Aula 05 Diagramas Logicos

7/27/2019 Aula 05 Diagramas Logicos

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RACIOCNIO LGICO p/ MPUTEORIA E EXERCCIOS COMENTADOS

Prof. Arthur Lima Aula 05

Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 1

AULA 05: DIAGRAMAS LGICOS E CONJUNTOS

SUMRIO PGINA1. Teoria 01

2. Resoluo de questes 08

3. Lista das questes apresentadas na aula 53

4. Gabarito 65

Ol!

Nas aulas 03 e 04 desse curso, tratamos sobre os tpicos de lgicaproposicional do seu edital. Na aula de hoje trataremos sobre os Diagramas lgicos,

contedo final de Lgica sentencial. Falaremos ao mesmo tempo de um assunto

bastante relacionado a este: as operaes com conjuntos (tpico 6 do edital).

RACIOCNIO LGICO: 1 Estruturas lgicas. 2 Lgica de argumentao: analogias,

inferncias, dedues e concluses. 3 Lgica sentencial (ou proposicional). 3.1

Proposies simples e compostas. 3.2 Tabelas verdade. 3.3 Equivalncias. 3.4 Leisde De Morgan. 3.5 Diagramas lgicos. 4 Lgica de primeira ordem. 5 Princpios de

contagem e probabilidade. 6 Operaes com conjuntos. 7 Raciocnio lgico

envolvendo problemas aritmticos, geomtricos e matriciais.

Uma boa aula, e, em caso de dvidas, no hesite em me procurar!

1. TEORIA: DIAGRAMAS LGICOS E CONJUNTOSVamos comear fazendo uma reviso conceitual a respeito da teoria dos

Conjuntos para, a seguir, tratar sobre diagramas lgicos.

Um conjunto um agrupamento de indivduos ou elementos que possuem

uma caracterstica em comum. Em uma escola, podemos criar, por exemplo, o

conjunto dos alunos que s tem notas acima de 9. Ou o conjunto dos alunos que

possuem pai e me vivos. E o conjunto dos que moram com os avs. Note que um

mesmo aluno pode participar dos trs conjuntos, isto , ele pode tirar apenas notasacima de 9, possuir o pai e a me vivos, e morar com os avs. Da mesma forma,


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alguns alunos podem fazer parte de apenas 2 desses conjuntos, outros podem

pertencer a apenas 1 deles, e, por fim, podem haver alunos que no integram

nenhum dos conjuntos. Um aluno que tire algumas notas abaixo de 9, tenha apenas

a me e no more com os avs no faria parte de nenhum desses conjuntos.

Costumamos representar um conjunto assim:

No interior deste crculo encontram-se todos os elementos que compem o

conjunto A. J na parte exterior do crculo esto os elementos que no fazem parte

de A.

Portanto, no grfico acima podemos dizer que o elemento a pertence ao

conjunto A. Matematicamente, usamos o smbolo para indicar essa relao de

pertinncia. Isto : a A. J o elemento b no pertence ao conjunto A.

Matematicamente: bA.

Quando temos 2 conjuntos (chamemos de A e B), devemos represent-los,

em regra, da seguinte maneira:

Observe que o elemento a est numa regio que faz parte apenas do

conjunto A. Portanto, trata-se de um elemento do conjunto A que no elemento do

conjunto B. J o elemento b faz parte apenas do conjunto B.

O elemento c comum aos conjuntos A e B. Isto , ele faz parte da

interseco entre os conjuntos A e B. J o elemento d no faz parte de nenhum

dos dois conjuntos, fazendo parte do complemento dos conjuntos A e B


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(complemento a diferena entre um conjunto e o conjunto Universo, isto , todo o

universo de elementos possveis).

Apesar de representarmos os conjuntos A e B entrelaados, como vimos

acima, no temos certeza de que existe algum elemento na interseco entre eles.

S saberemos isso ao longo dos exerccios. Em alguns casos vamos descobrir que

no h nenhum elemento nessa interseco, isto , os conjuntos A e B so

disjuntos. Assim, sero representados da seguinte maneira:

Observe agora o esquema abaixo:

Neste diagrama, a regio denominada A-B a regio formada pelos

elementos do conjunto A que no fazem parte do conjunto B. Por sua vez, a regio

B-A formada pelos elementos de B que no so de A. Finalizando, a regio

A B a interseco entre os conjuntos A e B, isto , possui os elementos em

comum entre os dois conjuntos.

Designamos por n(X) o nmero de elementos do conjunto X. Sobre isso,

importante voc saber que:

- o nmero de elementos da Unio entre os conjuntos A e B (designada por A B )

dado pelo nmero de elementos de A somado ao nmero de elementos de B,

subtrado do nmero de elementos da interseco ( A B ), ou seja:

( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B = +

- se dois conjuntos so disjuntos (no possuem elementos em comum), ento:

( ) 0n A B =


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Na frmula ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B = + , foi preciso subtrair ( )n A B ,

pois ao somar n(A) com n(B) a interseco contada 2 vezes.

Em alguns casos, a interseco entre os conjuntos A e B pode ser todo o

conjunto B, por exemplo. Isso acontece quando todos os elementos de B sotambm elementos de A. Veja isso no grfico abaixo:

Veja que, de fato, A B B = . Quando isso ocorre, dizemos que o conjunto B

est contido no conjunto A, isto , B A , ou que A contm B ( A B ). Repare que

sempre a boca ( ou ) fica voltada para o conjunto maior. Podemos dizer ainda

que B faz parte de A, ou que B um subconjunto de A.

Uma outra forma de se representar um conjunto enumerar os seus

elementos entre chaves. Costumamos usar letras maisculas para representar os

nomes de conjuntos, e minsculas para representar elementos. Ex.: A = {1, 3, 5, 7};

B = {a, b, c, d} etc.

Ainda podemos utilizar notaes matemticas para representar os conjuntos.

Se queremos representar o conjunto dos nmeros inteiros positivos, podemos dizer:

= { | 0}Y x Z x (leia: Y o conjunto formado por todo x pertencente aos Inteiros, tal que x maior

ou igual a zero)

Note que o smbolo significa todo, e o smbolo | significa tal que. bom

voc tambm lembrar do smbolo

, que significa existe.Uma aplicao muito comum para os conjuntos a resoluo de questes

que envolvam proposies categricas. As proposies que recebem esse nome

so as seguintes:

- Todo A B

- Nenhum A B

- Algum A B

- Algum A no B


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Vejamos como interpret-las, extraindo a informao que nos auxiliar a

resolver os exerccios.

- Todo A B: voc pode interpretar essa proposio como todos os elementos doconjunto A so tambm elementos do conjunto B, isto , o conjunto A est contido

no conjunto B.

Graficamente, temos o seguinte:

Note que, de fato, A B .

- Nenhum A B:nenhum elemento de A tambm elemento de B, isto , os dois

conjuntos so totalmente distintos (disjuntos), no possuindo interseco. Veja isso

a seguir:

- Algum A B:esta afirmao nos permite concluir que algum (ou alguns) elementode A tambm elemento de B, ou seja, existe uma interseco entre os 2

conjuntos:


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- Algum A no B:esta afirmao permite concluir que existem elementos de A que

no so elementos de B, ou seja, que no esto na interseco entre os dois

conjuntos. Exemplificando, podem existir os elementos a ou b no diagramaabaixo:

Em exerccios de Diagramas Lgicos, o mais importante conseguir

reconhecer, no enunciado, quais so os conjuntos de interesse. Uma questo que

diga, por exemplo, que todos os gatos so pretos e que algum co no preto,

possui 3 conjuntos que nos interessam: Gatos, Ces e Animais Pretos.

Para comear a resolver a questo, voc deve desenhar (ou imaginar) os 3

conjuntos:

ces gatos

Animais pretos

Note que, propositalmente, desenhei uma interseco entre os conjuntos.

Ainda no sabemos se, de fato, existem elementos nessas interseces. A primeira

afirmao (todos os gatos so pretos) deixa claro que todos os elementos do

conjunto dos Gatos so tambm elementos do conjunto dos Animais Pretos, ou

seja, Gatos Animais Pretos. Corrigindo essa informao no desenho, temos:


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ces

gatos

Animais pretos

J a segunda afirmao (algum co no preto) nos indica que existem

elementos no conjunto dos ces que no fazem parte do conjunto dos animais

pretos, isto , existem elementos na regio 1 marcada no grfico abaixo. Coloquei

nmeros nas outras regies do grfico para interpretarmos o que cada uma delas

significa:

ces

gatos

Animais pretos

1

2 3 4

5

6

- regio 2: a interseco entre Ces e Animais Pretos. Ali estariam os ces que

so pretos (se houverem, pois nada foi afirmado a esse respeito).

- regio 3: a interseco entre ces, gatos e animais pretos. Ali estariam os ces

que so gatos e que so pretos (por mais absurdo que isso possa parecer).

- regio 4: ali estariam os gatos que so pretos, mas no so ces

- regio 5: ali estariam os animais pretos que no so gatos e nem so ces

- regio 6: ali estariam os animais que no so pretos e no so ces nem gatos (ou

seja, todo o restante).


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2. RESOLUO DE QUESTES

1. FCC TRT/1 2011) Admita que todo A B, algum B C, e algum C no A.

Caio, Ana e Lo fizeram as seguintes afirmaes:

Caio se houver C que A, ento ele no ser B.

Ana se B for A, ento no ser C.

Lo pode haver A que seja B e C.

Est inequivocamente correto APENAS o que afirmado por

a) Caio.

b) Ana.

c) Lo.

d) Caio e Ana.

e) Caio e Lo.

RESOLUO:

O exerccio menciona 3 conjuntos: A, B e C. Ao dizer que todo A B, ele

quer dizer que todo elemento do conjunto A tambm elemento do conjunto B. Istosignifica que o conjunto A est dentro, isto , est contido no conjunto B. Veja o

desenho abaixo:

Percebeu que temos 2 conjuntos, A e B, de forma que B constitudo por

todos os elementos de A e pode ter mais alguns elementos que no fazem parte de

A? isto que a expresso todo A B nos diz. Vejamos a prxima.


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Ao dizer que algum B C, o exerccio quer dizer que alguns elementos de

B fazem tambm parte do conjunto C. Isto , existe uma interseco entre estes

dois conjuntos. Veja o diagrama abaixo:

Note que a rea hachurada comum aos conjuntos B e C. Isto , naquelarea esto localizados os elementos de B que tambm fazem parte de C. No

temos certeza se algum elemento de A tambm faz parte de C, apesar de eu j ter

desenhado uma interseco entre os conjuntos A e C.

A terceira informao diz que algum C no A. Isto , alguns elementos do

conjunto C no fazem parte do conjunto A. De fato, se voc olhar novamente a

ltima figura desenhada, ver que existe uma interseco entre A e C, onde esto

os elementos comuns aos dois conjuntos, e existem alguns elementos do conjunto

C fora deste espao, isto , so elementos que fazem parte de C e no fazem parte

de A. Temos, portanto, nosso diagrama completo. Podemos, com isso, analisar as

afirmaes feitas por Caio, Ana e Lo.


Caio disse que se houver um elemento de C que tambm seja de A (isto ,

um elemento na interseco entre C e A, ento ele no far parte do conjunto B.

Esta afirmao falsa, pois como todo o conjunto A est dentro do B, a interseco

entre C e A tambm estar dentro de B. Veja isto na figura abaixo:


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Ana disse que, se um elemento de B for tambm elemento de A, ento no

ser elemento de C. Isto no verdade, pois o exerccio no afirmou que noexistem elementos de C que tambm sejam elementos de A. Veja a bolinha azul na

figura:

Este ponto destacado atende a primeira parte da afirmao de Ana (pois

um elemento de B que tambm de A). Entretanto, este ponto pode tambm fazer

parte do conjunto C, uma vez que o exerccio no afirmou que no h interseco

entre A e C, isto , que nenhum C A. Portanto, no podemos afirmar que Ana

est correta.


Leo afirma que pode haver um elemento do conjunto A que tambm seja doconjunto B e do conjunto C, isto , pode haver um elemento na interseco entre A,

B e C. A afirmao de Leo pode ser visualizada em nosso diagrama anterior, que

repito abaixo. Veja a bolinha azul:


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Ela representa um elemento de A que tambm faz parte de B (afinal, todos os

elementos de A fazem parte de B) e pode tambm ser um elemento de C, uma vez

que talvez C tenha elementos em comum com A (afinal, o exerccio no afirmou o

contrrio). Portanto, possvel que algum elemento de A seja tambm de B e de Cao mesmo tempo (mas no podemos afirmar isso com certeza absoluta). Leo est

correto, pois disse pode haver A que seja B e C, e no h A que B e C.

Portanto, Leo foi o nico que fez uma afirmao verdadeira.

Resposta: C.

2. FCC TRT/8 2010) Em certo planeta, todos os Aleves so Bleves, todos osCleves so Bleves, todos os Dleves so Aleves, e todos os Cleves so Dleves.

Sobre os habitantes desse planeta, correto afirmar que:

a) Todos os Dleves so Bleves e so Cleves.

b) Todos os Bleves so Cleves e so Dleves.

c) Todos os Aleves so Cleves e so Dleves.

d) Todos os Cleves so Aleves e so Bleves.e) Todos os Aleves so Dleves e alguns Aleves podem no ser Cleves.

RESOLUO:

As letras A, B, C e D vo simbolizar os Aleves, Bleves, Cleves e Dleves

respectivamente. Vejamos as informaes fornecidas pelo enunciado:

- todos os A so B:

Portanto, o conjunto B est contido no conjunto A. Veja isto no esquema

abaixo, e note que podem existir elementos em B que no esto em A:


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- Todos os C so B.

Ou seja, todos os elementos de C so tambm de B, estando o conjunto C

dentro do conjunto B. Veja isso no desenho abaixo. Note que desenhei C de forma

que ele tivesse uma interseco com A, mas ainda no temos certeza se essa

interseco realmente existe.

- Todos os D so A.Portanto, o conjunto D est contido no conjunto A. Veja isso na figura abaixo.

Novamente, desenhei D numa posio onde ele tivesse interseco com C, apesar

de ainda no termos certeza disso:

-Todo C D.

J sabamos que A estava dentro de B, e que D estava dentro de A. Agoravemos que C est dentro de D, pois todos os elementos de C so tambm de D.


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Devemos fazer esta alterao no desenho acima, chegando seguinte

configurao:

Analisando as possibilidades de resposta, vemos que todo C A e B, isto

, todos os Cleves so Aleves e so Bleves (letra D).

Resposta: D.

3. CESPE PREVIC 2011) Um argumento uma sequncia finita de proposies,

que so sentenas que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Um

argumento vlido quando contm proposies assumidas como verdadeiras

nesse caso, denominadas premissas e as demais proposies so inseridas na

sequncia que constitui esse argumento porque so verdadeiras em consequncia

da veracidade das premissas e de proposies anteriores. A ltima proposio de

um argumento chamada concluso. Perceber a forma de um argumento o

aspecto primordial para se decidir sua validade. Duas proposies so logicamente

equivalentes quando tm as mesmas valoraes V ou F. Se uma proposio for

verdadeira, ento a sua negao ser falsa, e vice-versa. Com base nessas

informaes, julgue os itens de 16 a 18.

( ) Suponha que um argumento tenha como premissas as seguintes proposies.

Alguns participantes da PREVIC so servidores da Unio.

Alguns professores universitrios so servidores da Unio.

Nesse caso, se a concluso for Alguns participantes da PREVIC so professores

universitrios, ento essas trs proposies constituiro um argumento vlido.


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RESOLUO:

Aqui temos 3 conjuntos: A) participantes da Previc, B) servidores da Unio e

C) professores universitrios. Vejamos esses conjuntos:

A primeira proposio nos diz que h elementos na interseco entre os

conjuntos A e B. Esses elementos podem estar nas regies 1 e/ou 2 do diagrama

acima.

A segunda proposio afirma que h elementos na interseco entre B e C.

Esses elementos podem estar nas regies 1 e/ou 4 do diagrama.A concluso sugerida pelo enunciado (Alguns participantes da PREVIC so

professores universitrios) afirma que existe interseco entre os conjuntos A e C,

ou seja, que existem elementos nas regies 1 e/ou 3.

No temos elementos suficientes para fazer essa afirmao. Isso porque,

caso os elementos da interseco entre A e B estejam na regio 2, e a interseco

entre B e C esteja na regio 4, no haver elemento algum na regio 1 e nada

podemos afirmar sobre a regio 3. Esse item est ERRADO.Resposta: E.

4. CESPE Polcia Civi/ES 2011) Um argumento constitudo por uma sequncia

de trs proposies P1, P2 e P3, em que P1 e P2 so as premissas e P3 a

concluso considerado vlido se, a partir das premissas P1 e P2, assumidas

como verdadeiras, obtm-se a concluso P3, tambm verdadeira por consequncia

lgica das premissas. A respeito das formas vlidas de argumentos, julgue os

prximos itens.


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( ) Considere a seguinte sequncia de proposies:

P1 Existem policiais que so mdicos.

P2 Nenhum policial infalvel.

P3 Nenhum mdico infalvel.

Nessas condies, correto concluir que o argumento de premissas P1 e P2 e

concluso P3 vlido.

( ) Se as premissas P1 e P2 de um argumento forem dadas, respectivamente, por

Todos os lees so pardos e Existem gatos que so pardos, e a sua concluso

P3 for dada por Existem gatos que so lees, ento essa sequncia de

proposies constituir um argumento vlido.

RESOLUO:





Nessas condies, correto concluir que o argumento de premissas P1 e P2 e

concluso P3 vlido.

Aqui temos 3 conjuntos: policiais, mdicos e profissionais infalveis. P1 nos

afirma que existem elementos na interseco entre o conjunto dos policiais e o

conjunto dos mdicos. Ou seja, existem elementos na regio 1 do esquema abaixo:

J P2 nos diz que no h interseco entre o conjunto dos policiais e o

conjunto dos profissionais infalveis. Nada foi afirmado sobre os mdicos, portanto

devemos assumir que talvez existam elementos na interseco entre os conjuntos


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dos mdicos e dos profissionais infalveis. Isto , talvez existam elementos na regio

2 abaixo:

Portanto, no temos informaes suficientes para concluir que no existem

elementos na regio 2, ou seja, que no existem mdicos infalveis. Por esse

motivo, a concluso P3 ERRADA.





Usando os conjuntos dos Lees, dos Animais Pardos e dos Gatos, a P1 nos

diz:

J P2 nos diz que existe interseco entre o conjunto dos animais pardos e

dos gatos:


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Veja que desenhei, propositalmente, a interseco entre o conjunto dos gatos

e dos lees. Sabemos que existem elementos na regio 1 e/ou 2 (existem gatos

pardos), mas no podemos garantir que s existem elementos em 1, ou s em 2, ouem ambos.

A concluso P3 (existem gatos que so lees) seria verdadeira se

tivssemos certeza de que existem elementos em 1. Como no temos essa certeza

(a interseco entre Gatos e Pardos pode ser apenas a regio 2), essa concluso

ERRADA.

Resposta: E E

5. FCC METR/SP 2010) Numa reunio tcnica:

- o nmero de mulheres que no so Agentes de Segurana o triplo do nmero de

homens que so Agentes de Segurana

- o nmero de homens que no so Agentes de Segurana a metade do nmero

de mulheres que so Agentes de Segurana

- Entre os Agentes de Segurana, o nmero de mulheres o qudruplo do nmero

de homens.Sabendo-se que existem 90 pessoas na reunio, verdade que o nmero de:

a) homens que so Agentes de Segurana 8

b) mulheres que so Agentes de Segurana 32

c) pessoas que no so Agentes de Segurana 44

d) homens 27

e) mulheres 62

RESOLUO:Veja o diagrama que desenhei abaixo:


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Note que podemos representar todos os grupos de pessoas mencionadas no

enunciado com este diagrama:

- na regio A, temos as mulheres que no so Agentes;

- na regio B, temos as mulheres que so Agentes (interseco entre os conjuntos

Mulheres e Agentes);

- na regio C, temos os homens que so Agentes (interseco entre os conjuntos

Agentes e Homens);

- na regio D, temos os homens que no so Agentes;

Seguindo as orientaes do enunciado, sabemos que:

- o nmero de mulheres que no so Agentes de Segurana (subconjunto A) o

triplo do nmero de homens que so Agentes de Segurana (subconjunto C):

Portanto, A = 3C.

- o nmero de homens que no so Agentes de Segurana (subconjunto D) a

metade do nmero de mulheres que so Agentes de Segurana (subconjunto B):

Ou seja, D = B/2;

- Entre os Agentes de Segurana, o nmero de mulheres (B) o qudruplo do

nmero de homens (C).B = 4C;

Sabemos ainda que A + B + C + D = 90. Reunindo as 4 equaes, temos o

sistema abaixo:

3

/ 2

4 90

A C

D B

B CA B C D

=

=

=

+ + + =


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Note que temos 4 variveis (A, B, C e D) e 4 equaes, o que suficiente

para descobrir todos os valores. O mtodo de resoluo mais fcil chamado

mtodo da substituio. Vamos tentar escrever todas as variveis em funo de

apenas 1 delas. Note que A e B j esto escritos em funo de C (A = 3C e B = 4C).

Podemos combinar a 2 e 3 equaes para escrever D em funo de C:

(4 )2

2 2B C

D C= = =

Substituindo todas as variveis na ltima equao, deixamos tudo em funo

de C:

90

(3 ) (4 ) (2 ) 90

10 9090

910

A B C D

C C C C

C

C

+ + + =

+ + + =

=

= =

Sabendo que C = 9, podemos obter o valor de todas as demais variveis:

3 3 9 27A C= = =

4 36B C= =

2 18D C= =

Portanto:

- o nmero de mulheres que no so agentes A = 27

- o nmero de mulheres que so agentes B = 36

- o nmero de homens que so agentes C = 9

- o nmero de homens que no so agentes D = 18

A nica alternativa correta a que diz que o nmero de homens igual a 27

(9+18).

Resposta: D.

6. FCC Banco do Brasil 2010) Das 87 pessoas que participaram de um

seminrio sobre A Segurana no Trabalho, sabe-se que:

- 43 eram do sexo masculino

- 27 tinham menos de 30 anos de idade

- 36 eram mulheres com 30 anos ou mais de 30 anos de idade

Nessas condies, correto afirmar que:a) 16 homens tinham menos de 30 anos


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b) 8 mulheres tinham menos de 30 anos

c) o nmero de homens era 90% do de mulheres

d) 25 homens tinham 30 anos ou mais de 30 anos de idade

e) o nmero de homens excedia o de mulheres em 11 unidades

RESOLUO:

Veja o diagrama abaixo:

Neste caso:

- A representa as mulheres com menos de 30 anos

- B representa as mulheres com 30 ou mais- C representa os homens com 30 ou mais

- D representa os homens com menos de 30

Sabemos ainda que:


C + D = 43


A + D = 27


B = 36

Sabemos ainda que A + B + C + D = 87. Como B = 36, ento:

A + C + D = 87 36 = 51

Temos agora um sistema com 3 equaes e 3 variveis:

43

27

51

C D

A D

A C D

+ =

+ =

+ + =


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Vamos usar o mtodo da substituio, escrevendo A e C em funo de D, e

substituindo na ltima equao. Acompanhe:

43

27

C D

A D

=

=

portanto,

(27 ) (43 ) 51D D D + + =

70 51

70 51 19

D

D

=

= =

Voltando nas equaes anteriores, podemos encontrar A e C:

43 43 19 24

27 27 19 8

C D

A D

= = =

= = =

Ou seja:

- mulheres com menos de 30 anos = 8 (letra B)

- mulheres com 30 ou mais = 36

- homens com 30 ou mais = 24

- homens com menos de 30 = 19

Resposta: B

7. FCC SEFAZ/SP 2009) Considere o diagrama a seguir, em que U o conjunto

de todos os professores universitrios que s lecionam em faculdades da cidade X,

A o conjunto de todos os professores que lecionam na faculdade A, B o conjunto

de todos os professores que lecionam na faculdade B e M o conjunto de todos os

mdicos que trabalham na cidade X.

Em todas as regies do diagrama, correto representar pelo menos um habitante

da cidade X. A respeito do diagrama, foram feitas quatro afirmaes:


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I. Todos os mdicos que trabalham na cidade X e so professores universitrios

lecionam na faculdade A

II. Todo professor que leciona na faculdade A e no leciona na faculdade B

mdico

III. Nenhum professor universitrio que s lecione em faculdades da cidade X, mas

no lecione nem na faculdade A e nem na faculdade B, mdico

IV. Algum professor universitrio que trabalha na cidade X leciona,

simultaneamente, nas faculdades A e B, mas no mdico.

Est correto o que se afirma APENAS em:

a) I

b) I e III

c) I, III e IV

d) II e IV

e) IV

RESOLUO:

Vamos analisar cada item do enunciado com o auxlio da figura abaixo, onde

coloquei nmeros em regies que sero importantes para a anlise:


lecionam na faculdade A

Os mdicos que trabalham na cidade X e, ao mesmo tempo, so professoresuniversitrios, encontram-se na regio 1 e 2 do diagrama acima. Note que aqueles


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que esto na regio 2 lecionam, de fato, na faculdade A. Entretanto, aqueles que

esto na regio 1 no lecionam na faculdade A. Falso.

II. Todo professor que leciona na faculdade A e no leciona na faculdade B

mdico

Os professores que lecionam em A e no lecionam em B esto nas regies 2

e 3 do diagrama. Note que aqueles da regio 2 tambm so mdicos, porm os da

regio 3 no o so. Falso.



Observe que aqueles que se encontram na regio 1 so professores

universitrios que s lecionam na cidade X (pois fazem parte do conjunto U), e ao

mesmo tempo so mdicos (pois fazem parte do conjunto M). Falso.



Aqueles que esto na regio 4 so professores universitrios que trabalham

na cidade X (pois fazem parte do conjunto U), lecionando nas faculdades A e B

(pois fazem parte dos conjuntos A e B), e no so mdicos (pois no pertencem ao

conjunto M). Verdadeiro.

Resposta: E

8. DOM CINTRA MAPA 2010) Considere a proposio: Todo brasileiro

religioso. Admitindo que ela seja verdadeira, pode-se inferir que:

a) se Andr religioso, ento brasileiro;

b) se Beto no religioso, ento pode ser brasileiro;

c) se Carlos no religioso, ento no pode ser brasileiro;

d) pode existir brasileiro que no seja religioso;

e) se Ivan no brasileiro, ento no pode ser religioso.

RESOLUO:

Na sentena Todo brasileiro religioso, vemos 2 grupos de pessoas: os

brasileiros e os religiosos. Neste caso, a frase nos diz que todos os elementos do

conjunto dos brasileiros tambm um elemento do conjunto dos religiosos.

Portanto, o conjunto dos brasileiros est contido no conjunto dos religiosos:


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Repare que um elemento na regio 1 faz parte dos dois conjuntos:

brasileiro, e religioso. J um elemento na regio 2 faz parte apenas do conjunto

dos religiosos: ele no brasileiro, porm religioso.

Com isso em mos, fica fcil analisar as alternativas.


Falso. Se Andr estiver na regio 2, ele religioso mas no brasileiro.


Falso. Se Beto for brasileiro, ele est na regio 1. Nesta regio ele

necessariamente precisa ser religioso. O grupo dos no religiosos pode ser

desenhado ao lado, sem interseco:


Verdadeiro. Se Carlos est na regio 3 acima, no pode estar na regio 1.


Falso. No h interseco entre o conjunto dos brasileiros e o conjunto dos

no religiosos.


Falso. Se Ivan estiver na regio 2, ele no brasileiro, porm religioso.

Resposta: C


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9. FCC TJ/PE 2007) Todas as estrelas so dotadas de luz prpria. Nenhum

planeta brilha com luz prpria. Logo,

a) todos os planetas so estrelas.

b) nenhum planeta estrela.

c) todas as estrelas so planetas.

d) todos os planetas so planetas.

e) todas as estrelas so estrelas.

RESOLUO:

Podemos montar o conjunto dos astros com luz prpria. Nele estar contido o

conjunto das estrelas, pois todas elas tem luz prpria. J os planetas no faro

parte deste conjunto, pois nenhum deles tem luz prpria:

Vamos analisar as alternativas dadas:


Falso. Os planetas esto na regio 3, enquanto as estrelas esto na regio 1.


Verdadeiro. Nenhum elemento da regio 3 estar na regio 1 tambm, pois

no h interseco entre elas.

c) todas as estrelas so planetas.Falso, pelo mesmo raciocnio da letra A.


Falso. Por mais bvio que parea, nada foi dito a este respeito.


Falso. Idem ao anterior.

Resposta: B

10. CESPE PREVIC 2011) Considere o diagrama abaixo.


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Esse diagrama uma prova de que o argumento a seguir vlido, ou seja, asproposies I e II so premissas e a proposio III uma concluso, pois

verdadeira por consequncia das premissas.

I Nenhum analista administrativo danarino.

II Todos os danarinos so geis.

III Logo, nenhum analista administrativo gil.

RESOLUO:

Temos os conjuntos dos Analistas, dos Danarinos e dos geis. A proposioI afirma que no h interseco entre os 2 primeiros conjuntos:

J a proposio II afirma que o conjunto dos Danarinos est contido no

conjunto dos geis. Ela nada afirma a respeito do conjunto dos analistas, isto ,

talvez exista interseco entre o conjunto dos Analistas e dos geis. Isto

representado pelo diagrama abaixo:


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Veja que, com essas informaes, no podemos concluir que no existem

elementos na regio 1, isto , que nenhum analista gil. Essa concluso

ERRADA.

Resposta: E.

11. FCC IPEA 2005)Considerando toda prova de Lgica difcil uma

proposio verdadeira, correto inferir que

(A) nenhuma prova de Lgica difcil uma proposio necessariamente

verdadeira.

(B))alguma prova de Lgica difcil uma proposio necessariamente

verdadeira.

(C) alguma prova de Lgica difcil uma proposio verdadeira ou falsa.

(D) algum prova de Lgica no difcil uma proposio necessariamente

verdadeira.

(E) alguma prova de Lgica no difcil uma proposio verdadeira ou falsa.

RESOLUO:

Imagine que temos 2 conjuntos: o conjunto das Provas de Lgica, e o

conjunto das Provas Difceis. A expresso toda prova de lgica difcil nos diz que

todos os elementos do conjunto Provas de Lgica tambm um elemento do

conjunto das Provas Difceis. No diagrama, temos:

Note que, se todas as provas de lgica so difceis, ento, com certeza,

alguma (qualquer uma) prova de lgica tambm difcil. Isto , algum elemento na

posio 1 do diagrama necessariamente faz parte do conjunto das provas difceis.

A proposio alguma prova de lgica difcil sempre ser verdadeira, pois

no h nenhuma prova de lgica fora do conjunto das provas difceis.


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Resposta: B

12. CESPE Polcia Civil/ES 2011) A questo da desigualdade de gnero na

relao de poder entre homens e mulheres forte componente no crime do trficode pessoas para fins de explorao sexual, pois as vtimas so, na sua maioria,

mulheres, meninas e adolescentes. Uma pesquisa realizada pelo Escritrio das

Naes Unidas sobre Drogas e Crime (UNODC), concluda em 2009, indicou que

66% das vtimas eram mulheres, 13% eram meninas, enquanto apenas 12% eram

homens e 9% meninos.

Ministrio da Justia. Enfrentamento ao trfico de

pessoas: relatrio do plano nacional. Janeiro de 2010, p.

23 (com adaptaes).

Com base no texto acima, julgue o item a seguir.

( ) O argumento A maioria das vtimas era mulher. Marta foi vtima do trfico de

pessoas. Logo Marta mulher um argumento vlido.

RESOLUO:

Imagine o conjunto das Vtimas e o conjunto das Mulheres. Temos:

Na regio 1 temos as vtimas que so mulheres (que, como disse a

proposio do enunciado, so a maioria). Na regio 2 temos as vtimas que no so

mulheres, e na regio 3 temos as mulheres que no so vtimas.

Note que, se Marta vtima, ela pode estar na regio 1 ou 2. No temos

certeza que ela est na regio 1, portanto no podemos concluir que ela mulher.

Portanto, o argumento no vlido. Item ERRADO.

Resposta: E.


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13. CONSULPLAN PREF. ITABAIANA 2010) Numa determinada escola de

idiomas, todos os alunos estudam alemo ou italiano. Sabe-se que aqueles que

estudam ingls estudam espanhol e os que estudam alemo no estudam nem

ingls nem espanhol, conforme indicado no diagrama a seguir.

Pode-se concluir que:

A) Todos os alunos que estudam espanhol estudam ingls.

B) Todos os alunos que estudam italiano estudam ingls.

C) Alguns alunos que estudam espanhol no estudam italiano.

D) Alguns alunos que estudam italiano no estudam ingls.

E) Alguns alunos que estudam alemo estudam italiano.

RESOLUO:

Vamos analisar as alternativas de resposta, utilizando o grfico abaixo, no

qual inseri nmeros em determinadas reas visando auxiliar o seu entendimento:



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Falso. Um aluno na regio 2 (marcada acima) estuda, de fato, ingls e

espanhol. Porm um aluno na regio 3 estuda espanhol, porm no estuda ingls

(est fora desse conjunto).


Falso. Um aluno na regio 2 estuda ingls, espanhol e italiano. Mas um aluno

nas regies 3 ou 4 estuda italiano (pois est contido nesse conjunto) mas no

estuda ingls.


Falso. O conjunto dos alunos que estudam espanhol est contido no conjunto

dos que estudam italiano, portanto todos os que estudam espanhol tambm

estudam italiano.


Verdadeiro. Os alunos nas regies 3 ou 4 do diagrama estudam italiano,

porm no estudam ingls, pois encontram-se fora desse conjunto.


Falso. Como vemos, no h nenhuma interseco entre o conjunto dos

alunos que estudam alemo e o conjunto dos que estudam italiano.

Resposta: D.

14. CESPE DETRAN/DF 2009) Sabendo-se que dos 110 empregados de uma

empresa, 80 so casados, 70 possuem casa prpria e 30 so solteiros e possuem

casa prpria, julgue os itens seguintes.

( ) Mais da metade dos empregados casados possui casa prpria.

( ) Dos empregados que possuem casa prpria h mais solteiros que casados.

RESOLUO:

Entre os 110 empregados, o enunciado menciona os seguintes conjuntos:conjunto dos casados, conjunto dos que tem casa prpria, conjunto dos solteiros.

Vamos ento criar um diagrama com esses 3 conjuntos. Veja que impossvel

algum ser solteiro e casado ao mesmo tempo, portanto no desenhamos uma

interseco entre esses 2 conjuntos:


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A seguir, vamos incluir as demais informaes fornecidas. O enunciado nos

disse que a interseco entre o conjunto dos solteiros e o conjunto dos que temcasa prpria possui 30 elementos. Por outro lado, se 70 empregados possuem casa

prpria e, desses, 30 so solteiros, ento 40 so casados. Portanto, a interseco

entre o conjunto dos casados e o conjunto dos que tem casa prpria formado por

40 elementos:

Como 80 so casados, e 40 desses possuem casa prpria, outros 40 no

possuem casa prpria. Por outro lado, se temos 110 funcionrios e 80 so casados,

sobram 30 solteiros. Como j temos no diagrama esses 30 solteiros (todos possuem

casa prpria), no h solteiro que no possua casa prpria. Veja abaixo o nosso

diagrama final.


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Observando esse diagrama, podemos julgar os itens:

( ) Mais da metade dos empregados casados possui casa prpria. Errado, pois

exatamente a metade (40) dos casados possui casa prpria.

( ) Dos empregados que possuem casa prpria h mais solteiros que casados

Errado, pois temos 40 casados com casa prpria e apenas 30 solteiros.

Resposta: E E.

15. FCC BAHIAGS 2010) Admita as frases seguintes como verdadeiras.I. Existem futebolistas (F) que surfam (S) e alguns desses futebolistas tambm so

tenistas (T).

II. Alguns tenistas e futebolistas tambm jogam vlei (V).

III. Nenhum jogador de vlei surfa.

A representao que admite a veracidade das frases :


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RESOLUO:

Pelas informaes dadas, temos 4 conjuntos: F, S, T e V. Vejamos o que foi

dito sobre esses conjuntos:

I. Existem futebolistas (F) que surfam (S) e alguns desses futebolistas tambm so

tenistas (T).

Dizer que existem futebolistas que surfam equivalente a dizer que existe

uma interseco entre os conjuntos F e S. Essa afirmativa diz ainda que h

interseco entre F e T.


Ou seja, h interseco entre T e V, e entre F e V.


Com essa ltima informao, descobrimos que NO h interseco entre V e

S.

O grfico que apresenta as interseces mencionadas (F e S, F e T, T e V, F

e V) e no apresenta a interseco entre V e S o da letra E.

Resposta: E

16. FCC MPE/AP 2009) O esquema de diagramas mostra situao

socioeconmica de cinco homens em um levantamento feito na comunidade em que


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vivem. As situaes levantadas foram: estar ou no empregado; estar ou no

endividado; possuir ou no um veculo prprio; possuir ou no casa prpria.

Situar-se dentro de determinado diagrama significa apresentar a situao indicada.

Analisando o diagrama, correto afirmar que:

(A) A possui casa prpria, est empregado e endividado, mas no possui veculo

prprio.

(B) B possui veculo prprio, est empregado, mas no possui casa prpria nem

est endividado.

(C) C est endividado e empregado, no possui casa prpria nem veculo prprio.(D) D possui casa prpria, est endividado e empregado, mas no possui veculo

prprio.

(E) E no est empregado nem endividado, possui veculo prprio, mas no possui

casa prpria.

RESOLUO:

Vamos analisar cada alternativa:

(A) A possui casa prpria, est empregado e endividado, mas no possui veculoprprio.

Falso. A no faz parte do conjunto Possuir casa prpria.

(B) Bpossui veculo prprio, est empregado, mas no possui casa prpria nem

est endividado.

Falso. B faz parte do conjunto Estar endividado.

(C) Cest endividado e empregado, no possui casa prpria nem veculo prprio.

Falso. C no faz parte do conjunto Estar empregado, e faz parte doconjunto Possuir veculo prprio.


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(D) Dpossui casa prpria, est endividado e empregado, mas no possui veculo

prprio.

Falso. D no faz parte do conjunto Estar empregado.

(E) Eno est empregado nem endividado, possui veculo prprio, mas no possui

casa prpria.

Verdadeiro. E no faz parte dos conjuntos Estar empregado, Estar

endividado e Possuir casa prpria, porm faz parte do conjunto Possuir veculo

prprio.

Resposta: E.

17. CESGRANRIO BACEN 2010) Num famoso talk-show, o entrevistado faz a

seguinte afirmao: Toda pessoa gorda no tem boa memria.

Ao que o entrevistador contraps: Eu tenho boa memria. Logo, no sou gordo.

Supondo que a afirmao do entrevistado seja verdadeira, a concluso do

entrevistador :

(A) falsa, pois o correto seria afirmar que, se ele no fosse gordo, ento teria uma

boa memria.

(B) falsa, pois o correto seria afirmar que, se ele no tem uma boa memria, ento

ele tanto poderia ser gordo como no.

(C) falsa, pois o correto seria afirmar que ele gordo e, portanto, no tem boa

memria.

(D) verdadeira, pois todo gordo tem boa memria.

(E) verdadeira, pois, caso contrrio, a afirmao do entrevistado seria falsa.

RESOLUO:

A frase Toda pessoa gorda no tem boa memriapode ser visualizada no

diagrama abaixo, onde temos o conjunto dos gordos e o conjunto dos que nopossuem boa memria, alm do conjunto dos que possuem boa memria.


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Note que o conjunto dos gordos est contido, ou seja, um subconjunto do

conjunto das pessoas que no possuem boa memria.

A frase do entrevistador foi: Eu tenho boa memria. Logo, no sou gordo.

Note em nosso diagrama que uma pessoa com boa memria est na regio 3.

Portanto, impossvel que esta pessoa seja gorda, ou seja, esteja na regio 1

tambm.

Portanto, assumindo que a frase do entrevistado seja verdadeira, ento a

frase do entrevistador est correta. Caso o entrevistador estivesse errado, a frase

do entrevistado no seria verdadeira. o que vemos na letra E.

Resposta: E.

18. FCC - SAEB - 2004) Considerando todo livro instrutivo como uma proposio

verdadeira, correto inferir que:

a) Nenhum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.

b) Algum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.

c) Algum livro no instrutivo uma proposio verdadeira ou falsa.

d) Algum livro instrutivo uma proposio verdadeira ou falsa.

e) Algum livro no instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.

RESOLUO:

Se todos os livros so instrutivos, correto afirmar tambm que uma parte

deles instrutiva, isto , algum livro instrutivo. Temos isso na letra B.

Graficamente, teramos:

Resposta: B.

19. FCC IPEA 2005) Considerando toda prova de Lgica difcil uma



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verdadeira.

(B)) alguma prova de Lgica difcil uma proposio necessariamente

verdadeira.



verdadeira.


RESOLUO:

Aqui temos o conjunto das provas de Lgica e o conjunto das provas difceis.

Como vemos no enunciado, todos os elementos do primeiro conjunto so tambm

elementos do segundo, isto , um est contido no outro:

Vejamos cada alternativa:


verdadeira.

Falso. Todos os elementos do conjunto das provas de lgica so tambm

elementos do conjunto das provas difceis.

(B)) alguma prova de Lgica difcil uma proposio necessariamenteverdadeira.

Verdadeiro. Algum elemento do conjunto das provas de lgica tambm

elemento do conjunto das provas difceis. Mais do que isso, todos os elementos do

primeiro conjunto so elementos do segundo.


Falso. Essa proposio nunca falsa, pois, como vimos, todos os elementosdo primeiro conjunto so elementos do segundo.


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verdadeira.

Falso. Como vimos, todas as provas de lgica so difceis. Essa proposio

nunca verdadeira.


Falso. Essa proposio sempre falsa, pois todas as provas de lgica so

difceis.

Resposta: B

20. FCC PREF. JABOATO 2006) Sobre os 26 turistas que se encontram em

um catamar, sabe-se que:

75% dos brasileiros sabem nadar;

20% dos estrangeiros no sabem nadar;

apenas 8 estrangeiros sabem nadar.

Nessas condies, do total de turistas a bordo, somente

(A) 10 brasileiros sabem nadar.

(B) 6 brasileiros no sabem nadar.

(C) 12 so estrangeiros.

(D) 18 so brasileiros.

(E)) 6 no sabem nadar.

RESOLUO:

Se 20% dos estrangeiros no sabem nadar, ento 80% dos estrangeiros

sabem nadar. E como o exerccio disse que 8 estrangeiros sabem nadar, ento 80%

correspondem a 8, de modo que os 20% que no sabem nadar correspondem a 2estrangeiros.

Ao total temos 10 estrangeiros (8+2). Como o grupo de 26 pessoas, ento

16 so brasileiros. Desses 16, 75% (ou seja, 12) sabem nadar, de modo que os

outros 4 no sabem nadar.

Portanto, ao todo 6 pessoas no sabem nadar: 2 estrangeiros e 4 brasileiros.

Resposta: E.

21. FCC TRT 6 2006) As afirmaes seguintes so resultados de uma pesquisa


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feita entre os funcionrios de certa empresa.

Todo indivduo que fuma tem bronquite.

Todo indivduo que tem bronquite costuma faltar ao trabalho.

Relativamente a esses resultados, correto concluir que

(A) existem funcionrios fumantes que no faltam ao trabalho.

(B) todo funcionrio que tem bronquite fumante.

(C)) todo funcionrio fumante costuma faltar ao trabalho.

(D) possvel que exista algum funcionrio que tenha bronquite e no falte

habitualmente ao trabalho.

(E) possvel que exista algum funcionrio que seja fumante e no tenha bronquite.

RESOLUO:

Vamos representar em diagramas lgicos as informaes dadas:



Portanto, todo fumante costuma faltar ao trabalho.

Resposta: C.


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22. FCC TRF 3 2007) Se todos os jaguadartes so momorrengos e todos os

momorrengos so cronpios ento pode-se concluir que:

(A) possvel existir um jaguadarte que no seja momorrengo.

(B) possvel existir um momorrengo que no seja jaguadarte.

(C) Todos os momorrengos so jaguadartes.

(D) possvel existir um jaguadarte que no seja cronpio.

(E) Todos os cronpios so jaguadartes.

RESOLUO:

Podemos considerar as seguintes proposies categricas:

- Todos os jaguadartes so momorrengos

- Todos os momorrengos so cronpios

Com isso, possvel montar o seguinte diagrama:

Observe que, se existir um momorrengo que se encontre na regio 1,

marcada no diagrama acima, ele no jaguadarte. Letra B.

Resposta: B.

23. CESPE Polcia Civil/ES 2011) Acerca de operaes com conjuntos, julgue o

item subsequente.( ) Considere que os conjuntos A, B e C tenham o mesmo nmero de elementos,

que A e B sejam disjuntos, que a unio dos trs possuia 150 elementos e que a

interseo entre B e C possua o dobro de elementos da interseo entre A e C.

Nesse caso, se a interseo entre B e C possui 20 elementos, ento B tem menos

de 60 elementos.

RESOLUO:


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Essa uma questo de teoria dos conjuntos, e no de diagramas lgicos

propriamente ditos, mas ela permite que voc exercite os conceitos de conjuntos

que auxiliam a resoluo de questes de Diagramas.

Se A e B so disjuntos, ento a interseco entre eles vazia, ou seja,

( ) 0n A B = . Ou seja, temos o diagrama abaixo:

O enunciado diz ainda que:

- ( ) 150n A B C =

- ( ) 20n B C =

- ( ) 2 ( ). Portanto, ( ) 10n B C n A C n A C = =

Vamos colocar essas informaes no diagrama:

Sabemos ainda que todos os conjuntos tem o mesmo nmero (X) de

elementos. Portanto, se na interseco entre A e C temos 10 elementos, sobram X

10 elementos na regio de A que no intercepta o conjunto C. Da mesma forma,


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existem X 20 elementos na regio de B que no intercepta C. E existem X 30

elementos na regio de C que no intercepta nem A nem B:

O nmero total de elementos igual a 150. Portanto,

( 10) 10 ( 30) 20 ( 20) 150X X X + + + + =

3 30 150X =

60X =

Ou seja, cada conjunto tem exatamente 60 elementos. , portanto, ERRADO

dizer que B tem menos de 60 elementos.Resposta: E

24. FCC TCE/SP 2012)

Todos os jogadores so rpidos.

Jorge rpido.

Jorge estudante.

Nenhum jogador estudante.

Supondo as frases verdadeiras pode-se afirmar que

(A) a interseco entre o conjunto dos jogadores e o conjunto dos rpidos vazia.

(B) a interseco entre o conjunto dos estudantes e o conjunto dos jogadores no

vazia.

(C) Jorge pertence ao conjunto dos jogadores e dos rpidos.

(D) Jorge no pertence interseco entre os conjuntos dos estudantes e o

conjunto dos rpidos.


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(E) Jorge no pertence interseco entre os conjuntos dos jogadores e o conjunto

dos rpidos

RESOLUO:

Com base nas afirmaes do enunciado, poderamos considerar a existncia

de 3 grupos, ou conjuntos: o dos Jogadores, o dos Rpidos e o dos Estudantes,

conforme a figura abaixo:

Agora, vamos analisar mais detidamente as informaes fornecidas:

- Todos os jogadores so rpidos.

Esta informao nos diz que todos os elementos do conjunto dos Jogadores

so tambm elementos do conjunto dos Rpidos, ou seja, o conjunto dos Jogadores

est contido no conjunto dos Rpidos. Veja essa alterao na figura abaixo:

- Nenhum jogador estudante.

Aqui vemos que no existem elementos em comum entre o conjunto dos

Jogadores e dos Estudantes, isto , no h interseco entre estes conjuntos.

Faamos esta alterao na figura:

Estudantes

Estudantes

Rpidos

Jogadores


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- Jorge rpido.

- Jorge estudante.

Com mais estas informaes, vemos que Jorge faz parte da interseco

entre o conjunto dos Rpidos e o conjunto dos Estudantes. Ou seja, ele se localiza

na posio destacada com uma estrela na figura abaixo:

Como no h interseco entre os Estudantes e os Jogadores, podemos

afirmar que Jorge rpido, estudante, mas no jogador. Por isto, a letra E est

correta.Resposta: E

25. CESPE TRE/ES 2011) Em determinado municpio, h, cadastrados, 58.528

eleitores, dos quais 29.221 declararam ser do sexo feminino e 93 no informaram o

sexo. Nessa situao, julgue os prximos itens.

Estudantes

Rpidos

Jogadores

Estudantes

Rpidos

Jogadores


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( ) Se, entre os eleitores que no informaram o sexo, o nmero de eleitores do sexo

masculino for o dobro do nmero de eleitores do sexo feminino, ento, nesse

municpio, os eleitores do sexo masculino so maioria.

RESOLUO:

Sabemos que os conjuntos dos eleitores do sexo Masculino e dos eleitores

do sexo Feminino so disjuntos, isto , no possuem interseco. Deste modo, se

29.221 so do sexo feminino e 93 no informaram o sexo, ento os que informaram

ser do sexo masculino so:

58.528 29.221 93 = 29.214

Seja H o nmero de homens que no informaram o sexo, e M o nmero de

mulheres que no informaram o sexo. De acordo com o enunciado, H = 2M, e

tambm H + M = 93. Portanto:

H + M = 93

(2M) + M = 93

3M = 93

M = 31

Logo,

H = 2M = 2x31 = 62

Assim, o total de mulheres 29.221 + 31 = 29.252. E o total de homens

29.214 + 62 = 29.276. De fato, os homens so maioria. Item CORRETO.

Resposta: C

26. CESPE TRE/ES 2011) Em uma pesquisa, 200 entrevistados foram

questionados a respeito do meio de transporte que usualmente utilizam para ir ao

trabalho.Os 200 entrevistados responderam a indagao e, do conjunto dessas repostas,

foram obtidos os seguintes dados:

35 pessoas afirmaram que usam transporte coletivo e automvel prprio;

35 pessoas afirmaram que usam transporte coletivo e bicicleta;

11 pessoas afirmaram que usam automvel prprio e bicicleta;

5 pessoas afirmaram que usam bicicleta e vo a p;

105 pessoas afirmaram que usam transporte coletivo;30 pessoas afirmaram que s vo a p;


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Ningum afirmou usar transporte coletivo, automvel e bicicleta; e o nmero de

pessoas que usam bicicleta igual ao nmero de pessoas que usam automvel

prprio.

Com base nessa situao, julgue os itens subsequentes.

( ) O nmero de pessoas que s usam bicicleta inferior ao nmero de pessoas

que s usam automvel prprio.

( ) O nmero de pessoas que usam apenas transporte coletivo para ir ao trabalho

igual a 35.

( ) O nmero de pessoas que usam transporte coletivo o triplo do nmero de

pessoas que vo a p.

( ) Caso se escolha, ao acaso, uma das pessoas entrevistadas, a probabilidade de

essa pessoa ir para o trabalho a p ser inferior a 15%.

( ) O nmero de pessoas que somente usam automvel prprio superior ao

nmero de pessoas que s vo ao trabalho a p.

RESOLUO:

Com base nas informaes do enunciado, podemos agrupar as pessoas de

acordo com o meio de transporte utilizado, que so 4: coletivo, automvel, bicicleta

ou a p. Entretanto, ao invs de fazer um diagrama entrelaando estes 4 grupos (o

que levaria a uma soluo extremamente complexa, e, talvez, invivel), podemos

desenhar o diagrama assim:

Isto porque, conforme indicam as informaes dadas no exerccio, o grupo

das pessoas que vo a p composto por duas subdivises apenas: aquelas quesomente vo a p, e aquelas que vo a p e de bicicleta. Vamos agora analisar as


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informaes do enunciado. Coloquei as informaes abaixo na ordem que considero

ser mais fcil analisar:

- ningum afirmou usar transporte coletivo, automvel e bicicleta;

- 35 pessoas afirmaram que usam transporte coletivo e automvel prprio;

- 35 pessoas afirmaram que usam transporte coletivo e bicicleta;

- 11 pessoas afirmaram que usam automvel prprio e bicicleta;

- 5 pessoas afirmaram que usam bicicleta e vo a p;

At aqui, temos o seguinte diagrama:

Prosseguindo:

- 105 pessoas afirmaram que usam transporte coletivo;

- 30 pessoas afirmaram que s vo a p;

Veja que, no diagrama acima, j coloquei as variveis X e Y, valores que

ainda no obtivemos. Vejamos a ltima informao dada:

- o nmero de pessoas que usam bicicleta igual ao nmero de pessoas que usam

automvel prprio;

Com isso, podemos dizer que:

Automvel = Bicicleta

X + 11 + 0 + 35 = Y + 11 + 0 + 35 + 5X Y = 5


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Sabemos ainda que o total de pessoas neste diagrama igual a 200. Logo:

200 = X + 35 + 0 + 11 + 35 + 35 + Y + 5 + 30

200 = 151 + X + Y

X + Y = 49

Com estas duas equaes, podemos obter os valores de X e Y:

X - Y = 5 X = Y + 5

X + Y = 49 (Y+5) + Y = 49 Y = 22 X = 27

Assim, nosso diagrama final :

Feito isso, vamos julgar os itens:

( ) O nmero de pessoas que s usam bicicleta inferior ao nmero de pessoas

que s usam automvel prprio.

CORRETO, pois 22 < 27.

( ) O nmero de pessoas que usam apenas transporte coletivo para ir ao trabalho

igual a 35.

CORRETO, como pode ser visto no diagrama.

( ) O nmero de pessoas que usam transporte coletivo o triplo do nmero depessoas que vo a p.

CORRETO, pois 105 = 3 x (30+5).

( ) Caso se escolha, ao acaso, uma das pessoas entrevistadas, a probabilidade de

essa pessoa ir para o trabalho a p ser inferior a 15%.

35 das 200 pessoas vo ao trabalho a p. Isto , 35/200 = 17,5%. Item

ERRADO.


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( ) O nmero de pessoas que somente usam automvel prprio superior ao

nmero de pessoas que s vo ao trabalho a p.

ERRADO, pois 27 < 30.

Resposta: C C C E E

27. CESPE SECONT/ES 2009) Julgue os itens a seguir.

( ) Considere que sejam valoradas como V as duas seguintes proposies: Todo

candidato ao cargo de auditor tem diploma de engenheiro; e Josu engenheiro.

Nesse caso, como consequncia da valorao V dessas proposies, correto

afirmar que tambm ser valorada como V a proposio Josu candidato ao

cargo de auditor.

RESOLUO:

Se considerarmos o conjunto dos candidatos a auditor e dos engenheiros, a

primeira proposio nos diz que:

A segunda proposio nos diz que Josu faz parte do conjunto dos

engenheiros. Veja que ele pode estar na regio compreendida pelos candidatos a

auditor, mas tambm pode estar fora dessa regio. Assim, no podemos concluir

que Josu candidato a auditor. Item ERRADO.

Resposta: E

28. CESPE Polcia Militar/AC 2008) Se A a proposio Todo bom soldado

pessoa honesta, considere as proposies seguintes:

B Nenhum bom soldado pessoa desonesta.

C Algum bom soldado pessoa desonesta.


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D Existe bom soldado que no pessoa honesta.

E Nenhuma pessoa desonesta um mau soldado.

Nesse caso, todas essas 4 ltimas proposies podem ser consideradas como

enunciados para a proposio A.

RESOLUO:

A proposio A uma proposio categrica (Todo), o que nos remete ao

uso de diagramas lgicos. Esta proposio afirma que todos os elementos do

conjunto bons soldados so tambm elementos do conjunto pessoas honestas,

ou seja, o conjunto bons soldados est contido no conjunto pessoas honestas:

Para desmentir o autor dessa frase, basta encontrarmos um nico soldado

que no pertena ao conjunto das pessoas honestas. Assim, podemos escrever a

negao de A (A) das seguintes formas:

- Pelo menos um soldado no pessoa honesta- Existe soldado que no pessoa honesta

- Algum soldado no pessoa honesta

Vejamos as alternativas do enunciado:

B Nenhum bom soldado pessoa desonesta.

Imagine o conjunto das pessoas desonestas. Ele deve encontrar fora do

conjunto das pessoas honestas no h interseco entre eles. Por conseqncia,

Pessoas honestas

Bons soldados


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no haver tambm interseco entre o conjunto dos bons soldados e o conjunto

das pessoas desonestas. Ou seja, no h nenhum bom soldado que desonesto.

Veja, portanto, que a frase B equivalente frase A, e no a sua negao.

Dizer que todo bom soldado honesto equivale a dizer que nenhum bom soldado

desonesto.

C Algum bom soldado pessoa desonesta.

Como vimos acima, esta uma forma de negar a frase A. Veja que dizer

pessoa desonesta equivale a dizer no pessoa honesta.

D Existe bom soldado que no pessoa honesta.

Esta outra forma que vimos para negar a frase A.

E Nenhuma pessoa desonesta um mau soldado.

Esta no uma forma de negar A. Veja que no podemos afirmar nada sobre

os maus soldados, afinal no foi nos dada nenhuma informao sobre eles.

Portanto, apenas as frases C e D so formas de escrever a proposio A. Item

ERRADO.

Resposta: E

29. CESPE Polcia Militar/AC 2008) Considere as seguintes proposies:

C Se 5 par, ento algum clube do Acre disputa a srie A do campeonato brasileiro

de futebol.

D Se 4 primo, ento Chico Mendes foi um defensor da floresta amaznica.

Nesse caso, entre essas 4 proposies, apenas uma F.

RESOLUO:

Vejamos cada proposio:

Essa proposio pode ser lida como: para todo x, tal que x pertence aoconjunto dos nmeros reais e x maior que zero e menor que 1, 1/x maior que 1.


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Isto , a frao 1/x ser maior do que 1 sempre que x estiver entre 0 e 1.

Observe que isto uma verdade. Ex.: se x = 0,1, ento 1/x ser 10. E se x = 0,05,

ento 1/x = 20.

Veja que o mais difcil nesse tipo de questo ler os smbolos matemticos.

Aqui podemos ler: existe x, tal que x pertence ao conjunto dos nmeros reais

e x maior ou igual a 1 e menor ou igual a 1, de modo que x2 maior que 1.

Resumidamente: existe um nmero x entre 1 e 1 cujo quadrado maior

que 1.

Veja que isso falso. Qualquer nmero entre 1 e 1, se elevado ao

quadrado, resulta em um nmero menor que 1. Vejamos alguns exemplos: se x =

0,1, ento x2 = 0,01. E se x = -0,5, ento x2 = 0,25.

C Se 5 par, ento algum clube do Acre disputa a srie A do campeonato brasileiro

de futebol.

Aqui temos uma condicional onde tanto a condio (5 par) como o

resultado (algum clube do Acre disputa a srie A) so falsos. Lembrando que FF

torna a condicional verdadeira, esta proposio verdadeira.

D Se 4 primo, ento Chico Mendes foi um defensor da floresta amaznica.

Nesta condicional temos F V. Neste caso, a condicional verdadeira.

Como apenas 1 das proposies F, este item CERTO.

Resposta: C

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Pessoal, por hoje isso. At a prxima aula!

Abrao,

Arthur Lima ([email protected])


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3. LISTA DAS QUESTES APRESENTADAS NA AULA

1. FCC TRT/1 2011) Admita que todo A B, algum B C, e algum C no A.

Caio, Ana e Lo fizeram as seguintes afirmaes:




Est inequivocamente correto APENAS o que afirmado por

a) Caio.b) Ana.

c) Lo.

d) Caio e Ana.

e) Caio e Lo.

2. FCC TRT/8 2010) Em certo planeta, todos os Aleves so Bleves, todos os

Cleves so Bleves, todos os Dleves so Aleves, e todos os Cleves so Dleves.

Sobre os habitantes desse planeta, correto afirmar que:

a) Todos os Dleves so Bleves e so Cleves.

b) Todos os Bleves so Cleves e so Dleves.

c) Todos os Aleves so Cleves e so Dleves.

d) Todos os Cleves so Aleves e so Bleves.

e) Todos os Aleves so Dleves e alguns Aleves podem no ser Cleves.

3. CESPE PREVIC 2011) Um argumento uma sequncia finita de proposies,

que so sentenas que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Um

argumento vlido quando contm proposies assumidas como verdadeiras

nesse caso, denominadas premissas e as demais proposies so inseridas na

sequncia que constitui esse argumento porque so verdadeiras em consequncia

da veracidade das premissas e de proposies anteriores. A ltima proposio de


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um argumento chamada concluso. Perceber a forma de um argumento o

aspecto primordial para se decidir sua validade. Duas proposies so logicamente

equivalentes quando tm as mesmas valoraes V ou F. Se uma proposio for

verdadeira, ento a sua negao ser falsa, e vice-versa. Com base nessas

informaes, julgue os itens de 16 a 18.

( ) Suponha que um argumento tenha como premissas as seguintes proposies.

Alguns participantes da PREVIC so servidores da Unio.

Alguns professores universitrios so servidores da Unio.

Nesse caso, se a concluso for Alguns participantes da PREVIC so professores

universitrios, ento essas trs proposies constituiro um argumento vlido.

4. CESPE Polcia Civi/ES 2011) Um argumento constitudo por uma sequncia

de trs proposies P1, P2 e P3, em que P1 e P2 so as premissas e P3 a

concluso considerado vlido se, a partir das premissas P1 e P2, assumidas

como verdadeiras, obtm-se a concluso P3, tambm verdadeira por consequncia

lgica das premissas. A respeito das formas vlidas de argumentos, julgue os

prximos itens.





Nessas condies, correto concluir que o argumento de premissas P1 e P2 econcluso P3 vlido.






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5. FCC METR/SP 2010) Numa reunio tcnica:

- o nmero de mulheres que no so Agentes de Segurana o triplo do nmero de

homens que so Agentes de Segurana

- o nmero de homens que no so Agentes de Segurana a metade do nmero

de mulheres que so Agentes de Segurana

- Entre os Agentes de Segurana, o nmero de mulheres o qudruplo do nmero

de homens.

Sabendo-se que existem 90 pessoas na reunio, verdade que o nmero de:

a) homens que so Agentes de Segurana 8

b) mulheres que so Agentes de Segurana 32

c) pessoas que no so Agentes de Segurana 44

d) homens 27

e) mulheres 62

6. FCC Banco do Brasil 2010) Das 87 pessoas que participaram de um

seminrio sobre A Segurana no Trabalho, sabe-se que:




Nessas condies, correto afirmar que:

a) 16 homens tinham menos de 30 anos

b) 8 mulheres tinham menos de 30 anos

c) o nmero de homens era 90% do de mulheres

d) 25 homens tinham 30 anos ou mais de 30 anos de idade

e) o nmero de homens excedia o de mulheres em 11 unidades

7. FCC SEFAZ/SP 2009) Considere o diagrama a seguir, em que U o conjunto

de todos os professores universitrios que s lecionam em faculdades da cidade X,

A o conjunto de todos os professores que lecionam na faculdade A, B o conjunto

de todos os professores que lecionam na faculdade B e M o conjunto de todos os

mdicos que trabalham na cidade X.


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Em todas as regies do diagrama, correto representar pelo menos um habitante

da cidade X. A respeito do diagrama, foram feitas quatro afirmaes:


lecionam na faculdade AII. Todo professor que leciona na faculdade A e no leciona na faculdade B

mdico





Est correto o que se afirma APENAS em:a) I

b) I e III

c) I, III e IV

d) II e IV

e) IV

8. DOM CINTRA MAPA 2010) Considere a proposio: Todo brasileiro

religioso. Admitindo que ela seja verdadeira, pode-se inferir que:







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9. FCC TJ/PE 2007) Todas as estrelas so dotadas de luz prpria. Nenhum

planeta brilha com luz prpria. Logo,



c) todas as estrelas so planetas.



10. CESPE PREVIC 2011) Considere o diagrama abaixo.

Esse diagrama uma prova de que o argumento a seguir vlido, ou seja, as

proposies I e II so premissas e a proposio III uma concluso, pois

verdadeira por consequncia das premissas.

I Nenhum analista administrativo danarino.

II Todos os danarinos so geis.

III Logo, nenhum analista administrativo gil.

11. FCC IPEA 2005)Considerando toda prova de Lgica difcil uma



verdadeira.

(B))alguma prova de Lgica difcil uma proposio necessariamente

verdadeira.



verdadeira.


12. CESPE Polcia Civil/ES 2011) A questo da desigualdade de gnero na

relao de poder entre homens e mulheres forte componente no crime do trfico

de pessoas para fins de explorao sexual, pois as vtimas so, na sua maioria,


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mulheres, meninas e adolescentes. Uma pesquisa realizada pelo Escritrio das

Naes Unidas sobre Drogas e Crime (UNODC), concluda em 2009, indicou que

66% das vtimas eram mulheres, 13% eram meninas, enquanto apenas 12% eram

homens e 9% meninos.

Ministrio da Justia. Enfrentamento ao trfico de

pessoas: relatrio do plano nacional. Janeiro de 2010, p.

23 (com adaptaes).

Com base no texto acima, julgue o item a seguir.

( ) O argumento A maioria das vtimas era mulher. Marta foi vtima do trfico depessoas. Logo Marta mulher um argumento vlido.

13. CONSULPLAN PREF. ITABAIANA 2010) Numa determinada escola de

idiomas, todos os alunos estudam alemo ou italiano. Sabe-se que aqueles que

estudam ingls estudam espanhol e os que estudam alemo no estudam nem

ingls nem espanhol, conforme indicado no diagrama a seguir.

Pode-se concluir que:







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14. CESPE DETRAN/DF 2009) Sabendo-se que dos 110 empregados de uma

empresa, 80 so casados, 70 possuem casa prpria e 30 so solteiros e possuem

casa prpria, julgue os itens seguintes.

( ) Mais da metade dos empregados casados possui casa prpria.

( ) Dos empregados que possuem casa prpria h mais solteiros que casados.

15. FCC BAHIAGS 2010) Admita as frases seguintes como verdadeiras.

I. Existem futebolistas (F) que surfam (S) e alguns desses futebolistas tambm so

tenistas (T).



A representao que admite a veracidade das frases :


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16. FCC MPE/AP 2009) O esquema de diagramas mostra situao

socioeconmica de cinco homens em um levantamento feito na comunidade em que

vivem. As situaes levantadas foram: estar ou no empregado; estar ou no

endividado; possuir ou no um veculo prprio; possuir ou no casa prpria.

Situar-se dentro de determinado diagrama significa apresentar a situao indicada.

Analisando o diagrama, correto afirmar que:

(A) A possui casa prpria, est empregado e endividado, mas no possui veculo

prprio.

(B) B possui veculo prprio, est empregado, mas no possui casa prpria nem

est endividado.(C) C est endividado e empregado, no possui casa prpria nem veculo prprio.

(D) D possui casa prpria, est endividado e empregado, mas no possui veculo

prprio.

(E) E no est empregado nem endividado, possui veculo prprio, mas no possui

casa prpria.

17. CESGRANRIO BACEN 2010) Num famoso talk-show, o entrevistado faz aseguinte afirmao: Toda pessoa gorda no tem boa memria.


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Ao que o entrevistador contraps: Eu tenho boa memria. Logo, no sou gordo.

Supondo que a afirmao do entrevistado seja verdadeira, a concluso do

entrevistador :

(A) falsa, pois o correto seria afirmar que, se ele no fosse gordo, ento teria uma

boa memria.

(B) falsa, pois o correto seria afirmar que, se ele no tem uma boa memria, ento

ele tanto poderia ser gordo como no.

(C) falsa, pois o correto seria afirmar que ele gordo e, portanto, no tem boa

memria.

(D) verdadeira, pois todo gordo tem boa memria.

(E) verdadeira, pois, caso contrrio, a afirmao do entrevistado seria falsa.

18. FCC - SAEB - 2004) Considerando todo livro instrutivo como uma proposio

verdadeira, correto inferir que:

a) Nenhum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.

b) Algum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.

c) Algum livro no instrutivo uma proposio verdadeira ou falsa.

d) Algum livro instrutivo uma proposio verdadeira ou falsa.

e) Algum livro no instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.

19. FCC IPEA 2005) Considerando toda prova de Lgica difcil uma



verdadeira.

(B)) alguma prova de Lgica difcil uma proposio necessariamente

verdadeira.(C) alguma prova de Lgica difcil uma proposio verdadeira ou falsa.


verdadeira.


20. FCC PREF. JABOATO 2006) Sobre os 26 turistas que se encontram em

um catamar, sabe-se que: 75% dos brasileiros sabem nadar;


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20% dos estrangeiros no sabem nadar;

apenas 8 estrangeiros sabem nadar.

Nessas condies, do total de turistas a bordo, somente

(A) 10 brasileiros sabem nadar.

(B) 6 brasileiros no sabem nadar.

(C) 12 so estrangeiros.

(D) 18 so brasileiros.

(E)) 6 no sabem nadar.

21. FCC TRT 6 2006) As afirmaes seguintes so resultados de uma pesquisa

feita entre os funcionrios de certa empresa.



Relativamente a esses resultados, correto concluir que

(A) existem funcionrios fumantes que no faltam ao trabalho.

(B) todo funcionrio que tem bronquite fumante.

(C)) todo funcionrio fumante costuma faltar ao trabalho.

(D) possvel que exista algum funcionrio que tenha bronquite e no falte

habitualmente ao trabalho.

(E) possvel que exista algum funcionrio que seja fumante e no tenha bronquite.

22. FCC TRF 3 2007) Se todos os jaguadartes so momorrengos e todos os

momorrengos so cronpios ento pode-se concluir que:

(A) possvel existir um jaguadarte que no seja momorrengo.

(B) possvel existir um momorrengo que no seja jaguadarte.

(C) Todos os momorrengos so jaguadartes.(D) possvel existir um jaguadarte que no seja cronpio.

(E) Todos os cronpios so jaguadartes.

23. CESPE Polcia Civil/ES 2011) Acerca de operaes com conjuntos, julgue o

item subsequente.

( ) Considere que os conjuntos A, B e C tenham o mesmo nmero de elementos,

que A e B sejam disjuntos, que a unio dos trs possuia 150 elementos e que ainterseo entre B e C possua o dobro de elementos da interseo entre A e C.


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Nesse caso, se a interseo entre B e C possui 20 elementos, ento B tem menos

de 60 elementos.

24. FCC TCE/SP 2012)

Todos os jogadores so rpidos.

Jorge rpido.

Jorge estudante.

Nenhum jogador estudante.

Supondo as frases verdadeiras pode-se afirmar que

(A) a interseco entre o conjunto dos jogadores e o conjunto dos rpidos vazia.

(B) a interseco entre o conjunto dos estudantes e o conjunto dos jogadores no

vazia.

(C) Jorge pertence ao conjunto dos jogadores e dos rpidos.

(D) Jorge no pertence interseco

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