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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO P/ PRF

Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima


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2 de 135| www.direcaoconcursos.com.br

Raciocínio Lógico-Matemático p/ PRF

Sumário

SUMÁRIO ..................................................................................................................................................2

GEOMETRIA E MÉTRICA ............................................................................................................................ 3

ÂNGULOS .......................................................................................................................................................... 3

POLÍGONOS ....................................................................................................................................................... 8

Retângulo ..................................................................................................................................................... 12

Quadrado ...................................................................................................................................................... 13

Trapézio ........................................................................................................................................................ 15

Losango ........................................................................................................................................................ 17

Paralelogramo ............................................................................................................................................... 18

Triângulo ....................................................................................................................................................... 19

Círculo ........................................................................................................................................................... 26

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE FIGURAS PLANAS ............................................................................................ 30

Reta secante e tangente ................................................................................................................................ 30

Circunferências concêntricas .......................................................................................................................... 31

Figuras inscritas e circunscritas ....................................................................................................................... 31

POLIEDROS ...................................................................................................................................................... 35

Paralelepípedo .............................................................................................................................................. 35

Cubo ............................................................................................................................................................. 38

Cilindro ......................................................................................................................................................... 41

Cone ............................................................................................................................................................. 44

Pirâmide........................................................................................................................................................ 47

Prisma........................................................................................................................................................... 49

Esfera............................................................................................................................................................ 52

ESCALAS, PROJEÇÕES, PLANIFICAÇÕES E CORTES, MÉTRICA ....................................................................................... 53

Escalas .......................................................................................................................................................... 53

Projeções ....................................................................................................................................................... 55

Planificações e Cortes .................................................................................................................................... 56

QUESTÕES DE PROVA COMENTADAS ..................................................................................................... 58

LISTA DE QUESTÕES............................................................................................................................. 108

GABARITO ............................................................................................................................................ 130

RESUMO DIRECIONADO ....................................................................................................................... 131


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Geometria e Métrica

Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima.

É com muita alegria que inicio mais essa aula.

Vamos tratar sobre os seguintes tópicos neste encontro:

Análise e interpretação de diferentes representações de figuras planas, como desenhos, mapas e plantas. Visualização

de figuras espaciais em diferentes posições. Representações bidimensionais de projeções, planificações e cortes.

Métrica. Áreas e volumes. Estimativas. Aplicações. Utilização de escalas.

Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo:

ÂNGULOS

Ângulo é a medida de uma abertura delimitada por duas semi-retas. Veja na figura abaixo o ângulo A, que

é a abertura delimitada pelas duas semi-retas desenhadas:

O ponto desenhado acima no encontro entre as duas semi-retas é denominado Vértice do ângulo.

Um ângulo é medido de acordo com a sua abertura. Dizemos que uma abertura completa (isto é, uma

volta completa), como a vista na figura abaixo, mede 360 graus (360º):

A


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Assim, aberturas inferiores a uma volta completa medirão valores entre 0 e 360 graus. Veja um exemplo:

O ângulo da figura acima mede 30 graus, que equivale a 1/12 de 360 graus. Portanto, a soma de 12 ângulos

iguais a este equivale a uma volta completa (360º). É importante você conhecer alguns ângulos muito comuns.

Como 360o representam uma volta completa, 180o representam meia-volta, como você pode ver abaixo:

Por sua vez, 90o representa metade de meia-volta, isto é, ¼ de volta. Este ângulo é conhecido como

ângulo reto, e tem uma representação bem característica:

Além do ângulo reto (90o), os ângulos podem ser classificados em:

180o

A

30o


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- Ângulos agudos: são aqueles ângulos inferiores à 90o. Ex.: 30o, 45o, 60o.

- Ângulos obtusos: são aqueles ângulos superiores à 90o. Ex.: 100o, 120o, 140o.

* os ângulos de 0 e 180o são denominados de ângulos rasos.

Outra classificação de ângulos que você precisa conhecer é:

- Ângulos congruentes: 2 ângulos são congruentes se possuem a mesma medida

- Ângulos complementares: 2 ângulos são complementares se a sua soma é 90o

- Ângulos suplementares: 2 ângulos são suplementares se a sua soma é 180o

Um ângulo pode ser dividido em duas partes iguais pela semi-reta denominada Bissetriz:

Quando duas retas se cruzam, formam-se ângulos interessantes, que você também deve conhecer:

Note, na figura acima, que o vértice dos ângulos A, B, C e D é o mesmo (simbolizado pelo ponto). Os

ângulos A e C são denominados ângulos opostos pelo vértice, e tem o mesmo valor. Da mesma forma, os

ângulos B e D tem o mesmo valor, pois também são opostos pelo vértice:

A = C

B = D

A soma dos ângulos A e B é de 180o (ou seja, são suplementares), assim como a soma dos ângulos B e C,

C e D, e D e A.

Da mesma forma, quando uma reta transversal (simbolizada por “r” na figura abaixo) cruza duas retas

paralelas (“x” e “y”), formam-se ângulos interessantes:

A/2

A/2

A C

B

D


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Note que os ângulos A e C são iguais (pois são opostos pelo vértice), assim como B = D, E = G e F = H.

Observe ainda que A + B = 180o (isto é, são suplementares). O mesmo ocorre com B+C, C+D, E+F etc.

Os ângulos A e E possuem a mesma medida, sendo chamados de ângulos correspondentes. Veja que o

mesmo ocorre entre C e G, B e F, D e H.

Os ângulos A e H somam 180o (são suplementares), sendo chamados de ângulos colaterais externos

(estão do mesmo lado da reta r, e externamente às retas x e y). O mesmo ocorre entre B e G.

D+E = 180o também, assim como C+F. Estes são chamados de ângulos colaterais internos (estão do

mesmo lado da reta r, e internamente às retas x e y).

E+F e D+C também são suplementares (somam 180o), sendo chamados de ângulos alternos internos

(estão em lados alternados da reta r, e internamente às retas x e y).

Por fim, A+B e G+H somam também 180o e são chamados ângulos alternos externos.

Veja comigo essa questão:

IDECAN – COREN/MA – 2013) No triângulo a seguir, o lado KL é paralelo ao segmento DE.

A soma dos valores dos ângulos “x” e “a” é

A) 170°.

B) 180°.

C) 185°.

D) 190°.

E) 195°.

A

C

E

G

B

D

H

F

r

x

y


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RESOLUÇÃO:

Como os segmentos KL e DE são paralelos, então:

Assim, veja que podemos posicionar o mesmo ângulo “a” na posição em vermelho, pois temos ângulos

correspondentes. Note ainda que, ao fazer isso,

a + 115 = 180

a = 65º

Também podemos colocar o ângulo de 55º na posição em vermelho, pois novamente temos ângulos

correspondentes. Perceba que:

x + 55 = 180

x = 125º

Logo, x + a = 190º.

Resposta: D

Uma outra unidade de medida de ângulos é chamada de “radianos”. Dizemos que 180o correspondem a

(“pi”) radianos. Com esta informação em mãos, conseguimos converter qualquer outro ângulo de graus

para radianos, ou vice-versa, utilizando uma regra de três simples. Exemplificando, vamos converter 30o para

radianos:

180o ---------------------------------------- radianos

30o---------------------------------------- X radianos

Efetuando a multiplicação cruzada, temos:

180 30

30 3

180 18

radianos6

X

X

X

=

= =

=

Da mesma forma, você verá que 360 2 radianoso = .


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POLÍGONOS

Chamamos de Polígono qualquer figura geométrica fechada formada por uma série de segmentos de

reta. Veja abaixo um exemplo de polígono:

Note que uma figura como esta abaixo, apesar de formada por uma série de segmentos de reta, não é um

polígono, pois não é fechada:

Um polígono qualquer possui os seguintes elementos:

- lados: são os segmentos de reta que formam o polígono (a figura abaixo, um pentágono, possui 5

segmentos de reta, isto é, 5 lados).

- vértices: são os pontos de junção de dois segmentos de reta consecutivos. Estão marcados com letras

maiúsculas na figura abaixo.

- diagonais: são os segmentos de reta que unem dois vértices não consecutivos, isto é, não devemos

considerar que os lados do polígono são também diagonais. Na figura abaixo, estão pontilhados:

Além disso, ainda temos:

- ângulos internos: são os ângulos formados nos vértices, entre dois lados consecutivos, na região interna

ao polígono. Veja-os no triângulo abaixo:

A

B

C D

E


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- ângulos externos: são os ângulos formados nos vértices, entre um lado e o prolongamento do outro

lado, na região externa ao polígono. Veja um exemplo de ângulo externo:

É bom você saber que:

- o número de lados de um polígono é sempre igual ao número de vértices. Veja que o triângulo possui 3

lados e 3 vértices, bem como o pentágono possui 5 lados e 5 vértices (o mesmo acontecendo com aquele

polígono de 5 lados que fizemos no início deste tópico).

- se um polígono possui n vértices (ou lados), então o número de diagonais é dado pela fórmula abaixo:

( 3)

2

n nD

−=

Exemplificando, veja que o triângulo (n = 3) não tem nenhuma diagonal, e o pentágono (n = 5) possui 5

diagonais.

- a soma do ângulo interno e do ângulo externo de um mesmo vértice é igual a 180º;

- a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é:

( 2) 180oS n= −

Usando a fórmula acima, você pode ver que no triângulo (n = 3) a soma dos ângulos internos é 180º, e nos

quadriláteros (polígonos de 4 lados) esta soma é 360º.

Veja uma questão onde trabalhamos com as fórmulas do número de diagonais e da soma dos ângulos

internos:

CONSULPLAN – SEDUC/PA – 2018) A soma dos ângulos internos de um polígono regular que tem 20

diagonais é


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a) 495

b) 720

c) 990

d) 1080

RESOLUÇÃO:

A fórmula das diagonais de um polígono nos permite descobrir o número de lados do polígono da

questão. Veja:

( 3)

2

n nD

−=

20 = 𝑛2−3𝑛

2

20 x 2 = n² - 3n

n² - 3n – 40 = 0

𝑛 =−(−3) ± √(−3)2 − 4.1. (−40)

2.1

𝑛 =3 ± √9 + 160

2

𝑛 =3 ± 13

2

Como “n” é o número de diagonais, só faz sentido pegarmos o resultado positivo da expressão acima, que

é:

𝑛 =3 + 13

2=

16

2= 8 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠

Aplicando a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono, temos:

( 2) 180oS n= −

S = (8 – 2) x 180

S = 1080

Resposta: D

Os polígonos podem ser classificados em côncavos ou convexos. Abaixo temos, da esquerda para a

direita, um polígono convexo e outro côncavo, ambos com 5 lados:

Veja que o polígono convexo possui todos os ângulos internos inferiores a 180º. Já o polígono côncavo

possui pelo menos um ângulo interno maior que 180º (marquei-o na figura). Em outras palavras, o polígono

côncavo possui uma ponta “para dentro”, o que não ocorre nos polígonos convexos.


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Chamamos de polígono regular aquele que possui todos os lados iguais e todos os ângulos internos iguais

(isto é, congruentes). O polígono abaixo é chamado de Hexágono regular. Ele possui 6 lados iguais e 6 ângulos

internos também iguais:

Em um polígono regular como este, é fácil calcular o valor de um ângulo interno. Basta lembrar que a

soma dos ângulos internos é ( 2) 180oS n= − . Como neste caso n = 6, então S = 720º. Como temos 6

ângulos internos iguais, basta dividir 720º por 6 e veremos que cada ângulo interno mede 120º. Além disso, é

fácil calcular o valor de cada ângulo externo. Como a soma do ângulo interno com o ângulo externo é 180º,

então cada ângulo externo deve medir 60º.

Finalizando essa parte introdutória, é válido você conhecer os nomes dos principais polígonos, bem como

o número de lados de cada um deles:

Nº de lados Nome Nº de lados Nome

3 Triângulo 9 Eneágono

4 Quadrilátero 10 Decágono

5 Pentágono 11 Undecágono

6 Hexágono 12 Dodecágono

7 Heptágono ... ...

8 Octógono 20 Icoságono

Agora vamos conhecer as principais figuras geométricas que podem cair em sua prova. Veremos também

como calcular a área das mesmas. A área de uma figura nada mais é que o espaço na superfície por ela ocupado.

Quanto ao perímetro, basta você saber o conceito: trata-se da soma dos comprimentos dos lados da

figura. Faremos uma ressalva quando estivermos trabalhando com as circunferências.


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Retângulo

Chamamos de paralelogramo qualquer quadrilátero (polígono de 4 lados) que possua os lados opostos

paralelos*. O retângulo é um paralelogramo especial, onde, além dos lados opostos serem paralelos, todos os

ângulos internos são iguais a 90º, isto é, são ângulos retos (de onde vem o nome retângulo). Chamamos o lado

maior de base, e o lado menor de altura. Veja-o abaixo:

*Obs.: você lembra que dois segmentos de reta são paralelos quando nunca se cruzam, isto é, seguem lado a

lado “até o infinito”?

A área do retângulo é dada pela multiplicação de sua base (b) pela sua altura (h), conforme a fórmula

abaixo:

A = b x h

Num retângulo com 10 centímetros de lado e 3 centímetros de altura, a área será:

210 3 30A cm cm cm= =

Note que, assim como multiplicamos o número 10 pelo 3, multiplicamos a unidade de comprimento “cm”

pela unidade de comprimento “cm”, chegando à 2cm (centímetros quadrados), que neste caso é a unidade de

área. Se a base e altura estiverem em unidades de comprimento diferentes, será preciso colocá-las na mesma

unidade de medida antes de efetuar o cálculo da área.

Trabalhe comigo essa questão sobre retângulos:

VUNESP – PM/SP – 2018) Uma praça retangular, cujas medidas em metros, estão indicadas na figura, tem 160

m de perímetro.

b

b

h h


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Sabendo que 70% da área dessa praça estão recobertos de grama, então, a área não recoberta com grama tem

(A) 450 m2.

(B) 500 m2.

(C) 400 m2.

(D) 350 m2.

(E) 550 m2.

RESOLUÇÃO:

Foi dado o perímetro dessa praça, que corresponde à soma de todos os lados. Logo:

2x + 2(x + 20) = 160

2x + 2x + 40 = 160

4x = 120

x = 30 m

A área, portanto, será:

Área = 30 x (30 + 20)

Área = 30 x 50 = 1500 m²

Como 70% está recoberta por grama, 100 – 70 = 30% não é recoberta. Logo:

Área não recoberta = 0,3 x 1500 = 450 m²

Resposta: A

Quadrado

Trata-se de um retângulo onde a base e a altura tem o mesmo comprimento, isto é, todos os lados do

quadrado tem o mesmo comprimento, que chamaremos de L. Veja:

A área também será dada pela multiplicação da base pela altura (b x h). Como ambas medem L, teremos

L x L, ou seja:

2A L=

Veja essa questão sobre a área do quadrado:

CESPE – IFF – 2018) Os lados de um terreno quadrado medem 100 m. Houve erro na escrituração, e ele foi

registrado como se o comprimento do lado medisse 10% a menos que a medida correta. Nessa situação,

deixou-se de registrar uma área do terreno igual a

L

L

L L


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a) 20 m²

b) 100 m²

c) 1.000 m²

d) 1.900 m²

e) 2.000 m²

RESOLUÇÃO:

A área de um quadrado é L². Inicialmente os lados do quadrado deveriam medir L = 100 m, portanto a

área seria A = 100² = 10000 m². Porém, L foi registrado com 10% a menos, ou seja, 100 – 10% x 100 = 90 m. Logo,

a área passou a ser 90² = 8100 m².

Então, a área que deixou de ser registrada foi de: 10000 – 8100 = 1900 m².

Resposta: D

É importante gravar também que um quadrado de lado L possui duas diagonais que medem 2L cada

uma. Veja-as pontilhadas na figura abaixo:

Veja essa questão sobre a diagonal do quadrado:

IDECAN – UFPB – 2016) Qual deve ser o valor de x para que o polígono apresentado seja um quadrado?

a) 1 cm.

b) 2 cm

c) √2 cm

d) 2√2 cm

RESOLUÇÃO:

Queremos que a figura do enunciado seja um quadrado, com os quatro lados medindo 2cm. Em um

quadrado, sabemos que:


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Diagonal = lado . 2

Note que a diagonal desta figura mede x + x = 2x. E o lado mede 2. Colocando isto na fórmula acima:

2x = 2 . 2

x = 2

Resposta: C

Outra informação relevante sobre o quadrado: dado um perímetro “P”, o quadrado é o quadrilátero que

apresenta a maior área.

Trapézio

Trata-se de outro polígono com 4 lados, sendo 2 deles paralelos entre si, e chamados de base maior (B) e

base menor (b). Identifique-os na figura abaixo:

Para calcular a área de um trapézio, é preciso saber também a sua altura (h), que é a distância entre a base

menor e a base maior. Veja-a pontilhada na figura abaixo:

Conhecendo b, B e h, podemos calcular a área do trapézio através da fórmula abaixo:

( )2

b B hA

+ =

Vamos calcular a área do trapézio deste trapézio (m representa a unidade de comprimento metro):

B

b

B

b

h


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Veja que b = 3m, B = 4m e h = 2m. Utilizando a fórmula, temos:

( ) 23 4 2 14

72 2

A m+

= = =

Vamos enfrentar um exercício juntos:

FCC – SABESP – 2017) Um terreno tem a forma de um trapézio. Os lados não paralelos têm a mesma medida.

A base maior desse trapézio mede 12 m, a base menor mede 6 m e a altura mede 4 m. A área e o perímetro

desse terreno são, respectivamente, iguais a

a) 32 m² e 28 m.

b) 36 m² e 28 m.

c) 36 m² e 24 m.

d) 32 m² e 24 m.

e) 36 m² e 26 m.

RESOLUÇÃO:

Foram dadas B = 12 m, b = 6 m e H = 4m. Vamos chamar os lados não paralelos de “L”. Veja como fica esse

trapézio:

Para descobrir o valor de L, basta aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo lado L com a

altura e o trecho de 3m. Veja:

L² = 4² + 3²

L² = 16 + 9

L² = 25

L = 5 m

O perímetro do trapézio é dado pela soma de seus quatro lados. Logo:

L + L + 6 + 12 = 5 + 5 + 18 = 28 m

A área é dada por:

4m

3m

2m


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( )2

b B hA

+ =

A = (6 + 12).4/2 = 18.2 = 36 m²

Resposta: A

Losango

Trata-se de um polígono com 4 lados de mesmo comprimento. Veja abaixo:

O quadrado é um caso particular de losango, onde todos os ângulos internos são iguais a 90º.

Para calcular a área de um losango, precisamos conhecer as suas duas diagonais: maior (D) e menor (d).

Veja-as na figura a seguir:

Assim, a área do losango é dada pela fórmula abaixo:

2

D dA

=


IDECAN – PREF. SANTO ANTÔNIO DE PÁDUA/RJ – 2013) A figura a seguir é composta por losangos cujas

diagonais medem 6 cm e 4 cm. A área da figura mede

L L

L L

L L

L L

D

d


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A) 48 cm2.

B) 50 cm2.

C) 52 cm2.

D) 60 cm2.

E) 64 cm2.

RESOLUÇÃO:

Sendo D e d as diagonais de um losango, sua área é dada por:

Área = D x d / 2 = 6 x 4 / 2 = 12cm2

Como ao todo temos 5 losangos, a área total é:

5 x 12 = 60cm2

Resposta: D

Paralelogramo

Como já disse acima, o paralelogramo é um quadrilátero com os lados opostos paralelos entre si. Esses

lados opostos possuem o mesmo tamanho. Veja um exemplo:

A área do paralelogramo também é dada pela multiplicação da base pela altura:

A = b x h

Repare que a altura não é igual ao lado menor (ela só será igual no retângulo, que é um caso especial de

paralelogramo). Ela é o tamanho do segmento que une os dois lados opostos (b), sendo perpendicular* a eles.

*Obs.: aqui vale a pena lembrar que dois segmentos de reta são perpendiculares quando se cruzam formando

ângulos de 90º.

Veja comigo esse exercício:

CESPE – FUB – 2015)

( ) Considere que, na figura III, estejam representados um losango e um trapézio (da esquerda para a direita);

logo, é correto afirmar que essas duas figuras geométricas são paralelogramos.

b

b

h


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RESOLUÇÃO:

De acordo com o que vimos, apenas o losango é um paralelogramo (lados opostos paralelos). O trapézio

possui apenas um lado paralelo a outro e não é paralelogramo. Item errado.

Resposta: E

Triângulo

Trata-se de uma figura geométrica com 3 lados. Veja-a abaixo:

Para calcular a área do triângulo, é preciso conhecer a sua altura (h):

O lado “b”, em relação ao qual a altura foi dada, é chamado de base. Assim, calcula-se a área do triângulo

utilizando a seguinte fórmula:

2

b hA

=

Temos mais algumas considerações a fazer em relação ao triângulo. Primeiramente, lembre-se que a

soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o:

a c

b

a c

b

h


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Assim, A + B + C = 180o.

Existem os seguintes tipos de triângulos:

- Triângulo equilátero: é o triângulo que tem todos os lados iguais. Consequentemente, ele terá todos os

ângulos internos iguais:

Como A + A + A = 180º, então A = 60º. Isto é, o triângulo equilátero possui três ângulos internos iguais a

60 graus.

Outra particularidade do triângulo equilátero é que temos a seguinte fórmula para calcular a sua altura:

3

2

ah = , onde “a” é a medida do lado

Veja onde se localiza a altura h na figura abaixo:

Ainda, saiba que existe uma outra fórmula para calcular a área do triângulo equilátero usando apenas o

valor da medida dos lados (a):

a b

c

B

C

A

a a

a

A

A

A

a

a

a

h


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2 3

4

aA =


IBFC – Polícia Científica/PR – 2017) Em um triângulo equilátero de lado igual a 4 cm, a medida de sua altura é

igual a:

a) 2 cm

b) √12 cm

c) 8 cm

d) 16 cm

e) 10 cm

RESOLUÇÃO:

Sabemos que a altura de um triângulo equilátero com arestas medindo “a” é igual a:

ℎ =𝑎√3

2

Sendo a = 4, temos:

ℎ =4√3

2= 2√3 = √4.3 = √12

Resposta: B

- Triângulo isósceles: é o triângulo que tem dois lados iguais. Consequentemente, os 2 ângulos internos da

base são iguais (simbolizados na figura pela letra A):

- Triângulo escaleno: é o triângulo que possui os três lados com medidas diferentes, tendo também os três

ângulos internos distintos entre si:

a a

c

A

C

A


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Você precisa conhecer um tipo particular de triângulo, que é aquele que possui um ângulo de 90º, isto é,

um ângulo reto. Este é o triângulo retângulo. Veja-o no desenho abaixo:

O ângulo marcado com um ponto é o ângulo reto (90º). Oposto a ele temos o lado “c” do triângulo, que

chamaremos de hipotenusa. Já os lados “a” e “b”, que são adjacentes ao ângulo reto, são chamados de catetos.

O Teorema de Pitágoras nos dá uma relação entre a hipotenusa e os catetos, dizendo que a soma dos

quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa:

2 2 2a b c+ =

Existem dois triângulos retângulos muito “manjados” e frequentes em prova. Trata-se do triângulo com

catetos 3 e 4, e hipotenusa 5 (veja que 52 = 32 + 42) e do triângulo com catetos 5 e 12, e hipotenusa 13 (veja que

132 = 52 + 122). Chamamos esses triângulos de 3-4-5 e 5-12-13.

Portanto, se você tem um triângulo retângulo com catetos 5 e 12, nem é preciso usar Pitágoras: você já

sabe que a hipotenusa mede 13. Da mesma forma, se um triângulo retângulo tiver catetos medindo 10 e 24 (o

dobro de 5 e 12, respectivamente), a hipotenusa medirá 26 (o dobro de 13).


VUNESP – TJ/SP – 2017) A figura seguinte, cujas dimensões estão indicadas em metros, mostra as regiões R1

e R2, ambas com formato de triângulos retângulos, situadas em uma praça e destinadas a atividades de

recreação infantil para faixas etárias distintas.

a

c

b

C

B

A

a c

b

B

A


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Se a área de R1 é 54 m², então o perímetro de R2 é, em metros, igual a

(A) 48.

(B) 36.

(C) 42.

(D) 54.

(E) 40.

RESOLUÇÃO:

A área do triângulo R1 é:

Área R1 = base . altura / 2

54 = x . 9 / 2

54 . 2 = 9x

108 = 9x

x = 108 / 9

x = 12

Assim, x+4 = 12+4 = 16. No triângulo retângulo R2, um cateto mede 12 e o outro 16. A hipotenusa pode

ser encontrada pelo teorema de Pitágoras:

H2 = 122 + 162

H2 = 144 + 256

H2 = 400

H = 20

O perímetro é:

Perímetro R2 = 12 + 16 + 20 = 48

Veja que não era preciso usar o teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa. Bastava perceber que

o triângulo R2 é um múltiplo do triângulo 3-4-5, bastando multiplicar data medida por 4 para obter 12-16-20.

Resposta: A

Para finalizar, vejamos o que é conhecido como “semelhança de triângulos”. Triângulos semelhantes são

aqueles que possuem os mesmos ângulos internos (A, B e C). Podem ser de qualquer tipo: retângulos ou não;


Aula 10



equiláteros, isósceles ou escalenos. Se temos 2 triângulos semelhantes, podemos afirmar que os seus lados são

proporcionais. Veja os dois triângulos abaixo:

Esses triângulos são semelhantes se os ângulos internos forem iguais, isto é, se A = D, B = E e C = F. Se

isso ocorrer, podemos montar proporções entre os lados correspondentes dos dois triângulos. Veja:

a b c

d e f= =

O lado “a” do primeiro triângulo pode também ser chamado de BC , pois os ângulos B e C estão nas

extremidades do lado “a”. Da mesma forma, o lado “d” do segundo triângulo pode ser chamado de EF .

Portanto, a proporção acima também pode ser escrita na forma abaixo:

BC AC AB

EF DF DE= =

Veja uma questão sobre semelhança de triângulos:

IDECAN – COREN/MA – 2013) Observe os triângulos abaixo.

Esses dois triângulos são semelhantes. Sendo assim, a soma dos valores de x e y é

A) 32.

B) 34.

C) 36.

D) 38.

E) 40.

RESOLUÇÃO:

Se os triângulos são semelhantes, seus lados são proporcionais:

a

b

c d

e

f

C A

B

F D

E


Aula 10



Portanto,

30 / 20 = x / 12

x = 18cm

30 / 20 = 24 / y

y = 16cm

Portanto, x + y = 34cm.

Resposta: B

Antes de passar para a próxima figura geométrica, vamos conhecer algumas relações métricas presentes

no triângulo retângulo:

Observe no triângulo acima que h é a altura do triângulo ABC, e que o lado a foi dividido em duas partes

(m e n) pela altura h. Neste triângulo, acima, você deve saber as seguintes fórmulas, que podem auxiliar na

resolução de algum exercício:

a

c

b h

n m B

A

C H


Aula 10



‘

2

2

2

h m n

b m a

c n a

b c a h

=

=

=

=

Não vou demonstrar essas fórmulas aqui para não estender a aula demasiadamente. Entretanto, todas

essas fórmulas podem ser obtidas através da comparação de 2 triângulos semelhantes: ACH e ABH.

Para finalizar o estudo de triângulos, é bom voce saber a condição de existência de um triângulo. Se um

triângulo tem lados de comprimento A, B e C, o comprimento do lado maior deve ser inferior à soma dos lados

menores. Ex.: se alguém nos perguntasse se existe um triângulo com lados 5cm, 10cm e 22cm, diríamos que

não, pois 22cm é maior que 5cm + 15cm.

Voltaremos a falar de triângulos retângulos no estudo da Trigonometria, mais adiante.

Círculo

Em um círculo (ou circunferência), todos os pontos se encontram à mesma distância do centro. Essa

distância é chamada de raio, e na figura abaixo está simbolizada pela letra r:

A área de uma circunferência é dada pela fórmula abaixo:

2A r=

Nesta fórmula, a letra (“pi”) representa um número irracional que é, aproximadamente, igual a 3,14.

Exemplificando, vamos calcular a área de um círculo com 10 centímetros de raio:

2

2

2

(10 )

100

A r

A cm

A cm

=

=

=

Substituindo por 3,14, temos:

2

2

3,14 100

314

A cm

A cm

=

=

r


Aula 10



Já o perímetro de uma circunferência, isto é, o comprimento da circunferência, é dado por:

2P r=

Portanto, vamos calcular o perímetro daquela circunferência com 10cm de raio:

2

2 (3,14) (10 )

6,28 10

62,8

P r

P cm

P cm

P cm

=

=

=

=

Vamos aplicar a fórmula do comprimento da circunferência em uma questão?

FCC – SEC/BA – 2018) Atenção: Considere as informações e a figura abaixo para responder à questão.

O estudo do mecanismo de transmissão de movimento em uma bicicleta pode ser significativo para a

aprendizagem de conteúdos matemáticos relacionados com proporcionalidade e circunferência.

Esquema de uma Bicicleta

Dados:

A coroa tem 42 dentes, a catraca tem 24 dentes e o diâmetro da roda traseira é igual a 40 cm.

Na bicicleta indicada, 100 giros completos da catraca fazem com que a bicicleta se desloque, sobre uma pista

retilínea, aproximadamente

a) 12,56 km.

b) 2,512 km.

c) 251,2 m.

d) 125,6 m.

e) 1,256 km.

RESPOSTA:

O diâmetro da roda traseira é de 40 cm. Logo, o raio é r = 20 cm = 0,2m.

Um giro completo dessa roda corresponde ao perímetro da circunferência. Portanto:

Giro = 2 x π x r = 2 x 3,14 x 0,2 ≈ 1,256 m

Quando a roda dá um giro completo, a catraca (que é ligada a ela) também dá. Logo, em 100 giros da

catraca essa bicicleta irá deslocar: 100 x 1,256 = 125,6 m.

Resposta: D

O diâmetro (D) de uma circunferência é um segmento de reta que liga um lado ao outro da circunferência,

passando pelo centro. Veja que o diâmetro mede o dobro do raio:


Aula 10



As fórmulas da área e do comprimento da circunferência podem ser escritas em função do diâmetro, ao

invés do raio. Como r = D/2, temos:

2

4

DA =

P D=

Imagine dois pontos quaisquer de uma circunferência, como A e B da figura abaixo. Veja que liguei-os ao

centro da circunferência através dos segmentos de reta pontilhados, formando um ângulo entre estes

segmentos:

Repare que delimitamos uma certa região do círculo, compreendida entre as linhas pontilhadas. Uma

região como esta é chamada de setor circular. Veja que destaquei o ângulo ACB (que simbolizei com a letra

minúscula “a”). Ele é o ângulo central deste setor circular. Com base neste ângulo, conseguimos determinar a

área do setor circular e o comprimento do segmento de círculo compreendido entre os pontos A e B. Para isso,

vamos dizer que o raio deste círculo é “r”.

Sabemos que o ângulo central de uma volta completa no círculo é 360º. E também sabemos a área desta

volta completa, que é a própria área do círculo( 2r ). A proporção abaixo nos permite calcular a área do setor

circular, em função do ângulo central “a”:

360º -------------------- 2r

a ------------------------- Área do setor circular

r D

A

B

C

a


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Portanto:

2Área do setor circular360o

ar=

Assim, se temos um setor circular com ângulo central igual a 180º, a área deste setor será:

22180

Área do setor circular360 2

o

o

rr

= =

Isto é, a área do setor circular com ângulo central igual a 180º é exatamente a metade da área do círculo

inteiro.

De forma análoga, sabemos que o comprimento da circunferência inteira é 2 r . Portanto, o

comprimento do segmento circular entre os pontos A e B, cujo ângulo central é “a”, é obtido pela proporção

abaixo:

360º -------------------- 2 r

a ------------------------- Comprimento do setor circular

Logo,

Comprimento do setor circular 2360o

ar=

Portanto, se a = 90º, então o comprimento do setor circular será igual a 2

r, que é exatamente um quarto

do comprimento total da circunferência.


FCC – METRO/SP – 2015) A partir do centro de uma torta circular retira-se uma fatia (setor circular) que

corresponde à 35% do total da torta. A fatia retirada é um setor circular de ângulo central igual a

a) 70°

b) 63°

c) 145°

d) 234°

e) 126°

RESOLUÇÃO:

Temos um setor circular que corresponde a 35% do total da torta circular. Veja:

Sabendo que 100% representa a torta inteira, vamos aplicar uma regra de três:

100% --- 360 graus


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35% --- x graus

100.x = 360.35

x = 12600/100 = 126 graus

Resposta: E

Sobre circunferências, saiba ainda que denominamos Corda o segmento de reta qualquer ligando dois

pontos da circunferência. O segmento AB da figura abaixo é um exemplo de corda:

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE FIGURAS PLANAS

Reta secante e tangente

Quando temos uma reta e um círculo, pode ser que esta reta passe pelo círculo dividindo-o em duas

partes, e definindo uma corda. Trata-se de uma reta secante. Podemos ainda ter uma reta que passa por um

círculo tocando-o em um único ponto. Neste caso, temos uma reta tangente ao círculo. Veja uma reta secante

e outra tangente no desenho abaixo:

Note que a reta tangente forma ângulos de 90º com o raio R da circunferência no ponto de encontro:

A

B

A

B

C

secante

tangente


Aula 10



Umareta que não toca nem cruza a circunferência é denominada reta externa à circunferência.

Circunferências concêntricas

Dizemos que duas circunferências são concêntricas quando compartilham o mesmo ponto central. Veja

isso na figura abaixo:

Figuras inscritas e circunscritas

Observe a figura abaixo:

tangente

C

90o

90o

C


Aula 10



Note que este é o maior quadrado que podemos ter dentro deste círculo, afinal ele toca as bordas do

círculo. Neste caso, dizemos que o quadrado está inscrito no círculo. Também podemos dizer que o círculo está

circunscrito ao quadrado, uma vez que este é o menor círculo capaz de envolver completamente o quadrado.

Assim, dizemos que um polígono está inscrito em outro quando encontra-se completamente na região

interna deste outro polígono, com os seus vértices tocando no polígono que o circunscreve. Quando temos

polígonos inscritos/circunscritos, é fácil encontrar alguma relação entre as dimensões dos dois. Repare que

neste caso, o diâmetro do círculo é exatamente igual à diagonal do quadrado:

Portanto, se soubermos que o diâmetro do círculo é igual a D, podemos calcular o valor do lado L do

quadrado. A diagonal do quadrado forma, junto de outros dois lados, um triângulo retângulo:

Neste triângulo retângulo (marcado em vermelho), podemos usar o teorema de Pitágoras para dizer que:

D2 = L2 + L2

2D L=

Podemos dizer que 2 é, aproximadamente, igual a 1,41. Portanto, se soubermos que o diâmetro do

círculo é D = 14,1cm, então o lado do quadrado será igual a 14,1 / 1,41 = 10cm.

Veja comigo essas questões:

ESAF – AUDITOR ISS/RJ – 2010) Um quadrado de lado unitário está inscrito em um círculo que, por sua vez,

está inscrito em outro quadrado de lado L. Determine o valor mais próximo de L.

a) 1,732

b) 1,414

c) 2

d) 1,5

L

L D


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e) 1,667

RESOLUÇÃO:

Temos a seguinte disposição:

Observe que a diagonal do quadrado menor é igual ao diâmetro do círculo. Esta diagonal mede 1 2 ,

uma vez que cada lado do quadrado menor mede 1. Por sua vez, veja que o diâmetro do círculo é igual à medida

do lado do quadrado maior:

Portanto, o lado L do quadrado maior mede 2 (aproximadamente 1,414).

Resposta: B

ESAF – AUDITOR ISS/RJ – 2010) Um quadrado possui um círculo circunscrito e um círculo inscrito. Qual a razão

entre a área do círculo cincurscrito e a área do círculo inscrito?

a) 2

b) 2 2

c) 2

d) 4

e) 1

RESOLUÇÃO:

Temos a seguinte disposição:


Aula 10



Seja R o raio do círculo maior. Veja que o diâmetro do círculo maior (2R) é igual à diagonal do quadrado:

Sendo L o lado do quadrado, sabemos que sua diagonal é:

2 2L R =

Portanto,

22

2

RL R= =

Repare ainda que o lado do quadrado é igual ao diâmetro do círculo menor:

Assim, sendo 2r o diâmetro do círculo menor, então:


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2

2 2

2

2

r L

r R

Rr

=

=

=

A razão entre a área do círculo cincurscrito e a área do círculo inscrito é:

2

2

Rrazão

r

=

2

2

2

2

Rrazão

R=

2

2.2

4

Rrazão

R=

2razão =

Resposta: C

POLIEDROS

A geometria espacial estuda as figuras geométricas em três dimensões (altura, largura e profundidade).

Em especial, você deve conhecer os poliedros, que são aquelas figuras espaciais formadas por várias faces, cada

uma delas sendo um polígono como os que estudamos acima. Vamos passar rapidamente pelas principais

figuras espaciais, destacando seus principais elementos constitutivos, além de áreas e volumes que podem ser

pedidos em sua prova.

Paralelepípedo

No desenho abaixo temos um paralelepípedo de altura H, largura L e comprimento C:

Repare que o paralelepípedo é uma figura espacial que possui todos os ângulos entre os segmentos de

retas que o formam iguais a 90º. Estes segmentos de retas são denominados arestas. Aqui temos 12 arestas ao

todo. Essas arestas se unem em “cantos” que denominamos de vértices. Esta figura acima possui exatamente

8 vértices.

H

L C


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Chamamos de faces deste paralelepípedo a região compreendida entre quatro arestas, formando um

plano. Repare que este paralelepípedo possui, ao todo, 6 faces. Existe uma relação, chamada relação de Euler,

que diz que, para qualquer poliedro convexo:

Vértices + Faces = Arestas + 2

Neste paralelepípedo, temos:

8 + 6 = 12 + 2

Pratique esta expressão comigo na próxima questão:

IBFC – Polícia Científica/PR – 2017) A alternativa que apresenta o número total de faces, vértices e arestas de

um tetraedro é:

a) 4 faces triangulares, 5 vértices e 6 arestas

b) 5 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas

c) 4 faces triangulares, 4 vértices e 7 arestas

d) 4 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas

e) 4 faces triangulares, 4 vértices e 5 arestas

RESOLUÇÃO:

A figura abaixo é um tetraedro (figura formada por 4 faces apenas):

Temos 4 vértices A, B, C e V. Também sabemos que temos 4 faces. O número de arestas pode ser contado ou,

então, obtido pela relação de Euler:

V + F = A + 2

4 + 4 = A + 2

A = 6 arestas

Resposta: D

Chamamos de volume a quantidade de espaço ocupada por uma figura tridimensional como esta. O

volume de um paralelepípedo, e de várias outras figuras que analisaremos, é dado pela multiplicação entre a

área da base (Ab) e a altura (H):

Volume = Ab x H


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A base deste paralelepípedo é aquela face perpendicular à altura. Neste caso, tanto a face superior quanto

a face inferior poderiam ser consideradas “bases”. Repare que esta base é um retângulo com dimensões C e L.

Portanto, a área da base é simplesmente a área do retângulo: Ab = C x L

Assim, o volume do paralelepípedo é simplesmente a multiplicação das suas três dimensões:

V = C x L x H

No cálculo do volume, lembre-se sempre que todas as dimensões devem estar na mesma unidade de

comprimento. Isto é, se temos C = 1m, L = 10cm e H = 0,2m, devemos converter a largura para L = 0,1m para

depois efetuar a multiplicação. O resultado terá a unidade m3 (metro cúbico).

Veja ainda que podemos calcular facilmente a área da superfície deste paralelepípedo. Ela nada mais é

que a soma das áreas das faces. Todas as faces são retangulares, entretanto as duas faces das extremidades

possuem área igual a L x H, outras duas faces possuem área igual a C x H, e outras duas possuem área igual a C

x L. Se um exercício pedisse “qual a área de papel de presente que precisamos para embrulhar uma caixa de

sapatos com dimensões C, H e L”, bastaria calcular esta área superficial.

Vamos praticar um pouco?

VUNESP – CÂMARA DE DOIS CÓRREGOS – 2018) Em um reservatório com a forma de paralelepípedo reto

retângulo, com 2,5 m de comprimento e 2 m de largura, inicialmente vazio, foram despejados 4 m³ de água, e

o nível da água nesse reservatório atingiu uma altura de x metros, conforme mostra a figura.

Sabe-se que para enchê-lo completamente, sem transbordar, é necessário adicionar mais 3,5 m³ de água.

Nessas condições, é correto afirmar que a medida da altura desse reservatório, indicada por h na figura, é, em

metros, igual a

(A) 1,25.

(B) 1,5.

(C) 1,75.

(D) 2,0.

(E) 2,5.

RESOLUÇÃO:

Veja que o volume total do reservatório é de 4 + 3,5 = 7,5m3. Este volume corresponde à multiplicação das

dimensões, ou seja,

Volume = comprimento x largura x altura


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7,5 = 2,5 x 2 x h

3 = 2 x h

h = 1,5m

Resposta: B

CESPE - CAGE/RS - 2018) O preço do litro de determinado produto de limpeza é igual a R$ 0,32. Se um

recipiente tem a forma de um paralelepípedo retângulo reto, medindo internamente 1,2 dam × 125 cm × 0,08

hm, então o preço que se pagará para encher esse recipiente com o referido produto de limpeza será igual a

A R$ 3,84.

B R$ 38,40.

C R$ 384,00.

D R$ 3.840,00.

E R$ 38.400,00.

RESOLUÇÃO:

Devemos colocar todas as medidas na mesma unidade. Veja que:

1,2 dam = 12m = 120dm = 1200 cm

0,08hm = 0,8dam = 8m = 80dm = 800cm

Assim, o volume total é de:

V = 1200 x 125 x 800

V = 120.000.000 cm3

V = 120.000 dm3

V = 120.000 litros

Se cada litro custa 0,32 reais, o preço total será de:

Preço = 0,32 x 120.000

Preço = 38.400 reais

Resposta: E

Cubo

O cubo nada mais é que um paralelepípedo onde todas as arestas têm a mesma medida. Isto é, C = L = H.

Veja o cubo abaixo, cujas arestas medem A:


Aula 10



Repare que este cubo possui 12 arestas, 8 vértices e 6 faces, assim como o paralelepípedo. O seu volume

também é dado pela multiplicação da área da base pela altura, de modo que teremos:

Volume = Ab x H = (A x A) x A = A3

Vamos para mais umas questões?

VUNESP – Pref. Cotia/SP – 2017) Um recipiente R, na forma de prisma reto, tem uma base quadrada interna

de lado medindo 4 cm e estava cheio de água, e um recipiente Q, na forma de cubo, de aresta interna 7 cm,

estava vazio. Foi despejada uma quantidade de água do recipiente R para o recipiente Q até que ambos

tivessem a mesma altura de coluna de água, conforme mostra a figura

Se o recipiente Q ficou com 99 cm3 a mais de água que o recipiente R, a diferença de capacidade, em cm3, entre

os recipientes Q e R, vale

(A) 100.

(B) 112.

(C) 124.

(D) 136.

(E) 148.

RESOLUÇÃO:

A área da base de R é 4.4 = 16cm2. A área da base de Q é 7.7 = 49cm2. Sendo H a altura da água após

igualarmos as alturas nos dois recipientes, os volumes de água em cada recipiente são:

A

A

A


Aula 10



Volume em R = 16.H

Volume em Q = 49.H

Como o volume em Q é 99cm3 maior do que em R:

49H = 16H + 99

49H – 16H = 99

33H = 99

H = 99/33

H = 3cm

O volume total de água é 16H + 49H = 65H = 65.3 = 195cm3. Este era o volume de R quando estava cheio.

Já o volume do cubo Q, com arestas medindo 7cm, é igual a 73, ou seja, 343cm3.

A diferença entre os volumes dos sólidos é 343 – 195 = 148cm3.

Resposta: E

VUNESP – TJ/SP – 2017) As figuras seguintes mostram os blocos de madeira A, B e C, sendo A e B de formato

cúbico e C com formato de paralelepípedo reto retângulo, cujos respectivos volumes, em cm³, são

representados por VA, VB e VC.

Se VA + VB = 1/2.VC, então a medida da altura do bloco C, indicada por h na figura, é, em centímetros, igual a

(A) 11.

(B) 12,5.

(C) 16.

(D) 15,5.

(E) 14..

RESOLUÇÃO:

Os volumes dos cubos A e B são:

VA = 53 = 125

VB = 103= 1000

Utilizando a relação fornecida no enunciado:

VA + VB = VC/2

125 + 1000 = VC/2


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1125 = VC/2

VC = 2250

O volume de C é dado pela multiplicação das dimensões, ou seja,

VC = 18.10.h

2250 = 18.10.h

225 = 18h

h = 225 / 18

h = 12,5

Resposta: B

Cilindro

Veja na figura abaixo um cilindro:

Repare que o cilindro possui uma base circular de raio R, e uma altura H. Portanto, a área da base do

cilindro é:

2Ab R=

O volume do cilindro é dado pela multiplicação da área da base pela altura:

V Ab H=

A área total do cilindro é formado pela soma da área da base (que deve ser contada duas vezes, afinal

temos esta área em cima e em baixo do cilindro) e a área lateral.

Repare que se “desenrolarmos” a área lateral e “abrimos” todo o cilindro, temos o seguinte:

R

H


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O comprimento C do retângulo formado nada mais é que o comprimento da circunferência da base, isto

é, 2C R= .

Assim, a área lateral do cilindro é:

2lateralA HxC Hx R= =

A área total do cilindro será simplesmente:

Área total = 2 x Abase + Alateral

Veja comigo estes exercícios:

FCC – SABESP – 2017) Um reservatório cilíndrico de altura h e raio R foi substituído por um novo reservatório

também cilíndrico de altura h/2 e raio 2R.

Sendo desprezíveis as espessuras das paredes dos dois reservatórios, é correto afirmar que a capacidade do

novo reservatório é

a) quatro vezes maior que a capacidade do reservatório antigo.

b) igual à capacidade do reservatório antigo.

c) o dobro da capacidade do reservatório antigo.

d) oito vezes maior que a capacidade do reservatório antigo.

e) metade da capacidade do reservatório antigo.

RESOLUÇÃO:

O volume de um cilindro é dado por:

V Ab H= O cilindro inicial possui raio R. Seu volume será:

V1 = π x R² x h

O cilindro que irá substituí-lo possui raio R e altura h/2. Logo:

V2 = π x (2R)² x h/2

V2 = π x 4R² x h/2

V2 = π x 2R² x h = 2 x π x R² x h

V2 = 2 x V1

Portanto, o cilindro substituto terá o dobro da capacidade do antigo.

Resposta: C

R

H H

C

R


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CONSULPLAN – SEDUC/PA – 2018) Sobre os cilindros, sólidos geométricos classificados como corpos

redondos, pois, se colocados sobre uma superfície plana levemente inclinada, rolam, analise as afirmativas a

seguir.

I. Os elementos de um cilindro são: base, altura, eixo, secção transversal e geratrizes.

II. Os cilindros são classificados como: retos e oblíquos.

III. A planificação do cilindro é

IV. A área do cilindro é dada pela seguinte expressão: A = 2πr(h + r).

V. O volume do cilindro é obtido pelo produto da área da base por sua altura, ou seja, V = 2πr²h.

Estão INCORRETAS apenas as afirmativas:

A) I e III

B) I e V

C) II e V

D) III e V

RESOLUÇÃO:

Vamos analisar as afirmativas:

I. Os elementos de um cilindro são: base, altura, eixo, secção transversal e geratrizes.

Correto. Veja a indicação de cada elemento:

II. Os cilindros são classificados como: retos e oblíquos.

Correto. São estas duas formas, respectivamente:


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III. A planificação do cilindro é

Errado. Faltou a planificação das bases, que são dois círculos.

IV. A área do cilindro é dada pela seguinte expressão: A = 2πr(h + r).

A área do cilindro é dada pela soma das duas bases circulares com a área lateral retangular (cuja largura é a

altura desse cilindro e o comprimento, o perímetro da circunferência da base). Fica:

A = 2 x π x r² + 2 π x r x h

Colocando 2 π x r em evidência, temos:

A = 2πr(r + h)

Afirmação correta.

V. O volume do cilindro é obtido pelo produto da área da base por sua altura, ou seja, V = 2πr²h.

Volume de um cilindro é dado pela área da base multiplicada pela altura. Fica:

V = π x r² x h = πr²h

Alternativa errada.

Resposta: D

Cone

O cone é uma figura com uma base circular, assim como o cilindro, porém com uma ponta na outra

extremidade. Veja um exemplo:

Neste cone, a área da base é simplesmente a área do círculo de raio R:

R

H G


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2Ab R=

Dado que a altura do cilindro é H, então o seu volume é:

3

Ab HV

=

Repare para esse detalhe: aqui o volume não foi obtido pela simples multiplicação da área da base pela

altura – foi preciso dividir esse produto por 3. Isso ocorre nas duas figuras geométricas com “pontas”: o cone e

o prisma (que veremos a seguir).

No cone, chamamos de geratriz o segmento de reta que liga a ponta até a extremidade da base. Veja-a

marcada pela letra “G” na figura acima.

Perceba que o raio da base R, a altura H e a geratriz G formam um triângulo retângulo. Portanto, fica fácil

calcular a geratriz com auxílio do teorema de Pitágoras:

G2 = R2 + H2

Quando “abrimos” um cone, temos a figura a seguir:

Veja que a área lateral do cone é um setor circular de raio igual à geratriz G. O comprimento deste setor

circular (marcado em vermelho na figura acima) é igual ao comprimento da circunferência da base, isto é,

2C R= . Assim, podemos calcular a área deste setor circular a partir da seguinte proporção:

Área do círculo de raio G --------------------------- Comprimento do círculo de raio G

Área do setor circular --------------------------------- Comprimento do setor circular

Isto é,

G2 ---------------------------- 2 G

Área lateral do cone --------------------------2 R

Portanto, podemos dizer que:

R

G


Aula 10



Área lateral do cone = xGxR

Trabalhe um pouco mais esta figura geométrica.

FAURGS – TJ/RS – 2017) Um cilindro reto de altura h tem volume V. para que um cone reto com base igual a

desse cilindro tenha volume V, a sua altura deve ser igual a

(A) 1h/3

(B) 1h/2

(C) 2h/3

(D) 2h

(E) 3h

RESOLUÇÃO:

Sendo Ab a área da base do cone e do cilindro, o volume V do cilindro é:

V = área da base x altura

V = Ab x h

No caso do cone, se sua altura for H, sabemos que seu volume é:

Volume = área da base x altura / 3

V = Ab x H / 3

Para este volume ser igual ao anterior, então:

Ab x H/3 = Ab x h

H/3 = h

H = 3h

Resposta: E

CESPE – PREVIC – 2011)

O artista plástico estadunidense Richard Serra é notável por suas enormes esculturas em aço inspiradas em

figuras geométricas. A figura acima mostra uma das salas do museu Guggenheim, em Bilbao, Espanha, com

algumas de suas obras em exposição permanente. A escultura apontada pela seta, nessa figura, corresponde à

superfície lateral de um tronco de cone circular reto, cuja área é dada pela diferença entre as áreas das

superfícies laterais dos cones que o determinam. Com base nessas informações, julgue o item a seguir.


Aula 10



( ) Se o diâmetro da base maior medisse 5 m, o diâmetro da base menor medisse 3 m e a altura do tronco de

cone fosse igual 3 m, teriam sido necessários mais de 36 m2 da lâmina de aço para construir essa escultura com

a superfície lateral completamente fechada.

RESOLUÇÃO:

Veja abaixo uma figura que representa este tronco de cone:

Se abrirmos esta área lateral como uma folha de papel, teremos um trapézio como este:

Veja que as dimensões deste trapézio são:

Base menor = 2. .1,5 = 3 = 3 x 3,14 = 9,42

Base maior = 2. .2,5 = 5 = 5 x 3,14 = 15,7

Altura = 3m

Portanto, fica fácil calcular a sua área, lembrando a fórmula da área do trapézio:

Área do trapézio = (base menor + base maior) x altura / 2

Área do trapézio = (9,42 + 15,7) x 3 / 2

Área do trapézio = 37,68 m2

Veja que a área lateral do tronco de cone já é maior que 36m2, o que permite marcar CORRETO neste item.

Resposta: C

Pirâmide

Veja abaixo uma pirâmide de base triangular e outra de base retangular:


Aula 10



Em ambos os casos, o volume da pirâmide é dado por:

3

Ab HV

=

Como você já sabe calcular a área dessas duas bases, não entrarei em detalhes aqui.

Saiba ainda que chamamos de apótema a altura de cada uma das faces laterais, que são triângulos.

Por fim, a área superficial é obtida pela soma da área da base e das áreas das faces laterais.

Vamos exercitar um pouco?

FUMARC - SEE/MG – 2018) Quando se coloca base a base duas pirâmides quadrangulares regulares, obtém-

se um octaedro regular que é um poliedro com 8 faces na forma de triângulo equilátero. Assim, todas as 12

arestas do octaedro são congruentes.

Uma peça de metal com formato de um octaedro de aresta 5 cm tem volume aproximadamente igual a

(A) 29 cm³

(B) 59 cm³

(C) 70 cm³

(D) 35 cm³

(E) 63 cm³

RESOLUÇÃO:

Vamos visualizar o triângulo formado por metade da altura desse octaedro, metade da diagonal da base

e uma aresta:

L

H

L L

C

H

L


Aula 10



Por Pitágoras, achamos h:

5² = h² +( 5√2

2 )²

25 = h² + 25 x 2

4

h² = 25 - 25

2

h² = 25

2

h = 5

√2 =

5√2

2

Como a altura do octaedro é o dobro de h, temos H = 5√2.

O volume desse octaedro será dado por:

V = Área da base x H

3

V = 5² x 5√2

3

V ≅ 125 x 1,41

3

V ≅ 59 cm³

Resposta: B

Prisma

Veja abaixo dois exemplos de prisma: um com base triangular e outro com base retangular:


Aula 10



Observe que as faces laterais de ambos são retângulos, cuja área é facilmente calculada. Além disso, você

já sabe calcular a área da base de cada um deles. Assim, você consegue calcular facilmente a área total de um

prisma – mas não se esqueça de somar a área da base duas vezes, afinal temos essa área na extremidade inferior

e superior das figuras.

O volume do prisma é dado pela multiplicação da área da base pela altura:

V = Ab x H

Vejamos duas questões sobre Prisma:

VUNESP – PM/SP – 2018) Um bloco maciço de argila tem a forma de um prisma reto de base retangular e

altura igual a 24 cm, conforme mostra a figura.

Sabendo que o volume desse bloco é 900 cm3, o perímetro da base indicada na figura mede

(A) 20 cm.

(B) 22 cm.

(C) 15 cm.

(D) 25 cm.

(E) 18 cm.

RESOLUÇÃO:

O volume desse prisma é dado pelo produto de suas três dimensões. Portanto:

V = x . 5 . 24

900 = 120x

x = 7,5 cm

O perímetro da base será:

P = 2x + 2.5 = 2.7,5 + 10

C

H

L

L

H


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P = 15 + 10

P = 25 cm

Resposta: D

IBFC – Polícia Científica/PR – 2017) ) Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base com medida A e

aresta lateral com medida H, assinale a alternativa que apresenta a equação que identifica a área total desse

prisma:

a) Área total=3*A* (2*H+A √3)

b) Área total=4*A* (2*H+A √3)

c) Área total=5*A* (4*H+A √5)

d) Área total=6*A* (3*H+A √3)

e) Área total=3*A* (3*H+A √3)

RESOLUÇÃO:

O prisma citado pela questão assume a seguinte ilustração:

Além disso, nota-se que as duas bases são hexágonos regulares, onde temos:

Repare que para calcular a área total desse prisma, devemos calcular a área lateral e a área da base, uma vez

que a área total corresponde à soma da área lateral com as duas áreas da base, ou seja: Atotal = ALateral + 2xAbase

A área lateral é composta por seis retângulos de base A e altura L, portanto essa área corresponde a 6x(AxH).

A área da base corresponde à área de um hexágono, o qual é composto por seis triângulos eqüiláteros de lado

A, onde a área de cada triângulo eqüilátero equivale à expressão

. Assim, a área da base resulta em


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2x(6x

) = 3x .

Deste modo, a área total equivale a

Atotal = ALateral + 2xAbase

Atotal = 6x(AxH) + 3x

Atotal = 3xA x (2H + ) Resposta: A

Esfera

A esfera é uma figura espacial formada por todos os pontos que se encontram à distância R de um ponto

central C:

O volume de uma esfera de raio igual a R é:

V = 4 R3/3

A área da superfície da esfera é:

A = 4 R2

Veja uma questão interessante, que mistura o cone e a esfera:

FUMARC - SEE/MG – 2018) Uma fábrica de sorvetes decidiu lançar o Kornetone: uma casquinha de sorvete de

forma cônica com 6 cm de diâmetro e 10 cm de altura, totalmente preenchida com sorvete de chocolate, sem

transbordar, e sobre o sorvete de chocolate, meia bola de sorvete de morango, formando uma semiesfera que

se encaixa perfeitamente sobre a casquinha.

Considerando π = 3,14, o volume de sorvete necessário para fabricar um Kornetone é de, aproximadamente,

(A) 151 ml

C

R


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(B) 188 ml

(C) 207 ml

(D) 433 ml

(E) 829 ml

RESOLUÇÃO:

Vamos calcular o volume do sorvete de morango, que equivale à metade do volume de uma esfera de raio

= 3 cm (já que o diâmetro vale 6 cm):

V = 1

2 x

4 x π x r3

3

V = 2 x π x 33

3

V = 2 x π x 3² V = 18 π

O volume do sorvete que preenche a parte cônica, será dado por:

V = π x r2x h

3

V = π x 32x 10

3

V = π x 3 x 10

V = 30 π

O total de sorvete será a soma dos dois volumes:

V total = 18 π + 30 π

V total = 48 π = 48 x 3,14

V total = 150,72 cm³ ≅ 151 ml

Resposta: A

Escalas, Projeções, Planificações e Cortes, Métrica

Caros alunos, falaremos agora dos assuntos elencados acima. Aqui é oportuno fazer um alerta: nesses

assuntos, em particular, veremos questões do ENEM. Não se assuntem, é isso mesmo. O ENEM apresenta

questões boas sobre esses assuntos enquanto que não pudemos identificar questões do CESPE nestes

assuntos. Como é importante treinar, acreditamos que as questões do ENEM vão suprir essa demanda e ajudar

na sua preparação!

Escalas

Continuando a teoria da aula de hoje e fazendo um link com a aula anterior, é interessante falarmos sobre

um tópico muito relacionado com proporcionalidade: as escalas utilizadas em mapas, maquetes etc. Quando

dizemos que o mapa de uma cidade foi feito na escala de 1:1000, estamos dizendo que 1 unidade de medida no

mapa corresponde a 1000 unidades no “mundo real”. Ou seja, 1 centímetro no mapa corresponde a 1000cm no


Aula 10



mundo real, e 1 metro no mapa corresponde a 1000m (ou 1km) no mundo real. Portanto, se a distância entre

duas ruas neste mapa é de 30 cm de distância, a distância real pode ser obtida com uma regra de três simples:

1cm no mapa ---------------------- 1000cm no mundo real

30cm no mapa --------------------- D cm no mundo real

1 x D = 30 x 1000

D = 30000cm = 300m

Entendido? Trabalhar com escalas é muito simples, desde que você saiba montar a regra de três! Veja um

exemplo abaixo:

ENEM – 2016) Em uma empresa de móveis, um cliente encomenda um guarda-roupa nas dimensões 220 cm

de altura, 120 cm de largura e 50 cm de profundidade. Alguns dias depois, o projetista, com o desenho

elaborado na escala 1 : 8, entra em contato com o cliente para fazer sua apresentação. No momento da

impressão, o profissional percebe que o desenho não caberia na folha de papel que costumava usar. Para

resolver o problema, configurou a impressora para que a figura fosse reduzida em 20%.

A altura, a largura e a profundidade do desenho impresso para a apresentação serão, respectivamente,

A) 22,00 cm, 12,00 cm e 5,00 cm.

B) 27,50 cm, 15,00 cm e 6,25 cm.

C) 34,37 cm, 18,75 cm e 7,81 cm.

D) 35,20 cm, 19,20 cm e 8,00 cm.

E) 44,00 cm, 24,00 cm e 10,00 cm.

RESOLUÇÃO:

A primeira coisa que o projetista fez foi fazer um desenho na escala 1:8. Isso significa que cada centímetro

no desenho do projetista equivalem a 8 centímetros no mundo real. Portanto, dividindo as dimensões no

mundo real por 8, obtemos as dimensões no desenho. Assim, ficamos com:

Altura = 220/8 = 27,5 cm

Largura = 120/8 = 15 cm

Profundidade = 50/8 = 6,25 cm

Depois, o projetista teve que reduzir em 20% a figura. Isso equivale a reduzir cada dimensão em 20%, que

é o mesmo que multiplicar por 0,8, ou seja, calcular 80% das medidas atuais. Veja:

Altura = 27,5 – 20% x 27,5 = 27,5 x 0,8 = 22 cm

Largura = 15 – 20% x 15 = 15 x 0,8 = 12 cm

Profundidade = 6,25 – 20% x 6,25 = 6,25 x 0,8 = 5 cm


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Resposta: A

Projeções

Projeções é um assunto no qual você terá que usar a sua imaginação. Em geral será dado um objeto e você

terá que imaginar como seria a projeção do mesmo numa superfície plana, por exemplo. Há várias formas de

cobrar isso. Vejamos um exemplo abaixo:

ENEM – 2016) Um grupo de escoteiros mirins, numa atividade no parque da cidade onde moram, montou uma

barraca conforme a foto da Figura 1. A Figura 2 mostra o esquema da estrutura dessa barraca, em forma de um

prisma reto, em que foram usadas hastes metálicas.

Após a armação das hastes, um dos escoteiros observou um inseto deslocar-se sobre elas, partindo do vértice

A em direção ao vértice B, deste em direção ao vértice E e, finalmente, fez o trajeto do vértice E ao C. Considere

que todos esses deslocamentos foram feitos pelo caminho de menor distância entre os pontos.

A projeção do deslocamento do inseto no plano que contém a base ABCD é dada por


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RESOLUÇÃO:

Projeção nada mais é do que a vista de cima do trajeto. Do ponto A ao ponto B a projeção coincide com o

próprio segmento de reta AB. Já no trajeto B-E-C, mesmo que o inseto tenha que subir até o ponto E e descer

até o ponto C, para quem observa de cima isso corresponde simplesmente a ir de B a C pelo um segmento de

reta BC.

Como temos um ângulo de 90º entre os segmentos AB e BC, podemos afirmar que a projeção do trajeto

do inseto é dada pela letra E.

Resposta: E

Planificações e Cortes

Novamente teremos que recorrer à nossa capacidade de imaginar as situações em nossa mente. O

processo de planificar um objeto tridimensional consiste em “abrir” aquele de forma a obter apenas uma

superfície plana. Nada melhor do que ver esse assunto prática. Vamos lá!

ENEM - 2012) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos.

Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas.


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Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?

A) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.

B) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.

C) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.

D) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.

E) Cilindro, prisma e tronco de cone.

RESOLUÇÃO:

A primeira figura é a planificação de um cilindro. Os dois círculos são as bases e o retângulo é toda a lateral

do cilindro.

A última figura é uma pirâmide de base triangular. A base é o triângulo claro. Já os outros três triângulos

escuros, quando dobrados para cima se encontram formando a pirâmide.

Já podemos marcar a letra A! No entanto, vamos falar da figura do meio. Temos um prisma cujas bases

são pentágonos. O retângulo dividido em outros 5 retângulos menores representa cada face lateral do prisma.

Resposta: A

Chega de teoria! Que tal praticarmos um pouco de tudo o que vimos até aqui?


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Questões de prova comentadas

1. CESPE – SEDUC/AL – 2018)

A figura seguinte mostra, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em que a unidade de

medida é o metro, uma região retangular OABC. O lado OA mede 600 m e o lado OC mede 800 m.

A figura mostra também os pontos F = ponto médio de OA, H = ponto médio de CB, G = centro do retângulo

OABC, D = ponto médio de FG, e E = ponto médio de GH. Nos pontos O, A, B, C, D e E foram instalados pontos

de acesso à Internet — wi-fi. Nessa configuração, o usuário consegue se conectar à Internet desde que o seu

smartphone esteja a 200 m ou menos de qualquer desses pontos de acesso.

Com base nessas informações e na figura apresentada, julgue os próximos itens

() A distância de O a D é superior a 3 × 10² m.

() Se um usuário tiver o seu smartphone no ponto R = (400, 100), então a conexão à Internet a partir de qualquer

dos referidos pontos de acesso será impossível.

() Na parte externa ao retângulo OABC, o acesso à Internet a partir dos referidos pontos de acesso se restringe

a uma região em que a área é inferior a 384.000 m².

() A tangente do ângulo COD é igual a 1,5.

() A reta que contém os pontos B e E intercepta o eixo Ox no ponto de abscissa x = 300.

() Se um smartphone está em um drone, a 50 m de altura sobre o ponto P = (100, 100), então, nesse caso, é

possível conectá-lo à Internet a partir do ponto de acesso localizado na origem O.

() Considere que uma pessoa esteja em ponto P da região retangular de modo que o ângulo OPA seja igual a

90°. Nesse caso, se o cosseno do ângulo AOP for igual a 0,3, essa pessoa estará a mais de 200 m da origem O.

RESOLUÇÃO:

Vamos analisar cada item:


Como OF é a metade de AO, temos: OF = 300 m.


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FH, que mede o mesmo que OC (800 m), é dividido em 4 trechos iguais. Portanto, FD = 200 m.

Selecionando o triângulo OFD, temos:

OD² = OF² + FD²

OD² = 300² + 200²

OD² = 90000 + 40000

OD² = 130000 = 13 x 104

OD = 10² x √13

Como √13 > 3, o item está CORRETO.

() Se um usuário tiver o seu smartphone no ponto R = (400, 100), então a conexão à Internet a partir de

qualquer dos referidos pontos de acesso será impossível.

O ponto de acesso deve estar a pelo menos 200 metros. Vejamos a localização desse smartphone:

Veja que os pontos mais próximos seriam D e E, mas estariam a mais de 200 metros de R (visto que DR e

ER são hipotenusas dos triângulos retângulos de catetos 200 m). Portanto, o acesso à internet seria impossível.

Item CORRETO.



Os pontos A, B, C, O atingem um raio de 200 m para o exterior da região ABCO. Veja:


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Essa área externa será a soma de 3 áreas de uma circunferência de raio 200 metros (em cada ponto, o raio

atinge ¾ da área externa da circunferência, então o total será 4 x ¾ = 3 circunferências completas).

Área Total = 3 x π x 200²

Área Total ≅ 3 x 3,14 x 40.000

Área Total ≅ 376.800 m²

Item CORRETO.


Vamos visualizar o ângulo formado:

Lembrando que tangente = cateto oposto

cateto adjacente, temos:

tg α = DP

OP

tg α = 300

200

tg α = 1,5

Item CORRETO.


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Veja que os triângulos BMC e BEH são congruentes (BMC é o dobro de BEH):

MC = 200 x 2 = 400 m.

Portanto, a reta que contém os pontos B e E corta a abscissa em x = 400. Item ERRADO.



Vamos visualizar esse smartphone a uma altura de 50 metros:

A distância do smartphone ao ponto O é a hipotenusa do triângulo formado. Um dos catetos é a altura de

50 m e o outro a diagonal do quadrado formado pelo ponto P (diagonal = lado√2).

Distância² = 50² + (100√2)²

Distância² = 2.500 + 10.000 x 2

Distância² = 2.500 + 20.000

Distância = √22.500

Distância = 150 m

Item CORRETO.



O triângulo formado pode ser representado da seguinte forma:


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Se o cosseno de AOP for igual a 0,3, então:

cosseno AOP = cateto adjacente

hipotenusa

OP

AO = 0,3

OP = 0,3 x 600

OP = 180 metros

Item ERRADO.

Resposta: CCCCECE

2. CESPE – CAGE/RS – 2018)

Em um bairro nobre de determinada cidade, uma imobiliária colocou à venda vários terrenos:

independentemente do tamanho, o preço do metro quadrado é o mesmo para todos os terrenos à venda. Um

terreno retangular de 600 m2 de área custa R$ 3.240.000. Em outro terreno, também retangular, um dos lados

é 25% maior que o lado equivalente do primeiro terreno; o outro lado é 20% menor que o lado equivalente do

primeiro terreno.

Nesse caso, o preço do segundo terreno é igual a

A) R$ 1.458.000.

B) R$ 3.240.000.

C) R$ 3.402.000.

D) R$ 3.078.000.

E) R$ 3.564.000.

RESOLUÇÃO:

Suponha que o primeiro retângulo tem dimensões L e C. O segundo tem dimensões 1,25L e 0,80C, afinal

ele é 25% maior em uma dimensão e 20% menor na outra. A área do primeiro é

Área = L x C

A área do segundo é:


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Área nova = 1,25L x 0,80C = L x C

Se a área é a mesma, o valor é o mesmo: 3.240.000 reais.

Resposta: E

3. CESPE – IBAMA – 2013)

Julgue os itens subsequentes, relacionados a problemas aritméticos, geométricos e matriciais.

( ) Se A, B e C são, em centímetros, as medidas dos lados de um triângulo e se A 10 e B 5, então,

necessariamente, C25.

( ) Considere que, nos primeiros dez dias desse mês, um atleta tenha intensificado seu treinamento físico,

executando a seguinte rotina de corrida: nos dias pares, ele percorria o dobro da distância percorrida no dia

anterior; nos dias ímpares, ele percorria a mesma distância percorrida no dia anterior. Se no décimo dia o atleta

percorreu 32 km, então no primeiro dia ele percorreu 2 km.

( ) Se A, B e C são números reais, com C 1 e A + BC = B + AC, então, necessariamente, A = B.

RESOLUÇÃO:

( ) Se A, B e C são, em centímetros, as medidas dos lados de um triângulo e se A 10 e B5, então,


A condição de existência de um triângulo que qualquer lado seja menor que a soma dos outros dois, isto

é,

A < B + C

B < A + C

e

C < A + B

Assim, se A = 22 e B = 5, note que podemos ter C = 26 e, mesmo assim,

22 < 5 + 26

5 < 22 + 26

26 < 22 + 5

Ou seja, não necessariamente C é menor ou igual a 25. Item ERRADO.


executando a seguinte rotina de corrida: nos dias pares, ele percorria o dobro da distância percorrida no dia anterior;

nos dias ímpares, ele percorria a mesma distância percorrida no dia anterior. Se no décimo dia o atleta percorreu 32

km, então no primeiro dia ele percorreu 2 km.

Vamos avaliar “de trás para frente”:

10º dia (par): 32km

9º dia (ímpar): mesma distância do dia anterior (8º)


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8º dia (par): metade do 10º dia, ou seja, 16km







1º dia (ímpar): mesma distância que seria percorrida no dia “0”, ou seja, metade da distância percorrida

no 2º dia, totalizando 1km. Item ERRADO.


Desenvolvendo a expressão dada, temos:

A + BC = B + AC

A – AC = B – BC

A x (1 – C) = B x (1 – C)

Sendo C 1, podemos dividir ambos os lados dessa expressão por (1 – C), obtendo:

A = B

Item CORRETO.

Resposta: E E C

4. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011)

Tecnologia no combate ao crime

Desde dezembro de 2009, uma aeronave não tripulada sobrevoa e monitora as fronteiras do Brasil com o

Paraguai, o Uruguai e a Argentina na região de Foz do Iguaçu. Ao todo, serão 6 estações equipadas com 2

aeronaves cada, operadas pela Polícia Federal, somando investimento da ordem de US$ 655,6 milhões.

Segurança pública com cidadania. Equipe

CGPLAN/MJ, agosto/2010 (com adaptações).

Considere que tenham sido sugeridos os seguintes critérios para a escolha das rotas de vôo da aeronave

mencionada no texto acima.

> Se a rota passar pelo Brasil ou pelo Paraguai, então ela deverá passar pelo Uruguai;

> Se a rota passar pelo Paraguai, então ela não deverá passar pela Argentina;

> Se a rota passar pelo Uruguai e pela Argentina, então ela deverá passar pelo Paraguai.

Suponha, também, que as estações A, B e C tenham sido construídas em pontos equidistantes, de modo que a

distância de uma dessas três estações para outra seja de 150 km.


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Com referência às informações contidas no texto acima e às considerações hipotéticas que a ele se seguem, e

considerando 1,73 como valor aproximado para 3 , julgue os itens seguintes.

( ) Supondo que uma nova estação, D, seja instalada em um ponto equidistante das estações A, B e C, então a

distância da estação D para as estações A, B e C será inferior a 87 km.

( ) Considerando que devam ser escolhidas 3 aeronaves para inspeção e manutenção, sendo que não podem ser

selecionadas as 2 aeronaves de uma mesma estação, e que todas as seis estações já possuam as duas aeronaves

previstas, então o número de formas distintas de se fazer essa escolha será superior a 150.

( ) Se a rota escolhida passar pela Argentina, então ela passará apenas neste país.

( ) Considerando que o dólar esteja cotado a R$ 1,70, então o investimento mencionado será superior a R$ 1,1

bilhão.

RESOLUÇÃO:

( ) Supondo que uma nova estação, D, seja instalada em um ponto equidistante das estações A, B e C, então

a distância da estação D para as estações A, B e C será inferior a 87 km.

Se as estações A, B e C são equidistantes, elas formam um triângulo com os 3 lados iguais, isto é, um

triângulo equilátero:

Como D é equidistante dos pontos A, B e C, só há uma posição possível para ele: ele deve estar no centro

do triângulo acima. Repare no triângulo CDE, que marquei em vermelho na figura abaixo:


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O triângulo CDE é um triângulo retângulo, pois o ângulo E é reto. Já o ângulo marcado em destaque vale

metade do ângulo C (do triângulo ABC), pois o segmento CD divide o ângulo C em dois. Este ângulo C vale 60º,

pois ABC é equilátero, de modo que o ângulo em destaque é igual a 30º.

O cosseno deste ângulo de 30º é igual à divisão do cateto adjacente (segmento EC, que mede 75) pela

hipotenusa “r”. Isto é:

cos30ºEC

r=

Por outro lado, sabemos que

3cos30º

2=

. Portanto, substituindo os valores que temos, podemos obter

o valor de r:

cos30ºEC

r=

3 75

2 r=

150 150 3 150 350 3

33 3 3r = = = =

Como o exercício disse que a raiz quadrada de 3 é aproximadamente 1,73, temos:

50 1,73 86,5r = =

Este valor é inferior a 87km, portanto o item está CORRETO.

( ) Considerando que devam ser escolhidas 3 aeronaves para inspeção e manutenção, sendo que não podem

ser selecionadas as 2 aeronaves de uma mesma estação, e que todas as seis estações já possuam as duas aeronaves


Podemos pegar no máximo 1 aeronave em cada estação, e totalizar 3 aeronaves. Assim, será preciso

escolher 3 estações e, em cada uma delas, pegar 1 das 2 aeronaves disponíveis.

O número de formas de se escolher 3 dentre 6 estações é C(6,3) = 20. Escolhidas as estações, temos 2

opções de aeronave em cada uma delas, totalizando 2x2x2 = 8 formas de se escolher as 3 aeronaves.

Ao todo, temos 20 formas de escolher 3 estações e, para cada uma dessas 20, temos 8 formas de separar

3 aeronaves. Assim, temos 20x8 = 160 formas de efetuar a seleção. Item CORRETO.


Vamos resumir as premissas:

1. Brasil ou Paraguai → Uruguai

2. Paraguai → não-Argentina


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3. Uruguai e Argentina → Paraguai

Considerando que Argentina é V (a rota passa pela Argentina), então não-Argentina é F. Assim, para a

premissa 2 ser verdadeira, Paraguai deve ser F. Com isso, vemos na premissa 3 que “Uruguai e Argentina” deve

ser F, e como Argentina é V, isso obriga Uruguai a ser F. Sendo Uruguai F, a premissa 1 nos mostra que Brasil

deve ser F e Paraguai também deve ser F. Portanto, apenas Argentina é V, confirmando que o enunciado disse.

Item CORRETO.


bilhão.

O investimento foi de US$655,6 milhões. Para traduzir esta informação para reais, devemos usar uma

regra de três simples:

US$1,00 -------------------------- R$ 1,70

US$655.600.000------------------------------ X

Efetuando a multiplicação das diagonais (multiplicação cruzada) e igualando os resultados, temos:

1 655.600.000 1,70

1.114.520.000

X

X reais

=

=

Este valor é superior a R$1,1 bilhão (isto é, R$1.100.000.000). Item CORRETO.

Resposta: C C C C

5. CESPE – CBM/ES – 2011)

As distâncias entre 3 cidades, medidas em quilômetros, são os comprimentos dos lados de um triângulo

retângulo. Considerando que essas medidas estão em progressão aritmética, com razão 45, julgue os itens que

se seguem.

( ) A menor distância entre as 3 cidades é inferior a 130 km.

( ) A soma das distâncias entre as 3 cidades é igual a 540 km.

RESOLUÇÃO:

Chamando de “d” o comprimento do maior entre os dois catetos, podemos dizer que o outro cateto é d –

45, e a hipotenusa é d + 45, afinal esses lados encontram-se em PA de razão 45. Veja-os abaixo:

{d – 45, d, d + 45}

Substituindo na fórmula de Pitágoras:

(d - 45)2 + (d)2 = (d + 45)2

d2 – 90d + 2025 + d2 = d2 + 90d + 2025

d2 – 90d = 90d

d2 = 180d


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d = 180

Portanto, os lados do triângulo são:

d – 45 = 135

d = 180

d + 45 = 225

Avaliando as alternativas:


ERRADO, pois é de 135km.


CORRETO, pois 135 + 180 + 225 = 540km.

Resposta: E C

6. CESPE – CORREIOS – 2011)

Essa enquete está representada no diagrama retangular de 12 cm de altura, ilustrado abaixo, em que x

corresponde ao comprimento da base do retângulo que representa os entrevistados que responderam sim à

pergunta; o comprimento da base do retângulo correspondente aos entrevistados que responderam não à

pergunta é igual a 4 cm.

Com base nesses dados, é correto afirmar que o valor de x é

a) superior a 26 e inferior a 29.

b) superior a 29.


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c) inferior a 20.

d) superior a 20 e inferior a 23.

e) superior a 23 e inferior a 26.

RESOLUÇÃO:

A área da região do “não” é de 4 x 12 = 48cm2. Isso corresponde a 16% dos entrevistados, de modo que a

área do “sim” deve corresponder a 84% dos entrevistados. Isto é:

16% ----------------- 48cm2

84% --------------- área do “sim”

16% x área do “sim” = 84% x 48

área do “sim” = 84 x 48 / 16

área do “sim” = 84 x 3

área do “sim” = 252cm2

Veja que:

Área do “sim” = x . 12

252 = x . 12

252 / 12 = x

21cm = x

Resposta: D



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Se a caixa de encomenda citada no texto tiver a forma de um paralelepípedo retângulo, cujas arestas tenham

as medidas apresentadas, então a área lateral dessa caixa será igual a

a) 0,008748 m².

b) 87,48 dm².

c) 8.748.000 mm².

d) 87.480 cm².

e) 0,08748 m².

RESOLUÇÃO:

Se a caixa medir 54cm x 36cm x 27cm, teremos duas faces medindo 54x36, duas medindo 54x27 e duas

medindo 36x27. A área total das faces é:

Área lateral = 2x(54x36) + 2x(54x27) + 2x(36x27)

Área lateral = 8748 cm2 = 87,48 dm2 = 0,8748 m2

Veja que a letra B tem uma opção válida de resposta.

Resposta: B


O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, de mesma

dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos

de modo que tenham a maior dimensão possível. Se, para assentar os ladrilhos, são utilizados 2 kg de


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argamassa por m2 e se a argamassa é vendida em sacos de 3 kg, então a quantidade necessária de sacos de

argamassa para completar o serviço é igual a

a) 9.

b) 10.

c) 6.

d) 7.

e) 8.

RESOLUÇÃO:

A área total é de 3,52 x 4,16 = 14,6432m2. Como é preciso usar 2kg de argamassa em cada m2 do piso, o

total de argamassa necessário é de 2 x 14,6432 = 29,2864kg.

Lembrando que cada saco tem 3kg, o total de sacos que precisamos é igual a 10, visto que isso totaliza

30kg (pouco mais que os 29,2864kg necessários).

Resposta: B


Para o envio de pequenas encomendas, os Correios comercializam caixas de papelão, na forma de

paralelepípedo retângulo, de dois tipos: tipo 2, com arestas medindo 27 cm, 18 cm, e 9 cm; e tipo 4, com arestas

medindo 36 cm, 27 cm e 18 cm. Se um escritor deseja enviar livros de sua autoria a outro estado e se cada livro

mede 23 cm × 16 cm × 1,2 cm, então a quantidade máxima desses livros que poderá ser enviada em uma caixa

do tipo 2, sem que sejam danificados ou deformados, é igual a

a) 9.

b) 5.

c) 6.

d) 7.

e) 8.

RESOLUÇÃO:

Veja que o livro tem o maior lado medindo 23cm, sobrando 4cm em relação aos 27cm da caixa. Ele tem

ainda o segundo maior lado medindo 16cm, sobrando 2cm em relação aos 16cm da caixa. Note até aqui que só

é possível colocar os livros em uma direção, isto é, respeitando as medidas dos lados.

Como a caixa tem 9cm no menor lado, e o livro tem 1,2cm, isto significa que podemos empilhar 7 livros,

totalizando 7 x 1,2cm = 8,4cm (respeitando a medida de 9cm da caixa).

Resposta: D



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Sabendo-se que todos os ângulos dos vértices do terreno ilustrado na figura acima medem 90º e que o metro

quadrado do terreno custa R$ 120,00, é correto afirmar que o preço desse terreno é

a) superior a R$ 9.900,00 e inferior a R$ 10.100,00.

b) superior a R$ 10.100,00.

c) inferior a R$ 9.500,00.

d) superior a R$ 9.500,00 e inferior a R$ 9.700,00.

e) superior a R$ 9.700,00 e inferior a R$ 9.900,00.

RESOLUÇÃO:

Veja que podemos dividir a figura em 3 retângulos:

Calculando a área de cada um deles e somando-as, temos:


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Área total = 10x6 + 4x2 + 6x2 = 60 + 8 + 12 = 80m2

Como cada metro quadrado custa 120 reais, o terreno inteiro custa 120 x 80 = 9.600 reais.

Resposta: D


A primeira unidade do novo modelo de agência franqueada dos Correios foi inaugurada em 10/2/2011, em

Ourinhos, no interior do estado de São Paulo. A nova agência, com 200 metros quadrados de área, situa-se na

Vila Recreio.

Considerando que essa nova agência seja composta de 2 salas, uma retangular, com lados medindo 17 m e 8 m

e outra, quadrada, com lados medindo L metros, conforme ilustrado na figura acima, é correto afirmar que o

valor de L é


b) superior a 7 e inferior a 9.

c) superior a 9.

d) inferior a 3.


RESOLUÇÃO:

O retângulo de lados 17m e 8m tem área de:

Área do retângulo = 17 x 8 = 136 m2

Como a agência tem 200m2 ao todo, então a sala quadrada tem área de 200 – 136 = 64m2. Sendo L a

medida do seu lado, podemos dizer que:

Área do quadrado = L2

64 = L2

8m = L

(entre 7 e 9 metros)

Resposta: B


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Se o perímetro de um terreno em forma de retângulo é igual a 180 m e se um dos lados desse retângulo mede

10 m a mais que o outro, então a área do terreno é igual a

a) 1.800 m2 .

b) 1.600 m2 .

c) 1.400 m2 .

d) 1.200 m2 .

e) 2.000 m2 .

RESOLUÇÃO:

Vamos chamar de L o comprimento do menor lado. Assim, o lado maior mede 10m a mais, ou seja, L +

10. Somando os quatro lados, temos o perímetro:

Perímetro = L + L + (L + 10) + (L + 10)

180 = 4L + 20

180 – 20 = 4L

160 = 4L

40 = L

Portanto, o menor lado mede 40m e o maior lado mede 40 + 10 = 50m. A área é:

Área = largura x comprimento

Área = 40 x 50

Área = 2.000m2

Resposta: E

13. CESPE – PREVIC – 2011)





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RESOLUÇÃO:




Base menor = 2. .1,5 = 3 = 3 x 3,14 = 9,42

Base maior = 2. .2,5 = 5 = 5 x 3,14 = 15,7

Altura = 3m





Veja que a área lateral do tronco de cone já é maior que 36m2, o que permite marcar CORRETO neste

item.


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Resposta: C





RESOLUÇÃO:

A condição de existência de um triângulo que qualquer lado seja menor que a soma dos outros dois,

isto é,

A < B + C

B < A + C

e

C < A + B

Assim, se A = 22 e B = 5, note que podemos ter C = 26 e, mesmo assim,

22 < 5 + 26

5 < 22 + 26

26 < 22 + 5

Ou seja, não necessariamente C é menor ou igual a 25. Item ERRADO.

Resposta: E

15. CESPE – IFF – 2018 - adaptada)

Um cilindro circular reto, cuja base tem diâmetro de 8 cm, foi cortado por um plano inclinado em relação à base,

dando origem ao tronco de cilindro apresentado. A altura maior do tronco de cilindro mede 20 cm e a menor,

16 cm. Nesse caso, o volume do tronco de cone é igual a


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a) 256π cm3.

b) 288π cm3.

c) 320π cm3.

d) 576π cm3.

e) 1.152π cm3.

RESOLUÇÃO:

O volume do cilindro é dado pela Ab x H, em que:

Área da base

AB = πR²

AB = π4²

AB = 16π cm²

Altura

H = 20 cm

Assim, o volume do cilindro é 16π x 20 = 320π cm³. Veja que já podemos excluir as letras C, D e E. Veja,

agora, a figura abaixo:


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Na Figura, temos em destaque a parte que foi retirada do cilindro original. Veja que ela tem 4 cm de

altura em um lado e no outro sua altura chega a zero. Uma outra parte igual a essa, porém virada para cima, a

completa na figura. O que queremos dizer com isso? Ora, quantas partes iguais aquela em destaque teremos

nesse cilindro? O cilindro tem 20 cm de altura. Logo, 20/4 = 5. Ou seja, teremos 5 partes de um lado e outras 5

do outro:

Assim, a parte retirada equivale a 1/10 do volume do cilindro. Assim, o tronco de cilindro tem volume

igual a 320π - 320π/10 = 320π - 32π = 288π cm³.

RESPOSTA: B

16. CESPE – Prefeitura de São Luís/MA – 2017)

Os biscoitos de sal de determinada marca têm a forma de um paralelepípedo retângulo: a base é um quadrado

de lados medindo 6 cm; a altura mede 0,25 cm. Os biscoitos são acondicionados em caixas com capacidade

para 5.184 cm3.

Nesse caso, a quantidade de biscoitos que podem ser acondicionados em uma dessas caixas é

a) superior a 1.500.


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b) inferior a 100.

c) superior a 100 e inferior a 500.

d) superior a 500 e inferior a 1.000.

e) superior a 1.000 e inferior a 1.500.

RESOLUÇÃO:

O volume de cada biscoito é dado por 6 x 6 x 0,25 = 9 cm³. As caixas têm volume igual a 5.184 cm³. Logo,

em cada caixa cabem 5.184/9 = 576 biscoitos, número este superior a 500 e inferior a 1.000.

RESPOSTA: D


Uma caixa retangular sem tampa será construída a partir da retirada de 4 quadrados de lado x cm de

comprimento dos cantos de uma folha de papelão retangular de dimensões 30 cm × 20 cm, conforme mostra a

figura I precedente. A figura II representa a caixa, após dobrarem-se as abas perpendicularmente à folha. O

paralelepípedo reto (sem uma das faces) obtido tem altura de x cm.

A partir dessa situação, julgue o item a seguir.

O volume da caixa obtida será máximo se

RESOLUÇÃO:

A caixa tem altura igual a x. Sua base tem lados 30 – 2x e 20 – 2x. Assim, o volume da caixa é dado por:

V = (30 – 2x)(20 – 2x)x

V = (600 – 60x – 40x + 4x²)x

V = (600 – 100x + 4x²)x


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V = 600x – 100x² + 4x³

Equação de terceiro grau não possui valor de máximo. No entanto, temos outra forma de resolver o

exercício. Veja também que x pode, no máximo, ser igual a 10, já que o lado da caixa de medida 20 – 2x não

pode ter comprimento negativo. Dessa forma, sabemos que x está entre zero e 10 cm. No entanto, o enunciado

diz que o volume da caixa será máximo quando for igual a 25+5√7

3. No entanto, esse número é aproximadamente

12,74 cm, valor este que x não pode assumir. Logo, podemos marcar o item como ERRADO.

RESPOSTA: E


O preço do litro de determinado produto de limpeza é igual a R$ 0,32. Se um recipiente tem a forma de um

paralelepípedo retângulo reto, medindo internamente 1,2 dam × 125 cm × 0,08 hm, então o preço que se pagará

para encher esse recipiente com o referido produto de limpeza será igual a

A) R$ 3,84.

B) R$ 38,40.

C) R$ 384,00.

D) R$ 3.840,00.

E) R$ 38.400,00.

RESOLUÇÃO:

Devemos colocar todas as medidas na mesma unidade. Veja que:

1,2 dam = 12m = 120dm = 1200 cm

0,08hm = 0,8dam = 8m = 80dm = 800cm

Assim, o volume total é de:

V = 1200 x 125 x 800

V = 120.000.000 cm3

V = 120.000 dm3

V = 120.000 litros

Se cada litro custa 0,32 reais, o preço total será de:

Preço = 0,32 x 120.000

Preço = 38.400 reais

Resposta: E


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19. CESPE – INPI – 2013)

Considere um reservatório de formato cilíndrico com volume de 60 m3 que esteja conectado a um cano para

enchê-lo. Sabendo que a vazão do cano é definida como sendo o volume de água que sai do cano por segundo,

julgue os itens seguintes.

( ) Se o reservatório encontra-se vazio e o cano tem uma vazão de 40 dm3 por segundo, então serão necessários

30 minutos para que o tanque fique cheio.

( ) Se, em um cano com 10 cm de raio, a vazão é de 50.000 cm3por segundo e aumenta em 10% para cada

centímetro a mais no raio do cano, então, para encher o reservatório em 1.000 segundos, o cano precisará ter

12 cm de raio.

( ) Se, com determinada vazão, são necessárias 3 horas para encher completamente um reservatório com

volume de 60 m3, então, ao reduzir-se em 10% essa vazão e substituir-se o reservatório por um novo, com

volume 50% maior que o

antigo, então o tempo para encher esse novo reservatório aumentará em aproximadamente 67%.

( ) Se o custo para encher esse reservatório de 60.000 dm3 for de R$ 0,03 por segundo, então a utilização de

uma vazão de 40.000 mL por segundo será 25% mais econômico que a utilização de uma vazão de 0,0125 m3

por segundo.

RESOLUÇÃO:

( ) Se o reservatório encontra-se vazio e o cano tem uma vazão de 40 dm3 por segundo, então serão

necessários 30 minutos para que o tanque fique cheio.

Sabemos que o cano permite passar 40dm3 de água em 1 segundo. Vejamos em quanto tempo esse cano

permite preencher 60m3, lembrando que 60m3 = 60000dm3:

40dm3 ---------------------- 1 segundo

60000dm3 ---------------------- T

40T = 60000

T = 1500 segundos = 1500/60 minutos = 25 minutos

Item ERRADO.


centímetro a mais no raio do cano, então, para encher o reservatório em 1.000 segundos, o cano precisará ter 12

cm de raio.

Veja que 50000cm3 = 50dm3. Aumentando em 2cm o raio (de 10 para 12cm), a vazão aumenta em 10% +

10% = 20%, ou seja, chega a 60dm3. Assim, em 1000 segundos, serão preenchidos 60 x 1000 = 60000dm3, que

é a capacidade total do reservatório. Item CORRETO.


volume de 60 m3, então, ao reduzir-se em 10% essa vazão e substituir-se o reservatório por um novo, com volume

50% maior que o



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Para encher o tanque de 60m3 em 3 horas é preciso uma vazão de 60/3 = 20m3 por hora. Reduzindo-se

essa vazão em 10%, chegamos a 20 x 0,9 = 18m3 por hora. Aumentando o volume do reservatório em 50%,

chegamos a 1,5 x 60 = 90m3.

O tempo para encher o reservatório de 90m3 com vazão de 18m3 por hora é:

18m3 ---------------- 1 hora

90m3 ---------------- X

X =5 horas

O tempo de enchimento aumentou em 2 horas. Em relação ao tempo inicial de 3 horas, este aumento é

de 2/3 = 0,67 = 67%. Item CORRETO.


uma vazão de 40.000 mL por segundo será 25% mais econômico que a utilização de uma vazão de 0,0125 m3 por

segundo.

Inicialmente vamos converter a unidades de vazão:

40.000mL = 40L = 40dm3 por segundo

0,0125m3 = 12,5dm3 por segundo

O tempo de preenchimento do reservatório com cada vazão é:

60.000 / 40 = 1500segundos

60.000 / 12,5 = 4800segundos

O custo de enchimento em cada caso é:

1500 x 0,03 = 45 reais

4800 x 0,03 = 144 reais

Assim, utilizando-se a vazão de 40.000mL por segundo temos uma economia de 144 – 45 = 99 reais. Esta

economia representa, em relação aos 144 reais gastos com a vazão de 0,0125m3 por segundo:

P = 99 / 144 = 0,6875 = 68,75%

Item ERRADO.

Resposta: E C C E

20. CESPE – TJ/RR – 2012)

A caixa d’água de um hospital tem a forma de um cilindro circular reto com 10 metros de altura e capacidade

para 30.000 litros de água. Considere que essa caixa d’água, completamente vazia, foi enchida à vazão

constante e, 100 minutos depois de iniciado o enchimento, a água atingiu a altura de 3 metros. Com base nessas

informações e supondo que nenhuma torneira abastecida pela caixa seja aberta durante o processo de

enchimento, julgue os itens a seguir.


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( ) Quando a água no interior da caixa atingiu 3 metros de altura, mais de 10.000 litros de água haviam sido

despejados na caixa.

( ) Para que a caixa fique completamente cheia, serão necessárias mais de 5 horas.

( ) O tempo necessário para que a água no interior da caixa d’água atinja determinada altura é proporcional a

essa altura.

RESOLUÇÃO:



Se em 10 metros de altura temos 30000 litros, uma regra de três simples nos permite saber quantos litros

temos em 3 metros de altura:

10 metros ------------------------ 30000 litros

3 metros ------------------------- X litros

10X = 3x30000

X = 9000 litros

Item ERRADO.


Se em 100 minutos foi possível encher 3 metros de altura, vejamos quanto tempo é necessário para encher

os 10 metros de altura:

3 metros ----------------- 100 min.

10 metros ----------------- T

3T = 10 x 100

T = 333,33 minutos

Como 5 horas correspondem a 300 minutos, então é CORRETO dizer que serão necessárias mais de 5

horas para encher a caixa.

( ) O tempo necessário para que a água no interior da caixa d’água atinja determinada altura é proporcional

a essa altura.

Item CORRETO. Foi exatamente isto que nos permitiu resolver o item anterior.

Resposta: E C C

21. CESPE – PRF – 2012)

Considere que o interior de um recipiente tenha a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada de

lado medindo 50 cm e altura, 40 cm. Considere, ainda, que esse recipiente tenha sido enchido com um


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combustível homogêneo composto de gasolina pura e álcool e que 40% do combustível constitua-se de álcool.

Com base nessas informações, julgue os itens subsequentes.

( ) Se o recipiente estiver assentado sobre um plano horizontal e 30 litros do combustível forem retirados, a

altura do combustível que restou no recipiente será inferior a 30 cm.

( ) Menos de 55 litros do combustível contido no recipiente constitui-se de gasolina pura.

( ) Caso o teor de álcool do combustível homogêneo contido no recipiente seja diminuído para apenas 22%,

retirando-se do recipiente determinada quantidade do combustível homogêneo e substituindo-a por gasolina

pura, a quantidade do combustível homogêneo que deverá ser retirada do recipiente é superior a 40 litros.

RESOLUÇÃO:

O volume total do recipiente é:

V = 50x50x40 = 100.000 cm3 = 100 dm3 = 100 litros

Como temos 40% de álcool, podemos dizer que 40%x100 = 40 litros são álcool, de modo que os 100 – 40

= 60 litros restantes são gasolina. Com isso em mãos, vejamos os itens.



Se tirarmos 30 litros, ou seja, 30dm3 = 30.000 cm3, sobrarão 70.000cm3. A altura H ocupada do recipiente

será:

Volume = área da base x altura

70.000 = 50 x 50 x H

70.000 / 2.500 = H

28cm = H

Item CORRETO.


ERRADO. Vimos que a gasolina corresponde a 60 litros.


retirando-se do recipiente determinada quantidade do combustível homogêneo e substituindo-a por gasolina pura,

a quantidade do combustível homogêneo que deverá ser retirada do recipiente é superior a 40 litros.

Veja que no final teremos 100 litros de combustível, dos quais 22% são álcool, ou seja, 22%x100 = 22 litros

são álcool e os demais 100 – 22 = 78 litros são gasolina.

Como havia 40 litros de álcool inicialmente, foram retirados 40 – 22 = 18 litros de álcool. Como na mistura

original o álcool correspondia a 40%, podemos calcular o total de combustível retirado (para que neste total

saíssem 18 litros de álcool) assim:

18 litros de álcool ----------------- 40% do total retirado

L litros ----------------------------- 100% da mistura retirada

18 x 100% = L x 40%


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18 x 1 / 0,40 = L

45 litros = L

Portanto, de fato foram retirados mais de 40 litros da mistura. Item CORRETO.

Resposta: C E C


Considerando-se que duas caixas, A e B, tenham, ambas, a forma de um paralelepípedo retângulo, que a caixa

A tenha arestas que meçam 27 cm, 18 cm e 9 cm, e a caixa B tenha arestas medindo o dobro das arestas da

caixa A, é correto afirmar que o volume da caixa B corresponde a

a) 8 vezes o volume da caixa A.

b) 2 vezes o volume da caixa A.

c) 3 vezes o volume da caixa A.

d) 4 vezes o volume da caixa A.

e) 6 vezes o volume da caixa A.

RESOLUÇÃO:

O volume de A é:

VA = 27x18x9 cm3

O volume de B é:

VB = (2x27) x (2x18)x(2x9)

VB = 2 x 2 x 2 x (27x18x9)

VB = 8 x (27x18x9)

VB = 8xVA

Portanto, o volume de B é 8 vezes o volume de A.

Resposta: A


Nos Correios, são utilizados vários tipos de caixas para o envio de encomendas, entre elas, a caixa do tipo 4B,

um paralelepípedo retângulo, em papel ondulado, com arestas medindo 360 mm, 270 mm e 180 mm.

O volume dessa caixa, em dm3 , é



c) superior a 24.


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d) inferior a 15.


RESOLUÇÃO:

Escrevendo as medidas das arestas em dm (basta dividir por 100), temos: 3,6dm, 2,7dm e 1,8dm

respectivamente. Calculando o volume:

V = 3,6 x 2,7 x 1,8 = 17,496 dm3

Resposta: E




medindo 36 cm, 27 cm e 18 cm. Se o valor de comercialização de cada tipo de caixa for proporcional ao seu

volume e se uma caixa do tipo 2 custar R$ 4,50, então uma caixa do tipo 4 custará

a) R$ 16,00.

b) R$ 18,00.

c) R$ 20,00.

d) R$ 22,00.

e) R$ 14,00.

RESOLUÇÃO:

Vamos calcular o volume de cada caixa:

Volume tipo 2 = 27 x 18 x 9 = 4.374 cm2

Volume tipo 4 = 36 x 27 x 18 = 17.496 cm2

Se os custos forem proporcionais aos volumes, temos a regra de três:

Volume tipo 2 ------------- custo tipo 2

Volume tipo 4 ------------ custo tipo 4

4.374 --------------- 4,50

17.496 ------------- custo tipo 4

Custo tipo 4 = 17.496 x 4,50 / 4.374

Custo tipo 4 = 4 x 4,50 = 18 reais

Resposta: B



Aula 10



Suponha que a caixa de encomenda temática da ECT possua a forma de um paralelepípedo retângulo, cujas

arestas tenham comprimentos iguais a 90 mm, 270 mm e 180 mm. Nesse caso, o volume dessa caixa, em 1.000

cm3 , é

a) superior a 29.

b) inferior a 5.




RESOLUÇÃO:

Escrevendo as medidas dos lados em centímetros, temos 9cm, 27cm e 18cm respectivamente. O volume

é:

Volume = 9 x 27 x 18

Volume = 4.374 cm3

Volume = 4,374 x 1.000 cm3

Portanto, temos menos que 5 x 1.000 cm3.

Resposta: B






a) R$ 16,00.

b) R$ 18,00.

c) R$ 20,00.

d) R$ 22,00.

e) R$ 14,00.

RESOLUÇÃO:

Vamos calcular o volume de cada caixa:

Volume tipo 2 = 27 x 18 x 9 = 4.374 cm2

Volume tipo 4 = 36 x 27 x 18 = 17.496 cm2

Se os custos forem proporcionais aos volumes, temos a regra de três:

Volume tipo 2 ------------- custo tipo 2


Aula 10



Volume tipo 4 ------------ custo tipo 4

4.374 --------------- 4,50

17.496 ------------- custo tipo 4

Custo tipo 4 = 17.496 x 4,50 / 4.374

Custo tipo 4 = 4 x 4,50 = 18 reais

Resposta: B










RESOLUÇÃO:




Aula 10




Base menor = 2. .1,5 = 3 = 3 x 3,14 = 9,42

Base maior = 2. .2,5 = 5 = 5 x 3,14 = 15,7

Altura = 3m





Veja que a área lateral do tronco de cone já é maior que 36m2, o que permite marcar CORRETO neste

item.

Resposta: C

28. SEE-AL - CESPE – 2013)

Para confeccionar os brigadeiros e os doces de coco para a festa de seu filho, Maria preparou uma lata de

brigadeiro - cilíndrica, com medidas internas iguais a 12 cm de diâmetro e 10 cm de altura - e uma lata de

docinho de coco - cilíndrica, com medidas internas iguais a 8 cm de diâmetro e 10 cm de altura. Considerando

que os brigadeiros e os docinhos de coco tenham sido enrolados sob a forma de uma pequena esfera de 1 cm

de raio, julgue o item a seguir.

I - Considere que Maria tenha 820 brigadeiros e queira fazer um arranjo de doces sobre a mesa, na forma de um

trapézio, colocando 3 brigadeiros na primeira fileira, 7 na segunda, 11 na terceira, 15 na quarta, e assim

sucessivamente. Nesse caso, o arranjo de Maria terá 20 fileiras.

II - Maria preparou ingredientes suficientes para enrolar mais de 250 brigadeiros.

III - Se os brigadeiros e os docinhos de coco forem enrolados para formarem esferas de 2 cm de raio, os

ingredientes serão suficientes para produzir metade da quantidade que seria produzida se fossem esferas de 1

cm de raio.

IV - A área lateral externa da lata de docinho de coco é inferior a 70π cm2.

RESOLUÇÃO:


Aula 10



I - Considere que Maria tenha 820 brigadeiros e queira fazer um arranjo de doces sobre a mesa, na forma

de um trapézio, colocando 3 brigadeiros na primeira fileira, 7 na segunda, 11 na terceira, 15 na quarta, e assim


Item correto. Veja que o arranjo de doces obedece a uma PA de termo inicial a1 = 3, razão r = 4 e número

de termos n = 20. A soma dessa PA é dada por:

1

1 1

20

( )

2

( ( 1) )

2

(6 19 4)20820

2

nn

n

a a nS

a a n r nS

S

+=

+ + −=

+ = =


Item correto. Maria preparou uma lata de brigadeiro - cilíndrica, com medidas internas iguais a 12 cm de

diâmetro e 10 cm de altura. O volume dessa lata é dado por:

Volume = área da base x altura

Volume = πR2 x altura

Volume = π62 x 10

Volume = 360π cm3

Cada brigadeiro tem 1 cm de raio. Logo, seu volume é dado por:

3

3

4

3

4 41

3 3

V r

V

=

= =

250 brigadeiros correspondem a 4

250 250 333,33

V = = , valor inferior ao volume de ingredientes

preparado por Maria.



cm de raio.

Item errado. Ao dobrar o raio da esfera, o volume V obtido corresponde a oito vezes o volume inicial V0

da esfera. Veja:

3

0

3

4

3

4(2 )

3

V r

V r

=

=


Aula 10



3

0

48

3

8

V r

V V

=

=


Item errado. Lata de docinho de coco - cilíndrica, com medidas internas iguais a 8 cm de diâmetro e 10

cm de altura. Sua área lateral corresponde à de um retângulo de altura 10 cm e comprimento igual a 2πR = 2π(4)

= 8π. Portanto, a área lateral é de 8π x 10 = 80π cm2.

RESPOSTA: C C E E

29. CESPE – SEPLAG/DF – 2008)

Julgue os itens a seguir, acerca de um reservatório de gás que tem a forma de uma esfera de 10 m de raio.

( ) O volume desse reservatório é igual a 4.000 π m³.

( ) A área de superfície do reservatório é igual a 400 π m².

( ) Se for construído um novo reservatório esférico, com raio igual à metade do raio do reservatório original,

então o volume desse novo reservatório será igual à metade do volume do outro reservatório.

( ) Um reservatório esférico que tem raio igual à metade do raio do reservatório original terá área de superfície

igual à metade da área da superfície do reservatório original.

RESOLUÇÃO:


Item errado. O volume de uma esfera de 10 m de raio é dado por:

3

3

4

3

4 400010

3 3

V r

V

=

= =


Item correto. A área da superfície de uma esfera de 10 m de raio é dada por:

2

2

4

4 10 400

A R

A

=

= =

( ) Se for construído um novo reservatório esférico, com raio igual à metade do raio do reservatório

original, então o volume desse novo reservatório será igual à metade do volume do outro reservatório.

Item errado. Imagine que V0 seja o volume do reservatório original, de raio r. Assim:

3

0

4

3V r=


Aula 10



Ao reduzir esse raio à metade, teremos o seguinte volume:

3

3

0

4( )

3 2

1 4

8 3

8

rV

V r

V V

=

=

=

( ) Um reservatório esférico que tem raio igual à metade do raio do reservatório original terá área de

superfície igual à metade da área da superfície do reservatório original.

Item errado. Imagine que A0 seja a área da superfície do reservatório original, de raio R. Assim:

2

0 4A R=

Ao reduzir esse raio à metade, teremos a seguinte área da superfície:

2

2

0

42

14

4

1

4

RA

A R

A A

=

=

=

Resposta: E C E E

30. CESPE – SEJUS/ES – 2011)

Muitas substâncias consideradas tóxicas têm aplicações terapêuticas quando utilizadas em mínimas doses.

Exemplo dessa propriedade é o flúor. Embora considerado muito venenoso, é um bom fármaco contra as cáries.

Para Paracelsus (1493-1541) “a dose certa diferencia o veneno do remédio”. De acordo com o Ministério da

Saúde, o limite máximo de flúor na água para consumo humano é de 1,5 mg/L.

Internet: <www.hannabrasil.com> (com adaptações).

As medidas para as colheres de sopa e de chá estão apresentadas na tabela a seguir.

Com base no texto e nas informações acima, julgue os itens seguintes.

( ) Sabendo que um micrograma ( g ) equivale a 10-6g, é correto afirmar que a quantidade máxima de flúor

para a preparação de um copo de água de 200 mL é de 300 g , segundo recomendações do Ministério da

Saúde.


Aula 10



( ) Considere que uma farmácia tenha adquirido 150 L de um medicamento para atender prescrições de 3

colheres de chá ao dia, durante 5 dias. Nesse caso, são suficientes 1.500 frascos de 75 mL cada um para a

redistribuição desse medicamento.

( ) Considere que um paciente adulto tome uma colher de sopa de um medicamento, quatro vezes ao dia,

durante cinco dias, e que uma criança necessite ingerir, em colheres de chá durante seis dias, metade da

quantidade do medicamento tomada pelo paciente adulto. Nesse caso, ela deve tomar cinco colheres de chá

ao dia.

RESOLUÇÃO:


para a preparação de um copo de água de 200 mL é de 300 g , segundo recomendações do Ministério da Saúde.

A dose recomendada é de 1,5mg/L. Podemos descobrir a quantidade de flúor em 200mL de água (0,2L)

com a regra de três abaixo:

Flúor Água

1,5mg 1L

X 0,2L

X = 0,3mg

Sabemos que 1mg corresponde a 0,001g, ou seja, 10-3g. Assim, podemos descobrir quantos

microgramas correspondem a 1mg com a regra de três abaixo:

1mg ------------------- 10-3g

X ----------------------- 10-6g

X = 10-6 / 10-3 = 10-6-(-3) = 10-3mg

Sabendo que 1 g corresponde a 10-3mg, podemos encontrar quanto vale 0,3mg em g :

1 g ------------------- 10-3mg

X ------------------------ 0,3mg

X x 10-3 = 0,3 x 1

X = 0,3 x 103

X = 300 g

Item CORRETO.




1500 frascos de 75mL (ou 0,075L) totalizam um volume de:

1500 x 0,075 = 112,5 litros


Aula 10



Portanto, 1500 frascos de 75mL não são suficientes para acomodar os 150L de medicamento. Item

ERRADO.


durante cinco dias, e que uma criança necessite ingerir, em colheres de chá durante seis dias, metade da quantidade

do medicamento tomada pelo paciente adulto. Nesse caso, ela deve tomar cinco colheres de chá ao dia.

Se o adulto toma 4 colheres de sopa por dia, durante 5 dias, ao todo ele toma 4 x 5 = 20 colheres de

sopa neste período. A colher de sopa tem 15mL, de modo que o total ingerido pelo adulto é de 20 x 15 = 300mL

de remédio.

A criança vai tomar metade da quantidade do adulto, ou seja, 150mL. Sabemos que 1 colher de chá tem

5mL. Assim, se a criança tomar 1 colher de chá por dia, durante 6 dias, terá tomado 1 x 6 = 6 colheres por dia,

totalizando 6 x 5 = 30mL. Vejamos quantas colheres diárias são necessárias para totalizar 150mL:

Colheres por dia Total ingerido

1 30mL

X 150mL

30X = 150x1

X = 150/30 = 5 colheres por dia

Item CORRETO.

Resposta: C E C

31. ENEM - 2014)

Conforme regulamento da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac), o passageiro que embarcar em voo

doméstico poderá transportar bagagem de mão, contudo a soma das dimensões da bagagem (altura +

comprimento + largura) não pode ser superior a 115 cm.

A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo.

O maior valor possível para x, em centímetros, para que a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela

Anac é

A) 25.

B) 33.


Aula 10



C) 42.

D) 45.

E) 49.

RESOLUÇÃO:

Da Figura do enunciado temos que a altura da caixa é de 24 cm. Já a medida que ele chamou de 90 cm

compreende a largura mais duas vezes a altura. Assim, a largura fica sendo 90 – 2 x 24 = 42 cm. Assim, o

comprimento x para que a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela Anac é dado por 115 – 42 – 24

= 49 cm.

Resposta: E

32. ENEM - 2010)

Alguns testes de preferencia por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo tres tipos de

bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 tem a forma de um tronco de cone

circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O

bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três

recipientes estão ilustrados na figura.

Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificação

para o bebedouro 3?


Aula 10



RESOLUÇÃO:

Lembram-se quando vimos na teoria que se “desenrolarmos” a área lateral do cilindro e “abrirmos” todo

o cilindro, temos o seguinte:

Analogamente, se desenrolarmos e abrirmos a metade de cilindro que é representada pelo bebedouro 3

teremos:

R

H H

C

R


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Resposta: E

33. ENEM - 2012)

O globo da morte é uma atração muito usada em circos. Ele consiste em uma espécie de jaula em forma de

uma superfície esférica feita de aço, onde motoqueiros andam com suas motos por dentro. A seguir, tem-se,

na Figura 1, uma foto de um globo da morte e, na Figura 2, uma esfera que ilustra um globo da morte.

Na Figura 2, o ponto A está no plano do chão onde está colocado o globo da morte e o segmento AB passa pelo

centro da esfera e é perpendicular ao plano do chão. Suponha que há um foco de luz direcionado para o chão

colocado no ponto B e que um motoqueiro faça um trajeto dentro da esfera, percorrendo uma circunferência

que passa pelos pontos A e B. A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão é melhor

representada por


Aula 10



RESOLUÇÃO:

Para quem olha a esfera de lado, de uma posição perpendicular ao plano que contém a circunferência

correspondente ao trajeto do motoqueiro, esse trajeto pareceria assim:

No entanto, como o foco de luz está no ponto B, o qual está sobre o trajeto do motoqueiro, e levando em

conta que o movimento da moto se dá justamente nesse plano perpendicular ao chão que passa pelo ponto B,

temos que a sombra formada vai ser parecida com uma reta somente, conforme Figura abaixo:

Resposta: E


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34. ENEM - 2012)

João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide a

seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da pirâmide.

O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, a

seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C. O desenho que Bruno deve fazer é


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RESOLUÇÃO:

Veja abaixo a projeção, na base da pirâmide, do deslocamento descrito por João.


Aula 10



Resposta: E

35. ENEM – 2016)

A figura representa o globo terrestre e nela estão marcados os pontos A, B e C. Os pontos A e B estão

localizados sobre um mesmo paralelo, e os pontos B e C, sobre um mesmo meridiano. É traçado um caminho

do ponto A até C, pela superfície do globo, passando por B, de forma que o trecho de A até B se dê sobre o

paralelo que passa por A e B e, o trecho de B até C se dê sobre o meridiano que passa por B e C. Considere que

o plano α é paralelo à linha do equador na figura.

A projeção ortogonal, no plano α, do caminho traçado no globo pode ser representada por


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RESOLUÇÃO:

Primeiramente, perceba que o globo é curvo. Portanto, a projeção do segmento de vai de A até B é

também curva, para um observador que vê esse globo de cima. Isso é o mesmo que dizer que a projeção desse

segmento no plano será um segmento curvo. Assim, já podemos eliminar as letras B e C.

A seguir, analisando o segmento que vai de B até C, perceba que pelo fato de o globo ser curvo, o ponto

C não terá sua projeção sobre a do ponto B. Assim, podemos eliminar a letra D.

Além disso, a projeção do segmento que vai de B até C no plano será um pequeno segmento, bem menor

do que ele é na realidade, tendo em vista que a projeção só vai mostrar a distância horizontal que existe entre

os dois pontos B e C. Logo, ficamos com a letra E!

Resposta: E

36. ENEM – 2016)

Os alunos de uma escola utilizaram cadeiras iguais às da figura para uma aula ao ar livre. A professora, ao final

da aula, solicitou que os alunos fechassem as cadeiras para guardá-las. Depois de guardadas, os alunos fizeram

um esboço da vista lateral da cadeira fechada.

Qual é o esboço obtido pelos alunos?


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RESOLUÇÃO:

Vamos eliminar as respostas incorretas. Primeiramente, o esboço lateral da cadeira fechada não pode ter

um X nas pernas da cadeira, como se observa nas letras B, D e E, motivo pelo qual eliminamos as mesmas.

Perceba também que há uma ligação entre as pernas traseiras e as pernas dianteiras da cadeira, ligação

essa rente ao solo e paralela ao mesmo. Essa ligação não aparece na alternativa A. Portanto, só nos restou a

letra C.

Resposta: C

37. ENEM - 2014)


Aula 10



O acesso entre os dois andares de uma casa é feito através de uma escada circular (escada caracol),

representada na figura. Os cinco pontos A, B, C, D, E sobre o corrimão estão igualmente espaçados, e os pontos

P, A e E estão em uma mesma reta. Nessa escada, uma pessoa caminha deslizando a mão sobre o corrimão do

ponto A até o ponto D.

A figura que melhor representa a projeção ortogonal, sobre o piso da casa (plano), do caminho percorrido pela

mão da pessoa é:

RESOLUÇÃO:

A pergunta, feita de outra forma, é a seguinte: um observador que esteja olhando essa escada circular de

cima, enxerga qual projeção dela no chão? Veja que os pontos P, A e E estão sobre uma mesma reta

perpendicular ao chão. Portanto, quando visto de cima, a projeção desses três pontos estará no mesmo local.

A pessoa se deslocou de A até D. Como os pontos sobre o corrimão estão igualmente espaçados, e o

corrimão inteiro está dividido em 4 segmentos (AB, BC, CD, DE), essa pessoa percorreu 3/4 do corrimão.


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Dessa forma, vista de cima, a projeção do percurso feito pela mão dessa pessoa sobre o corrimão foi de

um arco de circunferência, correspondente a 3/4 da circunferência total.

Resposta: C

38. ENEM - 2013)

Gangorra é um brinquedo que consiste de uma tábua longa e estreita equilibrada e fixada no seu ponto central

(pivô). Nesse brinquedo, duas pessoas sentam-se nas extremidades e, alternadamente, impulsionam-se para

cima, fazendo descer a extremidade oposta, realizando, assim, o movimento da gangorra. Considere a

gangorra representada na figura, em que os pontos A e B são equidistantes do pivô:

A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, sobre o plano do chão da gangorra, quando esta se

encontra em movimento, é:


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RESOLUÇÃO:

Veja a figura abaixo. Imagine que você esteja olhado a gangorra de cima, no sentido mostrado pela seta

vermelha, enquanto aquela se movimenta.

Olhando de lado, veja que os pontos A e B descrevem arcos de circunferência (em azul) ao se

movimentarem para cima e para baixo. O movimento desses pontos quando vistos de cima consiste na sombra

dos mesmos refletida no chão, ou seja, é a projeção dos pontos no solo. Nesse caso, a projeção ortogonal da


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trajetória dos pontos A e B, sobre o plano do chão da gangorra, quando esta se encontra em movimento, é dada

pela Figura da letra B:

Resposta: B


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Lista de questões

1. CESPE – SEDUC/AL – 2018)

A figura seguinte mostra, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em que a unidade de

medida é o metro, uma região retangular OABC. O lado OA mede 600 m e o lado OC mede 800 m.

A figura mostra também os pontos F = ponto médio de OA, H = ponto médio de CB, G = centro do retângulo

OABC, D = ponto médio de FG, e E = ponto médio de GH. Nos pontos O, A, B, C, D e E foram instalados pontos

de acesso à Internet — wi-fi. Nessa configuração, o usuário consegue se conectar à Internet desde que o seu

smartphone esteja a 200 m ou menos de qualquer desses pontos de acesso.

Com base nessas informações e na figura apresentada, julgue os próximos itens


() Se um usuário tiver o seu smartphone no ponto R = (400, 100), então a conexão à Internet a partir de qualquer

dos referidos pontos de acesso será impossível.










Em um bairro nobre de determinada cidade, uma imobiliária colocou à venda vários terrenos:

independentemente do tamanho, o preço do metro quadrado é o mesmo para todos os terrenos à venda. Um

terreno retangular de 600 m2 de área custa R$ 3.240.000. Em outro terreno, também retangular, um dos lados


Aula 10



é 25% maior que o lado equivalente do primeiro terreno; o outro lado é 20% menor que o lado equivalente do

primeiro terreno.

Nesse caso, o preço do segundo terreno é igual a

A) R$ 1.458.000.

B) R$ 3.240.000.

C) R$ 3.402.000.

D) R$ 3.078.000.

E) R$ 3.564.000.






executando a seguinte rotina de corrida: nos dias pares, ele percorria o dobro da distância percorrida no dia

anterior; nos dias ímpares, ele percorria a mesma distância percorrida no dia anterior. Se no décimo dia o atleta

percorreu 32 km, então no primeiro dia ele percorreu 2 km.


4. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011)

Tecnologia no combate ao crime

Desde dezembro de 2009, uma aeronave não tripulada sobrevoa e monitora as fronteiras do Brasil com o

Paraguai, o Uruguai e a Argentina na região de Foz do Iguaçu. Ao todo, serão 6 estações equipadas com 2

aeronaves cada, operadas pela Polícia Federal, somando investimento da ordem de US$ 655,6 milhões.

Segurança pública com cidadania. Equipe

CGPLAN/MJ, agosto/2010 (com adaptações).

Considere que tenham sido sugeridos os seguintes critérios para a escolha das rotas de vôo da aeronave

mencionada no texto acima.

> Se a rota passar pelo Brasil ou pelo Paraguai, então ela deverá passar pelo Uruguai;

> Se a rota passar pelo Paraguai, então ela não deverá passar pela Argentina;

> Se a rota passar pelo Uruguai e pela Argentina, então ela deverá passar pelo Paraguai.

Suponha, também, que as estações A, B e C tenham sido construídas em pontos equidistantes, de modo que a

distância de uma dessas três estações para outra seja de 150 km.


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Com referência às informações contidas no texto acima e às considerações hipotéticas que a ele se seguem, e

considerando 1,73 como valor aproximado para 3 , julgue os itens seguintes.

( ) Supondo que uma nova estação, D, seja instalada em um ponto equidistante das estações A, B e C, então a

distância da estação D para as estações A, B e C será inferior a 87 km.

( ) Considerando que devam ser escolhidas 3 aeronaves para inspeção e manutenção, sendo que não podem ser

selecionadas as 2 aeronaves de uma mesma estação, e que todas as seis estações já possuam as duas aeronaves




bilhão.

5. CESPE – CBM/ES – 2011)

As distâncias entre 3 cidades, medidas em quilômetros, são os comprimentos dos lados de um triângulo

retângulo. Considerando que essas medidas estão em progressão aritmética, com razão 45, julgue os itens que

se seguem.




Essa enquete está representada no diagrama retangular de 12 cm de altura, ilustrado abaixo, em que x

corresponde ao comprimento da base do retângulo que representa os entrevistados que responderam sim à

pergunta; o comprimento da base do retângulo correspondente aos entrevistados que responderam não à

pergunta é igual a 4 cm.


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Com base nesses dados, é correto afirmar que o valor de x é


b) superior a 29.

c) inferior a 20.




Se a caixa de encomenda citada no texto tiver a forma de um paralelepípedo retângulo, cujas arestas tenham

as medidas apresentadas, então a área lateral dessa caixa será igual a

a) 0,008748 m².

b) 87,48 dm².

c) 8.748.000 mm².

d) 87.480 cm².

e) 0,08748 m².


O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, de mesma

dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos

de modo que tenham a maior dimensão possível. Se, para assentar os ladrilhos, são utilizados 2 kg de


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argamassa por m2 e se a argamassa é vendida em sacos de 3 kg, então a quantidade necessária de sacos de

argamassa para completar o serviço é igual a

a) 9.

b) 10.

c) 6.

d) 7.

e) 8.




medindo 36 cm, 27 cm e 18 cm. Se um escritor deseja enviar livros de sua autoria a outro estado e se cada livro

mede 23 cm × 16 cm × 1,2 cm, então a quantidade máxima desses livros que poderá ser enviada em uma caixa

do tipo 2, sem que sejam danificados ou deformados, é igual a

a) 9.

b) 5.

c) 6.

d) 7.

e) 8.


Sabendo-se que todos os ângulos dos vértices do terreno ilustrado na figura acima medem 90º e que o metro

quadrado do terreno custa R$ 120,00, é correto afirmar que o preço desse terreno é


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a) superior a R$ 9.900,00 e inferior a R$ 10.100,00.

b) superior a R$ 10.100,00.

c) inferior a R$ 9.500,00.

d) superior a R$ 9.500,00 e inferior a R$ 9.700,00.

e) superior a R$ 9.700,00 e inferior a R$ 9.900,00.


A primeira unidade do novo modelo de agência franqueada dos Correios foi inaugurada em 10/2/2011, em

Ourinhos, no interior do estado de São Paulo. A nova agência, com 200 metros quadrados de área, situa-se na

Vila Recreio.

Considerando que essa nova agência seja composta de 2 salas, uma retangular, com lados medindo 17 m e 8 m

e outra, quadrada, com lados medindo L metros, conforme ilustrado na figura acima, é correto afirmar que o

valor de L é



c) superior a 9.

d) inferior a 3.



Se o perímetro de um terreno em forma de retângulo é igual a 180 m e se um dos lados desse retângulo mede

10 m a mais que o outro, então a área do terreno é igual a

a) 1.800 m2 .

b) 1.600 m2 .

c) 1.400 m2 .

d) 1.200 m2 .

e) 2.000 m2 .


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15. CESPE – IFF – 2018 - adaptada)

Um cilindro circular reto, cuja base tem diâmetro de 8 cm, foi cortado por um plano inclinado em relação à base,

dando origem ao tronco de cilindro apresentado. A altura maior do tronco de cilindro mede 20 cm e a menor,

16 cm. Nesse caso, o volume do tronco de cone é igual a


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a) 256π cm3.

b) 288π cm3.

c) 320π cm3.

d) 576π cm3.

e) 1.152π cm3.


Os biscoitos de sal de determinada marca têm a forma de um paralelepípedo retângulo: a base é um quadrado

de lados medindo 6 cm; a altura mede 0,25 cm. Os biscoitos são acondicionados em caixas com capacidade

para 5.184 cm3.

Nesse caso, a quantidade de biscoitos que podem ser acondicionados em uma dessas caixas é

a) superior a 1.500.

b) inferior a 100.


d) superior a 500 e inferior a 1.000.

e) superior a 1.000 e inferior a 1.500.



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Uma caixa retangular sem tampa será construída a partir da retirada de 4 quadrados de lado x cm de

comprimento dos cantos de uma folha de papelão retangular de dimensões 30 cm × 20 cm, conforme mostra a

figura I precedente. A figura II representa a caixa, após dobrarem-se as abas perpendicularmente à folha. O

paralelepípedo reto (sem uma das faces) obtido tem altura de x cm.

A partir dessa situação, julgue o item a seguir.

O volume da caixa obtida será máximo se


O preço do litro de determinado produto de limpeza é igual a R$ 0,32. Se um recipiente tem a forma de um

paralelepípedo retângulo reto, medindo internamente 1,2 dam × 125 cm × 0,08 hm, então o preço que se pagará

para encher esse recipiente com o referido produto de limpeza será igual a

A) R$ 3,84.

B) R$ 38,40.

C) R$ 384,00.

D) R$ 3.840,00.

E) R$ 38.400,00.

19. CESPE – INPI – 2013)

Considere um reservatório de formato cilíndrico com volume de 60 m3 que esteja conectado a um cano para

enchê-lo. Sabendo que a vazão do cano é definida como sendo o volume de água que sai do cano por segundo,

julgue os itens seguintes.


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( ) Se o reservatório encontra-se vazio e o cano tem uma vazão de 40 dm3 por segundo, então serão necessários

30 minutos para que o tanque fique cheio.


centímetro a mais no raio do cano, então, para encher o reservatório em 1.000 segundos, o cano precisará ter

12 cm de raio.


volume de 60 m3, então, ao reduzir-se em 10% essa vazão e substituir-se o reservatório por um novo, com

volume 50% maior que o



uma vazão de 40.000 mL por segundo será 25% mais econômico que a utilização de uma vazão de 0,0125 m3

por segundo.

20. CESPE – TJ/RR – 2012)

A caixa d’água de um hospital tem a forma de um cilindro circular reto com 10 metros de altura e capacidade

para 30.000 litros de água. Considere que essa caixa d’água, completamente vazia, foi enchida à vazão

constante e, 100 minutos depois de iniciado o enchimento, a água atingiu a altura de 3 metros. Com base nessas

informações e supondo que nenhuma torneira abastecida pela caixa seja aberta durante o processo de

enchimento, julgue os itens a seguir.




( ) O tempo necessário para que a água no interior da caixa d’água atinja determinada altura é proporcional a

essa altura.

21. CESPE – PRF – 2012)

Considere que o interior de um recipiente tenha a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada de

lado medindo 50 cm e altura, 40 cm. Considere, ainda, que esse recipiente tenha sido enchido com um

combustível homogêneo composto de gasolina pura e álcool e que 40% do combustível constitua-se de álcool.

Com base nessas informações, julgue os itens subsequentes.





retirando-se do recipiente determinada quantidade do combustível homogêneo e substituindo-a por gasolina

pura, a quantidade do combustível homogêneo que deverá ser retirada do recipiente é superior a 40 litros.


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Considerando-se que duas caixas, A e B, tenham, ambas, a forma de um paralelepípedo retângulo, que a caixa

A tenha arestas que meçam 27 cm, 18 cm e 9 cm, e a caixa B tenha arestas medindo o dobro das arestas da

caixa A, é correto afirmar que o volume da caixa B corresponde a

a) 8 vezes o volume da caixa A.

b) 2 vezes o volume da caixa A.

c) 3 vezes o volume da caixa A.

d) 4 vezes o volume da caixa A.

e) 6 vezes o volume da caixa A.


Nos Correios, são utilizados vários tipos de caixas para o envio de encomendas, entre elas, a caixa do tipo 4B,

um paralelepípedo retângulo, em papel ondulado, com arestas medindo 360 mm, 270 mm e 180 mm.

O volume dessa caixa, em dm3 , é



c) superior a 24.

d) inferior a 15.







a) R$ 16,00.

b) R$ 18,00.

c) R$ 20,00.

d) R$ 22,00.

e) R$ 14,00.



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Suponha que a caixa de encomenda temática da ECT possua a forma de um paralelepípedo retângulo, cujas

arestas tenham comprimentos iguais a 90 mm, 270 mm e 180 mm. Nesse caso, o volume dessa caixa, em 1.000

cm3 , é

a) superior a 29.

b) inferior a 5.









a) R$ 16,00.

b) R$ 18,00.

c) R$ 20,00.

d) R$ 22,00.

e) R$ 14,00.








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28. SEE-AL - CESPE – 2013)

Para confeccionar os brigadeiros e os doces de coco para a festa de seu filho, Maria preparou uma lata de

brigadeiro - cilíndrica, com medidas internas iguais a 12 cm de diâmetro e 10 cm de altura - e uma lata de

docinho de coco - cilíndrica, com medidas internas iguais a 8 cm de diâmetro e 10 cm de altura. Considerando

que os brigadeiros e os docinhos de coco tenham sido enrolados sob a forma de uma pequena esfera de 1 cm

de raio, julgue o item a seguir.

I - Considere que Maria tenha 820 brigadeiros e queira fazer um arranjo de doces sobre a mesa, na forma de um

trapézio, colocando 3 brigadeiros na primeira fileira, 7 na segunda, 11 na terceira, 15 na quarta, e assim





cm de raio.


29. CESPE – SEPLAG/DF – 2008)

Julgue os itens a seguir, acerca de um reservatório de gás que tem a forma de uma esfera de 10 m de raio.



( ) Se for construído um novo reservatório esférico, com raio igual à metade do raio do reservatório original,

então o volume desse novo reservatório será igual à metade do volume do outro reservatório.

( ) Um reservatório esférico que tem raio igual à metade do raio do reservatório original terá área de superfície

igual à metade da área da superfície do reservatório original.

30. CESPE – SEJUS/ES – 2011)

Muitas substâncias consideradas tóxicas têm aplicações terapêuticas quando utilizadas em mínimas doses.

Exemplo dessa propriedade é o flúor. Embora considerado muito venenoso, é um bom fármaco contra as cáries.

Para Paracelsus (1493-1541) “a dose certa diferencia o veneno do remédio”. De acordo com o Ministério da

Saúde, o limite máximo de flúor na água para consumo humano é de 1,5 mg/L.

Internet: <www.hannabrasil.com> (com adaptações).

As medidas para as colheres de sopa e de chá estão apresentadas na tabela a seguir.


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Com base no texto e nas informações acima, julgue os itens seguintes.


para a preparação de um copo de água de 200 mL é de 300 g , segundo recomendações do Ministério da

Saúde.





durante cinco dias, e que uma criança necessite ingerir, em colheres de chá durante seis dias, metade da

quantidade do medicamento tomada pelo paciente adulto. Nesse caso, ela deve tomar cinco colheres de chá

ao dia.

31. ENEM - 2014)

Conforme regulamento da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac), o passageiro que embarcar em voo

doméstico poderá transportar bagagem de mão, contudo a soma das dimensões da bagagem (altura +

comprimento + largura) não pode ser superior a 115 cm.

A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo.

O maior valor possível para x, em centímetros, para que a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela

Anac é

A) 25.

B) 33.

C) 42.

D) 45.

E) 49.


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32. ENEM - 2010)

Alguns testes de preferencia por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo tres tipos de

bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 tem a forma de um tronco de cone

circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O

bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três

recipientes estão ilustrados na figura.

Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificação

para o bebedouro 3?


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33. ENEM - 2012)

O globo da morte é uma atração muito usada em circos. Ele consiste em uma espécie de jaula em forma de

uma superfície esférica feita de aço, onde motoqueiros andam com suas motos por dentro. A seguir, tem-se,

na Figura 1, uma foto de um globo da morte e, na Figura 2, uma esfera que ilustra um globo da morte.


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Na Figura 2, o ponto A está no plano do chão onde está colocado o globo da morte e o segmento AB passa pelo

centro da esfera e é perpendicular ao plano do chão. Suponha que há um foco de luz direcionado para o chão

colocado no ponto B e que um motoqueiro faça um trajeto dentro da esfera, percorrendo uma circunferência

que passa pelos pontos A e B. A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão é melhor

representada por

34. ENEM - 2012)

João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide a

seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da pirâmide.


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O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, a

seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C. O desenho que Bruno deve fazer é

35. ENEM – 2016)

A figura representa o globo terrestre e nela estão marcados os pontos A, B e C. Os pontos A e B estão

localizados sobre um mesmo paralelo, e os pontos B e C, sobre um mesmo meridiano. É traçado um caminho

do ponto A até C, pela superfície do globo, passando por B, de forma que o trecho de A até B se dê sobre o

paralelo que passa por A e B e, o trecho de B até C se dê sobre o meridiano que passa por B e C. Considere que

o plano α é paralelo à linha do equador na figura.


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A projeção ortogonal, no plano α, do caminho traçado no globo pode ser representada por

36. ENEM – 2016)


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Os alunos de uma escola utilizaram cadeiras iguais às da figura para uma aula ao ar livre. A professora, ao final

da aula, solicitou que os alunos fechassem as cadeiras para guardá-las. Depois de guardadas, os alunos fizeram

um esboço da vista lateral da cadeira fechada.

Qual é o esboço obtido pelos alunos?


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37. ENEM - 2014)

O acesso entre os dois andares de uma casa é feito através de uma escada circular (escada caracol),

representada na figura. Os cinco pontos A, B, C, D, E sobre o corrimão estão igualmente espaçados, e os pontos

P, A e E estão em uma mesma reta. Nessa escada, uma pessoa caminha deslizando a mão sobre o corrimão do

ponto A até o ponto D.

A figura que melhor representa a projeção ortogonal, sobre o piso da casa (plano), do caminho percorrido pela

mão da pessoa é:

38. ENEM - 2013)

Gangorra é um brinquedo que consiste de uma tábua longa e estreita equilibrada e fixada no seu ponto central

(pivô). Nesse brinquedo, duas pessoas sentam-se nas extremidades e, alternadamente, impulsionam-se para


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cima, fazendo descer a extremidade oposta, realizando, assim, o movimento da gangorra. Considere a

gangorra representada na figura, em que os pontos A e B são equidistantes do pivô:

A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, sobre o plano do chão da gangorra, quando esta se

encontra em movimento, é:


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Gabarito 1. CCCCECE

2. E

3. EEC

4. CCCC

5. EC

6. D

7. B

8. B

9. D

10. D

11. B

12. E

13. C

14. E

15. B

16. D

17. E

18. E

19. ECCE

20. ECC

21. CEC

22. A

23. E

24. B

25. B

26. B

27. C

28. CCEE

29. ECEE

30. CEC

31. E

32. E

33. E

34. E

35. E

36. C

37. C

38. B


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Resumo direcionado

- ângulo é uma abertura delimitada por duas semi-retas.

- o ângulo de 90o é conhecido como ângulo reto. Além disso:

- ângulos agudos: são aqueles ângulos inferiores à 90o.

- ângulos obtusos: são aqueles ângulos superiores à 90o.

- dois ângulos podem ser:

- ângulos congruentes: se possuem a mesma medida

- ângulos complementares: se a sua soma é 90o

- ângulos suplementares: se a sua soma é 180o

- Ângulos opostos pelo vértice tem o mesmo valor

- 180o correspondem a (“pi”) radianos

Principais figuras geométricas planas

- Perímetro: soma dos comprimentos dos lados de uma figura plana;

- Áreas das principais figuras planas:

Figura Definição Área

Retângulo

Quadrilátero onde

os lados opostos são

paralelos entre si, e todos

os ângulos internos são

iguais a 90º

A = b x h

Quadrado

retângulo onde a

base e a altura têm o

mesmo comprimento

2A L=

b

b

h h


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Trapézio

4 lados, sendo 2

deles paralelos entre si, e

chamados de base maior

(B) e base menor (b)

( )2

b B hA

+ =

Losango

4 lados de mesmo

comprimento 2

D dA

=

Paralelogramo

quadrilátero com os

lados opostos paralelos

entre si

A = b x h

Triângulo

figura geométrica

com 3 lados

2

b hA

=

L

L

L L

B

b

h

L L

L L

D

d

a c

b

h


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Círculo

todos os pontos se

encontram à mesma

distância (raio) do centro.

Perímetro (comprimento)

é 2P r=

2A r=

ou

2

4

DA =

(pois D = 2r)

- Principais figuras espaciais:

Figura Volume Comentários

Paralelepípedo

V = Ab x H

ou

V = C x L x H

Todos os ângulos são retos.

A área superficial é a soma

da área dos 6 retângulos das faces

Cubo

V = A3

Paralelepípedo onde todas

as arestas têm a mesma medida

Cilindro

V Ab H=

= 2V R H

área total é a soma da área

da base (que deve ser contada

duas vezes) e a área lateral (que é

um retângulo).

r


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2lateralA HxC Hx R= =

Cone

3

Ab HV

=

Lembrar que:

G2 = R2 + H2

A área lateral é um setor

circular de raio G e comprimento

2C R= . Assim,

Alateral = xGxR

Pirâmide

3

Ab HV

=

- chamamos de apótema a

altura de cada uma das faces

laterais, que são triângulos.

Prisma V = Ab x H - as faces laterais de ambos

são retângulos


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Esfera

V = 4 R3/3 Área superficial é:

A = 4 R2

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