Aula 08 - Exercícios Círculo de Mohr.pdf
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Mecânica dos Sólidos 3 Professor Maurício P. Ferreira Engenheiro Civil, M.Sc., D.Sc. Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Faculdade de Engenharia Civil
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Mecnica dos Slidos 3
Professor Maurcio P. Ferreira
Engenheiro Civil, M.Sc., D.Sc.
Universidade Federal do Par
Instituto de Tecnologia
Faculdade de Engenharia Civil
-
Universidade Federal do Par - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil
Exemplo 1: Para o elemento em estado plano de tenses indicado
abaixo: (a) construir o Crculo de Mohr; (b) determinar os planos de tenso
principal; (c) determinar a intensidade das tenses principais; (d) determinar
as tenses mximas de cisalhamento e as tenses normais correspondentes.
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Exemplo 1:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
Ponto C
50 10abscissa: 20MPa
2 2
ordenada: 0
Clculo do Raio do Crculo de Mohr
50 20 30MPa
40MPa
30 40 50MPa
x y
md
xy
R CX CF FX
CF
FX
R
+ + = = =
=
= = +
= =
=
= + =
(a) Construo do Circulo de Mohr
50 MPa ; 10 MPa ; 40 MPax y xy = = =
-
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Exemplo 1:
(b) Planos de Tenso Principal
50 MPa ; 10 MPa ; 40 MPax y xy = = =
( ) ( )2
1
40tan 2 1,33
30
2 2 4 1,33 1,33 2 3,33tan
2 1,33 2,67
26,6
p
P
P
FX
CF
= = =
= =
=
sabendo-se que:
30MPa
40MPa
CF
FX
=
=
X
Y
-
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Exemplo 1: 50 MPa ; 10 MPa ; 40 MPax y xy = = =
(c) Tenses Principais
max 20 50mdOA OC CA R = = + = + = +
max 70MPa =
min 20 50mdOB OC BC R = = = =
min 30MPa =
sabendo-se que:
30MPa
40MPa
50MPa
CF
FX
R
=
= =
-
Universidade Federal do Par - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil
Exemplo 1: 50 MPa ; 10 MPa ; 40 MPax y xy = = =
1
sabendo-se que:
26,6
50MPa
P
R
=
=
1 45 26,6 45S P = + = +
71,6s =
max R =
max 50 MPa =
md =
20 MPa =
(d) Cisalhamento Mximo
-
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Exemplo 2: Para o elemento em estado plano de tenses indicado
abaixo, determine: (a) o plano e a intensidade das tenses principais; (b) as
componentes de tenso do elemento se ele for girado 30 no sentido anti-
horrio.
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Exemplo 2:
(a) Plano e intensidade das tenses principais
100 MPa ; 60 MPa ; 48 MPax y xy = = =
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
Ponto C
100 60abscissa: 80MPa
2 2
ordenada: 0
Clculo do Raio do Crculo de Mohr
100 80 20MPa
48MPa
20 48 52MPa
x y
md
xy
x md
R CX CF FX
CF
FX
R
+ += = =
=
= = +
= = =
=
= + =
X
Y
-
Universidade Federal do Par - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil
Exemplo 2:
(a) Plano e intensidade das tenses principais
100 MPa ; 60 MPa ; 48 MPax y xy = = =
( ) ( )2
1
48tan 2 2,4
20
2 2 4 2,4 2,4 2 5,2tan
2 2,4 4,8
33,7
p
P
P
FX
CF
= = =
= =
=
sabendo-se que:
20MPa
48MPa
CF
FX
=
=
max
max 80 52md
OA OC CA
R
= = +
= + = +
max 132MPa =
min
min 80 52md
OB OC BC
R
= =
= =
min 28MPa =
-
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Exemplo 2:(b) as componentes de tenso do elemento se
ele for girado 30 no sentido anti-horrio
100 MPa ; 60 MPa ; 48 MPax y xy = = =
1180 2 2
180 60 67.4 52.6
cos 80 52cos52.6
48,4 MPa
cos 80 52cos52.6
111,6 MPa
sin 52sin52.6
41,3 MPa
P
x
x md
x
y
y md
y
x y
x y
OK OC KC
R
OL OC CL
R
KX R
=
= =
= =
= =
=
= = +
= + = +
=
= = =
=
-
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Exemplo 3: Uma fora axial de 900 N e um torque de 2,50 Nm esto
aplicados ao eixo mostrado na Figura abaixo. Supondo que o eixo tenha um
dimetro de 40 mm, determinar as tenses principais no ponto P de sua
superfcie.
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Exemplo 3:
(a) Componentes de Tenso
( ) ( )( )
2
412
900716,2 kPa
40
4
2500 20198,9 kPa
20
y
xy
P
A
Tc
J
= + = + = +
= + = + =
(b) Construo do crculo de Mohr
0 716,2358,1 kPa
2 2
x y
md
+ += = =
( ) ( )2 2
2 20 716,2198,9
2 2
409,7 kPa
x y
xyR
R
= + = +
=
-
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Exemplo 3:
(c) Tenses Principais
min
min
min
358,1 409,7
51,5 kPa
md
DO OC DC
R
= =
= =
= A
max
max
max
358,1 409,7
767,8 kPa
md
OB OC CB
R
= = +
= + = +
= +
( ) ( )
2
2
2
2
198,9tan 2 0,555
358,1
2 2 4 0,555 0,555 2 2,29tan
2 0,555 1,11
14,5
P
P
P
OA
OC
= = =
= =
=
