aula 1 2011-10-06 - if.ufrgs.brmittmann/aula_1.pdf · Introdução (cont.) Modelagem matemática...
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CURSO DE EXTENSÃO Aula 1 IFRS Campus Porto Alegre Outubro de 2011
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CURSO DE EXTENSÃOAula 1
IFRSCampus Porto Alegre
Outubro de 2011
Introdução
� Objetivo
�Promover o entendimento de como ocorre o processo de modelagem matemática da natureza pela física, através de atividades teóricas e experimentais, desenvolvidas no Projeto de Extensão Aprendendo a Ler e a Escrever o Livro da Natureza
Introdução (cont.)
� Modelagem matemática � Descrição matemática de um fenômeno
Introdução (cont.)
� Modelagem matemática � Descrição matemática de um fenômeno
�Funções matemáticas (constante, quadrática, exponencial, etc.)
Introdução (cont.)
� Modelagem matemática � Descrição matemática de um fenômeno
�Funções matemáticas (constante, quadrática, exponencial, etc.)
�Equações diferenciais
RC
t
eqq
C
q
dt
dqR
−
=
=+
0
0
Introdução (cont.)
� Modelagem matemática � Descrição matemática de um fenômeno
�Funções matemáticas (constante, quadrática, exponencial, etc.)
�Equações diferenciais
�Simulações computacionais
RC
t
eqq
C
q
dt
dqR
−
=
=+
0
0
Funções
� Função nula� f(x) = 0
Funções
� Função nula� f(x) = 0
x y
0 0
1 0
2 0
3 0
4 0
Funções
� Função nula� f(x) = 0
x y
0 0
1 0
2 0
3 0
4 0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 1 2 3 4 5
x
y
Funções (cont.)
� Função constante� f(x) = a
Funções (cont.)
� Função constante� f(x) = a
x y
0 3
1 3
2 3
3 3
4 3
Funções (cont.)
� Função constante� f(x) = a
x y
0 3
1 3
2 3
3 3
4 3
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 1 2 3 4 5
x
y
Funções (cont.)
� Função de 1o. grau ou afim
� f(x) = ax + b
Funções (cont.)
� Função de 1o. grau ou afim
� f(x) = ax + b
x y
0 2
1 3
2 4
3 5
4 6 0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5
x
y
Funções (cont.)
� Função de 1o. grau ou afim
� f(x) = ax + b
x y
0 2
1 3
2 4
3 5
4 6 0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5
x
y
� Função linear
�f(x) = ax
Funções (cont.)
� Função de 1o. grau ou afim
� f(x) = ax + b
x y
0 2
1 3
2 4
3 5
4 6 0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5
x
y
� Função linear
�f(x) = ax
x y
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 1 2 3 4 5
x
y
Funções (cont.)
� Função de 2o. grau ou quadrática� f(x) = ax² + bx + c
x y
0 5
1 7
2 11
3 17
4 25
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5
x
y
Funções (cont.)
� Função de 2o. grau ou quadrática� f(x) = ax² + bx + c
� f(x) = ax² + bx
x y
0 5
1 7
2 11
3 17
4 25
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5
x
yx y
0 0
1 2
2 6
3 12
4 200
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
x
y
Funções (cont.)
� Função de 2o. grau ou quadrática� f(x) = ax² + bx + c
� f(x) = ax² + bx
� f(x) = ax²
x y
0 5
1 7
2 11
3 17
4 25
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5
x
yx y
0 0
1 2
2 6
3 12
4 200
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
x
y
x y
0 0
1 1
2 4
3 9
4 160
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 1 2 3 4 5
x
y
Funções (cont.)
� Função de 3o. grau ou cúbica� f(x) = ax³ + bx² + cx + d
x y
0 20
1 23
2 34
3 59
4 104
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5
x
y
Funções (cont.)
� Função de 3o. grau ou cúbica� f(x) = ax³ + bx² + cx + d
� f(x) = ax³
x y
0 20
1 23
2 34
3 59
4 104
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5
x
y
x y
0 0
1 3
2 14
3 39
4 840
10
20
30
40
50
60
70
0 1 2 3 4 5
x
y
Funções (cont.)
� Função potência� f(x) = axb
x y
0 0
1 1
2 2,828
3 5,196
4 80
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 1 2 3 4 5
x
y
Funções (cont.)
� Função potência� f(x) = axb
� f(x) = ax−−−−b
x y
0 0
1 1
2 2,828
3 5,196
4 80
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 1 2 3 4 5
x
y
x y
0,1 31,62
1 1
2 0,354
3 0,192
4 0,125
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5
x
y
Funções (cont.)
� Função exponencial
� f(x) = aebx
x y
0 1
1 2,718
2 7,389
3 20,09
4 54,60
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3 4 5
x
y
Funções (cont.)
� Função exponencial
� f(x) = aebx
� f(x) = ae−−−−bx
x y
0 1
1 2,718
2 7,389
3 20,09
4 54,60
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3 4 5
x
y
x y
0 1
1 0,368
2 0,135
3 0,05
4 0,018 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4 5
x
y
Funções (cont.)
� Função logarítmica
� f(x) = a ln(bx)
x y
0,001 -6,91
1 0
2 0,693
3 1,099
4 1,386
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 1 2 3 4 5
x
y
Aplicação 1
t (s) v (m/s) 0 0 1 6,90
2 13,8
3 20,9
4 28,2
Aplicação 1
t (s) v (m/s) 0 0 ≈≈≈≈ 0 1 6,90 ≈≈≈≈ 7 2 13,8 ≈≈≈≈ 14 3 20,9 ≈≈≈≈ 21 4 28,2 ≈≈≈≈ 28
Aplicação 1
t (s) v (m/s) 0 0 ≈≈≈≈ 0 1 6,90 ≈≈≈≈ 7 2 13,8 ≈≈≈≈ 14 3 20,9 ≈≈≈≈ 21 4 28,2 ≈≈≈≈ 28
-5
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5
t (s)v
(m/s
)
Aplicação 1
t (s) v (m/s) 0 0 ≈≈≈≈ 0 1 6,90 ≈≈≈≈ 7 2 13,8 ≈≈≈≈ 14 3 20,9 ≈≈≈≈ 21 4 28,2 ≈≈≈≈ 28
Função linear?
-5
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5
t (s)v
(m/s
)
Aplicação 1
t (s) v (m/s) 0 0 ≈≈≈≈ 0 1 6,90 ≈≈≈≈ 7 2 13,8 ≈≈≈≈ 14 3 20,9 ≈≈≈≈ 21 4 28,2 ≈≈≈≈ 28
Função linear?
� f(x) = ax
-5
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5
t (s)v
(m/s
)
Aplicação 1
t (s) v (m/s) 0 0 ≈≈≈≈ 0 1 6,90 ≈≈≈≈ 7 2 13,8 ≈≈≈≈ 14 3 20,9 ≈≈≈≈ 21 4 28,2 ≈≈≈≈ 28
x
xfa
)(=
Função linear?
� f(x) = ax
� Coeficiente
-5
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5
t (s)v
(m/s
)
Aplicação 1
t (s) v (m/s) 0 0 ≈≈≈≈ 0 1 6,90 ≈≈≈≈ 7 2 13,8 ≈≈≈≈ 14 3 20,9 ≈≈≈≈ 21 4 28,2 ≈≈≈≈ 28
x
xfa
)(=
Função linear?
� f(x) = ax
� Coeficiente a1 = 6,90
a2 = 6,90
a3 = 6,97a4 = 7,05
amédio = 6,96
-5
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5
t (s)v
(m/s
)
Aplicação 1
t (s) v (m/s) 0 0 ≈≈≈≈ 0 0 1 6,90 ≈≈≈≈ 7 6,96 2 13,8 ≈≈≈≈ 14 13,9 3 20,9 ≈≈≈≈ 21 20,9 4 28,2 ≈≈≈≈ 28 27,8
x
xfa
)(=
Função linear?
� f(x) = ax
� Coeficiente a1 = 6,90
a2 = 6,90
a3 = 6,97a4 = 7,05
amédio = 6,96 v = 6,96t
-5
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5
t (s)v
(m/s
)
Aplicação 1 (cont.)
� Coeficiente de correlação de Pearson r
Aplicação 1 (cont.)
� Coeficiente de correlação de Pearson r
( ) ( )
∑−∑
∑−∑
∑∑−∑
=
n
yy
n
xx
n
yxxy
r2
2
2
2
Aplicação 1 (cont.)
� Coeficiente de correlação de Pearson r
r2 = 1,00
( ) ( )
∑−∑
∑−∑
∑∑−∑
=
n
yy
n
xx
n
yxxy
r2
2
2
2
Aplicação 2
t (s) i (A) 0 10,0 1 14,7
2 19,8
3 26,0
4 30,0
Aplicação 2
t (s) i (A) 0 10,0 1 14,7
2 19,8
3 26,0
4 30,0
Função 1o. grau
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5
t (s)
i (A
)
Aplicação 2
t (s) i (A) 0 10,0 1 14,7
2 19,8
3 26,0
4 30,0
Função 1o. grau
� f(x) = ax + b
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5
t (s)
i (A
)
Aplicação 2
t (s) i (A) 0 10,0 1 14,7
2 19,8
3 26,0
4 30,0
x
bxfa
−=
)(
Função 1o. grau
� f(x) = ax + b� Coeficiente
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5
t (s)
i (A
)
Aplicação 2
t (s) i (A) 0 10,0 1 14,7
2 19,8
3 26,0
4 30,0
x
bxfa
−=
)(
Função 1o. grau
� f(x) = ax + b� Coeficiente
b = 10,0
a1 = 4,70a2 = 4,90
a3 = 5,33a4 = 5,00
amédio = 4,98
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5
t (s)
i (A
)
Aplicação 2
t (s) i (A) 0 10,0 10,0 1 14,7 15,0
2 19,8 20,0
3 26,0 24,9
4 30,0 29,9
x
bxfa
−=
)(
Função 1o. grau
� f(x) = ax + b� Coeficiente
b = 10,0
a1 = 4,70a2 = 4,90
a3 = 5,33a4 = 5,00
amédio = 4,98 i = 4,98t + 10,0
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5
t (s)
i (A
)
Aplicação 3
t (s) x (m) 0 0 1 −−−−4,60 2 −−−−20,0 3 −−−−44,0 4 −−−−77,0
Aplicação 3
t (s) x (m) 0 0 1 −−−−4,60 2 −−−−20,0 3 −−−−44,0 4 −−−−77,0
Função quadrática?
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0 1 2 3 4 5
t (s)
v (m
/s)
Aplicação 3
t (s) x (m) 0 0 1 −−−−4,60 2 −−−−20,0 3 −−−−44,0 4 −−−−77,0
2
)(
x
xfa =
Função quadrática?
� f(x) = ax²
� Coeficiente
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0 1 2 3 4 5
t (s)
v (m
/s)
Aplicação 3
t (s) x (m) 0 0 1 −−−−4,60 2 −−−−20,0 3 −−−−44,0 4 −−−−77,0
2
)(
x
xfa =
Função quadrática?
� f(x) = ax²
� Coeficiente a1 = −−−−4,60
a2 = −−−−5,00
a3 = −−−−4,89
a4 = −−−−4,81
amédio = −−−−4,83
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0 1 2 3 4 5
t (s)
v (m
/s)
Aplicação 3
t (s) x (m) 0 0 0 1 −−−−4,60 −−−−4,60 2 −−−−20,0 −−−−19,3 3 −−−−44,0 −−−−43,5 4 −−−−77,0 −−−−77,3
2
)(
x
xfa =
Função quadrática?
� f(x) = ax²
� Coeficiente a1 = −−−−4,60
a2 = −−−−5,00
a3 = −−−−4,89
a4 = −−−−4,81
amédio = −−−−4,83 x = −−−−4,83t²
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0 1 2 3 4 5
t (s)
v (m
/s)
Linearização
f(x) →→→→ Y = AX + B
Linearização
f(x) →→→→ Y = AX + B
y = axb
Linearização
f(x) →→→→ Y = AX + B
y = axb
ln y = ln (axb)
Linearização
f(x) →→→→ Y = AX + B
y = axb
ln y = ln (axb)ln y = ln a + b ln x
Linearização
f(x) →→→→ Y = AX + B
y = axb
ln y = ln (axb)ln y = ln a + b ln x
Y = ln yX = ln xA = bB = ln a
Linearização
f(x) →→→→ Y = AX + B
y = axb
ln y = ln (axb)ln y = ln a + b ln x
Y = ln yX = ln xA = bB = ln a
Testa Y = AX + B com o coeficiente de correlação de Pearson
y = 5,7956x2 - 7,5163x
R2 = 0,9943
y = x3
R2 = 1
y = 0,0094e2,5693x
R2 = 0,8047
0
50
100
150
200
250
300
0 1 2 3 4 5
x
y
Referências
� G. L. Toledo e I. I. Ovalle, Estatística básica, 2a. ed. São Paulo: Atlas, 2008
� G. L. Thomas. Atividade de Laboratório VI: Força Eletromotriz Induzida. www.if.ufrgs.br/fis182/labs/lab6.pdf, jul.2011
� K. C. S. Smole e M. I. S. V. Diniz. Matemática, v. 1, 5a. ed. São Paulo: Saraiva, 2005
