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BCC 101 – Matemática Discreta I

Indução / Recursão

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Introdução

Como podemos calcular de 1+2+3+…+n, dado o valor de n?

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Proque precisamos de uma prova?

1 + 2 + 3 + … + n

Alguns resultados são mostrados na tabela:

Será que podemos garantir que, para qualquer n∈N

1 + 2 + 3 + … + n = n (n+1)/2 ?


Indução

Combina raciocínio indutivo e dedutivo buscar um padrão a partir de observações

formular esse padrão como uma conjectura

testar se a conjectura pode ser deduzida (provada) a partir de leis já conhecidas

O último passo é necessário porque é muito frequente que se façam conjecturas falsas.


Porque precisamos de uma prova?

Se uma afirmação é verdadeira para todos os valores que testamos, será que podemos concluir que ela é verdadeira sempre?

Considere a seguinte proposição:

Proposição 3. Se p é primo, 2p − 1 também é primo.

Testando alguns casos:

Entretanto… 211 −1 = 2047 = 23×89.

A proposição 3 é falsa!BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 5

Prova por Indução

Uma prova por indução tem a seguinte estrutura:

Prova: Vamos provar que P(n) vale para todo n ∈ N, n ≥ a, usando indução sobre n.

Base: Devemos provar que P (a) é true.

Indução: Suponha que P(k) é true, para todo inteiro a ≤ k < n. Devemos mostrar que P (n) é true.


P(a) n. (a ≤ k < n. P(k)) P(n)_____________________________{Ind}

n. P(n)

InduçãoBase Indução

Hipótese de Indução

Exemplo 1

Proposição1.

Base: Se n = 1, a soma é 1 = 1(1+1)/2.

Indução:

Hipótese Indução: 1+2+3+···+k = k(k+1)/2, p/ 1≤k<n(1)

Queremos provar: 1+2+3+···+(n-1)+n= n(n+1)/2 (2)

Como podemos usar (1) para obter (2) ?

Note que: 1+2+3+···+(n-1)+n = (1+2+3+···+(n-1)) + n

= (n-1)(n-1+1)/2 + n (de 1)

= n(n+1) /2


Exemplo 2


polígono convexo polígono não convexo

Proposição 2. Em um polígono convexo com n vértices, o maior número de diagonais que podem ser traçadas é n(n−3)/2, para n ≥ 4.

Exemplo 2 (continuação)

Base: Se n = 4, o polígono é um quadrilátero, que tem 2 diagonais; e n(n − 3)/2=(4)(1)/2 = 2.

Indução:

Hipótese de indução: o no. de diagonais de um polígono de 4≤k<n vértices é k(k−3)/2. (1)

Queremos provar que o no. de diagonais de um polígono com n vértices é n(n-3)/2. (2)

Como obter (2) a partir de (1)?



A resposta é “adicione mais um vértice”. Quantas diagonais podem ser traçadas agora?

Quando adicionamos 1 vértice, todas as diagonais do polígono original são ainda diagonais do novo polígono, mas há ainda outras diagonais.


poligono com k vérices poligono com k+1 vérices


A hipótese de indução nos dá que o no. de diagonais do polígono original é k(k-3)/2.

Novas diagonais podem ser traçadas, do vértice extra Pk+1 a cada um dos outros vértices não

adjacentes (P1 e Pk), dando (k−2) diagonais extras.

Isso dá um total de k(k−3)/2+(k−2) diagonais.

Mas, k(k−3)/2+(k−2) = [k(k−3)+2k−2]/2

= (k+1)((k+1)-3)/2

Isso completa o passo indutivo (já que n=k+1).

Portanto, a proposição é true para todo n ≥ 4.


Exercícios

Prove que a soma dos n primeiros números inteiros positivos ímpares é n2.

Prove que para todo n∈N.

Prove que n! < nn para todo inteiro n>1.

Prove que n3 – n é divisível por 3, para todo n≥0.

Prove que (1+x)m > 1 + mx, para todo inteiro m≥2.


n

i

ni

r

rr

0

1

1

1

Triominós

Considere um tabuleiro com tamanho 2n x 2n no qual exatamente um quadrado está coberto.


um triominó de formato L é feito de 3 quadrados:

Mostre que é possível cobrir os quadrados restantes com triominós de formato L, sem que triominós se sobreponham. Quantos triominós são necessários?

Triominós - solução para 23 x 23


Triominós Caso base (n=0):

O tabuleiro tem dimensão 20x20 = 1x1, isto é, exatamente 1 quadrado, que já está coberto. Portanto, são necessários 0 triominós para cobrir os quadrados restantes.

Passo indutivo: Considere um tabuleiro de dimensões 2n+1x2n+1

Suponha que é possível cobrir qq tabuleiro de dimensões 2nx2n com triominós HI

Devemos mostrar como explorar essa hipótese para obter a solução para o caso 2n+1x2n+1


Triominós

Um tabuleiro 2n+1x2n+1 pode ser subdividido em 4 tabuleiros 2nx2n, traçando-se uma linha horizontal e uma vertical que se cruzam no meio.

Em uma desses 4 tabuleiros, há um quadrado que já está coberto. Pela hipótese de indução, os demais quadrados desse tabuleiro podem ser combertos com triominós.

Nenhum dos 3 outros tabuleiros 2nx2n tem um quadrado coberto. Como aplicar a hipótese de indução aos 3 outros tabuleiros?

A idéia é colocar um triominó na junção desses 3BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 16

Triominós


Agora a hipótese de indução pode ser aplicada para cobrir os quadrados restantes de cada uma dos 3 outros sub-tabuleiros, completando o processo.

Indução matemática

Combina raciocínio indutivo e dedutivo buscar um padrão a partir de observações

formular esse padrão como uma conjectura

testar se a conjectura pode ser deduzida (provada) a partir de leis já conhecidas

O último passo é necessário porque é muito frequente que se façam conjecturas falsas.


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