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Introdução à Otimização

Aula 1

Prof. Gustavo Peixoto Silva

Decom-UFOP

Modelo de PL com duas variáveis

M1.1 - Produção das Ligas Metálicas

Liga tipo A Liga tipo B Disponibilidade

Cobre 2 1 16

Zinco 1 2 11

Chumbo 1 3 15

Preço de venda

$30,00 $50,00

A tabela nos fornece as quantidades, em toneladas, de cada recurso necessário para produzir uma tonelada de cada tipo de liga. Os preços de venda também estão dados por tonelada das ligas.

FORMULAR o modelo de Programação Matemática que maximize a receita da empresa.

Modelo de PL com duas variáveis

M1.2 - Produção das Ligas Metálicas

Liga tipo A Liga tipo B Disp. max

Cobre 2 1 26

Zinco 1 2 18

Chumbo 1 3 20

Preço de venda

$30,00 $50,00

Considere agora que a demanda máxima das ligas A e B são de 5 e 4 toneladas respectivamente.

Complementar o modelo anterior para representar o problema.

O modelo de PL tem três etapas:

1. Variáveis de DecisãoExpressa as diferentes opções do operador

2. Função ObjetivoMeta desejada: maximizar (lucro) ou minimizar

(custo)

3. Conjunto de RestriçõesLimitações que a solução deve satisfazer.

Modelo de PL M1.3 - O Problema da Fábrica de Móveis

Escrivaninha Mesa Armário Prateleira Disponibilidade

Tábua 1 2 1 4 250

Prancha 0 1 3 2 600

Painéis 3 2 4 0 500

Valor de revenda

$100,00 $80,00 $120,00 $20,00

Desenvolver um modelo de Programação Linear (PL) que maximize a receita com a venda dos móveis.

Solução viável ou factível: x = {x1, x2,..., xn} que satisfaz todas as restrições

Caso contrário => Solução inviável

Região de factibilidade: conjunto de todas as soluções viáveis

Solução ótima x*: solução(ões) viável(eis) com o melhor valor para a função objetivo (min/max).

Valor ótimo f* = f(x*): função objetivo (sol. ótima)

M1.3.1 Uma empresa produz malas e mochilas. As malas são vendidas com um lucro por unidade de R$ 50,00 e as mochilas de R$ 40,00. A quantidade de horas necessárias para confeccionar cada produto assim como o número total de horas disponíveis em cada seção são apresentados abaixo.

Seção Horas/mala Horas/mochila Disponibilidade (horas/dia)

Corte 2 1 300

Tingimento 1 2,5 540

Costura 2 2 440

Embalagem 0,2 0,5 300

Sabendo que há demanda para qualquer quantidade produzida, faça um modelo de PL para determinar quantas unidades de cada produto deve ser fabricada para maximizar o lucro da empresa.

Variáveis de decisão:X1 = total de malas produzidas diariamenteX2 = total de mochilas produzidas diariamente

Função Objetivo: Maximizar 50X1 + 40X2

Restrições: Corte: 2X1 + X2 <= 300Tingimento: X1 + 2,5X2 <= 540Costura: 2X1 + 2X2 <= 440Embalagem: 0,2X1 + 0,5X2 <= 300Não negatividade: X1 >= 0, X2 >= 0 Integralidade: X1 e X2 inteiros


Aula 1.2

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Decom-UFOP

Modelo de Programação Linear

Análise de Atividades

Max Z = c1x1 + c2x2 + ...+ cnxn

Sujeito a

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2

.

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm

x1≥ 0, x2 ≥ 0, ..., xn ≥ 0



Forma compacta

njx

mibxa

aSujeito

xcZMax

j

n

j

ijij

j

n

j

j

,,1 ,0

,,1 ,

1

1

L

L

Temos uma matriz Am×n

retangular.

Normalmente n > m, ouseja, A tem maiscolunas do que linhas.

Forma Compacta - Problema das Ligas

Ligasj ,x

rimasMaterias_Pi ,dispxa

a Sujeito

xc Z Max

j

Ligasj

ijij

j

Ligasj

j

0

Liga A Liga B Disp. max

Cobre 2 1 16

Zinco 1 2 11

Chumbo 1 3 15

Preço de venda

$30,00 $50,00

Ligas = {Liga A, Liga B} (colunas)

Materias_Primas={Cobre, Zinco, Chumbo}

(linhas)

c[j]= preço venda de j, j Ligas

disp[i]=disponibilidade de i,

i Materias_Primas

a[i, j]= consumo da matéria prima i na liga j,

i Materia_Prima, j Ligas

x[j] = ton da liga j produzida, j Ligas


Ligasj ,x

rimasMaterias_Pi ,dispxa

a Sujeito

xc Z Max

j

Ligasj

ijij

j

Ligasj

j

0


Cobre 2 1 16

Zinco 1 2 11

Chumbo 1 3 15

Preço de venda

$30,00 $50,00

Ligas = {Liga A, Liga B}

Matérias_Primas={Cobre, Zinco, Chumbo}

c[j]= preço venda de j, j Ligas

disp[i]=disponibilidade de i,

i Materias_Primas

a[i, j]= consumo da matéria prima i na liga j,

i Materia_Prima, j Ligas

x[j] = ton da liga j produzida, j Ligas


Ligasj ,jx

rimasMaterias_Pi ,idispjxjia

a Sujeito

jxjc Z Max

Ligasj

Ligasj

0][

][][],[

][*][


Cobre 2 1 16

Zinco 1 2 11

Chumbo 1 3 15

Preço de venda

$30,00 $50,00

Ligas = {Liga A, Liga B} // colunas

Matérias_Primas={Cobre, Zinco, Chumbo}

// linhas

c[j], j Ligas // preço venda de j,

disp[i], i Materias_Primas

// disponibilidade de i

a[i, j], i Materia_Prima, j Ligas

// consumo da matéria prima i na liga j

var x[j], j Ligas // ton produzida da liga j


Exemplo de um modelo 3X5

Max Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4+ c5x5

Sujeito a

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 + a15x5 ≤ b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 + a25x5 ≤ b2

a31x1 + a3x2 + a33x3 + a34x4 + a35x5 ≤ b3

x1≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0

M2.2 - Alocação de recursosGiapetto Comp. Fabrica 2 tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado

é vendido por $27 e usa $10 de matéria prima. Cada soldado produzido aumenta o custo

de produção com energia em $14. Um trem é vendido por $21 e usa $9 de matéria

prima. Cada trem montado aumenta o custo de produção com energia em $10.

A produção dos brinquedos requer dois tipos de mão de obra: carpinteiro e acabador.

Um soldado requer 1 hora de carpintaria e 2 horas de acabamento. E um trem requer 1

hora de carpintaria e 1 hora de acabamento. Giapetto tem disponível 80 horas de

carpintaria e 100 horas de acabamento por semana. A demanda por soldados é

ilimitada, mas no máximo 40 trens são vendidos por semana. Monte um modelo de PL

para ajudar Giapetto a melhorar seus resultados semanais.

Variáveis de decisão: x1 – quant. de soldados produzidos/semana

x2 – quant. de trens produzidos/semana

Função objetivo: Max L = 27x1 + 21x2 –(10x1 + 9x2) –(14x1 + 10x2)

Max L = 3x1 + 2x2

Sujeito a: x1 + x2 <= 80 (1) restrição de carpintaria

2x1 + x2 <= 100 (2) restrição de acabamento

x2 <= 40 (3) restrição de demanda

x1 >= 0 e Inteiro ,

x2 >= 0 e Inteiro

M2.2 - Alocação de recursosPara o problema anterior, considere agora o acréscimo da seguinte restrição: Para cada

trem, pelo menos 4 soldados devem ser produzidos. Acrescente esta restrição ao modelo

de PL anterior para ajudar Giapetto a melhor seus resultados semanais.

Variáveis de decisão: x1 – quant. de soldados produzidos/semana

x2 – quant. de trens produzidos/semana

Função objetivo: Max L = 27x1 + 21x2 –(10x1 + 9x2) –(14x1 + 10x2)

Max L = 3x1 + 2x2

Sujeito a: x1 + x2 <= 80 (1) restrição de carpintaria

2x1 + x2 <= 100 (2) restrição de acabamento

x2 <= 40 (3) restrição de demanda

x1 >= 4x2 =>

x1 – 4x2 >= 0

x1 >= 0 e Inteiro ,

x2 >= 0 e Inteiro

M1.4 - Uma empresa manufatura 4 produtos I, II, III e IV que passam por 3 tipos de máquina M1, M2 e M3 e utilizam dois tipos de mão de obra: MO1 e MO2. Considerando os dados a seguir, formular o problema para maximizar o lucro mensal da empresa respeitando suas restrições.

Máq. tempo disp. h/mês

M1 80

M2 20

M3 40

Mão de obra tempo disp. homens-h/mês

MO1 120

MO2 160

Máq Produtos

I II III IV

M1 5 4 8 9

M2 2 6 --- 8

M3 3 4 6 2

número de máq-hora por unidade de cada produto

MDO Produtos

I II III IV

MO1 2 4 2 8

MO2 7 3 --- 7

número de homens-hora por unidade de cada produto

Produtos

I II III IV

Potencial max. de venda (unid/mês)

70 60 40 20

Lucro ($/unid) 10,0 8,00 9,00 7,00

O setor comercial da empresa fornece as seguintes informações:

Produtos

I II III IV

Potencial máximo de venda (unid/mês)

70 60 40 20

Lucro ($/unid) 10,0 8,00 9,00 7,00

Formular um modelo de Programação Linear para determinar a produção mensal que leva ao lucro máximo proveniente destes 4 produtos.

Uma empresa de laticínios fabrica os seguintes produtos: iogurte, queijo minas,queijo mussarela, queijo parmesão e queijo provolone. Para a fabricação de cadaum dos 5 produtos, são necessários 3 tipos de matérias-primas: leite, soro egordura. A tabela a seguir apresenta as quantidades de matérias-primasnecessárias para produzir 1 Kg de cada produto. A quantidade de matéria-primadiária disponível é limitada: 1.200 l de leite, 460 l de soro e 650 Kg de gordura.

A disponibilidade diária de mão de obra especializada também é limitada (170horashomem(hh)/dia) A empresa necessita de 0,05 hh/Kg de iogurte, 0,12 hh/Kgde queijo minas, 0,09 hh/Kg de queijo mussarela, 0,04 hh/Kg de queijo parmesão e0,16 hh/Kg de queijo provolone. Por razões contratuais, a empresa precisaproduzir uma quantidade mínima de 320Kg de iogurte, 380Kg de queijo minas,450Kg de queijo mussarela, 240Kg de queijo parmesão e 180Kg de queijoprovolone. A quantidade de queijo mussarela produzida não pode ultrapassar odobro da quantidade de Iogurte produzida no período.O mercado é capaz de absorver qualquer quantidade que for produzida dosprodutos. Formular um modelo de PL para determinar a quantidade diária a serproduzida de cada produto de tal forma a gerar o maior lucro possível.


Aula 1.3

Forma compacta



Forma compacta

njx

mibxa

aSujeito

xcZMax

j

n

j

ijij

j

n

j

j

,,1 ,0

,,1 ,

1

1

L

L

Temos uma matriz AmXn retangular.

Normalmente n >m, ou seja, A tem mais colunas do que linhas.

Liga tipo A Liga tipo B Disp. max

Cobre 2 1 16

Zinco 1 2 11

Chumbo 1 3 15

P. de venda $30,00 $50,00

Conjuntos de índices: Ligas:= {A, B}, MP:= {Cobre, Zinco, Chumbo}

Declaração dos parâmetros de entrada:

PV[j], j Ligas; // preço de venda/unid. da liga j; PV[j] := (30; 50);

Matriz[i,j], i MP, j Ligas; // cons. da MP i por unid. da liga j

Matriz[i,j] := (2, 1, 1, 2, 1, 3);

Disp[i], i MP; //disponibilidade do material i;

Disp[i] := (16, 11, 15);

Modelo Compacto Melhorado

Modelo Compacto MelhoradoConjuntos: Ligas:= {A, B}, MP:= {Cobre, Zinco, Chumbo}

Parâmetros:

PV[j], j Ligas;

Matriz[i,j], i MP, j Ligas;

Disp[i], i MP;

Variáveis de decisão:

X[j], j Ligas, >= 0;

Função objetivo:

Max Z = sum{j Ligas} PV[j]*X[j];

Restrições:

Restr{i MP}: sum{j Ligas} Matriz[i,j]*X[j] <= Disp[i];

Modelo Compacto do GUSEK

set MP := {1..3}; # conjunto das matérias primas

set Ligas := {1..2}; # conjunto das ligas

param PV{Ligas};# preço de venda de cada liga

param disp{i in MP}; # disponibilidade de cada matéria prima

param matriz{i in MP, j in Ligas}; # matriz de consumo

var x{j in Ligas}, >=0; # quantidade de liga a ser produzida

maximize lucro: sum{j in Ligas} x[j] * PV[j];

s.t. Disp_Mat_Prima{i in MP}: sum{j in Ligas} x[j] * matriz[i, j] <= disp[i];

solve;

data;

param PV :=

1 30

2 50;

param disp :=

1 16

3 15

2 11;

param matriz :

1 2:=

1 2 1

2 1 2

3 1 3;

end;

Modelo Compacto do GUSEK (cont.)

Ativar a opção de geração do arquivo com o resumo da solução

Modelo Compacto do GUSEK (cont.)

Selecione a opção Tools -> Generate Output File on Go para que seja gerado o arquivo com o resumo do resultado, ou seja, o arquivo .out

Fazer o Modelo no GusekM1.3 - O Problema da Fábrica de Móveis

Escrivaninha Mesa Armário Prateleira Disp. Max.

Tábua 1 1 1 4 250

Prancha 0 1 1 2 600

Painéis 3 2 4 0 500

Valor de revenda

$100,00 $80,00 $120,00 $20,00

Para Casa: Desenvolver um modelo no Gusek que maximize a receita com a venda dos móveis utilizando o modelo compacto.

Máq. tempo disp. h/mês

M1 80

M2 20

M3 40

Mão de obra tempo disp. homens-h/mês

MO1 120

MO2 160

Máq Produtos

I II III IV

M1 5 4 8 9

M2 2 6 --- 8

M3 3 4 6 2

número de máq-hora por unidade de cada produto

MDO Produtos

I II III IV

MO1 2 4 2 8

MO2 7 3 --- 7

número de homens-hora por unidade de cada produto

Produtos

I II III IV

Potencial máximo de venda (unid/mês)

70 60 40 20

Lucro ($/unid) 10,0 8,00 9,00 7,00

MODELO

Conjuntos de índices:

Prods := {P1, P2, P3, P4}; Maq := {M1, M2, M3}; Mdo := {MO1, MO2};

Parâmetros:

L[j], j Prods; //lucro por unidade do produto j

L := (10, 8, 9, 7);

Vd[j], j Prods; //potencial de venda do produto j

Vd := (70, 60, 40, 20);

Disp_Mq[i], i Maq;//disp. da maquina i

Disp_Mq := (80, 20, 40);

Disp_Md[i], i Mdo;//disp. da mão de obra i

Disp_Md := (120, 160);

Matriz1[i,j], i Maq, j Prods;//consumo da maq. i por produto j

Matriz2[i,j], i Mdo, j Prods;//consumo da mdo. i por produto j

Matriz1 = (5, 4, 8, 9, Matriz2 = (2, 4, 2, 8,

2, 6, 0, 8, 7, 3, 0, 7);

3, 4, 6, 2);


X[j], j Prods, inteiro, >=0; //quantidade produzida do produto j


X[j], j Prods, inteiro, >=0;//quant. produzida do prod. j

Função objetivo:

MAX Z = ∑ � � ∗ �[�]� ∈�� ;

Restrições:

Mqs: ∑ ��1 �, � ∗ � � ≤ ��_�� , ∀ � ∈ ��;� ∈��

Mds: ∑ ��2 �, � ∗ � � ≤ ��_�! � , ∀ � ∈ �!";� ∈��

Vendas: � � ≤ #! � ∀ � ∈ $�"!�;

A partir de agora, você deve fazer o modelo compacto para

todos os problemas apresentados.

Modelo Compacto do GUSEK

set P := {1..4};set Maq := {1..3};set Mdo := {1..2};

param disp_maq{i in Maq};param disp_mdo{i in Mdo};param lucro{j in P};param pot_vendas{j in P};param matriz1{i in Maq, j in P};param matriz2{i in Mdo, j in P};

var x{p in P}, >= 0, integer;

maximize lucro: sum{p in P} x[p] * lucro[p];

restMaq{m in Maq}: sum{p in P} matriz1[m, p] * x[p] <= disp_maq[m];

restMdO{i in Mdo}: sum{j in P} matriz2[i, j] * x[j] <= disp_mdo[i];

restProds{j in P}: x[j] <= pot_vendas[j];

data;param disp_maq := 1 80 3 40 2 20;

param disp_mdo := 1 120 2 160;

param lucro := 1 10 2 8 3 9 4 7;

param pot_vendas := 1 70 2 60 3 40 4 20;

param matriz1: 1 2 3 4 := 1 5 4 8 92 2 6 0 83 3 4 6 2;

param matriz2: 1 2 3 4 := 1 2 4 2 82 7 3 0 7;


Aula 1.4

8 modelos

M2.1 - Alocação de recursos (Wayne L. Winston)

Uma fábrica de carros produz carros de luxo e “jeeps 4x4”. A direção acreditaque seus clientes são homens e mulheres de alta renda. Em sua campanhapublicitária, foi decidido adquirir uma quantidade de entradas de 1 minuto oufração de comercial dividido em dois tipos de programas:

1. programa de comédia e

2. partidas de futebol.

Cada minuto de comercial em comédia é visto por aproximadamente 7 milhõesde mulheres e 2 milhões de homem de alta renda. E cada minuto de comercialem horário de futebol é visto por 1 milhão de mulheres e 12 milhões dehomens desta classe.

Uma entrada de um minuto em programa de comédia custa $50.000 e umminuto em horário de futebol custa $100.000, podendo ser adquirida umafração de minuto.

A fábrica gostaria que seus comerciais fossem vistos por pelo menos 28milhões de mulheres de alta renda e por 24 milhões de homens de alta renda.

Apresente um modelo de programação linear para determinar como a fábricapode alcançar seus objetivos com o menor custo possível.

Itens Custo próprio Custo externo

Teclado 6 9

Monitor 100 150

Gabinete 180 300

Os componentes produzidos passam por quatro seções. O consumo de tempo porunidades obedece à tabela, sendo que cada seção dispõe de 1.000 horas/mês.

Itens Inspeção Montagem Ajuste Cont. qualidade

Teclado 0,15 0,12 --- 0,01

Monitor 0,10 0,20 0,25 0,02

gabinete 0,20 0,40 0,40 0,05

M2.2 - Análise de atividades – Planejamento da produção

Uma empresa que monta PCs deve entregar para o próximo trimestre exatamente 7.000unidades. O computador é montado a partir de teclado, monitor e gabinete. Devido àssuas limitações, a empresa subcontrata parte do serviço. Os custos de produção própriae aquisição externa são:

Posteriormente, os itens são montados para formar o PC. Formular um modelo de PLpara um plano de produção e aquisição externa trimestral com custo mínimo.

Problema da produção em uma fazenda

Um fazendeiro pretende plantar feijão e milho. Os lucros são de$20.000 por alqueire de feijão e $10.000 por alqueire de milho. Suaslimitações são:

• terra disponível = 10 alqueires• água disponível para irrigação 80.000 litros• plantar no máximo 4 alqueires de feijão• cada alqueire de feijão requer 5.000 litros de água• cada alqueire de milho requer 10.000 litros de água

Formule o problema como um modelo de programação linear quemaximize o lucro do fazendeiro.

Planejamento da produção em várias fazendas

É preciso programar a produção agrícola alocando as atividades deplantio em 3 fazendas. Os dados técnicas são:

Fazenda Área total em alqueires

Disp. de água (m3)

A 400 600

B 600 800

C 300 380

Produtos Área máxima de plantio – alq

Consumo de água -m3/alq

Lucro por área - $/alq

Trigo 600 3 400

Algodão 500 2 300

Soja 325 1,5 100

Formule o problema para a alocação das atividades nasrespectivas fazendas que maximize o lucro total.Apresentar a forma explícita do modelo.

#conjuntos de índices

set RG; # conjunto das regiões em literais, lidas na seção data

set CT; # conjunto das culturas em literais, lidas na seção data

#parâmetros do problema

param area{j in RG}; # áreas das regiões

param disp_h2o{j in RG}; # disponibilidade de h20 das RGs

param area_max{i in CT}; # áreas máximas plantada de cada cultura

param cons_h2o{i in CT}; # consumo de h20 de cada cultura

param lucro{i in CT}; # lucro de cada cultura

#variáveis de decisão

var x{i in CT, j in RG}, >=0; # alqs da cultura i na área j

#função objetivo

maximize fo: sum{i in CT, j in RG} x[i, j] * lucro[i];

#restrições

area_rg{j in RG}: sum {i in CT} x[i, j] <= area[j];

h2o_rg{j in RG}: sum {i in CT} cons_h2o[i]*x[i, j] <= disp_h2o[j];

area_cult{i in CT}: sum {j in RG} x[i, j] <= area_max[i];

solve;

#entrada de dados

data;

set RG := A B C;

set CT := trigo algodao soja;

param lucro := trigo 400 algodao 300 soja 100;

param area := A 400 B 600 C 300;

param cons_h2o:= trigo 3 algodao 2 soja 1.5;

param area_max:= trigo 600 algodao 500 soja 325;

param disp_h2o:= A 600 B 800 C 380;

end;

Para visualizar o modelo de PL que está sendo resolvido, faça:

1. Posicione o foco no arquivo modelo .mod

2. Entre em Tools

3. Escolha a opção Build Cplex LP

O Gusek vai gerar o modelo e apresenta-lo no arquivo .lp para onde o foco será “jogado”. Para resolver o modelo, aplicar F5 ou no icone


Aula 1.5

Planejamento da Produção

Planejamento da produção com múltiplos períodos

Nos exemplos anteriores tratamos de modelos estáticos ou mono-período. Neste exemplo veremos um modelo de PL para determinar amelhor decisão para vários períodos de produção. Modelos dinâmicossurgem quando são tomadas decisões para mais de um período e asdecisões de um período influenciam as decisões dos períodosposteriores.

Por exemplo, considere uma empresa que deve determinar quantoproduzir em cada mês. Se ela produz uma grande quantidade deprodutos em um mês, ela pode reduzir sua produção no mês seguinte.Eventualmente, pode ser mais interessante produzir antes e guardar oexcedente em estoque do que produzir toda a demanda no períododemandado. Sazonalidade!!!

M2.3 - Planejamento da produção com múltiplos períodos (Wayne

L. Winston)

Uma fábrica deve determinar quantos botes produzir nos próximos 4trimestres. A demanda mínima durante cada um dos próximostrimestres é de 40, 60, 75 e 25 botes. A fábrica deve atender àdemanda sem atrasos. No início de cada trimestre, a fábrica devedefinir quantos botes produzir no trimestre.

Vamos considerar que os botes produzidos em um trimestre podemser usados para atender à demanda daquele trimestre ou de qualquertrimestre posterior. Em cada trimestre a fábrica pode produzir até 55botes com um custo de $400,00 por bote.

Ao final de cada trimestre, depois que ocorreu a produção e satisfeita ademanda do trimestre, incorre um custo por estocagem de $45,00 porunidade. Faça um modelo de PL para planejar a produçãominimizando o custo de produção e de estocagem nos próximos 4trimestres. Considere que o estoque inicial é de 10 botes e o final de 5.

Planejamento da produção com múltiplos períodos (Wayne L. Winston)

Xi = num de botes produzidos no trimestre i

Variável auxiliar Ei = num de botes no estoque no final do trimestre i

Custo = 400(X1 + X2 + X3+ X4)+ 45(E1 + E2 + E3 + E4)

Equação de transição de estoque:

Estoque no final do trimestre i = estoque final do trimestre i -1

+ produção no trimestre i - demanda no trimestre i

Se a demanda no trimestre i for Di, a equação de transição de estoque fica daseguinte forma:

Ei = Ei-1 + Xi – Di

A demanda no trimestre i será atendida se Ei >= 0 pois

Ei-1 + Xi >= Di ou seja, Ei = Ei-1 + Xi – Di >= 0

Portanto o modelo fica da seguinte forma:


Xi = num de botes produzidos no trimestre i

Ei = num de botes no estoque no final do trimestre i

Min = 400(X1 + X2 + X3+ X4) + 45(E1 + E2 + E3 + E4)

X1 <= 55; X2 <= 55; X3 <= 55; X4 <= 55;

E1 = 10 + X1 – 40; E2 = E1 + X2 – 60;

E3 = E2 + X3 – 75; E4 = E3 + X4 – 25;

E1 >= 0; E2 >= 0; E3 >= 0; E4 = 5;

X1 >= 0; X2 >= 0; X3 >= 0; X4 >= 0; e inteiros

M2.4 - Planejamento da produção com múltiplos períodos (Wayne

L. Winston)

Uma fábrica deve determinar quantos botes produzir nos próximos 4trimestres. A demanda durante cada um dos próximos trimestres é de40, 60, 75 e 25 botes. A fábrica deve atender à demanda sem atrasos.No início de cada trimestre, a fábrica deve definir quantos botesproduzir no trimestre.

Vamos considerar que os botes produzidos em um trimestre podemser usados para atender à demanda daquele trimestre ou de qualquertrimestre posterior. Em cada trimestre a fábrica pode produzir até 55botes com um custo de $400,00 por bote. Com a contratação deempregados extras, eles podem produzir até 30 botes adicionais portrimestre a um custo total de $450,00 por bote.

Ao final de cada trimestre, depois que ocorreu a produção e satisfeita ademanda do trimestre, incorre um custo por estocagem de $45,00 porunidade. Faça um modelo de PL para planejar a produçãominimizando o custo de produção e de estocagem nos próximos 4trimestres. Considere que o estoque inicial é de 10 botes e o final iguala 20.


Xi = num de botes produzidos por trabalhadores regulares no trimestre i

Yi = num de botes produzidos por trabalhadores extras no trimestre i


Custo = 400(X1 + X2 + X3+ X4)+ 450(Y1 + Y2 + Y3 + Y4) + 45(E1 + E2 + E3 + E4)

Equação de transição de estoque:

Estoque no final do trimestre i = estoque final do trimestre i -1

+ produção no trimestre i - demanda no trimestre i

Esta equação é a chave para a maioria dos modelos de planejamento daprodução com múltiplos períodos. Se a demanda no trimestre i for Di, aequação de transição de estoque fica da seguinte forma:

Ei = Ei-1 + Xi + Yi – Di

A demanda no trimestre i será atendida se Ei >= 0 pois

Ei-1 + Xi + Yi >= Di ou seja, Ei = Ei-1 + Xi + Yi – Di >= 0

Portanto o modelo fica da seguinte forma:


Xi = num de botes produzidos por trabalhadores regulares no trimestre i

Yi = num de botes produzidos por trabalhadores extras no trimestre i


Min = 400(X1 + X2 + X3+ X4)+ 450(Y1 + Y2 + Y3 + Y4) + 45(E1 + E2 + E3 + E4)

X1 <= 55; X2 <= 55; X3 <= 55; X4 <= 55;

Y1 <= 30; Y2 <= 30; Y3 <= 30 ; Y4 <= 30;

E1 = 10 + X1 + Y1 – 40; E2 = E1 + X2 + Y2 – 60;

E3 = E2 + X3 + Y3 – 75; E4 = E3 + X4 + Y4 – 25;

E1 >= 0; E2 >= 0; E3 >= 0; E4 = 20;

X1 >= 0; X2 >= 0; X3 >= 0; X4 >= 0;

Y1 >= 0; Y2 >= 0; Y3 >= 0; Y4 >= 0;

M2.5 - Programação da produção – Exerc. 4 pag 23 – ver Winston 99

A demanda de sorvete durante os meses de dezembro janeiro e fevereiro de umasorveteria é de no mínimo 500, 600 e 400 caixas respectivamente. Doisatacadistas, 1 e 2 fornecem o sorvete. O número máximo de caixas que cadafornecedor pode entregar são 400 por mês e os preços são dados na tabela. Asorveteria pode comprar o necessário para um mês e armazenar para usar nosmeses seguintes. O custo de estocagem de cada caixa é de $5 por mês e deve sercalculado pelo número de caixas em estoque no final o mês. Faça um modelo dePL para a compra ótima de sorvete dos fornecedores. Considere o estoque inicialigual a zero e final igual a 10.

Preço ($) por caixa no mês

Dezembro Janeiro Fevereiro

Fornecedor1 100 110 120

Fornecedor2 115 108 125


F1j = cxs de sorvete adquiridas do fornecedor 1 no mês j, j = dez, jan, fev

F2j = cxs de sorvete adquiridas do fornecedor 2 no mês j, j = dez, jan, fev

Ej = cxs de sorvete em estoque no final do mês j, j = dez, jan, fev

Min = 100F1dez+110F1jan+120F1fev+115F2dez+108F2jan+125F2fev

+ 5(Edez + Ejan + Efev)

F1j <= 400, j = dez, jan, fev; F2j <= 400, j = dez, jan, fev;

F1dez + F2dez >= 500; Edez = F1dez + F2dez - 500;

F1jan + F2jan + Edez >= 600; Ejan = F1jan + F2jan + Edez – 600;

F1fev + F2fev + Ejan >= 400; Efev = F1fev + F2fev + Ejan – 400;

Efev = 10;

F1j >= 0 e inteiro para j = dez, jan, fev;

F2j >= 0 e inteiro para j = dez, jan, fev

Ej >= 0 e inteiro para j = dez, jan, fev

Panelas p1 p2 p3 p4 p5

Processo N 12 16 nc 17 8

Processo A 10 13 5 nc nc

Lucro ($/unidade) 57 55 63 50 60nc = não se aplica este processo para o respectivo tipo de panela

Após passar pelo processo de produção, cada produto tem uma montagemfinal que requer 2 horas de mão-de-obra por unidade. A fábrica tem 3máquinas para o processo normal e 2 para o processo acelerado. Asmáquinas trabalham em 2 turnos de 8 horas, 6 dias por semana e uma equipede 7 pessoas trabalham em um turno de 8 horas, 6 dias por semana namontagem dos produtos. Faça um modelo de PL para determinar o esquemade produção semanal que maximize o lucro da fábrica.

M2.6 - Análise de atividades – Planejamento da produção

Uma fábrica de panelas tem 5 produtos (p1,..., p5) pode ser obtidos por 2processos de produção, o normal (N) e o acelerado (A). Dependendo doprocesso em que o produto for produzido, será consumido um certo númerode horas de trabalho dentro de cada processo, segundo a tabela.

Panelas p1 p2 p3 p4 p5

Processo N 12 16 nc 17 8

Processo A 10 13 5 nc Nc

Lucro ($/unidade) 57 55 63 50 60

Após passar pelo processo de produção, cada produto tem uma montagem final que requer 2 horasde mão-de-obra por unidade. A fábrica tem 3 máquinas processo normal e 2 processo acelerado. Asmáquinas trabalham em 2 turnos de 8 horas, 6 dias por semana e uma equipe de 7 pessoas em umturno de 8 horas, 6 dias por semana na montagem dos produtos. Faça um modelo de PL paradeterminar o esquema de produção semanal que maximize o lucro da fábrica.

Variáveis de decisão

Ni = panelas do tipo i produzidas por semana no processo Normal, i =1,..., 5.

Ai = panelas do tipo i produzidas por semana no processo Acelerado, i =1,..., 5.

Função ObjetivoMax Lucro = 57(N1 + A1) + 55(N2 + A2) + 63A3+50N4+60N5

RestriçõesMáquina Normal: 12N1 + 16N2 + 17N4 + 8N5 <= 288 (3x2x8x6)

Máq Acelerada: 10A1 + 13A2 + 5A3 <= 192 (2x2x8x6)

Acabamento: 2(N1 + A1 + N2 + A2 + A3 + N4 + N5) <= 336 (7x8x6)Ni e Ai >= 0 e inteiro, i = 1,...,5

M2.7 - Problema da Dieta - Puccini 72

Uma pessoa deve fazer uma dieta alimentar que fornece, diariamente, pelo menosas seguintes quantidades, em mg, de vitaminas: 80 de A, 70 de B, 100 de C e 60de D. Vitaminas em excesso são prejudiciais, assim, as quantidades máximas dasvitaminas são 100 de A, 90 de B, 130 de C e 90 de D.

A dieta poderá incluir leite, arroz, feijão e carne, que contém os seguintesmiligramas de vitaminas em cada uma de suas unidades de medida:

Vitaminas Leite (l) Arroz (kg) Feijão (kg) Carne (kg)

A 10 5 9 10

B 8 7 6 6

C 15 3 4 7

D 20 2 3 9

Custo unitário

1,85 2,00 3,40 12,00

Deseja-se saber o consumo diário de cada alimento de tal maneira que a dieta seja satisfeita com o menor custo possível.

EXERCÍCIOS PARA CASA

Resolver os problemas acima pelo pacote Gusek na forma compacta

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