Aula 10 - RNP

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Progressões aritméticas e progressões geométricas

Ricardo Ferreira Paraizo

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Fonte: http://ibractec.files.wordpress.com/2008/04/file.jpg.

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Meta

Apresentar o cálculo das progressões aritméticas e das

progressões geométricas no cotidiano agropecuário.

Objetivos

Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de:

1. identificar e calcular uma progressão aritmética;

2. identificar e calcular uma progressão geométrica;

3. utilizar o termo geral de uma progressão e a soma

de seus termos.

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241Seqüências numéricas

Na Matemática, estudamos conjuntos numéricos (conjunto cujos elementos são

números) quando os elementos desses conjuntos são dispostos obedecendo a uma

determinada regra, o que chamamos de seqüência numérica.

As seqüências numéricas estão estreitamente associadas aos processos de con-

tagem e ao desenvolvimento dos sistemas de numeração. Toda seqüência nu-

mérica possui uma ordem para organização dos seus elementos, assim podemos

dizer que em qualquer seqüência os elementos são dispostos da seguinte forma:

(a1, a2, a3, a4, ..., an, ...) ou (a1, a2, a3, a4, ..., an), onde a1 é o 1º elemento,

a2 o segundo elemento, e assim por diante: an é o enésimo elemento.

Fonte: http://www.brasilescola.com/upload/e/sequencia%20numerica.jpg

Figura 10.1: As seqüências numéricas podem ter finitos e infinitos elementos.

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243Vamos estudar duas seqüências importantes à progressão aritmética e à progressão

geométrica. As progressões são aplicadas aos mais diversos campos de estudos

em matemática.

Progressão aritmética (PA)

Chama-se Progressão Aritmética (PA) toda seqüência numérica (a1, a2, ..., an)

cujos termos, a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor

constante. A essa constante denominamos razão da PA, indicada por r.

Exemplos:

A = (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, ...) é uma PA de razão (r) = 3;

B = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...) é uma PA de razão (r) = 2;

C = (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...) é uma PA de razão (r) = 0;

D = (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10, ...) é uma PA de razão (r) = -10.

No exemplo anterior, os conjuntos A e B são PA crescentes, enquanto o conjunto

C é uma PA constante e o conjunto D uma PA decrescente.

Uma PA crescente é toda PA em que cada termo, a partir do segundo, é maior que

o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior

que zero (r > 0).

Uma PA constante é toda PA em que todos os termos são iguais, para isso tendo

a razão r que ser sempre igual a zero.

Uma PA decrescente é toda PA em que cada termo, a partir do segundo, é

menor que o termo que o antecede, para isso tendo a razão r que ser sem-

pre menor do que zero (r < 0).

Termo geral de uma PA

A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte

forma:

an = a1 + (n - 1)r

A seguir, vamos fazer uma demonstração de como nós chegamos a essa fórmula.

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243Demonstração do termo geral de uma PA

• O valor de qualquer termo de uma PA é igual ao anterior mais a constante.

• O valor do segundo termo de uma PA é igual ao primeiro mais a constante:

• O valor do terceiro termo de uma PA é igual ao segundo mais a constante:

• O valor do quarto termo de uma PA é igual ao terceiro mais a constante:

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r; portanto: a3 = a1 + 3r

• Como o número multiplicado pela razão é sempre a posição do termo menos 1,

temos a fórmula do termo geral de uma PA:

an = a1 + (n – 1) . r

Em suma, a demonstração pode ser vista desta forma:

a1

a2 = a1 + r

a3 = a1 + r + r = a1 + 2r

a4 = a1 + 2r + r = a1 + 3r

a5 = a1 + 3r + r = a1 + 4r

an = a1 + (n -1)r

Se a seqüência numérica (a, b, c) está em uma PA, então .

a2 = a1 + r.

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r; portanto: a3 = a1 + 2r

Atenção!

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245Soma dos termos de uma PA

A soma de todos os termos de uma progressão aritmética não infi nita, a partir do

primeiro, é calculada pela seguinte fórmula:


Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/

Carl_Friedrich_Gauss

Figura 10.2: Johann Carl Friedrich

Gauss.

Johann Carl Friedrich Gauss foi um matemático,

astrônomo e físico alemão. Foi conhecido como o

príncipe dos matemáticos e muitos o consideram

o maior gênio da história da matemática.

Ele possuía memória fotográfi ca, tendo retido

nitidamente as impressões da infância e da

meninice até a sua morte. Segundo história

famosa, o diretor da escola onde ele estudava

pediu que os alunos somassem os números

inteiros de um a cem. Mal havia enunciado

o problema e o jovem Gauss demonstrou o

seu talento sobre a mesa, dizendo: “Já sei!

A resposta é 5050.” O raciocínio tem como base

a demonstração da fórmula da soma de uma

progressão aritmética, conforme adiante:

S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100

S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1

2S = (1 + 100) + (1 + 100) + (1 + 100) + ... + (1 + 100) + (1 + 100) +

(1 + 100) = 100(1 + 100)

Soma

O diretor da escola fi cou tão atônito com a proeza de um menino de dez anos que

pagou do próprio bolso livros de aritmética para ele desenvolver suas habilidades.

Saiba mais...

Snn n= +( )a a1

2

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245Demonstração da soma dos termos de uma PA

• Podemos expressar uma PA de duas maneiras:

Sn = a1 + (a1 + r ) + (a1 + 2r ) ... + ... na – 2r + na – r + na

Sn = na + (na – r ) + (na – 2r ) ... + ... a1 + 2r + a1 +r + a1

• Adicione os dois lados da equação. Todos os termos envolvendo r se cancelam,

e então ficamos com:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) … + … (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an)

Simplificando, temos:

2

2

1

1

S n

Sn

n n

nn

= +

= +( )

( )

a a

a a

Atende aos Objetivos 1 e 3Atividade 1

Nayanna estava com um problema de vazamento de água no açude de seu sítio.

O encanamento entupiu. A terra está absorvendo muito rapidamente a água. O poço

tinha capacidade para 7 m3 de água. Ela observa que a cada 1 hora a terra está

absorvendo uns 100 litros de água. Por quanto tempo Nayanna poderá deixar

esse vazamento continuar para ficar com pelo menos 3,5m3 de água? Ou seja, ela

poderá perder somente 3,5 m3 de água?

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O fazendeiro, Sr. Rodrigo, está querendo aumentar a produção de peixes do seu

sítio seguindo esta tabela que seu filho o ajudou a montar:


Ano Massa de peixe para venda

2006 800 kg

2007 900 kg

2008 1.000 kg

2009 1.100 kg

E assim sucessivamente…

Tendo um lucro de R$ 5,00 pelo quilo do peixe que vende na peixaria “Ki Peixe”,

daqui a quanto tempo Rodrigo poderá ter aproximadamente R$ 50.000,00 para

comprar um pedaço de terra e aumentar seu sítio?

Se Nayanna não conseguir conter a vazão do poço, o mesmo vai secar e os peixes

nele contidos vão morrer.

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Rodrigo está discutindo com seu filho, que sabe matemática, sobre o tempo que

deve esperar para ter um valor aproximado a fim de poder comprar um terreno com

a venda de peixes da sua fazenda.

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Um poceiro, para cavar um poço de 6 metros de profundidade, cobra R$ 50,00

pelo primeiro metro, R$ 100,00 pelo segundo, R$ 150,00 pelo terceiro etc. Quanto

ele recebe pelo serviço todo?


Fonte: www.sxc.hu

Quanto mais fundo for ficando o buraco do poço, mais difícil será furá-lo!

Kris

s Sz

kurla

tow

ski

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249Progressão geométrica (PG)

Chama-se Progressão Geométrica (PG) toda seqüência numérica (a1, a2, ..., an)

cujos termos, a partir do segundo, são iguais ao produto do termo anterior por

um valor constante. A essa constante denominamos razão da PG, mas também

chamamos de quociente de uma PG e indicamos por q.

é igual à constante q.

Exemplos:

A = (1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2.187...) é uma PG de quociente (q) = 3;

B = (1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, ...) é uma PG de quociente (q) = 1/2;

C = (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...) é uma PG de quociente (q) = 1;

D = (-3, 9, -27, 81, -243, 729, –2.187, ...) é uma PG de quociente (q) = –3.

No exemplo anterior, o conjunto A é uma PG crescente, o conjunto B é uma PG

decrescente, o conjunto C é uma PG constante e o conjunto D é uma PG oscilante.

Uma PG é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo

que o antecede, para isso tendo a razão q que ser sempre positiva e maior que 1.

Uma PG é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que

o termo que o antecede, para isso tendo a razão q que ser sempre positiva e

diferente de zero.

Uma PG é constante quando todos os termos são iguais.

Uma PG é oscilante (ou alternante) quando todos os termos são diferentes de zero

e dois termos consecutivos têm sempre sinais opostos, para isso tendo a razão q

que ser sempre negativa e diferente de zero.

Termo geral de uma PG

A fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é expressa da seguinte

forma:

an = a1 q(n - 1)


aa

aa

aa

aa

2

1

3

2

4

3 1

= = = = =... ...n

n−−

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251Demonstração do termo geral de uma PG

Agora precisamos encontrar uma expressão que nos forneça o termo geral de uma

PG conhecendo apenas o primeiro termo (a1) e a razão (q). Isso é possível graças

à lei de formação específica da PG. Seja (a1, a2, a3, ... , an) uma PG de quociente q.

Temos:

a2 = a1 . q

a3 = a1 . q . q = a1 . q2

a4 = a1 . q2 . q = a1 . q

3

a5 = a1 . q3q = a1 . q

4

Continuando a seqüência, chegaremos ao termo an, que ocupa a n-ésima posição

da PG, dada pela expressão:

an = a1 . q(n - 1)

Atenção!

Se (a, b, c) estão em PG, então b2 = a.c

A soma dos termos de uma PG

Para demonstrar a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica,

consideramos duas seqüências geométricas Sn (Equação I) e q.Sn (Equação II).

Subtraindo a Equação I da Equação II, temos:

Sn = a1 + (a1 . q ) + (a1 . q2) + ... + (a1 . q

n-1) (I)

q . Sn = a1 . q + (a1 . q2 ) + .. + (a1 . q

n-1) + (a1 . qn) (II)

(II) – (I) q . Sn – Sn = -a1 + a1 . qn

Sn(q – 1) = a1(-1 + qn)

Sna q

q

n

=−( )

−1 1

1

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Os técnicos em agropecuária Rômulo e Pedro estão trabalhando numa pesquisa

num laboratório de piscicultura e verificaram que os peixes do aquário estão

morrendo. Parece que alguma moléstia atacou os peixes. Na semana da pesquisa,

apareceu 1 peixe morto na segunda-feira. Na terça morreram 3 peixes. Na quarta

morreram 9 outros. Se continuar essa progressão, no final de domingo quantos

peixes terão morrido?


Rica

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Ferr

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aizo

Quantos peixes ainda restarão na experiência dos técnicos, no final de uma sema-

na, se os mesmo estão morrendo em progressão geométrica?

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Continuando a Atividade 4, resolva a questão:

É possível fazer a estimativa de quantos peixes, no total, morrerão até o domingo?


Rica

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Ferr

eira

Par

aizo

Parece que os peixes estão morrendo em progressão geométrica de razão 3.

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253

O Sr. Vicente resolveu fazer uma criação de coelhos em sua chácara. Ele começou

com dois casais. No final de um mês, desses casais nasceram mais 16 coelhos; no

mês seguinte nasceram 80 coelhos. Verificou-se que o crescimento segue uma PG.

Quantos coelhos esperamos ter na chácara de Vicente no final de 5 meses?

Na cunicultura do Sr. Vicente os animais estão crescendo muito rapidamente. Será

que esse crescimento está em progressão aritmética ou geométrica?


Rica

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No primeiro ano de instalação de uma indústria, ela fabrica 106 unidades de

determinado produto, e a previsão é que a cada ano dobre a sua produção.

Durante 10 anos, quantas unidades essa fábrica terá produzido?


Fonte: www.sxc.hu

Crai

g Je

wel

l

Numa indústria de água mineral embalam-se muitas e muitas unidades de

garrafões por ano.

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Resumindo...

• O estudo que fizemos nesta aula está ligado ao processo de contagem

indireta, principalmente em se tratando de uma seqüência numérica muito

extensa. Recorrendo a algumas fórmulas bem simples, fica muito fácil

obter resultados de soma ou elementos dessas seqüências.

• PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA):

A representação dos termos de uma PA é (a1, a2, a3, ... ,an, an+1 ...), onde:

a2 – a1 = a3 – a2 = ... = an+1 – an = r.

• Fórmula do termo geral de uma PA − qualquer termo da PA pode ser

obtido pela fórmula:

Em que: a1 = primeiro termo; an = último termo;

n = número de termos; r = razão.

• Fórmula da soma dos n primeiros termos da PA:


n = número de termos; Sn = soma dos termos.

• PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG):

A representação dos termos de uma PG é (a1, a2, a3, ... ,an, an+1 ...), onde:

• Fórmula do termo geral de uma PG − qualquer termo da PG pode ser

obtido pela fórmula: an = a1 . qn-1


n = número de termos; q = razão.

• Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG finita − Para obter a

soma dos n termos da PG (a1, a2, a3, ... ,an) finita, usamos a fórmula:

Em que: a1 = primeiro termo; q = razão;

n = número de termos; Sn = soma dos termos.

Sna a nn= +( ).1

2

aa

aa

aa

qn

n

2

1

3

2

1= = = =+...

Sa q

qn

n

= 1 11

( )−−−−

an = a1 + (n-1).r

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257Informação sobre a próxima aula

Na próxima aula, vamos estudar Exponencial e Logaritmo.

Respostas das Atividades

Atividade 1

100 litros = 0,1 m3

Temos, aqui, um problema de PA:

Vamos chamar de:

a1 = 0,1 m3 → Volume de água perdido depois de 1 hora

a2 = 0,2 m3 → Volume de água perdido depois de 2 horas

a3 = 0,3 m3 → Volume de água perdido depois de 3 horas

an = 3,5 m3 → Volume de água perdido depois de n horas

Para calcular esse tempo, vamos usar a fórmula an = a1 + (n – 1).r,

que é a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética (PA), em que

an = último termo = 3,5

a1 = 1º termo = 0,1

n = número de termos = ?

r = razão = a2 – a1 = 0,2 – 0,1 = 0,1

Substituindo a fórmula:

an = a1 + (n – 1).r

3,5 = 0,1 + (n –1).0,1

3,5 = 0,1 + 0,1.n – 0,1

3,5 = 0,1.n

n = 35 horas

24 h + 11 h = 1 dia + 11 horas

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257Esse poço vai estar com 3,5 m3 de água daqui a 1 dia + 11 horas. Nayanna

precisa descobrir logo o que está agarrado dentro do cano, senão o poço ficará

comprometido em termos de volume de água.

Atividade 2

Primeiro vamos ver quanto de lucro o Sr. Rodrigo ganha por ano.

Se ele vende 800 kg no primeiro mês, então 800 x 5 = R$ 4.000,00

Completando a tabela:

(Supondo períodos sem inflação, ou seja, em que não haverá aumento no preço

do peixe.)

Ano Massa de peixe para venda Lucro previsto

2006 800 kg R$ 4.000,00 = a1

2007 900 kg R$ 4.500,00 = a2

2008 1.000 kg R$ 5.000,00 = a3

2009 1.100 kg R$ 5.500,00 = a4

Temos aqui uma seqüência chamada de PA (Progressão Aritmética).

Nesse caso, precisamos somar todos os lucros obtidos, e a soma total precisa ser

de R$ 50.000,00 (que é o valor que Rodrigo quer juntar).

Para saber o número de anos que ele precisa esperar para juntar tal valor, pre-

cisamos usar a fórmula para calcular a soma dos termos de uma PA, que é:

Onde Sn = 50.000 (soma dos termos da progressão)

a1 = 4.000

an (último termo) e n (número de termos) nós não temos. No entanto, podemos

calcular an com a fórmula usada no problema da vazão (problema anterior).

Então, usando a fórmula an = a1 + (n –1).r, temos:

a1 = 4.000

r = a2 - a1 = 500

Então, substituindo na fórmula, temos:

an = a1 + (n –1).r

an = 4.000 + (n – 1 ).500

an = 4.000 + 500n – 500

an = 3.500 + 500n

Sna a nn= +( ).1

2

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259Agora podemos usar a fórmula de Sn para calcular o n, que será o número de anos

que você quer achar:

Multiplicando cruzado (o produto dos meios é igual ao produto dos extremos),

temos:

100.000 = (7.500 + 500n)n

100.000 = 7.500n + 500n2

Trocando os membros, temos uma equação do 2º grau:

500 n2 + 7.500n – 1.000.000 = 0

Fazendo a devida simplificação por 100 temos:

5n2 + 75n – 10.000 = 0

Usando a fórmula de Baskara, podemos resolver esta equação do 2º grau:

∆ = b2 - 4ac

∆ = (75)2 - 4.5(-10.000)

∆ = 5.625 + 20.000

∆ = 25.625

n = (-b ± 160)/2a =

n´ = (-75+160)/10 ≅ 8,5 anos

8 anos e 6 meses é o tempo aproximado que ele deve esperar para comprar seu

terreno.

Atividade 3

Aqui temos uma progressão aritmética (PA). Veja:

a1 = R$ 50,00 → a1 representando o preço que o poceiro cobra para furar o 1º

metro de profundidade do poço.





Sna a nn= +( ).1

2

50 0004 000 3 500 500

2.

( . . ).= + + n n

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259a6 = ? → a6 representando o preço que o poceiro cobra para furar o 6º metro de

profundidade do poço.

Como queremos calcular o valor total que o poceiro cobra por todo o serviço,

devemos calcular a soma dos termos de uma PA, cuja fórmula é:

Nós não temos o an, ou seja, a6. Precisamos, então, calculá-lo! Vamos usar a

fórmula do termo geral da PA, que é an = a1 + (n - 1).r

a6 = 50 + (6 - 1).50

a6 = 50 + (5).50

a6 = 50 + 250

a6 = 300

Substituindo a fórmula de Sn, temos:

O poceiro recebe R$ 1.050,00 pelos 6m do poço perfurado.

Atividade 4

Isto é uma PG de razão 3. Vamos, então, calcular quantos peixes deverão morrer

no final de domingo.

Vamos considerar a seqüência:

a1 = 1→ Segunda-feira

a2 = 3→ Terça-feira

a3 = 9→ Quarta-feira (ontem)

a4 = 27→ Quinta-feira (previsão no final do dia de hoje)

a7 = Domingo

Aqui temos a razão q = 3

Por meio da fórmula para calcular o termo geral de uma PG, temos:

Sna a nn= +( ).1

2

a a q

a a a an

n= ⋅

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

−

−1

1

77 1

76

7 71 3 1 3 1 729 729

Sna a nn= + = + ⋅ = ⋅ = ⋅ =( ). ( )

.1

250 300 6

2350 6

2350 3 1 050

e-Te

c Br

asil

– M

atem

átic

a In

stru

men

tal

260

Aula

10

– Pr

ogre

ssõe

s ar

itm

étic

as e

pro

gres

sões

geo

mét

ricas

261Se continuar assim, na segunda-feira seguinte Rômulo e Pedro terão poucos

peixes para desenvolverem a pesquisa.

Atividade 5

Se a seqüência continuar geometricamente, é só somar seus termos para sabermos

aproximadamente quantos peixes, no total, estarão mortos até domingo.

Vamos, então, calcular a soma dos termos de uma PG. Consideramos:

a1 = 1, n = 7 (número de dias, de segunda a domingo) e q = 3 (que é a

razão da PG)

Agora é só usar a fórmula substituindo esses valores:

Então, se a seqüência seguir uma PG, até domingo estarão mortos, no total, 1.093

peixes, somando-se todos os peixes que estão previstos de morrer de segunda a

domingo.

Como foram colocados inicialmente 1.293 peixes no início da pesquisa, deverão

sobrar 200 peixes para terminarmos a pesquisa na segunda (a8). Na terça,

provavelmente, não vai mais sobrar peixe.

Atividade 6

Como o Sr. Vicente começou com um casal, vamos considerar o total inicial (a0)

de 4 coelhos. No final do 1º mês desse casal nasceram mais 16 coelhos (a1), então

ficaram 20 coelhos (16 que nasceram + 4 que já existiam inicialmente). No final

do 2º mês (a3) nasceram mais 80 coelhos, ficando 100 (20 + 80). Vamos, então,

ter a seguinte seqüência:

a0 = 4 → Desconsiderar este número da seqüência;

a1 = 20 →Total de coelhos no final do 1º mês;

a2 = 100→ Total de coelhos no final do 2º mês;

a3 = 500→ Total de coelhos no final do 3º mês;

a5 = ? Total de coelhos no final do 5º mês → Esta é a questão.

Sna q

q

Sn

Sn Sn

n

=

= ⋅

= ⇒ = =

1

7

11

1 3 13 1

2 187 12

2 1862

1 093

( )

( )

( . ) ..

−−−−

−−−−

−−

e-Te

c Br

asil

– M

atem

átic

a In

stru

men

tal

260

Aula

10

– Pr

ogre

ssõe

s ar

itm

étic

as e

pro

gres

sões

geo

mét

ricas

261Temos, aqui, uma progressão geométrica de razão (q) igual a 5 →

Usando a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica, temos:

an = a1 . qn-1

a5 = 20. 55-1

a5 = 20.54 = 20.625 = 12.500

O número de coelhos que se espera ter no final de 5 meses na chácara do Sr.

Vicente é 12.500.

Atividade 7

a1 = 106 → Total de unidades fabricadas no final do 1º ano

a2 = 2.106 → Total de unidades fabricadas no final do 2º ano

a3 = 4.106 → Total de unidades fabricadas no final do 3º ano

a10 = ? → Total de unidades fabricadas no final do 10º ano (n = 10)

Nesta atividade, precisamos calcular a soma de todas as unidades fabricadas

durante os 10 anos de instalação da fábrica.

Como podemos ver pela seqüência anterior, temos uma progressão geométrica.

Para calcular a somas dos termos da PG, usamos a fórmula:

Sn = 1.023.000.000

Durante 10 anos após instalada, essa fábrica terá fabricado o total de

1.023.000.000 (um bilhão e vinte e três milhões) de unidades.

aa

2

1

10020

5= =

Sa q

q

S

S

S

n

n

n

n

n

= −−

= −−

= −

= ⋅

1

6 10

6

6

11

10 2 12 1

10 1 024 11

10 1 023

( )

( )

( . )

.

e-Te

c Br

asil

– M

atem

átic

a In

stru

men

tal

262 Referências bibliográficas

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. São Paulo: Ática. 1999. v. 1.

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, Roberto. Uma nova abordagem. São Paulo: FTD.

2000. v. 2.

IEZZI Gelson et al. Matemática: ciência e aplicação. 2. ed. São Paulo: Atual.

2004. v. 1.

PAIVA, Manuel Rodrigues. Matemática. São Paulo: Moderna, 1997. v. 2.

Sites consultados

MARQUES, Paulo. Progressões matemáticas, PA. Disponível em: <http://www.

algosobre.com.br/matematica/progressao-aritmetica-pa.html>. Acesso em: 14 jan.

2009.

MIRANDA, Daniele de. Progressão matemática. Disponível em: <http://www.bra-

silescola.com/matematica/progressao-geometrica.htm>. Acesso em: 14 jan. 2009.

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