det A

Desta ltima informao, podemos tirar uma concluso importante. Dada uma matriz A quadrada de ordem n, se multiplicarmos esta matriz por um nmero k qualquer, seu determinante multiplicado kn.

Por qu?

Porque a matriz tem n linhas (e n colunas). Se eu multiplico a matriz toda por k, TODAS as suas linhas vo ficar multiplicadas por k. Cada linha multiplicada por k, faz com que o determinante seja multiplicado por k. Como so n linhas, o determinante vai ficar multiplicado por k.k.k.....k = kn.

Assim: Seja A uma matriz quadrada. Se B = k.A, ento det B = kn det A, onde n a ordem de A e B.

2.6. Determinante da matriz-produto e determinante da inversa.

Uma propriedade bem interessante dos determinantes que o determinante da multiplicao de duas matrizes o produto dos determinantes. Simples assim!





BACBAC det.detdet. ==

Esta propriedade interessante porque podemos achar o determinante da matriz-produto apenas multiplicando os determinantes das matrizes originais, sem precisar fazer a multiplicao das matrizes, que mais trabalhosa.

Outra coisa que temos que saber que o determinante da matriz inversa o inverso do determinante da matriz original. Assim, seja A uma matriz que possui inversa (ou seja, que tem determinante diferente de zero), o determinante de A-1 achado assim:

1 1detdet

AA

=

Vamos resumir o que vimos at aqui sobre as propriedades dos determinantes?

Propriedade 1 Se uma fila (linha ou coluna) de uma matriz formada apenas por zeros, seu determinante nulo.

Propriedade 2 Se uma fila proporcional (ou igual) a outra paralela, o determinante nulo.

Propriedade 3 Se uma fila combinao linear de outras paralelas, o determinante nulo.

Propriedade 4 det A = det AT para qualquer matriz. Ou seja, o determinante de uma matriz igual ao de sua transposta.

Propriedade 5 O determinante no se altera se a uma fila somamos outra fila paralela multiplicada por um nmero qualquer.

Propriedade 6 Se trocarmos uma fila de lugar com outra paralela, o determinante muda de sinal.

Propriedade 7 Se multiplicarmos um fila por um nmero k, o determinante tambm multiplicado por k.

Propriedade 8 Se multiplicarmos uma matriz por um nmero k, o determinante multiplicado por kn, onde n a ordem da matriz.

Propriedade 9

O determinante da multiplicao de matrizes a multiplicao dos determinantes. Assim:

BABACBAC det.det).det(det. ===

Propriedade 10 O determinante da inversa o inverso do determinante:





1 1detdet

AA

=

Pratiquemos!!

Questo 6 STN 2005 [ESAF]

Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B so iguais, respectivamente, terceira, segunda e primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A igual a x3, ento o produto entre os determinantes das matrizes A e B igual a:

a) x-6

b) x6

c) x3

d) 1

e) 1

Resoluo:

Esta questo uma questo tpica de aplicao de propriedades dos determinantes.

Vejam que A uma matriz quadrada de terceira ordem. Ento tem esta cara:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a aa a a

=

A matriz B parecida com a matriz A. A diferena que as colunas esto de trs para frente, ou seja, a terceira coluna de A a primeira de B, a segunda de A a segunda de B e, por fim, a primeira de A a terceira de B. Deste jeito:

13 12 11

23 22 21

33 32 31

a a a

B a a aa a a

=

Sabemos do enunciado que:

3det A x= A diferena entre a matriz A e a matriz B que houve uma simples troca de colunas. A primeira coluna e a terceira coluna foram trocadas de lugar. Temos uma propriedade dos determinantes que diz:

Se trocarmos uma fila (linha ou coluna) de lugar com outra paralela, o determinante muda

de sinal.





Esta a propriedade 6 da nossa tabela-resumo. Ento sabemos que:

det detB A= 3det B x=

O que o enunciado pediu? O produto entre os determinantes das matrizes A e B!

Agora j podemos calcular:

3 3 6det .det .( )A B x x x= = Gabarito: B


Qualquer elemento de uma matriz X pode ser representado por xij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (aij), de terceira ordem, constri-se a matriz B (bij), tambm de terceira ordem, dada por:

===

===

===

133312321131

232322222121

331332123111

ababababababababab

Sabendo-se que o determinante da matriz A igual a 100, ento o determinante da matriz B igual a:

a) 50

b) -50

c) 0

d) -100

e) 100

Resoluo:

Novamente, aplicao direta da propriedade 6 da nossa tabela-resumo.

A uma matriz quadrada de terceira ordem, dessa forma:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a aa a a

=

A matriz B assim:





31 32 33

21 22 23

11 12 13

a a a

B a a aa a a

=

Qual a diferena entre as duas? Na matriz B, a primeira linha foi trocada de posio com a terceira linha, se compararmos com a matriz A.

Sabemos o determinante de A:

det 100A =

Ento tambm sabemos o determinante de B:

det detB A=

det 100B =

Gabarito: D

Questo 8 MPOG 2008 [ESAF]

Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o determinante da matriz B igual a:

a) 10-6

b) 105

c) 1010

d) 106

e) 103

Resoluo:

Outra vez, aplicao direta de propriedades de determinantes.

A matriz X de quinta ordem e tem:

10det =X

A matriz B obtida multiplicando-se a matriz X por 10. Assim:

XB .10=

Temos uma propriedade que diz:

Se multiplicarmos uma matriz por um nmero k, o determinante multiplicado por kn

,

onde n a ordem da matriz.





Esta a nossa propriedade 8, da tabela-resumo.

Com isso:

XB det10det 5= Lembrando que neste caso k = 10 e n = 5 (a matriz de quinta ordem). Sabemos quanto vale o determinante de X, podemos substituir na equao:

10.10det10det 55 == XB 610det = B

Gabarito: D

Antes de passarmos para a prxima questo, vamos voltar, como prometido, para a Questo 5Questo 6. O enunciado diz o seguinte:

Sabendo-se que a matriz

=

1011

A e que n e 1n ento o determinante da matriz

1

nn AA igual a:

a) 1

b) -1

c) 0

d) n

e) n-1

Outra resoluo:

Ns j calculamos o determinante para caso de n = 1.

=

==

0010

1001

10111 IAAA nn

=

00101nn AA para n = 1

Como a primeira coluna preenchida apenas por zeros, o determinante nulo:

0)det( = IA Agora, para qualquer valor de n > 1, podemos usar uma propriedade muito interessante:

).(11 IAAAA nnn = Por que esta igualdade vlida? Porque, para matrizes, assim como para nmeros, tambm podemos usar a propriedade distributiva (apenas cuidando para multiplicar pelo lado correto), ou seja:

1111..).( =+= nnnnn AAIAAAIAA





Podemos usar a propriedade que diz:

O determinante da multiplicao de matrizes a multiplicao dos determinantes.

Esta a propriedade 9 da nossa tabelinha.

Vejam que:

00.det)det(.det)].(det[ 111 === nnn AIAAIAA Conclumos que o determinante nulo para qualquer valor de n 1.

0)det( 1 = nn AA Pronto. Matamos a questo! Quando tnhamos feito este exerccio l atrs, ns fomos fazendo para cada valor de n. Agora, usando a propriedade, conclumos que no importa o valor de n, o determinante sempre zero.

Questo 9 SEFAZ/SP 2009 [ESAF]

O determinante de uma matriz 3x3 igual a x. Se multiplicarmos os trs elementos da 1 linha por 2 e os trs elementos da 2 coluna por 1 , o determinante ser:

a) 2x

b) 22x c) x2

d) 2x

e) 24x

Resoluo:

Exerccio de aplicao da propriedade 7. Relembrando:

Se multiplicarmos um fila por um nmero k, o determinante tambm multiplicado por k.

Primeiro multiplicamos os elementos da 1 linha por 2. Nesse momento, o determinante dobrado. Ele valia x. Agora, vale x2 .

Depois multiplicamos os elementos da 2 coluna por 1 . O determinante tambm ser multiplicado por 1 . O determinante passa a valer x2 . Gabarito: C

Questo 10 ANA 2009 [ESAF]

O determinante da matriz

++

=

cbacbaB

24

012





a) acbc +2

b) cb 2

c) cba ++

d) cba +++6

e) 0

Resoluo:

Observem que a terceira linha uma combinao linear das duas primeiras linhas. Basta fazer assim:

multiplicamos a primeira linha por 2

multiplicamos a segunda linha por 1 (ou seja, a segunda linha permanece intacta)

somamos os resultados acima, obtendo a terceira linha

Quando uma fila combinao linear de outras paralelas a ela, o determinante nulo.

Gabarito: E

2.7. Casos especiais: clculo facilitado

Existem dois casos em que fica mais simples calcular o determinante. Vamos a eles.

Matriz diagonal ou triangular.

Uma matriz diagonal uma matriz quadrada que possui todos os elementos fora da diagonal principal nulos.

Exemplos:

=

700030004

A

=

1000010000100001

B

Reparem que a matriz identidade um caso particular de matriz diagonal.

Uma matriz triangular a matriz que tem todos os elementos a direita ou a esquerda da diagonal principal nulos.

Exemplos:





=

7000140112

C

=

13171033700320001

D

Em ambos os casos, o clculo do determinante feito multiplicando-se os elementos da diagonal principal.

=

700030004

A 84det

)7).(3.(4det=

=

AA

=

13171033700320001

D 9det

)1.(3).3.(1det=

=

DD

Ento guarde isso:

Para uma matriz diagonal ou triangular de qualquer ordem, o determinante calculado

multiplicando-se os elementos da diagonal principal.

Matriz de Vandermonde

A matriz de Vandermonde quadrada e apresenta a seguinte caracterstica: a primeira linha ou a primeira coluna formada s por 1. A segunda linha ou coluna formada por nmeros quaisquer. A terceira fila feita por quadrados dos nmeros da segunda fila. A quarta fila so cubos dos nmeros da segunda fila e assim por diante.

Exemplos:

=

3694632111

A

=

641641279318421

1252551

B

Para calcular o determinante, multiplicamos as diferenas, duas a duas, entre os elementos da segunda fila (linha ou coluna). Deste jeito:





=

222

111

cbacbaA

)).().((det bcacabA =

=

32

32

32

32

1111

dddccc

bbbaaa

B

)).().().().().((det cdbdadbcacabB =


O determinante da matriz

=

6000500

0022

baaa

b

X

Onde a e b so inteiros positivos tais que a>1 e b>1, igual a:

a) -60a

b) 0

c) 60a

d) 20ba2

e) a(b-60)

Resoluo:

A matriz X uma matriz triangular. Para calcular o determinante, ento, basta multiplicarmos os elementos da diagonal principal.

6.5)..(2det aX = aX 60det =

Gabarito: A

2.8. Detalhando um pouco mais: clculo de qualquer determinante

(opcional)

A coisa mais importante a se dizer nessa seo que ela tem um pssimo custo/benefcio. A teoria mais complicadinha para aplicarmos. E a chance de cair algo que vamos falar a seguir mnima!





Dificilmente os conceitos vistos nesta parte vo cair. Se tiver alguma dificuldade aqui, no tenha pena de pular e ir direto para Sistemas Lineares, que podem cair com uma probabilidade muito maior.

Ento por que vamos estudar isso, professor?

Primeiro, porque pode cair, apesar de a chance ser muito pequena (lembram da propaganda do seguro: Vai que...).

Segundo, porque ajuda a nos familiarizarmos um pouco mais com determinantes.

importante que fique claro, ento, que o que consta nesta seo tem grandes chances de no cair. Existe uma questo, que faremos na seguida, que de concurso e se refere a esta parte da matria, mas o exerccio nos guia como resolv-lo. De forma que no precisamos saber profundamente o que vamos explicar.

At aqui, j sabemos calcular os determinantes de matrizes de primeira, segunda e terceira ordem, alm de alguns outros casos especficos.

Existe uma maneira de se calcular o determinante de qualquer matriz quadrada. Para tanto, temos que aprender alguns conceitos.

Menor complementar

Dada uma matriz quadrada A, o menor complementar de um elemento de A o determinante que se obtm quando se extraem a linha e a coluna que contm aquele elemento.

Exemplo:

=

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

O determinante de A representado assim:

44434241

34333231

24232221

14131211

det

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A =

Vamos fazer o menor complementar do elemento a23 (ns o destacamos no determinante). Ns chamamos este menor complementar de M23. Para tanto, temos que tirar a linha e a coluna que contm este elemento.





O menor complementar, portanto, fica assim:

444241

343231

141211

23

aaa

aaa

aaa

M =

Vejam que podemos calcular o menor complementar de todos os elementos. Basta, para cada um deles, tirar a linha e a coluna que o contm e s.

Adjunto ou Cofator

O adjunto ou cofator deriva do menor complementar. Quando a soma da linha e da coluna do elemento que deu origem ao menor complementar for par, o adjunto coincide com o menor complementar. Se a soma da linha e da coluna do elemento for mpar, o adjunto o oposto do menor complementar (sinal negativo).

Ou seja:

ijij MA = se i + j for par.

ijij MA = se i + j for mpar.

Podemos representar estas duas possibilidades em uma nica frmula.

ijji

ij MA+

= )1(

Teorema de Laplace

Agora que sabemos o que um cofator (ou adjunto), podemos ver como se calcula o determinante de qualquer matriz quadrada, de qualquer ordem.

A regra essa:

O determinante igual soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.

Exemplo:

=

401017770512

13021

X





Podemos escolher qualquer linha ou coluna de X. Sempre ser mais fcil quando escolhermos uma linha ou coluna que tenha muitos zeros. Assim teremos que fazer menos contas. Neste caso, uma das opes a quarta linha. Vamos us-la.

=

401017770512

13021

X

O determinante de X dado assim: primeiro elemento da fila vezes o seu cofator, mais o segundo elemento da fila vezes o seu cofator, e assim por diante. No caso da quarta linha, fica assim:

4444234342424141 ....det AaAaAaAaX +++=

Onde Aij o cofator (adjunto) do elemento aij.

Vamos relembrar como calculamos o A41?

Calculamos o menor complementar do elemento a41 retirando a linha e a coluna deste elemento.

Ento:

177051

1302

41

=M

Para achar o cofator s fazer:

4114

41 )1( MA +=

41

2 0 131 5 0

7 7 1A =

Do mesmo modo, fazemos para achar os outros cofatores.

4444234342424141 ....det AaAaAaAaX +++=





777512021

.)1.(4177012

1321.)1.(0

177052

1301.)1).(1(

177051

1302.)1.(0det 8765

++

+

=X

Veja que quando o elemento da fila for zero, o resultado j ser zero, porque zero vezes qualquer coisa zero.

0.177051

1302)1(

0

4141

1441

41

=

=

=

+

Aa

A

a

Este o motivo para escolhermos a fila com o maior nmero de zeros possvel.

Poderamos ter escolhido qualquer linha ou qualquer coluna, mas aquela que apresenta mais zeros nos deixar menos determinantes para calcular.

O primeiro e o terceiro determinantes eu no preciso calcular porque eles esto multiplicados por zero. Assim:

777512021

..4177052

1301.det

+

=X

Agora s calcular dois determinantes de terceira ordem. Isto ns j sabemos fazer.

1 5 0 182 455 0 0 4 7 70 0 0 28 35

632 280

912

isso:

912

401017770512

13021

det =

=X

Primeira pergunta: Este mtodo serve para o determinante de qualquer matriz quadrada?





Resposta: Sim!

Segunda pergunta: Qual o problema do mtodo?

Resposta: A maior limitao o trabalho que ele d. Na hora da prova muito improvvel que voc tenha que usar tanta conta. Se eles pedirem o clculo de um determinante, ou a ordem da matriz ser no mximo trs, ou estaremos diante de um caso simplificado de clculo. Veja que para a ordem 4, camos em determinantes de ordem 3, e estes ns sabemos calcular. O problema que para ordem 5, por exemplo, cairemos em determinantes de ordem 4 e teramos que aplicar o mtodo de novo, situao que resultaria em zilhes de clculos. Algo totalmente invivel.

Terceira pergunta: Existe uma variante mais fcil de aplicar do mtodo? Qual?

Resposta: Sim! Ns podemos usar uma propriedade importante dos determinantes para criar zeros na fila e facilitar a aplicao do mtodo.

Vamos ver como. A propriedade que vamos usar diz assim:

O determinante no se altera se a uma fila somamos outra fila paralela multiplicada por

um nmero qualquer.

a propriedade 5 da nossa tabela-resumo.

Com ela, ns podemos criar zeros e diminuir as contas.

Vamos voltar ao nosso exemplo:

401017770512

13021

det

=X

Podemos, por exemplo, multiplicar a primeira coluna inteira por -2 e somar na segunda coluna. Para que? Para surgir um zero. Veja:

Vejam que surgiu um zero no elemento a12.

Podemos repetir o procedimento. Agora, multiplicamos a primeira coluna por -13 e somamos na quarta coluna.





Vejam que agora ficamos com uma fila (a primeira linha) com vrios zeros.

401090777265520001

Vamos agora aplica nosso mtodo. Usaremos a primeira linha.

Fica assim:

11 11 12 12 13 13 14 14det . . . .X a A a A a A a A= + + +

Acontece que:

12 13 14 0a a a= = =

S vai sobrar o primeiro termo:

11 11det .X a A=

Como o primeiro termo igual a 1, ficamos com:

11 11 11det . 1.X a A A= =

11det X A=

Vamos ver quem A11? Primeiro precisamos do menor complementar.

11

5 5 267 7 901 0 4

M

=





O cofator calculado assim:

1 111 11 11( 1)A M M+= =

11

5 5 267 7 901 0 4

A

=

Portanto:

5 5 26det 7 7 90

1 0 4X

=

Agora temos um determinante 3x3 e este ns sabemos calcular!

Parece que fizemos muita coisa para chegar at aqui. Mas na verdade apenas fizemos com que surgissem zeros em uma determinada fila at que conseguimos diminuir uma ordem do determinante.

Basicamente, quando uma fila tem um 1 e o restante de zeros, podemos retirar toda a linha e a coluna que contm o 1. Com isso o determinante vai ficar uma ordem menor.

Apenas temos que cuidar se vai ser negativo ou no. Quando a soma da linha e da coluna for par, no ter um negativo na frente do determinante.

Quando a soma da linha com a coluna for mpar, aparece um negativo na frente do determinante, porque o cofator o negativo do menor complementar neste caso.

Isto acontece porque, na hora que aplicamos o mtodo, s vai sobrar o elemento diferente de zero multiplicado pelo seu cofator.

Ento, se voc tiver que calcular um determinante assim:

1 5 5 1 10 0 1 0 0

det 1 2 18 3 00 1 4 1 08 2 17 7 0

Y

=

Veja que a segunda linha tem apenas um 1 e o restante zero. Podemos tirar, portanto a segunda linha e a terceira coluna ( a coluna que contm o 1). Como a soma 2 (linha) + 3 (coluna)= 5 mpar, temos que colocar um menos na frente. Assim:





1 5 1 11 2 3 0

det0 1 1 08 2 7 0

Y

=

Agora, reparem que acontece o mesmo com a quarta coluna. Temos um 1 e o restante zero. Como a soma 1 + 4 = 5 mpar, temos que por um negativo na frente. Como j tem um negativo l, eles se cancelam.

1 2 3det 0 1 1

8 2 7Y

=

Vejam como um determinante de quinta ordem foi reduzido para um determinante de terceira ordem. Caso no tenhamos uma fila com um 1 e o restante zero, podemos fazer mudanas at encontr-la, como fizemos com o nosso exemplo, usando a propriedade 5 da nossa tabela-resumo.

Chega de falarmos, vamos resolver uma questo!

Questo 12 MPOG 2005 [ESAF]

O menor complementar de um elemento genrico xij de uma matriz X o determinante que se obtm suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = (yij), de terceira ordem, a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij).

Sabendo-se que ( ) 2)( jiaij += e que ( ) 2)(ibij = , ento o menor complementar do elemento y23 igual a:

a) 0

b) -8

c) -80





d) 8

e) 80

Resoluo:

Como foi falado l no texto, esta questo trata da matria desta seo. Mas no precisamos de nada para resolv-la, j que o exerccio ensina o que um menor complementar.

Vamos montar a matriz A. s vermos que ( ) 2)( jiaij += : 2 2 2

2 2 2

2 2 2

(1 1) (1 2) (1 3)(2 1) (2 2) (2 3)(3 1) (3 2) (3 3)

A + + +

= + + + + + +

4 9 169 16 25

16 25 36A

=

Agora vamos montar a matriz B. s ver no enunciado que ( ) 2)(ibij = : 2 2 2

2 2 2

2 2 2

1 1 12 2 23 3 3

B

=

1 1 14 4 49 9 9

B =

A matriz Y a soma de A e B:

Y A B= +

5 10 1713 20 2925 34 45

Y

=

Temos que calcular o menor complementar do elemento y23. Vamos chamar este valor de M23. Precisamos retirar a segunda linha e a terceira coluna (porque o elemento y23 est na segunda linha e na terceira coluna).

Ento:





23

5 1025 34

M =

Este determinante ns sabemos calcular. Bastar multiplicarmos os elementos da diagonal principal e subtrair o resultado da multiplicao dos elementos da diagonal secundria.

23

23

5.34 10.25

80

M

M

=

=

Gabarito: C

3. SISTEMAS LINEARES

O ltimo tpico de lgebra Linear que cai na prova so os Sistemas Lineares. Costumamos estudar os Sistemas Lineares aps os determinantes porque estes nos so muito teis para a resoluo destes sistemas.

3.1. Introduo

Um sistema linear um conjunto de duas ou mais equaes lineares. Uma equao linear nada mais do que uma equao com uma ou mais incgnitas. Esta equao apresenta apenas termos lineares. Isto significa que no existe multiplicao de incgnitas (exemplo:

yx ) e o expoente de todas elas 1 (ou seja, para cada incgnita, no temos x2, ou x1/3 ou nada que no seja x1 = x).

Exemplos:

4 5 0x y+ = :

Temos apenas termos lineares. uma equao linear.

14 310y

z w x+ + =

Novamente, trata-se de uma equao linear. No existe multiplicao de incgnitas e as incgnitas todas so elevadas a 1.

Exemplos de equaes NO lineares:

. 3x y w = 2 2x h t =

A primeira equao no linear porque tem duas incgnitas multiplicadas. A segunda equao no linear porque tem x2.

Um sistema linear pode ter qualquer nmero de equaes lineares e de incgnitas. Entretanto, o que costuma cair em concurso so os sistemas lineares que apresentam o





mesmo nmero de equaes e de incgnitas. Ou seja, 2 equaes e 2 incgnitas, 3 equaes e 3 incgnitas, e assim por diante.

Vejamos dois exemplos de Sistemas lineares (o primeiro 2x2 e o segundo 3x3):

2 41

x yx y

=

+ =

133 0

0

w yy x

w y x

+ =

+ = + + =

Sempre existe um termo que no est junto de nenhuma incgnita. Ns o chamamos de termo independente.

Voltemos ao nosso primeiro sistema linear.

2 41

x yx y

=

+ =

O termo independente da primeira equao acima 4. E o termo independente da segunda equao -1.

Agora vamos focar no segundo sistema linear.

133 0

0

w yy x

w y x

+ =

+ = + + =

O termo independente da ltima equao acima zero.

Agora, observem a segunda equao acima. Qual seu termo independente?

Devemos ter cuidado aqui! O termo independente da segunda equao do sistema 3x3 acima NO zero. Neste caso, o termo independente 3. Basta verificar que poderamos ter escrito a equao assim:

3y x + =

a mesma equao.

Agora fica claro que o termo independente 3.

Quando todos os termos independentes de um sistema forem nulos, o sistema dito homogneo.

Exemplo:





3 04 0

x yx y

=

+ =

H duas maneiras simples de resolver os sistemas. Chamamos a primeira de substituio e a segunda de adio.

Voltemos ao nosso primeiro exemplo de Sistema Linear:

2 41

x yx y

=

+ =

Para resolvermos este sistema pelo mtodo da substituio, temos que isolar uma das incgnitas em uma das equaes e substituir na outra. Vamos isolar o y na primeira equao:

2 4 2 4x y y x = =

Agora, substitumos este valor de y na segunda equao:

1 2 4 1

3 3 1x y x x

x x

+ = + =

= =

Por ltimo, usamos este valor de x, agora conhecido, para encontrar y:

2 4 2 4

2

y x y

y

= =

=

Pronto, achamos as duas incgnitas do sistema.

12

x

y=

=

A outra maneira de resolver sistemas usar a adio. Vamos voltar ao mesmo exemplo:

2 41

x yx y

=

+ =

Podemos somar as duas equaes para achar uma terceira. Isto interessante por que a incgnita y vai sumir. Ela s vai sumir porque temos y na primeira equao e y na segunda, de forma que a soma cancela. Se no tivssemos uma incgnita que sumisse, era s multiplicar os dois lados de uma das equaes por algum nmero de maneira a fazer com que na soma das equaes uma das incgnitas sumisse.

Vamos somar as equaes:

2 41

3 0 3 3 3 1

x yx y

x x x

=

+ =

+ = = =

Encontramos x. Para acharmos y, s substituir o valor de x em uma das duas equaes. Assim:

2 4 2 4 2x y y y = = =





Achamos x e y e o resultado, obviamente, foi o mesmo para os dois mtodos.

3.2. Classificao dos Sistemas Lineares

Muitas vezes, as questes no nos pedem para que achemos as solues do sistema. Elas podem querer que saibamos apenas se um sistema tem soluo.

Como assim, professor?

Vamos imaginar o sistema:

2 2 41

x yx y

+ =

+ =

Este sistema no tem soluo. Isto porque no existem valores de x e y que satisfaam, ao mesmo tempo, as duas equaes do sistema.

Quer ver como ele no tem soluo?

Vamos tentar resolv-lo.

Isolamos o x na segunda equao:

1x y=

Substitumos na primeira:

2 2 4 2.( 1 ) 2 42 2 2 4

2 4

x y y yy y

+ = + =

+ =

=

Chegamos a um absurdo matemtico. Isto aconteceu porque este sistema no tem soluo.

Temos trs possibilidades para classificar os Sistemas Lineares. Vamos a elas.

3.3. Sistema Possvel e Determinado

Um sistema dito possvel e determinado quando existe soluo para o sistema, ou seja, existem valores para as incgnitas que satisfaam todas as equaes do sistema, e esta soluo a nica possvel.

Exemplo:

2 41

x yx y

=

+ =

Vimos que a nica soluo para este sistema x = 1 e y = -2. Trata-se de um sistema possvel e determinado.





3.4. Sistema Possvel e Indeterminado

Quando um sistema tem mais de uma soluo possvel, dizemos que ele possvel e indeterminado.

Exemplo:

3 3 186

x yx y =

+ =

Vejam que temos vrias respostas possveis que satisfazem as duas equaes. Vejamos duas solues possveis (existem infinitas):

7160

x

y

x

y

=

=

=

=

Vimos que um sistema homogneo aquele que possui todos os termos independentes nulos. Pois bem, um sistema homogneo sempre um sistema possvel.

Repare que quando todas as incgnitas assumem o valor zero o sistema solucionado. Ento dizemos que o caso em que todas as incgnitas so nulas num sistema homogneo a soluo trivial do sistema homogneo.

Exemplo:

3 04 0

x yx y

=

+ =

Uma soluo (a soluo trivial) deste sistema homogneo x = y = 0. Neste caso, ela a nica soluo.

Quando um sistema homogneo tem apenas a soluo trivial, ele possvel e determinado. Quando o sistema homogneo tem mais solues, ele possvel e indeterminado. Veja, ento, que todo sistema homogneo possvel, ou seja, tem ao menos uma soluo.

3.5. Sistema Impossvel

Quando um sistema no tem soluo, ele dito impossvel.

Vimos que o sistema abaixo um caso de sistema sem soluo:

2 2 41

x yx y

+ =

+ =

3.6. Como classificar os sistemas e achar suas solues





Vamos aprender agora um mtodo sistemtico para classificar os sistemas e achar suas solues. Para tanto, temos que aprender alguns conceitos.

Determinante Principal (Determinante da matriz incompleta)

Vamos chamar de determinante principal (D) o determinante formado pelos nmeros que acompanham as incgnitas (coeficientes das incgnitas). Na verdade, comum os livros se referirem a tal determinante como determinante da matriz incompleta.

Exemplo:

2 41

x yx y

=

+ =

Neste caso, o D assim:

2 11 1

D

=

Veja que D composto pelos nmeros que multiplicam as incgnitas em cada equao. O nmero 2 multiplica o x na primeira equao. Ele nosso primeiro termo da primeira linha. O 1 multiplica o y na mesma equao. o segundo termo da primeira linha. E assim por diante.

importante que exista uma ordem. Assim, se x a primeira incgnita na primeira equao (pode ser y, no tem problema), ele ter que ser a primeira na segunda.

Outro exemplo:

133 0

0

w yy x

w y x

+ =

+ = + + =

Neste caso, temos que arrumar um pouco as equaes, para no errarmos no determinante. Veja:

0. 130. 3

0

w y xw y x

w y x

+ + =

+ = + + =

Reescrevemos o mesmo sistema. Mas colocamos de tal forma que sabemos os termos de cada incgnita nas equaes. Portanto, D fica assim:

1 1 00 1 11 1 1

D

=

Veja novamente que temos que manter a ordem das incgnitas nas trs equaes.

Determinante de cada incgnita





Alm do determinante principal, temos os determinantes das incgnitas. Para achar o determinante de uma incgnita, basta substituirmos, em D, os elementos da coluna daquela incgnita pelos termos independentes do sistema.

Exemplo:

2 41

x yx y

=

+ =

Temos duas incgnitas. Teremos o determinante de x (chamamos de Dx) e o determinante de y (Dy).

Vamos achar Dx. Sabemos que o determinante principal assim:

2 11 1

D

=

Para acharmos Dx temos que substituir a coluna de x ( a primeira coluna) pelos termos independentes. Os termos independentes so, na ordem, 4 e 1. Logo:

4 11 1x

D

=

Do mesmo modo, Dy encontrada substituindo a segunda coluna de D pelos termos independentes.

2 41 1y

D =

Regra de Rouch-Capelli

Agora podemos classificar os sistemas e determinar as solues.

A regra assim:

0D Sistema Possvel e Determinado.

todas as variveis

00

DD

=

=Se houver soluo, teremos um Sistema Possvel e Indeterminado

alguma varivel

00

DD

=

Sistema Impossvel

Ou seja, se o determinante principal (D) diferente de zero, o sistema possvel e deteminado.

Se D = 0 e o determinante de todas as incgnitas fo

Aula 03 - Raciocínio Lógico.Text.Marked

Documents

Transcript of Aula 03 - Raciocínio Lógico.Text.Marked