Aula 04 - Raciocínio Lógico - Aula 01

AFT – Auditor Fiscal do Trabalho RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO PROFESSORA: KARINE WALDRICH

Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 1

1. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares .......................................... 2

1.1 Operações com Matrizes .................................................................. 4 1.2 Outras matrizes especiais ................................................................ 8 1.3 Determinantes ............................................................................... 11 1.3.1 Propriedades dos determinantes ................................................ 13

1.4 Sistemas Lineares .......................................................................... 14

2. Questões comentadas ......................................................................... 17

3. Memorex ........................................................................................... 37

4. Lista das questões abordadas em aula .................................................. 40

5. Gabarito ............................................................................................ 46

Aula 1



1. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Antes de iniciarmos nos conceitos teóricos de matrizes, vamos pensar um pouco: para quê servem as matrizes? Porque temos que aprender sobre elas? Matrizes nada mais são do que maneiras de organizar números. E muitas informações na nossa vida podem ser expressas por números. Por exemplo, os dados deste arquivo que você está recebendo em .pdf. Na memória do seu computador, cada letrinha deste arquivo é, na verdade, um conjunto de números, armazenados em matrizes. Esta é apenas uma utilidade das matrizes. Agora que já temos alguma noção sobre a importância, vamos aprender um pouco sobre elas. Cada elemento da matriz está associado a uma posição, que é identificada da seguinte forma:

aij

a = elemento da matriz i = linha referente ao elemento j = coluna referente ao elemento

Assim, na matriz abaixo, temos:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

Outro conceito importante é o conceito de ordem da matriz:

ordem = m x n onde: m = número de linhas da matriz n = número de colunas da matriz



Ou seja, a matriz que vimos acima possui ordem 3 x 3 (pois ela possui 3 linhas e 3 colunas). Já adianto que esse é um tipo de matriz que chamamos de “matriz quadrada” (porque ela possui o mesmo número de linhas e de colunas). Além disso, temos as diagonais:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

Diagonal Secundária Diagonal Principal

Existem também tipos “especiais” de matrizes. Digamos que são matrizes que são conhecidas pelas suas “particularidades”. Se você tem um amigo que tem um cabelo azul, é provável que ele ganhe o apelido de “Azul”, “Azulão”, “Avatar”, sei lá. Com as matrizes acontece o mesmo. As seguintes matrizes ganharam apelido próprio:

Matriz Definição Exemplo

Matriz Linha Possui uma única linha

(1 x n)

1 4 5

Matriz Coluna Possui uma única coluna (m x 1)

3

41

Matriz Nula Possui todos os elementos

iguais a zero (aij = 0)

0 00 0

Matriz Diagonal

Possui todos os elementos que não são da diagonal principal iguais a zero (aij = 0, onde i ≠ j)

4 0 0

0 6 00 0 1

Matriz Unidade = Matriz

Identidade

É uma matriz diagonal, com os elementos da diagonal

principal iguais a 1. (aij = 0, onde i ≠ j, e aij =

1, para i = j)

1 0 0

0 1 00 0 1

Matriz Triangular Superior

Possui todos os elementos acima da diagonal principal

iguais a 0.

4 0 0

5 6 09 3 1



Matriz Triangular Inferior

Possui todos os elementos abaixo da diagonal principal

iguais a 0.

4 5 1

0 6 40 0 1

1.1 Operações com Matrizes Ao invés de ficar descrevendo aqui como são as operações com matrizes, vou fazer um comparativo com as operações que já conhecemos da Matemática (Adição, Subtração, Multiplicação... etc). Em alguns casos, a lógica das operações é a mesma, mas em outros há algumas diferenças importantes. Primeiramente, vou relembrar com vocês um pouco das propriedades dos números. Quando dizemos: 2 + (3 + 4) = 9 É o mesmo que dizer: (2 + 3) + 4 = 9 Pois bem, essa é a Propriedade Associativa. Quando dizemos: 2 + 3 = 5 É o mesmo que dizer: 3 + 2 = 5 Então, essa é a Propriedade Comutativa. Da mesma maneira, se dissermos: 2 x (3 + 4) = 2 x 7 = 14 É o mesmo que fazer: 2 x 3 + 2 x 4 = 6 + 8 = 14 Essa é a Propriedade Distributiva. Bem, passemos às Operações com Matrizes.



1.1.1 Adição e Subtração de Matrizes Simbologia: (A + B), (A – B) Comparativo com as operações “normais”: Sem diferenças. Somar as matrizes A + B é igual somar 1 + 1. Ou seja:

(A + B) + C = A + (B + C) (Obedece à propriedade Associativa) ------ A + B = B + A (Obedece à propriedade Comutativa) Particularidades: Só se pode somar matrizes com a mesma ordem Exemplos: Simplesmente somamos os elementos respectivos:

1.1.2 Produto de um número por uma Matriz Simbologia: kA Comparativo com as operações “normais”: Sem diferenças. Multiplicar um número k por uma matriz é como multiplicar um número k por outro número. Ou seja:

k x (p x B) = (kp) x B (Obedece à propriedade Associativa) ------ k x (A + B) =



k x A + k x B (Obedece à propriedade Distributiva, em relação a uma adição) ------ (k + p) x A = k x A + p x A (Obedece à propriedade Distributiva, em relação a uma adição de números) Particularidades: Não há Exemplos: Simplesmente multiplicamos:

2 x

1.1.3 Produto de Matrizes Simbologia: A.B Comparativo com as operações “normais”: Há diferenças em relação a um produto “normal”. Vejamos: (A . B) . C = A . (B . C) (Obedece à propriedade Associativa) ------ A . (B + C) = A . B + A . C (Obedece à propriedade Distributiva) ------ FIQUE ESPERTO!!! A.B ≠ B.A (NÃO OBEDECE à propriedade Comutativa)



Particularidades: Vamos utilizar duas regras antes de realizar a multiplicação propriamente dita. REGRA DO MEIO: determina se a multiplicação é possível. Para o produto A.B existir, os números “do meio” das ordens devem ser IGUAIS. Ex: Matriz A = ordem 3 x 2 Matriz B = ordem 2 x 4 3 x 2 e 2 x 4 IGUAL Ou seja, A.B = possível. REGRA DAS PONTAS: determina a ordem da matriz resultante. Ex: Matriz A = ordem 3 x 2 Matriz B = ordem 2 x 4 3 x 2 e 2 x 4 3 x 4 = MATRIZ RESULTANTE DA MULTIPLICAÇÃO Exemplos:

Primeiramente, aplicamos as regras vistas:

1) REGRA DO MEIO: 2 x 2 e 2 x 2 = multiplicação possível. 2) REGRA DAS PONTAS: 2 x 2 e 2 x 2 = matriz resultante = 2 x 2.

Feito isso, passamos à multiplicação das matrizes, obedecendo ao seguinte esquema:

=



Ou seja, no nosso exemplo, temos:

=

=

=

= Matriz resultante

1.2 Outras matrizes especiais Existem variações das matrizes que são especiais. São elas: 1.2.1 Matriz Transposta Simbologia: At Definição: A matriz transposta de uma matriz é a mesma matriz só que “deitada”. O que é linha passa a ser coluna, e o que é coluna, passa a ser linha. Particularidades: 1) A matriz transposta de uma matriz transposta é a matriz original (At)t = A 2) A matriz transposta de uma soma de matrizes equivale à soma das próprias matrizes transpostas

(A + B)t = At + Bt

3) (kA)t = k . At



4) (AB)t = Bt . At 5) Se At = A, a matriz A é chamada de matriz simétrica. Como calcular?

O que é linha passa a ser coluna, o que é coluna passa a ser linha.

A =

At = Matriz transposta de A =

1.2.2 Matriz Inversa Simbologia: A-1 Definição: É a matriz tal que A.A-1 = Matriz Identidade

Ou seja,

A.A-1 =

Particularidades: Só existem inversas de matrizes quadradas (n x n) Como calcular? Para calcular, não há fórmula mágica, utilizamos a própria lógica da matriz inversa. Veja: A =

. =

a + 2c = 1 b + 2d = 0 3a + 4c = 0 3b + 4d = 1



Utilizamos as equações igualadas a 0 para encontrar os valores nas equações igualadas a 1: 3a + 4c = 0 Tem-se que: a =

Colocando na equação: a + 2c = 1

+ 2c = 1

c =

Com o valor de c, chegamos ao valor de a: a =

a = = -2

Fazemos o mesmo com as equações que englobam b e d: b + 2d = 0 b = -2d 3b + 4d = 1 3.(-2d) + 4d = 1 -2d = 1 d =

b = -2.( ) = 1

Ou seja, A-1 =



1.3 Determinantes Determinante é um número que “representa” uma matriz. Quando falamos sobre matrizes, citamos, como exemplo, que um arquivo.pdf é um conjunto de dados que estão organizados em matrizes. Imaginem, então, que um banco enviou a um fiscal um arquivo CONTA.pdf, que contém o extrato bancário da conta de um contribuinte. Pensem no arquivo como uma matriz. Tal matriz terá um determinante. Ou seja, há um número que “representará” a matriz, e, por consequência, o arquivo. Agora pensem na situação de o contribuinte, posteriormente, contestar o arquivo analisado pelo fiscal, dizendo que o fiscal alterou os dados do extrato para prejudicá-lo, que aquele arquivo que o fiscal possui não é o mesmo que foi emitido pelo banco, etc. Como verificar se o arquivo que o fiscal possui é ou não igual ao arquivo gerado pelo banco? Simples. Basta comparar os determinantes dos dois arquivos. Qualquer mudança no arquivo original, mesmo que mínima, já vai gerar um determinante diferente. Assim, basta o fiscal apresentar o arquivo que possui. Se for o mesmo arquivo gerado pelo banco, os determinantes serão iguais, e o contribuinte perde o argumento de que o fiscal alterou o arquivo. Pessoal, este foi apenas um exemplo explicado grosseiramente. Na prática o “determinante”, no caso desses arquivos de computador, é chamado de hash. Eu não sou expert em computação, mas a lógica é mais ou menos essa. O que quero que vocês percebam é a importância do determinante. Agora chega de papo e vamos estudá-lo. Primeiramente, que fique claro que só as matrizes quadradas possuem determinante. Nós iremos aprender a calcular o determinante de matrizes de ordem 1, 2, e 3. Acima disso acho desnecessário e nunca vi sendo cobrado em concursos (a não ser quando a questão é resolvida por meio das propriedades dos determinantes, que também veremos).



Outra coisa importante. Vocês repararam que sempre envolvemos as matrizes com colchetes [ ]? Pois bem, quando queremos dizer “o determinante da matriz x”, ao invés de envolver os números em colchetes, envolvemos em dois traços simples | |. Por exemplo:

= matriz

= 1 (quando os números estão envolvidos em traços | |, é como se viesse inclusa a pergunta “qual é o determinante?”). Entendido isso, vamos aos fatos!

Como calcular o determinante de matrizes de ordem 1, 2 e 3 Ordem Como calcular Exemplos

1 O determinante é o próprio elemento (o

único!).

= 26

2

O determinante é o produto da diagonal

principal menos o produto da diagonal secundária.

= 3.3 – 7.9 =

9 – 63 = -54

3

O determinante é calculado de acordo com a seguinte sequência (azul = soma; vermelho =

subtrai):

Ou seja, temos:

aei + bfg + cdh – gec – hfa - idb

Para não se perder nas contas, repita as duas últimas colunas ao lado da matriz:

12.3.1 + 1.2.4 + 2.1.5 – 4.3.2 – 5.2.12 – 1.1.1 = 36 + 8 + 10 – 24 – 120 – 1 = 54 – 145 = -91



1.3.1 Propriedades dos determinantes Os determinantes possuem algumas propriedades muito importantes. Essas propriedades são muito cobradas em prova. Mas, ao contrário da maioria dos livros, não veremos propriedade por propriedade. Veremos as mudanças possíveis e os casos em que isso acontece. Creio que fica muito mais fácil para vocês lembrarem na hora da prova. Outra coisa: quando eu me refiro à “fila”, estou querendo dizer que vale tanto para linha quanto para coluna, ok?

O que acontece?

Casos Exemplos

Determinante se altera

1 Trocando filas de lugar...

...determinante muda de sinal

det B = - det A

A = = -2

B = = 2 2 Multiplicando

uma fila por k...

...determinante fica

multiplicado por k...

A = = -2

B = = 2.(-2) = -4

3 Multiplicando uma matriz de ordem n

por k...


multiplicado por kn...

A = = -2

B = = 22.(-2) = 4.(-2) = -8

4 Multiplicando uma matriz A por outra matriz B...

...determinante é o produto dos determinantes de A e B...

det A.B = det

A.det B

A = = -2

B = = -17

det A.B = det A.det B = (-2).(-17) = 34

5 Matriz Inversa...

...determinante é dado por:

det A-1 =

A = = -2

A-1 = (vimos este cálculo

mais acima, quando estudamos matriz inversa)



det A-1 =

Determinante não se altera

1 Quando B = At (a matriz B é a matriz transposta de A)

A = = -2

B = = -2 2 Uma das filas da matriz B

contiver uma combinação linear de outras filas da matriz A

A = = -2

Multiplicaremos a segunda coluna por 2 e somaremos com a coluna 1, substituindo na

coluna 1:

B = =

= 20 – 22 = -2

Determinante igual a zero

1 Fila nula A = = 0

2 Filas paralelas iguais ou

proporcionais A = = 0

B = = 0 3 Fila que seja combinação linear

de outras filas paralelas

PS: perceba a diferença entre este caso e o caso que vimos

acima, de quando o determinante não se altera. No caso anterior, a fila na matriz B é combinação linear das filas da

matriz A. Aqui, há uma combinação linear dentro da

própria matriz.

A = = 0

[Repare que a terceira coluna é

igual a 4.(coluna 2) + coluna 1]

1.4 Sistemas Lineares Sistemas Lineares são conjuntos de equações e incógnitas.



É importante frisar que o número de incógnitas deve ser igual ao número de equações. Por exemplo, abaixo, temos duas incógnitas (x e y). O sistema linear, para resolvê-lo, deve ter duas equações:

ax + by = z1 cx + dy = z2 Já, se forem três incógnitas, deverá ter três equações: ax + by + cw = z1 cx + dy + ew = z2 fx + gy + hw = z3 Essas equações são também chamadas de Sistemas Lineares. E são resolvidas através da Regra de Cramer. Vou ensinar através de um sistema de duas incógnitas. Mas a lógica vale para o sistema de três incógnitas, ok? Abaixo, temos o sistema: ax + by = z1 cx + dy = z2 Vamos chamar de D (“DEZÃO”) o determinante da matriz formada pelos coeficientes de “x” e “y”:

DEZÃO = D = a b

c d

Vamos chamar de Dx (“dezinho x”) o determinante da matriz formada pela substituição dos “zêzinhos” (z1 e z2) nos coeficientes de x. E vamos chamar de Dy (“dezinho y”) o determinante da matriz formada pela substituição dos “zêzinhos” nos coeficientes de y:

Dx = 12z b

z d

e Dy = 12

a z

c z



Dito isso, temos que um sistema poderá ter uma, de três soluções possíveis:

Sigla Definição Como saber?

SPD

(SISTEMA POSSÍVEL E

DETERMINADO)

O sistema possui apenas uma solução, que pode ser encontrada.

DEZÃO ≠ 0

PS: neste caso:

x = e x =

SPI

(SISTEMA POSSÍVEL E

INDETERMINADO)

Várias soluções são possíveis para resolver o sistema (não apenas

uma, como no caso SPD). DEZÃO = Dx = Dy = 0

SI

(SISTEMA IMPOSSÍVEL)

O sistema não possui solução. DEZÃO = 0, MAS Dx ≠ 0 ou Dy ≠ 0

Visto isso, passemos às questões.



2. Questões comentadas Pessoal, matrizes, determinantes e sistemas lineares não estão sendo muito cobrados pela ESAF. No últimos 3 anos foram apenas 5 questões, sendo que 1 delas envolve trigonometria, portanto veremos na aula 3 (de Trigonometria). Então, como disse na aula 0, farei, além das atuais, questões antigas da ESAF, e de outras bancas. Primeiro faremos as questões de matrizes (da ESAF e de outras bancas) e depois as questões de determinantes e sistemas lineares (da ESAF e de outras bancas). Uma coisa que tenho a dizer: se você já sabe algo sobre matrizes, treine com essas questões. Se você não sabe, e este é o seu primeiro estudo sobre as matrizes, faça e refaça as questões dessa aula. Normalmente, a questão de matrizes de uma prova é a questão que não pode ser errada em nenhuma hipótese. Isso porque, perto dos demais assuntos (que veremos nas próximas aulas, muito mais difíceis), matrizes é um assunto bem mais fácil. Então, nem pense em errar na hora da prova! Questão 1 – ESAF/MPU/Téc. Adm./2004

Sejam as matrizes

e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B)t, isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a:

(A) 2. (B) 1/2. (C) 3. (D) 1/3. (E) 1.

Essa questão mistura o conhecimento de produto de matrizes com o de matriz transposta. Primeiramente, basta que façamos a multiplicação proposta. Sem não antes aplicar a Regra do Meio e a Regra das Pontas:



Ordem 3 x 2 . Ordem 2 x 4. Regra do Meio: 2 (ok) Regra das Pontas: 3 x 4

A.B = =

Agora, precisamos encontrar a transposta de A.B. Basta transformar linha em coluna, lembram?

X = (A.B)t =

Agora, basta fazer a divisão proposta, entre x31 (16) e x12 (8).

Resposta: Letra A. Questão 2 – CESGRANRIO/REFAP/Economista/2007

O produto das três matrizes

é:

(A) 8

(B)

(C)



(D)

(E) Essa questão fala sobre o produto de matrizes. Alguém mais “apressado” pode querer começar a resolver o produto logo, achando que é a melhor maneira de resolver à questão. Mas, primeiramente, cabe analisar qual será a ordem da matriz formada. Isso porque cada alternativa traz uma matriz de ordem diferente. Para isso, vamos aplicar a Regra das Pontas. Como o produto é de três matrizes, primeiro resolvemos as duas primeiras matrizes e depois multiplicar o resultado deste produto pela terceira matriz. Então, vamos fazer a Regra das Pontas com as 2 primeiras matrizes:

0 31 2 3 . 1 4

2 5

1 x 3 3 x 2 Matriz resultante = 1 x 2 Essa matriz resultante será multiplicada pela terceira matriz, que é 2 x 2. Portanto, teremos a multiplicação de uma matriz 1 x 2 por uma matriz 2 x 2. Fazendo a Regra das Pontas novamente:

1 x 2 2 x 2

Matriz resultante = 1 x 2

Assim, já sabemos que matriz resultante é 1 x 2. Analisando as alternativas, ficamos com as alternativas B e C. Como não tem jeito, procedemos à multiplicação, primeiramente das duas primeiras matrizes:

0 31 2 3 . 1 4

2 5

= + + + + 1.0 2.1 3.2 1.3 2.4 3.5 = 8 26



Multiplicando a matriz resultante pela terceira matriz:

8 26 .

3 10 0

= + + 8.3 26.0 8.1 26.0 = 24 8

Portanto, a resposta é a letra B. Resposta: Letra B. Questão 3 – CESGRANRIO/BNDES/Economista/2008

O produto de matrizes expresso acima é

(A) igual a [2 - 1].

(B) igual a 3.

(C) igual à matriz identidade.

(D) comutativo.

(E) não definido. Quando a questão propõe um produto de matrizes, a primeira coisa que temos de fazer é analisar se o produto é possível e, se sim, como fica a matriz resultado. E isso fazemos utilizando a Regra do Meio e a Regra das Pontas, que já vimos. Temos o seguinte: Matriz 1 x 2 . Matriz 2 x 3 . Matriz 3 x 2 O primeiro produto é possível, visto que os “meios” são =2. Como resultado, teremos uma matriz 1 x 3. Essa matriz fará o produto com a terceira matriz. Matriz 1 x 3 . Matriz 3 x 2 Esse produto também é possível, pois os “meios” são =3. Como resultado final, temos uma matriz 1 x 2.



Agora que já temos alguma informação sobre o produto formado, podemos analisar as respostas: (F) igual a [2 - 1]. Sabemos que a matriz formada é 1 x 2. Ou seja, seus

elementos podem até ser 2 e -1, mas não sabemos... vamos para a próxima alternativa (afinal não sabemos se esta alternativa está errada ou certa);

(G) igual a 3. Igual a 3 não pode ser, pois vimos que o resultado é uma

matriz 1 x 2 (e não uma matriz de ordem 1). Alternativa errada; (H) igual à matriz identidade. A matriz identidade é qualquer matriz

quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais a um e os demais elementos são iguais a zero. Não é o caso do produto que encontramos, afinal nossa matriz não é quadrada. Alternativa errada;

(I) comutativo. Mais uma alternativa que sabemos que está errada, pois,

como vimos, o produto de matrizes nunca é comutativo. Lembram o que é comutativo?

Relembrando: o enunciado propõe o seguinte produto:

Tal produto seria comutativo se pudéssemos fazer o seguinte produto e chegar no mesmo resultado:

Só que isso não é possível. Por isso, temos que o produto de matrizes não é comutativo, ou seja, a alternativa está errada. (J) não definido. Como que o produto não é definido? Ele é possível (como

vimos pela Regra do Meio) e dá origem a uma matriz 1 x 2 (como vimos pela Regra das Pontas). É definido sim. Alternativa errada.

Percebam que, nessa questão, não foi necessário fazer o produto para chegar à alternativa correta. Só analisando as alternativas já era possível encontrar a resposta. Como nosso objetivo é aprender, vou fazer o produto aqui só para treinarmos.



Bem, o produto proposto é:

Começamos com as primeiras duas matrizes:

]

] Agora fazemos a segunda parte do produto proposto:

]. = [ = [

Ou seja, como vimos, a alternativa A é a correta. Resposta: Letra A. Questão 4 – CESGRANRIO/TRANSPETRO/Téc. Enfermagem/2011 A Tabela I apresenta as quantidades médias de combustível, em litros, vendidas semanalmente em três postos de abastecimento de uma mesma rede. O preço praticado em um dos postos é o mesmo praticado pelos outros dois. Esses preços, por litro, em duas semanas consecutivas, estão apresentados na Tabela II.



Seja a matriz que apresenta os valores médios arrecadados em cada um dos três postos, por semana, com a venda de combustíveis. Identificando-se At e Bt como as matrizes transpostas de A e de B, respectivamente, a matriz C é definida pela operação (A) A . B (B) At . Bt (C) B . A (D) Bt . A (E) Bt . At Achei essa questão bem interessante, pois ela mostra o produto de matrizes sendo aplicado na prática. Ela é grande e parece difícil, mas não é, só requer atenção e os conhecimentos que vimos. Bem, primeiramente, vamos ver o que a questão quer: a matriz C2x3, que apresenta os valores médios arrecadados em cada um dos três postos, por semana, com a venda de combustíveis. Não vamos pensar no conteúdo dela. Mas é uma matriz da forma:

C2x3 =

11 12 1321 22 23c c c

c c c

Assim, temos uma matriz que possui 2 linhas (uma para cada semana) e 3 colunas (uma para cada posto). Essa matriz é o resultado do produto de A (ou At) por B (ou Bt), ou até mesmo de B (ou Bt) por A (ou At). Ou seja, há inúmeras possibilidades, e o que a questão quer é saber qual delas, exatamente, leva à matriz C acima. Bem, como não sabemos, vamos começar imaginando que C é o produto entre A.B, simplesmente. Se for assim, temos:

Linha: SEMANA

Coluna: $

POSTO



11 12 13

21 22 2331 32 33

a a a

a a a

a a a

.

11 12

21 2231 32

b b

b b

b b

MATRIZ A MATRIZ B 3 x 3 3 x 2 Regra do Meio � Multiplicação OK Regra das Pontas � Matriz Resultante = 3 x 2 A matriz C, pedida no enunciado, é 2 x 3. Então, o produto não pode ser A.B simplesmente, porque esse produto gera uma matriz 3 x 2. Como a matriz que tem número de linhas diferente do número de colunas é a matriz B, vamos ver como é o produto de A.Bt. Ver se esse produto resulta numa matriz 2 x 3.

11 12 13

21 22 2331 32 33

a a a

a a a

a a a

.

11 21 3112 22 32b b b

b b b

MATRIZ A MATRIZ Bt 3 x 3 2 x 3 Regra do Meio �� Multiplicação NÃO OK �� Os números são diferentes Assim, essa multiplicação não é possível, pela Regra do Meio. No entanto, percebam que Bt possui 3 colunas. Se invertemos a ordem entre A e Bt, a multiplicação será possível. Vejam:

Linha: VOLUME COMBUSTÍVEL

Coluna: POSTO

Coluna: SEMANA

Linha: $COMBUSTÍVEL


Coluna: POSTO

Coluna: $COMBUSTÍVEL

Linha: SEMANA



11 21 3112 22 32b b b

b b b .

11 12 13

21 22 2331 32 33

a a a

a a a

a a a

MATRIZ Bt MATRIZ A 2 x 3 3 x 3 Regra do Meio � Multiplicação OK Regra das Pontas � Matriz Resultante = 2 x 3 Portanto, chegamos a uma matriz 2 x 3, ordem pedida pela questão para a matriz C. Essa matriz será o produto de cada preço de combustível vendido por semana (as linhas da matriz Bt), pelo volume de combustível vendido em cada posto (as colunas da matriz A). Portanto, C = Bt.A Resposta: Letra D. Questão 5 – CESGRANRIO/PETROBRÁS/Economista/2008

Considere as três matrizes abaixo.

Pode-se afirmar que (A) não é possível somar as matrizes B e C. (B) a matriz B é simétrica. (C) a matriz C é uma matriz identidade. (D) a matriz C é a inversa de B.

(E) o produto de matrizes BA é igual a Essa é uma questão simples, mas que engloba vários aspectos de matrizes. Passemos diretamente à análise das alternativas:

Linha: SEMANA

Coluna: $

COMBUSTÍVEL

Coluna: POSTO




(A) não é possível somar as matrizes B e C.

Como vimos, para a adição e subtração de matrizes, é necessário que as matrizes possuam o mesmo número de linhas e de colunas (a mesma ordem). As matrizes A e B são 2 x 2. Portanto, as matrizes B e C possuem o mesmo número de linhas (2 linhas) e o mesmo número de colunas (2 colunas), sendo possível somá-las. Alternativa falsa.

(B) a matriz B é simétrica. Uma matriz é simétrica quando a sua transposta é igual à matriz original. A transposta da matriz B é a matriz (ao fazer a transposta, pense sempre: LINHA VIRA COLUNA. Ajuda a não errar):

B = 2 3

2 3

Bt = 2 2

3 3

Como Bt é diferente da matriz B, a matriz B não é simétrica. Alternativa falsa.

(C) a matriz C é uma matriz identidade. A matriz identidade é a matriz em que os elementos da diagonal valem 1 e todos os outros valem 0:

I = 1 0

0 1

Portanto, a matriz C não é a matriz identidade. Alternativa falsa.

(D) a matriz C é a inversa de B. Para essa alternativa estar certa, temos que ter o seguinte resultado:

B = 2 3

2 3

C = 0 1

0 1



I = 1 0

0 1

B.C = 2 3

2 3

. 0 1

0 1

= 2.0 3.0 2.1 3.1

2.0 3.0 2.1 3.1

+ + + +

= 0 5

0 5

Portanto, a matriz C não é a inversa de B, pois ela não resulta na matriz identidade. Alternativa falsa.

(E) o produto de matrizes BA é igual a Bem, como todas as alternativas anteriores estão falsas, já poderíamos marcar esta como a correta. Vamos, no entanto, resolver, assim aprendemos a multiplicação. Primeiramente, fazemos a Regra do Meio para ver se a multiplicação é possível:

B x A

2 x 2 2 x 1

Regra do Meio: 2 = 2 -> Produto possível Regra das Pontas: 2 x 1 -> Matriz resultante

Agora procedemos ao produto, já sabendo que a matriz resultante é 2 x 1 (duas linhas e uma coluna):

BA = 2 3

2 3

.1

2

= 2.1 3.2

2.1 3.2

+ +

=8

8

Portanto, a alternativa correta é a letra E. Resposta: Letra E. Questão 6 – ESAF/SEFAZ SP/AFC/2009 O determinante de uma matriz 3X3 é igual a x. Se multiplicarmos os três elementos da 1a linha por 2 e os três elementos da 2a coluna por -1, o determinante será: (A) -x2 (B) -2x2



(C) -2x (D) x2 (E) 4x2 Pronto. Chegamos às questões de determinantes, campeãs em prova. Propriedades dos determinantes, então, são disparadamente cobradas. E é sobre este assunto que esta questão trata. Temos uma matriz 3 x 3 cujo determinante é igual a x. O enunciado propõe:

1) Multiplicar os elementos da primeira linha por 2; 2) Multiplicar os elementos da segunda coluna por -1.

Vamos recordar o que vimos acima sobre isso?

O que acontece?

Casos Exemplos


1 Trocando filas de lugar...

...determinante muda de

sinal

det B = - det A

A = = -2

B = = 2

2 Multiplicando uma fila por k...



A = = -2

B = = 2.(-2) = -

4 3 Multiplicand

o uma matriz de ordem n por k...



A = = -2

B = = 22.(-2) =

4.(-2) = -8

4 Multiplicando uma

matriz A por outra matriz

B...

...determinante é o

produto dos determinantes de A e B...

det A.B = det

A.det B

A = = -2

B = = -17

det A.B = det A.det B = (-2).(-17) = 34

5 Matriz Inversa...

...determinante é dado

por:

det A-1 =

A = = -2

A-1 = (vimos



este cálculo mais acima, quando

estudamos matriz inversa)

det A-1 =

Pelo caso 2, quando multiplicamos uma fila por k, o determinante também fica multiplicado por k. Nesta questão, segundo o enunciado, isso aconteceu duas vezes. Portanto, temos: det B = k.det A = 2.(-1).x = -2x. Resposta: letra C. Questão 7 – FCC/MPE-RS/Agente Administrativo/2010

Considere as matrizes

Sendo Q o produto das matrizes M e P, nessa ordem, ou seja, Q = MP,

o determinante da matriz Q é igual a

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

Existem duas maneiras de se resolver esta questão. A primeira é realizando o produto proposto M.P e calculando o determinante. Mas, cá entre nós, vocês não acham muito melhor calcular o determinante de cada uma das matrizes M e P e depois utilizar a propriedade que já estudamos, de quê det A.B = det A.det B?



Bem... eu acho essa última maneira mais fácil e é deste jeito que resolverei a questão, ok?

det M = = -

det P = = -

det M.P = det M.det P = . ) =

Resposta: Letra C. Questão 8 – FCC/BAHIAGÁS/APO-Engenharia/2010

Considere as matrizes abaixo:

O valor de x para que det M1 = det M2 é:

(A) 2.

(B) 4.

(C) 8.

(D) 10.

(E) 12. Essa questão mistura álgebra e determinantes. Ela insere o valor da incógnita x dentro da matriz, e pede o valor desta incógnita que satisfaça a igualdade det M1 = det M2.



Acho que já deu para perceber por onde começar, certo? Inicialmente, vamos descobrir o valor dos determinantes!

det M1 = 3x – 2.9 = 3x – 18

det M2 = 2.(-2).1 + 2.2.x +3.0.(-1) – (-1).(-2).x – 2.0.2 – 2.3.1 det M2 = -4 + 4x + 0 – 2x – 0 – 6 = 2x - 10 Pronto. Temos as equações para det M1 e para det M2. Como o enunciado pede o valor de x para que det M1 = det M2, basta igualar as equações: det M1 = det M2. 3x –18 = 2x – 10 3x – 2x = -10 +18 x = 8 Resposta: letra C. Questão 9 – ESAF/ANA/Analista/2009

O determinante da matriz

(A) 0

(B) 2b – c

(C) a + b + c

(D) 6 + a + b + c

(E) 2bc + c - a Vamos à resolução:



det B = 2.b.c + a.(2+b).0 + 1.c.(4+a) – (4+a).b.0 – (2+b).c.2 – a.1.c det B = 2bc + 4c + ac – 4c – 2bc – ac det B = 0 Resposta: letra A. Questão 10 – ESAF/RFB/ATA/2009

Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da

segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira

linha da matriz por -3, o determinante da matriz fica:

(A) Multiplicado por -1.

(B) Multiplicado por -16/81.

(C) Multiplicado por 2/3.

(D) Multiplicado por 16/81.

(E) Multiplicado por -2/3.

Este tipo de questão é nosso velho conhecido. Ele cita uma matriz de ordem 4, e pede o que acontece com o determinante quando a matriz é multiplicada e dividida por números reais. Para resolvê-la, utilizamos os conhecimentos das propriedades dos determinantes, que já vimos nesta aula e em questões anteriores. Estão vendo como essas questões que envolvem propriedades são recorrentes? Tem que saber, pessoal... Vamos lá, começamos supondo que a matriz citada no enunciado (antes das operações) seja a matriz A, com det = A. A questão indica que ocorreram duas operações:

1) Multiplicação dos elementos da segunda linha por 2; 2) Divisão dos elementos da terceira linha por -3.



O que

acontece? Casos Exemplos


2 Multiplicando uma fila por k...



A = = -2

B = = 2.(-2) = -

4 Bem, de acordo com o nosso quadro, quando multiplicamos ou dividimos uma fila de matriz por um número k, o determinante também fica multiplicado por k. Temos, então (supondo que a nova matriz, após as mudanças, seja a matriz B). det B = 2. 1_.det A = - 2_.det A. -3 3 Assim, o determinante da matriz fica multiplicado por –2/3. Resposta: letra E. Questão 11 – ESAF/MPOG/EPPGG/2008

Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A

matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por

10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a:

(A) 10-6

(B) 105

(C) 1010

(D) 106

(E) 103

Mais uma questão que utiliza as propriedades. Mas agora, temos a utilização de uma propriedade “nova”. Digo “nova” porque, na verdade, ela nada mais é do que a propriedade que vimos na questão anterior (de fila de matriz multiplicada por k). Tal propriedade é:



O que acontece?

Casos Exemplos


3 Multiplicando uma

matriz de ordem n por k...



A = = -2

B = = 22.(-2) =

4.(-2) = -8 Assim, de acordo com o enunciado, temos a matriz X, e det X = 10. Temos também que a matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Ou seja, segundo a tabela acima, neste caso, temos que: det B = k5.det X = 105.10 = 106 Resposta: letra D. Questão 12 – ESAF/RFB/AFRFB/2009 Com relação ao sistema:

onde 3 z + 2 ≠ 0 e 2 x + y ≠ 0 , pode-se, com certeza, afirmar que: (A) é impossível. (B) é indeterminado. (C) possui determinante igual a 4. (D) possui apenas a solução trivial. (E) é homogêneo. Eu tenho uma super-bronca desta questão... Ela caiu no meu concurso e deveria ter sido anulada por possuir duas respostas (conforme o jeito como é resolvida). Eu resolvi e cheguei no valor que não está entre as alternativas. Quando fui entregar a prova, marquei qualquer letra no gabarito. Resultado: esta foi a única, das 20 questões de Raciocínio Lógico do concurso da Receita, que eu não acertei. É claro que eu não fico chateada por errar uma questão. Mas acho um absurdo quando você conhece o conteúdo de uma questão e erra por causa de alternativas mal-feitas. Mas enfim... esse é o mundo dos concursos, é assim mesmo e não tem jeito...



Essa questão apresenta um sistema linear a ser solucionado, mas uma das equações está na forma de fração. Para transformá-lo num sistema convencional, basta “multiplicar em cruz”, reorganizando as incógnitas. Vamos lá:

multiplicado em cruz, resulta em: 2x – y = 3z + 2�2x – y - 3z = 2

multiplicado em cruz, resulta em: z + 1 = 2x + y�-2x - y + z = -1 Ou seja, o sistema fica: x + y + z = 1 2x – y - 3z = 2 -2x - y + z = -1 Para saber se o sistema é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível temos que calcular o determinante da matriz dos coeficientes x, y, e z (o nosso DEZÃO). Tal determinante é igual a -4, ou seja, o sistema é possível e determinado. Vamos para as respostas? a) é impossível. (Falso, pois o sistema é possível e determinado) b) é indeterminado. (Falso, pois o sistema é possível e determinado) c) possui determinante igual a 4. (Falso (por enquanto, como veremos abaixo), pois o determinante é igual a -4) d) possui apenas a solução trivial. (Falso. Solução trivial é aquela que ocorre quando os termos independentes são iguais a zero, ou seja, a solução trivial é x=0, y=0 e z=0. Mas neste sistema os termos independentes são diferentes de zero! Ou seja, não admite a solução trivial) e) é homogêneo. (Falso. Sistema homogêneo é aquele em que os termos independentes são iguais a zero, dando origem a um sistema possível que admite apenas a solução trivial que vimos acima. Novamente, não é o caso do nosso sistema!) E agora? Nenhuma das respostas está certa! Mas... o gabarito veio letra “c”. Vejam só, nessa questão, aconteceu o seguinte: dependendo da maneira como você “multiplicava em cruz” (reorganizava as frações do sistema), o determinante da matriz dos coeficientes resultava em 4 ou –4. Vejam só a resolução desse jeito:



multiplicado em cruz, resulta em: 2x – y = 3z + 2 -> : 2x – y - 3z = 2

multiplicado em cruz, resulta em: z + 1 = 2x + y -> 2x + y - z = 1 Desta forma, o sistema fica: x + y + z = 1 2x – y - 3z = 2 2x + y - z = 1 Resolvendo o determinante da matriz dos coeficientes... Encontramos o 4. Ou seja, dependendo da maneira como o sujeito resolveu o sistema na hora da prova, ele encontrou 4 ou -4. Mas, para a ESAF, isso não importou, recurso não adiantou, e a questão foi mantida com este gabarito. Moral da história: saibam que, em questões de sistema, “a ordem dos tratores altera o viaduto” rs... Isso porque uma das propriedades dos determinantes é que, multiplicando uma das linhas por -1, o determinante também fica multiplicado por -1. Reparem que, dependendo da forma como o sistema é resolvido, podemos ter uma das linhas com sinal trocado... causando a troca de sinal no determinante também. É claro que a banca também errou e deveria ter anulado a questão, pois o enunciado dizia: “...pode-se, com certeza, afirmar que...”. E não se pode afirmar com certeza que o determinante é igual a 4, como vimos acima. Resposta: letra C.



3. Memorex

OPERAÇÕES COM MATRIZES Operação Comparativo com

as operações “normais”

Particularidades Exemplos

Adição de Matrizes

(A + B)

Sem diferenças. Somar as matrizes

A + B é igual somar 1 + 1. Ou

seja:

(A + B) + C = A + (B + C) (Obedece à propriedade Associativa) ------ A + B = B + A (Obedece à propriedade Comutativa)

- Só se pode somar matrizes com a mesma

ordem

Simplesmente somamos

os elementos respectivos:

+

Produto de um número por uma matriz

k.A

Sem diferenças. Multiplicar um

número k por uma matriz é como multiplicar um

número k por outro número. Ou seja:

k x (p x B) = (kp) x B (Obedece à propriedade Associativa) ------ k x (A + B) = k x A + k x B (Obedece à propriedade Distributiva, em relação a uma

Não há

Simplesmente multiplicamos:

2 x



adição) ------ (k + p) x A = k x A + p x A (Obedece à propriedade Distributiva, em relação a uma adição de números)

Produto duas

matrizes

A.B

Há diferenças em relação a um

produto “normal”.

Vejamos:

(A . B) . C = A . (B . C) (Obedece à propriedade Associativa) ------ A . (B + C) = A . B + A . C (Obedece à propriedade Distributiva) ------ FIQUE ESPERTO!!! A.B ≠ B.A (NÃO OBEDECE à propriedade Comutativa)

1) REGRA DO MEIO: determina se a multiplicação

é possível.

Matriz A = ordem 3 x 2

Matriz B = ordem

2 x 4

3 x 2 e 2 x 4

IGUAL

Ou seja, A.B = possível.

2) REGRA DAS

PONTAS: determina a

ordem da matriz resultante. Ex:

Matriz A = ordem

3 x 2

Matriz B = ordem 2 x 4

3 x 2 e 2 x 4

3 x 4

MATRIZ

RESULTANTE

Primeiramente, aplicamos as regras vistas:

3) REGRA DO MEIO: 2

x 2 e 2 x 2 = multiplicação possível.

4) REGRA DAS PONTAS: 2 x 2 e 2

x 2 = matriz resultante = 2 x 2.

Feito isso, passamos à

multiplicação das matrizes, obedecendo ao

seguinte esquema:

=

= Matriz

resultante



MATRIZES ESPECIAIS Variação Definição Particularidades Como calcular?

Matriz Transposta

At

A matriz transposta de uma matriz é a mesma matriz só que “deitada”. O que é linha passa a ser coluna, e o que é coluna, passa a ser linha.

1) A matriz transposta de uma matriz transposta é a matriz original

(At)t = A

2) A matriz

transposta de uma soma de matrizes equivale à soma das próprias matrizes transpostas

(A + B)t = At + Bt

3) (kA)t = k . At

4) (AB)t = Bt . At

5) Se At = A, a matriz

A é chamada de matriz simétrica.

O que é linha passa a ser coluna, o que é coluna passa a ser

linha.

A =

At = Matriz transposta

de A =

Matriz Inversa

A-1

É a matriz tal que A.A-1 =

Matriz Identidade

Ou seja,

A.A-1 =

1) Só existem inversas de

matrizes quadradas (n x n)

Para calcular, não há fórmula mágica,

utilizamos a própria lógica da matriz inversa. Veja:

A =

. =

a + 2c = 1 b + 2d = 0 3a + 4c = 0 3b + 4d = 1

Utilizamos as

equações igualadas a 0 para encontrar os valores nas equações

igualadas a 1.



A-1 =

4. Lista das questões abordadas em aula Questão 1 – ESAF/MPU/Téc. Adm./2004

Sejam as matrizes

e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B)t, isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a:

(F) 2. (G) 1/2. (H) 3. (I) 1/3. (J) 1.

Questão 2 – CESGRANRIO/REFAP/Economista/2007

O produto das três matrizes

é:

(F) 8

(G)

(H)

(I)

(J)



Questão 3 – CESGRANRIO/BNDES/Economista/2008

O produto de matrizes expresso acima é

(K) igual a [2 - 1].

(L) igual a 3.

(M) igual à matriz identidade.

(N) comutativo.

(O) não definido. Questão 4 – CESGRANRIO/TRANSPETRO/Téc. Enfermagem/2011 A Tabela I apresenta as quantidades médias de combustível, em litros, vendidas semanalmente em três postos de abastecimento de uma mesma rede. O preço praticado em um dos postos é o mesmo praticado pelos outros dois. Esses preços, por litro, em duas semanas consecutivas, estão apresentados na Tabela II.

Seja a matriz que apresenta os valores médios arrecadados em cada um dos três postos, por semana, com a venda de combustíveis. Identificando-se At e Bt como as matrizes transpostas de A e de B, respectivamente, a matriz C é definida pela operação (A) A . B (B) At . Bt (C) B . A (D) Bt . A (E) Bt . At



Questão 5 – CESGRANRIO/PETROBRÁS/Economista/2008

Considere as três matrizes abaixo.

Pode-se afirmar que (A) não é possível somar as matrizes B e C. (B) a matriz B é simétrica. (C) a matriz C é uma matriz identidade. (D) a matriz C é a inversa de B.

(E) o produto de matrizes BA é igual a Questão 6 – ESAF/SEFAZ SP/AFC/2009 O determinante de uma matriz 3X3 é igual a x. Se multiplicarmos os três elementos da 1a linha por 2 e os três elementos da 2a coluna por -1, o determinante será: (F) -x2 (G) -2x2 (H) -2x (I) x2 (J) 4x2 Questão 7 – FCC/MPE-RS/Agente Administrativo/2010

Considere as matrizes

Sendo Q o produto das matrizes M e P, nessa ordem, ou seja, Q = MP,

o determinante da matriz Q é igual a

(A)

(B)



(C)

(D)

(E)

Questão 8 – FCC/BAHIAGÁS/APO-Engenharia/2010

Considere as matrizes abaixo:

O valor de x para que det M1 = det M2 é:

(F) 2.

(G) 4.

(H) 8.

(I) 10.

(J) 12. Questão 9 – ESAF/ANA/Analista/2009

O determinante da matriz

(F) 0

(G) 2b – c

(H) a + b + c

(I) 6 + a + b + c

(J) 2bc + c - a Questão 10 – ESAF/RFB/ATA/2009



Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da

segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira

linha da matriz por -3, o determinante da matriz fica:

(F) Multiplicado por -1.

(G) Multiplicado por -16/81.

(H) Multiplicado por 2/3.

(I) Multiplicado por 16/81.

(J) Multiplicado por -2/3.

Questão 11 – ESAF/MPOG/EPPGG/2008

Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A

matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por

10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a:

(F) 10-6

(G) 105

(H) 1010

(I) 106

(J) 103

Questão 12 – ESAF/RFB/AFRFB/2009 Com relação ao sistema:

onde 3 z + 2 ≠ 0 e 2 x + y ≠ 0 , pode-se, com certeza, afirmar que: (F) é impossível. (G) é indeterminado. (H) possui determinante igual a 4. (I) possui apenas a solução trivial.



(J) é homogêneo.



5. Gabarito

1 – A

2 – B

3 – A

4 – D

5 – E

6 – C

7 – C

8 – C

9 – ANULADA

10 – E

11 – D

12 – C

Aula 04 - Raciocínio Lógico - Aula 01

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