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Projeto de Extensão Aprendendo a ler e a escrever o livro da natureza Edital 001/2011

Programa Institucional de Bolsas de Extensão −−−− PIBEX

APOSTILA CURSO DE EXTENSÃO

Sérgio Mittmann dos Santos (coordenador) Carolina Borba da Silva (bolsista)

Outubro de 2011

Apresentação Com o principal objetivo de promover o entendimento do comportamento da natureza através da física e da matemática, em março de 2011, foi submetido o projeto de extensão Aprendendo a ler e a escrever o livro da natureza ao edital 001/2011, do Programa Institucional de Bolsas de Extensão − PIBEX, do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul − IFRS, Campus Porto Alegre. O mesmo foi contemplado com uma bolsa de extensão, vigente desde abril de 2011. A inspiração para a denominação do projeto veio da afirmação de Galileu Galilei, considerado o fundador do método experimental, de que o livro da natureza está escrito em caracteres matemáticos. De fato, a matemática parece carregar a lógica que sustenta a dinâmica da natureza. Apoiada nesta lógica, a física, junto com outras áreas do conhecimento, promove a construção de modelos matemáticos capazes de trazer alguma descrição aos fenômenos observados na natureza. Mesmo que, às vezes, não sejam tão eficientes do ponto de vista quantitativo, estes modelos contribuem para a evolução do entendimento humano sobre a natureza e são empregados em importantes aplicações tecnológicas. Alguns destes modelos, mesmo carecendo de uma comprovação experimental inicial, acabaram sendo considerados adequados, principalmente porque estavam alicerçados por um rigoroso formalismo matemático, como a teoria da relatividade de Albert Einstein, que foi inicialmente olhada com estranheza, mas, atualmente, não tem a sua validade questionada, porque, por exemplo, levou à previsão da existência de buracos negros e é empregada para o correto funcionamento do sistema de posicionamento global. Teorias mais recentes parecem ir nesta mesma direção, como a teoria de cordas, que, por enquanto, mostra-se exclusivamente matemática, mas, no futuro, poderá contribuir fortemente para a nossa compreensão sobre a natureza das interações fundamentais do Universo. Uma das etapas previstas no projeto é a oferta de um curso de extensão, com a mesma denominação do projeto. A presente apostila contém os roteiros das atividades experimentais previstas para este curso. Os roteiros condensam os esforços desenvolvidos até aqui no desenvolvimento do projeto, com temas que vão desde a geometria até o eletromagnetismo. Possuem uma linguagem simplificada, objetiva, porque são voltados para aqueles que recém ingressaram no ensino superior e estão experimentando um primeiro contato com a modelagem matemática de fenômenos físicos. O uso da apostila não precisa ficar restrito a este curso de extensão, podendo ser empregada também em atividades regulares de ensino. Um bom curso a todos!

Porto Alegre, outubro de 2011.

Sérgio Mittmann dos Santos Carolina Borba da Silva

Curso de Extensão Aprendendo a ler e a escrever o livro da natureza

Edição 2011/2

Local Laboratório de Ensino de Ciências da Natureza Público Interessados em modelagem matemática de fenômenos

físicos Pré-requisito Ensino médio concluído

Número de vagas 20 Carga horária 15 h

Taxa de inscrição Não há

CRONOGRAMA

Aula Horário Data Assunto 1 Qua: 05.out Introdução. Funções. Experiência 1. 2 Qui: 06.out Experiências 2, 3 e 4. 3 Qui: 13.out Experiências 5 e 6 4 Qua: 19.out Experiências 7 e 9. 5

19 às 22 h

Qua: 26.out Experiências 10 e 11. Avaliação.

ÍNDICE Experiência 1: Perímetro da circunferência em função do diâmetro .............................. 9

Experiência 2: Área do círculo em função do seu raio ................................................... 10

Experiência 3: Área do quadrado em função do seu lado .............................................. 11

Experiência 4: Relação entre o volume e o raio de uma esfera ..................................... 12

Experiência 5: Movimento de uma bolha de ar na água ................................................ 14

Experiência 6: Deformação elástica ............................................................................... 15

Experiência 7: Pêndulo simples ...................................................................................... 17

Experiência 8: Relação entre o tempo e a área do orifício de escoamento de um líquido .............................................................................................................................

19

Experiência 9: Configuração de superfícies equipotenciais e de linhas de força num dipolo elétrico ..................................................................................................................

21

Experiência 10: Força eletromotriz induzida ................................................................... 23

Experiência 11: Circuito RC Série .................................................................................. 25

9

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EXPERIÊNCIA 1 Perímetro da circunferência em função do diâmetro

OBJETIVO

Determinar a função matemática que relaciona o perímetro da circunferência com o seu diâmetro.

MATERIAL

(a) 4 objetos com seções transversais circulares distintas (tampa de garrafa, copo, lata de refrigerante, lata de azeite, etc.);

(b) Barbante; (c) Régua.

PROCEDIMENTO

(1) Usando o barbante, obtenha o perímetro de cada um dos objetos. (2) Para determinar os valores dos perímetros, estique o barbante sobre a régua. (3) Com a régua, meça o diâmetro dos objetos. (4) Anote as medidas encontradas, utilizando a tabela abaixo.

Perímetro P (cm) Diâmetro D (cm) 1 2 3 4

(5) Repita 4 vezes os procedimentos anteriores, a fim de encontrar medidas mais confiáveis. (6) Construa o gráfico da função P(D), utilizando os dados da tabela. (7) Com base nos dados obtidos, que função matemática pode ser aplicada nesta relação?

Encontre-a.

REFERÊNCIA

R. M. Grings, A. P. Ávila, C. Heinemann, H. H. K. E. Wackerritt, R. E. Becker, I. N. Borges e L. S. Xavier. Cadernos de Física e Instrumentação I: Instrumentação para Introdução ao Estudo da Física no Segundo Grau. São Leopoldo: UNISINOS, 1990.

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EXPERIÊNCIA 2 Área do círculo em função do seu raio

OBJETIVO

Determinar a função matemática que relaciona a área do círculo com o seu raio.

MATERIAL

(a) Papel milimetrado; (b) Régua; (c) 4 objetos com seções transversais circulares distintas (tampa de garrafa, copo, lata de

refrigerante, lata de azeite, etc.).

PROCEDIMENTO

(1) Utilizando os objetos circulares, trace círculos sobre o papel milimetrado. (2) Use os quadradinhos do papel milimetrado como padrão de medida e conte quantos são

necessários para formar o raio do círculo. Se for preciso, utilize a régua para encontrar corretamente o centro da figura.

(3) Conte quantos quadradinhos preenchem a área total do círculo, anotando na tabela abaixo estes valores.

Raio r (cm) Área A (cm2) 1 2 3 4

(4) Repita este procedimento com os outros círculos desenhados, sempre completando a tabela com os valores encontrados.

(5) Com base nos dados obtidos, construa o gráfico da função A(r). (6) Que função matemática pode ser aplicada nesta relação? Encontre-a.

REFERÊNCIA


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EXPERIÊNCIA 3 Área do quadrado em função do seu lado

OBJETIVO

Determinar a função matemática que relaciona a área do quadrado com o seu lado.

MATERIAL

(a) Papel milimetrado; (b) Régua.

PROCEDIMENTO

(1) Trace sobre o papel milimetrado 4 quadrados de dimensões diferentes. (2) Use os quadradinhos do papel milimetrado como padrão de medida e conte quantos são

necessários para formar o lado de um dos quadrados desenhados. (3) Em seguida, conte quantos quadradinhos são necessários para preencher por completo

o quadrado. (4) Anote os valores encontrados, utilizando a tabela abaixo.

Lado L (cm) Área A (cm2) 1 2 3 4

(5) Repita este procedimento para os demais quadrados desenhados, sempre anotando na tabela os valores encontrados.

(6) Com base nos dados obtidos, construa o gráfico da função A(L). (7) Que função matemática pode ser aplicada nesta relação? Encontre-a.

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REFERÊNCIA


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EXPERIÊNCIA 4 Relação entre o volume e o raio de uma esfera

OBJETIVO

Determinar a função matemática que relaciona o volume com o raio de uma esfera.

MATERIAL

(a) 4 esferas de diferentes dimensões (esferas metálicas, bolinhas de gude, etc.); (b) Recipiente graduado (proveta, béquer ou erlenmeyer); (c) Papel milimetrado; (d) Paquímetro; (e) Régua.

PROCEDIMENTO

(1) Utilizando o paquímetro, meça o diâmetro de cada esfera. Lembre-se de dividir o valor encontrado por 2, para determinar o raio.

(2) Coloque uma determinada medida de água no recipiente graduado e faça a leitura deste volume inicial (Vi). É importante que, para todas as medidas feitas, o volume inicial seja sempre constante.

(3) Ponha uma das esferas dentro do recipiente com água, tomando cuidado para que a mesma fique totalmente submersa. Verifique o volume atingido pela água (Vf).

(4) Para encontrar o volume da esfera, calcule a diferença entre o volume final e o volume inicial Vf − Vi. A figura abaixo indica o que deve acontecer.

(5) Proceda da mesma forma com as outras esferas e anote na tabela a seguir as medidas

encontradas. Expresse r e V utilizando o mesmo sistema de unidades.

Raio r Volume V 1 2 3 4

(6) Com base nos dados obtidos, construa o gráfico da função V(r).

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(7) Que função matemática pode ser aplicada nesta relação? Encontre-a.

REFERÊNCIA R. M. Grings, A. P. Ávila, C. Heinemann, H. H. K. E. Wackerritt, R. E. Becker, I. N. Borges e L. S. Xavier. Cadernos de Física e Instrumentação I: Instrumentação para Introdução ao Estudo da Física no Segundo Grau. São Leopoldo: UNISINOS, 1990.

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EXPERIÊNCIA 5 Movimento de uma bolha de ar na água

OBJETIVO

Determinar a relação posição em função do tempo através do movimento de uma bolha de ar no interior de um tubo com água.

MATERIAL

(a) Dispositivo de madeira, que suporta um tubo com água e corante, dentro do qual há uma bolha de ar, e uma fita métrica;

(b) Cronômetro; (c) Livros, sobre os quais se apoiará uma das extremidades do dispositivo de madeira.

PROCEDIMENTO

(1) Coloque o dispositivo sobre uma superfície plana. (2) Posicione a bolha de ar do dispositivo na extremidade onde está o zero da fita métrica e

eleve 12 cm a extremidade oposta. Para isto, apóie a extremidade sobre livros (ou algum outro corpo).

(3) Você perceberá que a bolha começará a mover-se no sentido crescente das posições indicadas na fita métrica. Considere que a posição 15 cm seja o ponto de referência x0 do experimento. Quando a bolha atingir este ponto, inicie a contagem do tempo com o cronômetro.

(4) Anote as posições pelas quais a bolha passa nos instantes múltiplos de 5 s. (5) Faça uma tabela posição x em função do tempo t. (6) Construa o gráfico posição x em função do tempo t. (7) Encontre uma função matemática que relaciona x e t, supondo que o movimento da

bolha seja uniformemente variado, e outra que admita que o movimento seja uniforme. Qual das duas funções deve ser a mais adequada para a descrição do movimento da bolha? Por quê?

REFERÊNCIAS [1] R. M. Grings, A. P. Ávila, C. Heinemann, H. H. K. E. Wackerritt, R. E. Becker, I. N. Borges

e L. S. Xavier. Cadernos de Física e Instrumentação I: Instrumentação para Introdução ao Estudo da Física no Segundo Grau. São Leopoldo: UNISINOS, 1990.

[2] Bolhas confinadas. portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/recursos/17844/bolhas_confinadas.pdf, 8.jul.2011.

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EXPERIÊNCIA 6 Deformação elástica

OBJETIVO Determinar a relação entre a deformação elástica de uma mola e o peso do corpo utilizado para produzir esta deformação.

MATERIAL

(a) 1 dinamômetro de 2 N; (b) 1 suporte para o dinamômetro; (c) 4 discos com pesos conhecidos; (d) 1 suporte para os discos; (e) 1 régua.

PROCEDIMENTO

(1) Pendure o dinamômetro na extremidade livre da barra horizontal do suporte. (2) Pendure o suporte para os discos na escala do dinamômetro. Uma representação do

experimento pode ser observada na figura a seguir.

(3) Considere que a extremidade inferior do tubo que envolve a escala do dinamômetro seja

a posição de referência x=0. Meça a distância entre esta extremidade e a extremidade inferior da escala do dinamômetro. Esta distância será a posição inicial x0, quando o peso dos discos aplicados é nulo.

(4) Coloque um disco no suporte. Meça a nova distância entre as extremidades inferiores do tubo e da escala do dinamômetro.

(5) Repita o procedimento anterior, acrescentando mais um disco no suporte e assim sucessivamente, até que os 4 discos tenham sido utilizados.

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(6) Construa a tabela peso P em função da posição x, como sugerido a seguir.

Peso P (gf) Posição x (cm) P0= 0 x0= P1=

P1+P2= P1+P2+P3=

P1+P2+P3+P4=

(7) A partir dos dados tabelados, faça o gráfico P x x. (8) Encontre a função matemática que relaciona P e x.

REFERÊNCIA


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EXPERIÊNCIA 7 Pêndulo simples

OBJETIVO

Determinar a relação entre o período de um pêndulo simples e o seu comprimento.

MATERIAL

(a) 1 disco metálico; (b) 1 cordão, com aproximadamente 1,5 m de comprimento; (c) 1 suporte para o pêndulo; (d) 1 cronômetro.

PROCEDIMENTO

(1) Amarre o disco numa das extremidades do cordão. (2) Amarre a outra extremidade do cordão na extremidade livre da barra horizontal do

suporte, observando para que a distância entre os centros da seção transversal da barra e do disco seja aproximadamente 1 m. A figura a seguir representa a montagem do experimento.

(3) A partir da posição de equilíbrio do pêndulo, desloque-o lateralmente aproximadamente

15°. Simultaneamente, solte o pêndulo e dispare o cronômetro. (4) Conte 4 oscilações completas e então pare o cronômetro. Obtenha o período de

oscilação dividindo o tempo lido no cronômetro por 4. (5) Repita o procedimento para os comprimentos 75 cm, 50 cm e 25 cm. (6) Faça o gráfico período T em função do comprimento L.

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(7) Que função matemática exprime a relação entre o período e o comprimento do pêndulo?

REFERÊNCIAS

[1] R. M. Grings, A. P. Ávila, C. Heinemann, H. H. K. E. Wackerritt, R. E. Becker, I. N. Borges e L. S. Xavier. Cadernos de Física e Instrumentação I: Instrumentação para Introdução ao Estudo da Física no Segundo Grau. São Leopoldo: UNISINOS, 1990.

[2] D. Halliday, R. Resnick e J. Walker. Fundamentos de Física, v. 2: Gravitação, ondas e termodinâmica, 8a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.

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EXPERIÊNCIA 8 Relação entre o tempo e a área do orifício de escoamento de um

líquido

OBJETIVO

Determinar a relação entre o tempo de escoamento de um determinado volume de água e a área do orifício por onde ele escoa.

MATERIAL

(a) 1 garrafa plástica cilíndrica transparente de 500 mL, com tampa roscável (garrafa de água mineral, refrigerante, etc.);

(b) 1 cronômetro; (c) 1 prego; (d) 1 fonte de calor (lamparina ou vela); (e) água.

PROCEDIMENTO

(1) Faça duas marcas na garrafa, para indicar os níveis inicial e final da água que escoará, como mostra a figura 1.

Figura 1: Representação do experimento, onde podem ser observados os orifícios com a mesma altura h.

(2) Encha a garrafa com água, até superar a marca do nível inicial. (3) Tampe a garrafa. (4) Com o prego aquecido, faça um orifício na garrafa abaixo da marca do nível final,

conforme a figura 1.

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(5) Retire a tampa da garrafa, para que a água escoe. Dispare o cronômetro, quando o nível inicial for atingido.

(6) Pare o cronômetro, quando for atingido o nível final. (7) Obstrua o orifício e, novamente, encha a garrafa com água, até superar a marca do nível

inicial, e tampe-a. (8) Faça outro orifício com as mesmas área e altura h do primeiro, como indicado na figura

1. (9) Agora, determine o tempo de escoamento da água, quando existem 2 orifícios na

garrafa, repetindo os procedimentos (5) e (6). (10) Repita os procedimentos para 3, 4, 5 e 6 orifícios. (11) Construa uma tabela do tempo de escoamento t em função da área A dos orifícios,

considerando que cada orifício tenha área a. (12) Faça o gráfico t x A. (13) Encontre a função matemática t=f(A).

REFERÊNCIAS

[1] R. M. Grings, A. P. Ávila, C. Heinemann, H. H. K. E. Wackerritt, R. E. Becker, I. N. Borges e L. S. Xavier. Cadernos de Física e Instrumentação I: Instrumentação para Introdução ao Estudo da Física no Segundo Grau. São Leopoldo: UNISINOS, 1990.

[2] D. Halliday, R. Resnick e J. Walker. Fundamentos de Física, v. 2: Gravitação, ondas e termodinâmica, 8a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.

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EXPERIÊNCIA 9 Configuração de superfícies equipotenciais e de linhas de força num

dipolo elétrico

OBJETIVOS (1) Obter a configuração das superfícies equipotenciais e das linhas de força de um dipolo elétrico.

(2) Determinar a relação entre a posição e o potencial elétrico gerado por um dipolo elétrico.

MATERIAL

(a) 1 cuba com fundo transparente; (b) 1 suporte com 2 eletrodos; (c) 1 fonte de tensão contínua com 2 cabos elétricos; (d) 1 voltímetro; (e) 2 folhas A3 de papel milimetrado.

PROCEDIMENTO

(1) Coloque 1 folha de papel milimetrado sobre uma superfície horizontal. (2) Sobre a folha, coloque a cuba. (3) Acrescente água na cuba até que o nível atingido seja em torno de 1 cm. (4) Posicione o suporte de tal forma que as extremidades inferiores dos eletrodos fiquem

imersas na cuba e afastadas aproximadamente 10 cm. (5) Fixe os cabos da fonte nas extremidades superiores dos eletrodos. (6) Fixe a ponteira negativa do voltímetro no eletrodo onde está o terminal negativo da fonte.

Este eletrodo será o potencial de referência V=0 da experiência. A figura a seguir representa a montagem do experimento.

(7) Ajuste a tensão da fonte para 25 V.

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(8) Com a ponteira positiva do voltímetro, meça, a cada 1 cm, a diferença de potencial entre os eletrodos ao longo da reta que os une, começando pelo eletrodo positivo, onde estará a posição de referência (0;0). Registre estas medidas numa tabela, como a ilustrada a seguir.

Posição

x (cm) y (cm) Diferença de potencial V (V)

0 0 25 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 10 0 0

(9) Para 6 medida realizadas, identifique pelo menos outros 5 pontos que tenham o mesmo potencial. Registre estes pontos e os das medidas anteriores na outra folha milimetrada.

(10) Una pontos com mesmo potencial através de uma linha tracejada, para que possam ser melhor observadas as projeções das superfícies equipotenciais medidas. A partir destas superfícies equipotenciais, trace as correspondentes linhas de força do campo elétrico estabelecido.

(11) Identifique que tipo de função matemática está associada ao comportamento do potencial elétrico em relação à posição V=f(x,y).

REFERÊNCIAS

[1] G. L. Thomas. Atividade de Laboratório II: Configurações de Campos Elétricos. www.if.ufrgs.br/fis182/labs/lab2.pdf, 9.jul.2011.

[2] D. Halliday, R. Resnick e J. Walker. Fundamentos de Física, v. 3: Eletromagnetismo, 8a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.

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EXPERIÊNCIA 10 Força eletromotriz induzida

OBJETIVO Determinar a relação entre a força eletromotriz induzida por uma bobina sobre outra e a distância entre elas.

MATERIAL

(a) 1 bobina com 300 espiras; (b) 1 bobina com 600 espiras; (c) 1 núcleo de ferro; (d) 1 fonte de tensão alternada com 2 cabos elétricos; (e) 1 voltímetro; (f) 1 régua.

PROCEDIMENTO

(1) Introduza o núcleo de ferro na bobina com 300 espiras de tal forma que uma das suas extremidades fique alinhada com um dos lados da bobina. Junto a este lado, encoste a bobina com 600 espiras.

(2) Fixe os cabos da fonte nos terminais da bobina com 300 espiras. (3) Fixe as ponteiras do multímetro nos terminais da bobina com 600 espiras. (4) Ajuste a tensão da fonte para 6 V. (5) Com a régua, meça a distância d entre os centros das 2 bobinas e, com o voltímetro, a

respectiva força eletromotriz induzida Eind na bobina secundária. A figura a seguir, adaptada da referência [1], mostra a montagem do experimento.

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(6) Repita o procedimento anterior 10 vezes, afastando sucessivamente 1 cm a bobina secundária da primária.

(7) Construa a tabela força eletromotriz induzida Eind em função da distância d, como sugerido a seguir.

Força eletromotriz induzida Eind (V) Distância d (cm) d0= d0+1= d0+2= d0+3= d0+4= d0+5= d0+6= d0+7= d0+8= d0+9= d0+10=

(8) A partir dos dados tabelados, faça o gráfico Eind x d. (9) Encontre a função matemática que relaciona Eind e d.

REFERÊNCIAS

[1] G. L. Thomas. Atividade de Laboratório VI: Força Eletromotriz Induzida. www.if.ufrgs.br/fis182/labs/lab6.pdf, 9.jul.2011.


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EXPERIÊNCIA 11 Circuito RC Série

OBJETIVOS (1) Determinar a relação entre o tempo de descarga e a tensão sobre as placas de um capacitor.

(2) Determinar a constante de tempo de um circuito RC série.

MATERIAL

(a) 1 circuito RC série; (b) 1 fonte de tensão contínua com 2 cabos elétricos; (c) 1 voltímetro; (d) 1 cronômetro; (e) 1 folha de papel milimetrado.

PROCEDIMENTO

(1) Ajuste a tensão da fonte para 5,0 V. (2) Fixe os cabos da fonte nos terminais do circuito RC série que possuem a indicação 5 V. (3) Fixe as ponteiras do multímetro nos terminais do circuito RC série que possuem a

indicação VCAP. A figura a seguir é uma representação da montagem do experimento.

(4) Coloque a chave 1 do circuito RC série na posição II e a chave 2 na posição III. Nesta

situação, o capacitor carrega-se quase que imediatamente, pois seus terminais estão ligados diretamente à fonte.

(5) Coloque a chave 2 na posição II. (6) Coloque a chave 1 na posição III e dispare o cronômetro.

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(7) Anote o tempo indicado no cronômetro sempre que a leitura do voltímetro for um múltiplo de 0,5 V, desde 5,0 V até 1,0 V. Anote ainda a tensão medida pelo voltímetro, quando o cronômetro indicar 6 min.

(8) Construa a tabela tensão sobre as placas do capacitor VCAP em função do tempo de descarga t, como sugerido a seguir.

VCAP (V) 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 t (s) 0 360

(9) A partir dos dados tabelados, faça o gráfico VCAP x t na folha de papel milimetrado. (10) Encontre a função matemática que relaciona VCAP e t. (11) Determine o valor experimental da constante de tempo do circuito RC série.

REFERÊNCIAS

[1] G. L. Thomas. Atividade de Laboratório IV: Circuito RC Série. www.if.ufrgs.br/fis182/labs/lab4.pdf, 9.jul.2011.


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