aula 13 - principais distribuições de probabilidade

Raciocnio Lgico, Estatstica,

Matemtica e Matemtica Financeira p/

AFRFB e AFT

Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 1

AULA 13: Principais distribuies de

probabilidade

1. DISTRIBUIO UNIFORME DISCRETA ............................................................................................. 2

2. DISTRIBUIO DE BERNOULLI ........................................................................................................ 3

3. DISTRIBUIO BINOMIAL ............................................................................................................... 7

3.1. Introduo ............................................................................................................................................. 7

3.2. Frmula da probabilidade para a varivel binomial ............................................................................ 9

3.3. Mdia e varincia da distribuio binomial ....................................................................................... 16

3.4. Distribuio binomial e propores ................................................................................................... 20 4. DISTRIBUIO DE POISSON .......................................................................................................... 25

5. DISTRIBUIO UNIFORME CONTNUA ......................................................................................... 38

6. DISTRIBUIO NORMAL ............................................................................................................... 41

6.1. Utilizao das tabelas. ........................................................................................................................ 45

6.2. Aproximao da distribuio binomial pela distribuio normal ...................................................... 68 7. AMOSTRAGEM ............................................................................................................................. 73

7.1. Amostragem aleatria simples ............................................................................................................ 73

7.2. Amostragem estratificada ................................................................................................................... 73 7.3. Amostragem por conglomerados ........................................................................................................ 74

7.4. Amostragem sistemtica ...................................................................................................................... 75

7.5. Amostragem por julgamento ............................................................................................................... 75 8. RESUMO ..................................................................................................................................... 83

9. QUESTES APRESENTADAS EM AULA .......................................................................................... 84

10. GABARITO .............................................................................................................................. 100

11. TABELA DA DISTRIBUIO NORMAL ...................................................................................... 102



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1. DISTRIBUIO UNIFORME DISCRETA

A distribuio uniforme discreta o tipo mais simples de varivel aleatria. a varivel em que todos os valores tm a mesma probabilidade de ocorrer.

Um exemplo bem simples, e que j temos trabalhado, o caso do lanamento do dado de seis faces. A varivel que designa o resultado do lanamento discreta (podem ocorrer apenas os valores 1, 2, 3, 4, 5 e 6). Alm disso, se o dado for honesto, todos os resultados so equiprovveis.

Dizemos que a varivel em questo discreta e uniforme.

Seja X a varivel discreta uniforme que pode assumir n resultados diferentes ( 1x , 2x , 3x , ...,

nx ). A esperana de X fica:

= 1

A esperana simplesmente a mdia aritmtica de todos os valores que podem ocorrer.

Questo 1 TJ RO 2008 [CESGRANRIO]

Uma urna contm dez bolas, cada uma gravada com um nmero diferente, de 1 a 10. Uma bola retirada da urna aleatoriamente e X o nmero marcado nesta bola. X uma varivel aleatria cujo(a)

(A) desvio padro 10.

(B) primeiro quartil 0,25.

(C) mdia 5.

(D) distribuio de probabilidades uniforme.

(E) distribuio de probabilidades assimtrica.

Resoluo.

Neste exerccio, a varivel X discreta (assume apenas os valores inteiros de 1 a 10).

Alm disso, ela uniforme, pois todas as possveis realizaes tm probabilidade de 10% (ou seja, as probabilidades so todas iguais entre si).

A questo no pediu, mas podemos calcular a sua esperana. A esperana simplesmente a mdia aritmtica dos valores que X pode assumir.

= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 1010

= 5,5

Gabarito: D



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2. DISTRIBUIO DE BERNOULLI

So de grande importncia alguns tipos de experimento em que a varivel de interesse pode assumir apenas dois valores. Podemos falar em sucessos e fracassos. Um exemplo o lanamento de uma moeda. Temos dois resultados possveis (cara e coroa). Podemos considerar que cara sucesso e coroa fracasso.

Em casos assim, comum atribuirmos ao sucesso o valor 1 e ao fracasso o valor zero.

Seja X a varivel aleatria que assume o valor 1 quando o resultado do lanamento da moeda cara e que assume o valor 0 quando o resultado do lanamento coroa. A varivel aleatria X assume apenas os valores 0 e 1. uma varivel de Bernoulli.

Alm disso, X tambm uma varivel discreta (pois assume apenas alguns valores, quais sejam, 0 e 1).

Caso a moeda seja honesta, ento a probabilidade de sucesso igual probabilidade de fracasso (e ambas valem 50%). Teramos uma distribuio uniforme.

Neste caso, X seria discreta, uniforme e, alm disso, teria distribuio de Bernoulli.

Mudemos de exemplo. Considere o lanamento de um dado de seis faces. Se sair um mltiplo de 3, consideramos sucesso. Se no sair um mltiplo de 3, consideramos fracasso.

Vamos criar uma varivel aleatria I. A nossa varivel aleatria I vai se comportar da seguinte forma. Se o resultado do lanamento do dado for 1, 2, 4, 5, teremos fracasso. Ento I assume valor zero.

Se o resultado do lanamento do dado for 3 ou 6, teremos sucesso. Ento I assume valor 1.

Dizemos que I uma varivel de Bernoulli. Ela tem a seguinte distribuio de probabilidade:

I P

0 2/3

1 1/3

A probabilidade de I assumir o valor zero 2/3. E a probabilidade de I assumir o valor 1 1/3.

TOME NOTA!!!

Distribuio de Bernoulli

Assume apenas os valores 0 e 1.

A grande importncia da varivel de Bernoulli, em termos de concursos, que ela serve pra gente estudar outra varivel: a Binomial.

Genericamente, indicamos por p a probabilidade sucesso e q a probabilidade de fracasso. Com isso, a distribuio da varivel I seria:



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I Probabilidade

0 q

1 p

E sua esperana seria:

= 0 + 1 = Por sua vez, a esperana de I2 igual a:

= 0 + 1 = Disto resulta que a varincia de I igual a:

= = Colocando p em evidncia:

= 1 = TOME NOTA!!!

Mdia e varincia da varivel com distribuio de Bernoulli

=

=

Exemplo 1

Considere a distribuio de probabilidades para a varivel Y:

Y Probabilidade

1 0,5

2 0,2

3 0,3

a) a varivel Y discreta ou contnua?

b) a varivel Y uniforme? Por qu?

c) a varivel Y tem distribuio de Bernoulli? Por qu?

d) calcule a esperana e a varincia de Y.

Resoluo:

Foi dada a seguinte distribuio de probabilidade.

Y Probabilidade

1 0,5

2 0,2

3 0,3

A varivel Y discreta. Ela no pode assumir qualquer valor em um dado intervalo real.



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A varivel Y no pode ser classificada como uniforme. Na varivel discreta uniforme, as probabilidades de ocorrncia de cada valor so todas iguais entre si. No o caso desta questo. A probabilidade de Y ser igual a 1 maior que a probabilidade de Y ser igual a 2.

A varivel Y tambm no pode ser classificada como de Bernoulli. A varivel Y no assume apenas os valores zero e 1. Portanto, no tem distribuio de Bernoulli.

Vamos agora calcular a esperana de Y. Como fazemos para qualquer varivel discreta, consideramos que a probabilidade anloga freqncia relativa simples.

= )()( ii yPyYE 8,19,04,05,03,032,025,01)( =++=++=YE

Finalmente, vamos calcular a varincia de Y.

47,28,05,03,032,025,01)( 2222 =++=++=YE Logo:

22 )()( YYEYV = 76,08,14)( 2 ==YV

Exemplo 2

Considere a distribuio de probabilidades para a varivel Z:

Z Probabilidade

1,24 0,25

2 0,25 6,55 0,25

100 0,25

a) a varivel Z discreta ou contnua?

b) a varivel Z uniforme? Por qu?

c) a varivel Z tem distribuio de Bernoulli? Por qu?

Resoluo:

Foi dada a seguinte distribuio:

Z Probabilidade

1,24 0,25

2 0,25 6,55 0,25

100 0,25

A varivel Z assume apenas alguns valores (so apenas 4). Ela uma varivel discreta. Muita gente confunde isso. O fato de uma varivel aleatria assumir valores no inteiros (como



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1,24 ou como raiz de 2) no significa que ela seja contnua. Se a varivel Z fosse contnua ela poderia assumir qualquer valor real contido num dado intervalo.

Note que as probabilidades de todos os valores so iguais entre si (todas valem 0,25). A varivel Z , portanto, uniforme.

Por outro lado, como ela no assume apenas os valores 0 e 1, ela no pode ser classificada como de Bernoulli.

Exemplo 3

Considere a distribuio de probabilidades para a varivel K:

K Probabilidade

0 0,5

1 0,5

a) a varivel K discreta ou contnua?

b) a varivel K uniforme? Por qu?

c) a varivel K tem distribuio de Bernoulli? Por qu?

Resoluo:

Foi dada a seguinte distribuio de probabilidade:

K Probabilidade

0 0,5

1 0,5

A varivel K assume apenas alguns valores. Ela discreta.

Alm disso, as probabilidades so todas iguais entre si (valem 0,5 cada uma). Podemos classificar a varivel K como uniforme.

Por fim, a varivel K assume apenas os valores 0 e 1. Isso faz com que ela, alm de ser discreta uniforme, tenha distribuio de Bernoulli.

Exemplo 4

Considere a distribuio de probabilidades para a varivel T:

T Probabilidade

0 0,75

1 0,25

a) a varivel T discreta ou contnua?

b) a varivel T uniforme? Por qu?



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c) a varivel T tem distribuio de Bernoulli? Por qu?

Resoluo:

T Probabilidade

0 0,75

1 0,25

A varivel T discreta. Contudo, no uniforme, pois as probabilidades no so iguais entre si (a probabilidade de T ser igual a zero maior que a probabilidade de T ser igual a 1).

De modo diverso, T pode ser classificada como de Bernoulli, pois assume apenas os valores 0 e 1.

Questo 2 GDF SEJUS 2010 [UNIVERSA]

Para uma determinada moeda viciada, a probabilidade de se obter um resultado cara igual a 30%. Seja, ento, a varivel aleatria X que assume apenas os valores 0 e 1, sendo 0 para resultado coroa e 1 para resultado cara. Assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, o valor mdio e a varincia de X.

(A) 0,21 e 0,3

(B) 0,7 e 0,21

(C) 0,21 e 0,7

(D) 0,3 e 0,21

(E) 0,3 e 0,7

Resoluo.

A probabilidade de sucesso 30% e a de fracasso 70% ( = 0,3; = 0,7). Logo:

= = 0,30

= = 0,3 0,7 = 0,21

Gabarito: D

3. DISTRIBUIO BINOMIAL

3.1. Introduo

A distribuio binomial aplicvel quando temos vrios experimentos independentes e, a cada um deles, associamos apenas dois resultados. Podemos pensar em resultados favorveis e resultados desfavorveis. Ou em sucessos e fracassos.



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Por exemplo: vamos lanar um dado. Vamos considerar um resultado favorvel (sucesso) se sair um mltiplo de 3. Vamos considerar um resultado desfavorvel (fracasso) se no sair um mltiplo de 3. Seja I a varivel que, em caso de sucesso, assume o valor 1. E, em caso de fracasso, assume o valor zero.

A cada lanamento, a probabilidade de ocorrer um evento favorvel de 1/3 (ou seja, a probabilidade de I = 1 de 1/3). E a probabilidade de ocorrer um evento desfavorvel 2/3 (a probabilidade de I = 0 2/3). Como j vimos, I uma varivel de Bernoulli.

Segue a distribuio de probabilidades da varivel I:

I Probabilidade

0 2/3

1 1/3

Muito bem, s que no vamos lanar o dado uma nica vez. Vamos lanar o dado trs vezes. A varivel aleatria X vai representar o nmero de sucessos em trs lanamentos.

Um possvel resultado dos trs lanamentos seria: 2, 4, 3.

Vamos ver como se comporta a varivel I em cada um destes lanamentos.

1 lanamento: 2 I = 0 (tivemos um fracasso, pois no saiu um mltiplo de 3)

2 lanamento: 4 I = 0 (tivemos outro fracasso, pois no saiu um mltiplo de 3)

3 lanamento: 3 I = 1 (tivemos um sucesso, pois saiu um mltiplo de 3).

Nesse caso, em trs lanamentos, o nmero de casos favorveis foi de 1 (X = 1).

Se somarmos todos os valores que I assume, temos exatamente 1.

Ou seja, X igual soma de todos os valores de I.

Vamos mudar um pouco o exemplo.

Suponhamos agora que os resultados dos trs lanamentos foram: 3, 1, 6. Vamos ver como se comporta a varivel I em cada lanamento:

1 lanamento: 3 I = 1



Nesse outro caso, em trs lanamentos, o nmero de casos favorveis foi de 2 (X = 2). Se somarmos todos os valores que I assume, temos exatamente 2. Novamente, X igual soma de todos os valores de I.

Esta varivel X dita binomial. Ela representa o nmero de casos favorveis em um conjunto de experimentos que s admitem dois resultados possveis (sucesso ou fracasso). Ela a soma de vrias variveis de Bernoulli, todas independentes entre si.



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TOME NOTA!!!

Varivel binomial

Corresponde soma de vrias variveis de Bernoulli, independentes entre si. Tem relao com o nmero de resultados favorveis em n experimentos

3.2. Frmula da probabilidade para a varivel binomial

O que voc precisa saber

Para calcular a probabilidade de a varivel aleatria X, com distribuio binomial, assumir um determinado valor k, basta aplicar a seguinte frmula:

= = Nesta frmula, temos:

n a quantidade de experimentos

p a probabilidade de sucesso em cada experimento

q a probabilidade de fracasso em cada experimento

k representa a quantidade de sucessos para a qual estamos querendo calcular a probabilidade

Exemplo:

Qual a probabilidade de, lanando uma moeda trs vezes, obtermos duas caras?

Neste caso, so trs lanamentos, ou trs experimentos (n = 3).

Em cada experimento, a probabilidade de sucesso (ou ainda: a probabilidade de obter cara) de 0,5 (p = 0,5). A probabilidade de fracasso 0,5 (q = 0,5).

Queremos calcular a probabilidade de ocorrerem duas caras (k = 2).

Ficamos com:

= 2 = 32 0,5 0,5 = 3 0,5 = 3

8= 37,5%

Detalhando um pouco mais

Vamos retomar o exemplo do lanamento do dado.

Lanamos o dado trs vezes. A cada lanamento, consideramos sucesso se o resultado for mltiplo de 3.

No nosso exemplo, a varivel binomial X s pode assumir quatro valores (0, 1, 2 e 3). So trs lanamentos do dado. Ou no temos nenhum sucesso. Ou apenas 1. Ou 2. Ou ento, em trs lanamentos, temos trs sucessos (mltiplos de 3 em todos os lanamentos).



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Vamos calcular a probabilidade de X assumir cada um desses valores.

Para X ser igual a zero, precisamos que, nos trs lanamentos, tenhamos nmeros que no so mltiplos de 3.

Queremos que ocorram, simultaneamente, os trs eventos:

Fracasso no primeiro lanamento

Fracasso no segundo lanamento

Fracasso no terceiro lanamento

Observe que o resultado de um lanamento no tem qualquer influncia no resultado dos demais lanamentos. So trs eventos independentes. Todos eles tm probabilidade de 2/3 de ocorrer. Nesse caso, a probabilidade da interseco dos eventos igual ao produto das probabilidades.

32

32

32)0( ==XP

3

32)0(

==XP

Para X ser igual a 1, precisamos ter exatamente 1 lanamento com sucesso. Temos as seguintes hipteses:

Sucesso no primeiro lanamento, fracasso no segundo lanamento, fracasso no terceiro lanamento;

Fracasso no primeiro lanamento, sucesso no segundo lanamento, fracasso no terceiro lanamento;

Fracasso no primeiro lanamento, fracasso no segundo lanamento, sucesso no terceiro lanamento.

Vamos ver a probabilidade para o primeiro caso. Temos:

Sucesso no primeiro lanamento

Fracasso no segundo lanamento

Fracasso no terceiro lanamento

So trs eventos independentes. O primeiro tem probabilidade 1/3. Os demais tm probabilidade de 2/3 de ocorrer. A probabilidade da interseco fica:

32

32

31

Para os demais casos, a conta exatamente a mesma. Ou seja, a probabilidade de X ser igual a 1 fica:

==

32

32

313)1(XP



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Para X ser igual a 2, precisamos de dois sucessos e um fracasso. Temos as seguintes hipteses:

Sucesso no primeiro lanamento, sucesso no segundo lanamento, fracasso no terceiro lanamento;

Fracasso no primeiro lanamento, sucesso no segundo lanamento, sucesso no terceiro lanamento;

Sucesso no primeiro lanamento, fracasso no segundo lanamento, sucesso no terceiro lanamento.

Vejamos a probabilidade da primeira hiptese. So trs eventos independentes. A probabilidade de sucesso 1/3. A de fracasso 2/3. Ficamos com:

32

31

31

Para as demais hipteses, as contas so anlogas. A probabilidade de X ser igual a 2 fica:

==

32

31

313)2(XP

==

32

313)2(

2

XP

Finalmente, para X ser igual a 3, precisamos de sucessos nos trs lanamentos. Ficamos com:

==

31

31

31)3(XP

Pronto. Calculamos as probabilidades de X assumir cada um dos valores possveis.

Seja n o nmero de experimentos. Seja p a probabilidade de sucesso em cada experimento. Seja q a probabilidade de fracasso.

Nesse nosso exemplo, lanamos o dado 3 vezes (n = 3). E a probabilidade de sucesso em cada lanamento era de 1/3 (p = 1/3). A probabilidade de fracasso em cada experimento era de 2/3 (q = 2/3).

Para no precisarmos ficar fazendo todas essas contas que fizemos acima para cada problema diferente, existe uma frmula que indica a probabilidade da varivel binomial assumir um dado valor.

a que segue:

knk qpkn

kXP

== )(

No custa relembrar o significado do smbolo de combinao:

!)!(!

kknn

kn

=



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Vamos ver a aplicao da frmula ao nosso exemplo do dado. Lanamos o dado trs vezes (3=n ). Consideramos sucesso se der mltiplo de 3. Assim, a probabilidade de sucesso 1/3

( 3/1=p ) e a probabilidade de fracasso 2/3 ( 3/2=q ). Vamos calcular, a ttulo de exemplo, a probabilidade de X ser igual a 2 ( 2=k ).

knk qpkn

kXP

== )(

232

32

31

23)2(

==XP

12232

32

313

32

31

!2!1!3)2(

=

==

XP

Que o mesmo resultado que tnhamos achado antes, sem a frmula.

TOME NOTA!!!

Varivel binomial

Seja X nossa varivel binomial. Ela representa o nmero de sucessos em n experimentos (onde cada experimento pode resultar em sucesso ou em fracasso).

A frmula da varivel binomial a que segue. A probabilidade de termos k sucessos em n experimentos :

knk qpkn

kXP

== )(

Vamos praticar um pouco.

Questo 3 SEFAZ RJ 2007 [FGV]

Um candidato se submete a uma prova contendo trs questes de mltipla escolha precisando acertar pelo menos duas para ser aprovado. Cada questo apresenta cinco alternativas, mas apenas uma correta. Se o candidato no se preparou e decide responder a cada questo ao acaso, a probabilidade de ser aprovado no concurso igual a:

(A) 0,104.

(B) 0,040.

(C) 0,096.

(D) 0,008.

(E) 0,200



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Resoluo.

Quando analisamos uma nica questo, podemos ter sucesso (acerta a questo) ou fracasso (erra a questo). A probabilidade de sucesso de 20% e a de fracasso 80%.

2,0=p ; 8,0=q

Assim, quando analisamos uma nica questo, temos uma distribuio de Bernoulli.

A quantidade de sucessos em trs experimentos corresponde, portanto, soma de trs variveis de Bernoulli. Temos uma distribuio binomial.

A probabilidade de 2 acertos em trs :

knk qpkn

kXP

== )(

=

==

12 8,02,023)2(XP 0,096

A probabilidade de 3 acertos :

=

==

03 8,02,033)3(XP 0,008

A probabilidade de ser aprovado :

104,0008,0096,0)3()2( =+==+= XPXP Gabarito: A

Questo 4 CGU 2008 [ESAF]

Seja X a soma de n variveis aleatrias independentes de Bernoulli, isto , que assumem apenas os valores 1 e 0 com probabilidades p e p1 , respectivamente. Assim, a distribuio de X :

a) binomial com parmetros n e p

b) gama com parmetros n e p

c) qui quadrado com n graus de liberdade

d) laplace

e) t de student com n-1 graus de liberdade

Resoluo:

Cobrana direta do resumo estudado nesta aula.

Gabarito: A.



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Questo 5 PETROBRAS 2008/2 [CESGRANRIO]

Um estudante marca, ao acaso, as respostas de um teste de 10 questes de mltipla escolha, com 4 alternativas por questo. O nmero mais provvel de acertos

(A) 1,5

(B) 2,0

(C) 2,5

(D) 3,0

(E) 3,5

Resoluo.

A probabilidade de acerto de cada questo de 25% (so 4 alternativas e apenas uma correta). O nmero de acertos uma varivel aleatria binomial, onde n = 10 e p = 0,25.

As alternativas a, c e e trazem valores impossveis de serem obtidos. No possvel termos 1,5 acertos. Ou 2,5 acertos. Ou 3,5 acertos. Estes valores tm probabilidade zero.

Ficamos, portanto, entre as alternativas b e d.

Vamos calcular a probabilidade de 2 acertos.

knk qpkn

kXP

== )(

82 75,025,0210)2(

==XP

82 75,025,045)2( ==XP Vamos agora calcular a probabilidade de 3 acertos.

knk qpkn

kXP

== )(

73 75,025,0310)3(

==XP

73 75,025,0120)3( ==XP Dividindo as duas probabilidades:

73

82

75,025,012075,025,045

)3()2(

=

=

=

XPXP

1120130

120345

25,012075,045

)3()2(

>=

=

=

=

=

XPXP

Conclumos que )3()2( =>= XPXP . Gabarito: B



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Questo 6 AFRFB 2009 [ESAF]

Em um experimento binomial com trs provas, a probabilidade de ocorrerem dois sucessos doze vezes a probabilidade de ocorrerem trs sucessos. Desse modo, as probabilidades de sucesso e fracasso so, em percentuais, respectivamente, iguais a:

a) 80 % e 20 %

b) 30 % e 70 %

c) 60 % e 40 %

d) 20 % e 80 %

e) 25 % e 75 %

Resoluo.

So 3 experimentos ( 3=n ). A probabilidade de 2 sucessos dada por:

12

23)2( qpXP

==

= qp 23

A probabilidade de trs sucessos :

03

33)3( qpXP

==

= 3p

O exerccio disse que a primeira probabilidade 12 vezes a segunda.

32 123 pqp =

pq = 4 (equao I)

A probabilidade de sucesso somada com a probabilidade de fracasso igual a 100%.

1=+ qp (equao II)

Substituindo I em II:

14 =+ pp

2,0=p

Logo:

8,0=q

Gabarito: D



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Questo 7 SUSEP 2010 [ESAF]

Um estudo indica que, nas comunidades que vivem em clima muito frio e com uma dieta de baixa ingesto de gordura animal, a probabilidade de os casais terem filhos do sexo masculino igual a 1/4. Desse modo, a probabilidade de um casal ter dois meninos e trs meninas igual a:

a) 37/64

b) 45/216

c) 1/64

d) 45/512

e) 9/16

Resoluo

Podemos pensar que, a cada parto, temos um experimento. Teremos sucesso se nascer menino. E queremos calcular a probabilidade de exatamente 2 sucessos em 5 experimentos (ou seja, 2 meninos em 5 partos).

Ficamos com:

knk qpkn

kXP

== )(

=

==

32

43

41

25)2(XP

512135

10242710 =

No h alternativa correta. A questo foi anulada.

Gabarito: Anulado

3.3. Mdia e varincia da distribuio binomial

O que voc precisa saber

Se X tem distribuio binomial, sua mdia e sua varincia ficam:

= =

Detalhando um pouco mais

Vamos continuar com o lanamento do dado. O resultado considerado favorvel se sair um mltiplo de 3. desfavorvel se no sair um mltiplo de 3. Vamos lanar o dado 3 vezes. Nossa varivel aleatria X vai representar o nmero de casos favorveis nesses lanamentos. , portanto, uma varivel binomial.



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Vamos calcular a probabilidade de X assumir cada valor. J at fizemos essa conta quando comeamos a estudar a varivel binomial. Mas ok, vamos l de novo.

Para X assumir valor zero, precisamos que os trs lanamentos sejam desfavorveis.

n = 3

k = 0

p = 1/3

q = 2/3

030

32

31

03)0(

==XP

278

32

31

!0!3!3)0(

030

=

==

XP

Para X assumir valor 1, precisamos que exatamente um dos trs lanamentos resulte em mltiplo de 3.

n = 3

k = 1

p = 1/3

q = 2/3

2712

32

313

32

31

!1!2!3)1(

21131

=

=

==

XP

Para X assumir o valor 2, precisamos que exatamente dois dos trs lanamentos resultem em mltiplo de 3.

n = 3

k = 2

p = 1/3

q = 2/3

276

32

313

32

31

!2!1!3)2(

12232

=

=

==

XP

Por fim, para X assumir o valor 3, precisamos que todos os lanamentos resultem em mltiplo de 3.

n = 3

k = 3

p = 1/3

q = 2/3



AFRFB e AFT


271

32

311

32

31

!3!0!3)3(

03333

=

=

==

XP

Queremos calcular a mdia desta varivel aleatria.

Para calcular a mdia de qualquer varivel discreta, consideramos que as probabilidades so anlogas s frequncias relativas.

X P PX 0 8/27 0

1 12/27 12/27

2 6/27 12/27

3 1/27 3/27

Total 1 1

E a mdia da nossa varivel X fica:

111

==

Vamos agora calcular a sua varincia.

X 2X P PX 2 0 0 8/27 0

1 1 12/27 12/27

2 4 6/27 24/27

3 9 1/27 9/27

Total 1 45/27

= 4527

E a varincia de X seria:

=

= 4527

1 =18

27=

2

3

S que todo esse passo a passo d muito trabalho.

Quando X for uma varivel aleatria binomial, um jeito mais rpido de calcular a sua mdia e sua varincia :

np=

npq=2

Para calcular a mdia, basta multiplicar o nmero de experimentos (no nosso caso, lanamos o dado trs vezes, n = 3) pela probabilidade de sucesso em 1 experimento (neste caso, em um lanamento, a probabilidade de sair um mltiplo de 3 1/3).

Logo:

np=



AFRFB e AFT


1313 ==

E para varincia fazemos a mesma coisa. S que, alm dos passos acima, multiplicamos pela probabilidade de fracasso em um experimento (neste caso, em um lanamento, a probabilidade de sair um nmero que no seja mltiplo de 3 2/3).

npq=2

32

32

3132 ==

TOME NOTA!!!

Mdia e varincia da varivel binomial

=

=

Estas expresses para a mdia e a varincia da distribuio binomial podem ser facilmente obtidas com a utilizao das propriedades da esperana.

A varivel binomial X corresponde soma de n variveis de Bernoulli, designadas por I.

=

=

n

iiIX

1

Cada varivel I tem mdia p e varincia pq.

A esperana de X, portanto, equivale esperana da soma de n variveis I. Vimos que a esperana da soma igual soma das esperanas.

=)(XE npIEn

ii =

=1

Quando temos variveis independentes, a varincia da soma igual soma das varincias. Portanto:

npqIVn

ii =

=1

Questo 8 GDF SEJUS 2010 [UNIVERSA]

Em certo plano amostral, em uma populao de 100 elementos, optou-se pelo seguinte critrio: joga-se uma moeda (honesta) e, se der cara, o elemento entra na amostra; se der coroa, ele no entra na amostra. Qual o tamanho esperado dessa amostra?

(A) 10

(B) 20

(C) 30



AFRFB e AFT


(D) 40

(E) 50

Resoluo.

Seja X a quantidade de elementos selecionados. X uma varivel binomial com n = 100 e p = 0,5.

A mdia de X fica:

= = 100 0,5 = 50 Gabarito: E

3.4. Distribuio binomial e propores

A distribuio binomial muito aplicada quando estamos interessados em propores de uma dada populao.

Considere uma cidade com 100.000 habitantes em que 2/5 so favorveis a uma dada poltica urbana. Ou ainda: a proporo de habitantes favorveis poltica urbana de 40%. Vamos entrevistar cinco pessoas ao acaso. A nossa varivel aleatria X vai designar o nmero de pessoas entrevistadas que so favorveis poltica urbana.

Primeiramente, vamos supor que nosso processo ocorre com reposio.

Como assim? O que significa processo com reposio?

Listamos todas as pessoas. Sorteamos uma. Entrevistamos tal pessoa. Depois disso, o nome dela volta para a lista, podendo ser sorteada novamente.

A nossa varivel X pode assumir os valores 0, 1, 2, 3, 4, 5. um caso anlogo ao lanamento do dado. So cinco experimentos independentes e, em cada um deles, a probabilidade de ocorrer o resultado favorvel de 2/5. Como X designa o nmero de pessoas favorveis poltica (= nmero de sucessos), X uma varivel binomial.

Assim, temos:

n = 5 (nmero de experimentos)

p = 2/5 (probabilidade de resultado favorvel em um experimento o mesmo valor da proporo de pessoas favorveis poltica)

q = 3/5 (probabilidade de resultado desfavorvel em um experimento)

A probabilidade de X assumir cada um dos valores possveis dada abaixo:



AFRFB e AFT


X P

0 0,07776

1 0,2592

2 0,3456

3 0,2304

4 0,0768

5 0,01024

Todos os valores acima foram calculados com a frmula da varivel binomial dada abaixo.

knk qpkn

kXP

== )(

por isso que a proporo est relacionada com a varivel binomial. Ela tem relao com a probabilidade de sucesso e fracasso (valores de p e q).

Vamos agora mudar um pouco o exemplo.

Poderamos fazer a entrevista de um modo um pouco diferente. Podemos fazer um experimento sem reposio, o que at mais comum. No queremos entrevistar a mesma pessoa duas vezes. Uma vez que um nome sorteado, ele no volta para lista, de modo que uma pessoa jamais poderia ser sorteada mais de uma vez.

Neste caso, no temos mais uma varivel binomial. Continuamos tendo cinco experimentos. S que eles no so mais independentes entre si (e, para termos varivel binomial, os n eventos tm que ser independentes). A probabilidade de, no segundo experimento, ser entrevistada uma pessoa favorvel poltica urbana depende do resultado do primeiro experimento.

So 100.000 habitantes. 40.000 so favorveis referida poltica. 60.000 so contrrios.

Suponhamos que a primeira pessoa entrevistada foi favorvel poltica. Entrevistada a primeira pessoa, a situao a seguinte:

temos agora 99.999 pessoas

restaram 39.999 favorveis poltica

A probabilidade de a segunda pessoa tambm ser favorvel : 39.999/99.999. Este nmero diferente de 2/5.

De outro modo, se a primeira pessoa foi contrria referida poltica, temos:

99.999 pessoas ainda restam com chances de serem entrevistadas

todas as 40.000 favorveis poltica ainda podem ser entrevistadas

A probabilidade da segunda pessoa ser favorvel : 40.000/99.999, que tambm diferente de 2/5.

Notem que a probabilidade de sucesso e fracasso no segundo experimento (na segunda entrevista) depende do resultado do experimento anterior. Ou seja, os experimentos no so independentes. Concluso: no temos uma varivel binomial.



AFRFB e AFT


Mesmo nossa varivel no sendo exatamente binomial, obedecidas algumas condies, podemos consider-la aproximadamente binomial.

exatamente o caso acima. Para ficar mais claro, vamos para uma situao extrema. Suponha que as quatro primeiras pessoas entrevistadas foram favorveis poltica. Qual a probabilidade da quinta pessoa tambm ser?

restam 99.996 pessoas

destas, 39.996 so favorveis poltica urbana

Portanto, a probabilidade procurada : 39.996/99.996 = 0,399976. Este nmero muito prximo de 2/5 (=0,4).

A proximidade tanta que podemos considerar que esta distribuio praticamente binomial. Ou seja, mesmo que no haja reposio, podemos considerar que, a cada novo entrevistado, a probabilidade de a pessoa ser favorvel poltica urbana de 2/5. Isto porque, mesmo na situao extrema acima, o valor obtido ainda foi muito prximo de 2/5. Utilizaremos esta propriedade nas prximas aulas.

Ento, resumindo, temos que:

a varivel binomial til para estudarmos propores

as probabilidades de sucesso e fracasso tm relao com a proporo de ocorrncia de um dado fenmeno/resultado/valor/etc.

Questo 9 TRT 2 REGIO 2008 [FCC]

Em uma grande cidade, a probabilidade de uma pessoa responder corretamente a uma questo formulada por um entrevistador igual a 40%. Selecionando ao acaso trs pessoas sem reposio e fazendo a pergunta para cada uma independentemente, a probabilidade de pelo menos uma acertar a resposta igual a

(A) 78,4%

(B) 60,0%

(C) 54,6%

(D) 48,0%

(E) 44,8%

Resoluo:

Vamos designar por I varivel aleatria que assume o valor 1 quando a pessoa selecionada responde corretamente e 0 quando responde incorretamente. I uma varivel de Bernoulli.

Seja X a soma dos valores de I, para as trs pessoas escolhidas.

Como estudamos acima, X uma varivel binomial.



AFRFB e AFT


Certo???

Errado!!!

Para que X seja binomial, as variveis I1, I2 e I3, correspondentes primeira, segunda e terceira pessoas escolhidas, devem ser independentes.

Suponha que a cidade em questo seja minscula. So apenas 100 habitantes. 40 delas sabem responder pergunta (e acertam). As outras 60 no sabem responder e erram.

Para a primeira pessoa escolhida, a probabilidade de acerto de 40% (40 pessoas sabem responder, em 100 possveis).

Como a escolha sem reposio, para a segunda pessoa, a probabilidade de acerto no mais de 40%. Se a primeira pessoa acertou, ento sobraram 39 pessoas que sabem responder, em 99 possveis. A probabilidade de acerto passou para 39/99.

Caso contrrio, se a primeira pessoa errou, ento a probabilidade de a segunda pessoa acertar de 40/99.

Ou seja, as variveis I1, I2 e I3 so dependentes. Quando isso ocorre, X no mais binomial.

Para contornarmos este problema, a questo disse para considerarmos que a populao grande.

Ou seja, a cidade no tem apenas 100 habitantes, como vimos acima. A cidade teria, por exemplo, 1.000.000 (um milho) de habitantes.

Neste caso, mesmo que a escolha seja sem reposio, podemos considerar que X aproximadamente binomial. E a aproximao realmente muito boa.

Isso ocorre porque o tamanho da amostra pequeno em relao ao tamanho da populao. Assim, diminuir uma pessoa em um total de 1.000.000 faz pouca diferena.

Sabendo disso, podemos aproximar, considerando que I1, I2 e I3 so independentes. Todas elas apresentam probabilidade de sucesso de 40% ( = 0,4) e, consequentemente, probabilidade de fracasso de 60% ( = 0,6). Pede-se a probabilidade de pelo menos uma pessoa acertar a resposta.

1 =? Observem a expresso pelo menos uma. Sempre que temos esta expresso, trabalhamos com o evento complementar.

Vamos calcular a probabilidade do evento complementar:

= =



AFRFB e AFT


= 0 = 30 0,4 0,6 = 0,6 = 0,216

Logo:

1 = 1 = 0 = 1 0,216 = 0,784 Gabarito: A

Questo 10 SAD PE 2009 [CESPE]

A figura acima apresenta a distribuio percentual da populao de crianas e jovens entre cinco a dezenove anos de idade que nunca procurou um dentista, por renda domiciliar per capita no Brasil em 1998. As diferenas entre os diversos grupos de renda per capita acentuada. Aproximadamente 25% da populao brasileira com idade entre cinco e dezenove anos nunca procuraram um dentista. Entretanto, este valor sofre oscilaes segundo a renda variando de 50,7% naqueles domiclios com renda de at R$ 37,75 a 1,5% naqueles domiclios com renda per capita entre R$ 1.813,00 e R$ 40.500,00.

A. Nunes et al. Medindo as desigualdades em sade no Brasil, OPAS/OMS, 2001 (com

adaptaes)

Considerando que uma amostra aleatria simples de cinco mil indivduos fosse retirada da populao de crianas e jovens entre cinco e dezenove anos de idade no Brasil em 1998, se X representa o nmero de indivduos nessa amostra que nunca procurou um dentista, ento a varincia de X

A) inferior a 400.

B) superior a 400 e inferior a 600.



AFRFB e AFT


C) superior a 600 e inferior a 800.

D) superior a 800 e inferior a 1.000.

E) superior a 1.000.

Resoluo

25,2% da populao brasileira com idade entre cinco e dezenove anos nunca procuraram um dentista. Isto significa que, para cada pessoa entrevistada, h 25,2% de chance de o indivduo nunca ter procurado um dentista. Consequentemente, h 74,8% de chance de a pessoa j ter procurado um dentista.

Como estamos interessados nos casos em que a pessoa no procura o dentista, temos:

p = 25,2% ; q = 74,8%

A amostra tem tamanho 5.000.

n = 5.000

A varincia fica:

48,942748,0252,0000.5)( === npqXVar Gabarito: D

4. DISTRIBUIO DE POISSON

Vimos que a distribuio binomial til para calcularmos a probabilidade de, em n experimentos, termos k casos favorveis. A frmula estudada foi:

knk qpkn

kXP

== )(

Pois bem. possvel demonstrar que, quando n grande e p pequeno, a frmula

knk qpkn

kXP

== )( pode ser aproximada por:

= = ()

!

O smbolo e representa um nmero real, que vale aproximadamente 2,7.

Segundo Bussab e Morettin, no livro Estatstica Bsica, a aproximao boa se 7np .

Muitos tipos de variveis so bem descritas por meio da distribuio de probabilidades dada por

= = ()

!

Essa a distribuio de Poisson. comum substituir o produto np pela letra (lmbda).



AFRFB e AFT


Como a esperana da varivel binomial dada por np , dizemos que corresponde ao nmero esperado de ocorrncias.

A distribuio de Poisson descreve muito bem o nmero de ocorrncias ao longo do tempo (ou ao longo de uma superfcie). Alguns exemplos seriam:

O nmero de carros que passam por uma cabine de pedgio, durante 5 minutos;

O nmero de telefonemas recebido por uma central de atendimento, durante 2 horas;

O nmero de clientes que entram na fila de um banco, durante 1 hora.

O nmero de defeitos observados em 2 metros quadrados de material;

TOME NOTA!!!

Distribuio de Poisson

= = ()

!

Pode ser usada no lugar da distribuio binomial, quando o nmero de experimentos grande (n grande) e quando a probabilidade de sucesso pequena (p pequeno).

Muito til para representar alguns tipos de ocorrncias em um determinado tempo/superfcie

Questo 11 TRF 1 Regio/2001 [FCC]

A probabilidade de que um item produzido por uma mquina seja defeituoso de 10%. Uma amostra de 30 itens produzidos por esta mquina selecionada ao acaso. Use a aproximao pela distribuio de Poisson para determinar a probabilidade de que no mais do que um item defeituoso seja encontrado nesta amostra.

a) 34 e

b) 24 e

c) 33 e

d) 341 e

e) 331 e

Resoluo.

Antes de resolvermos a questo da maneira solicitada pelo enunciado, vamos usar a distribuio binomial.

Podemos considerar que, a cada item selecionado, temos um experimento. Estamos interessados nos itens defeituosos. Se o item sorteado for defeituoso, consideramos um caso favorvel. Caso contrrio, consideramos um caso desfavorvel. A probabilidade de



AFRFB e AFT


sucesso, em um experimento, de 10% (p = 0,1). O nmero de experimentos de 30 (n = 30). Seja X o nmero de itens defeituosos na amostra de 30 itens. Queremos a probabilidade de X ser igual a zero ou 1.

Basta aplicar a frmula:

knk qpkn

kXP

== )(

300 9,01,0030)0(

==XP

Usando a calculadora:

04239,0)0( =XP

291 9,01,0130)1(

==XP

Novamente com o auxilio de calculadora:

14130,09,01,030)1( 291 ==XP Assim, a probabilidade de termos um ou nenhum item defeituoso na amostra de:

18369,004239,014130,0 =+

Pronto. Achamos a probabilidade, considerando a distribuio binomial.

Agora vamos usar a distribuio de Poisson.

Ns vimos que, em certas situaes, a frmula da distribuio binomial pode ser aproximada por:

= = ()

!

Onde o nmero esperado de ocorrncias. Em mdia, 10% dos itens produzidos so defeituosos. Numa amostra com 30 itens, espera-se que existam 3 itens defeituosos ( 3= ). Note que: 31,030 === np . A probabilidade de termos zero itens defeituosos fica:

= 0 = (3)

0!=

A probabilidade de termos 1 item defeituoso na amostra de:

= 1 = (3)

1!= 3

Assim, a probabilidade de termos zero ou um item defeituoso de:



AFRFB e AFT


333 43 =+ eee

Gabarito: A

Por curiosidade, usando a calculadora, temos:

19915,04 3 e

O resultado foi relativamente prximo daquele calculado sem a aproximao (usando a distribuio binomial).

Pergunta: Professor, como vou saber quando para usar a distribuio binomial e quando vou utilizar a distribuio de Poisson?

Neste exerccio em particular, era perfeitamente possvel usar a distribuio binomial. Em geral, se for possvel usar a binomial, use-a!

Neste caso, s usamos a distribuio de Poisson porque a questo disse expressamente para fazer isso. Do contrrio, usaramos a distribuio binomial mesmo.

Questo 12 MPE PE/2006 [FCC]

O nmero de falhas de certo tipo de placa trmica tem distribuio de Poisson, com taxa mdia de 0,1 defeitos por m2. Na confeco da superfcie de um armrio, necessrio cobrir uma superfcie de 2m por 2m com essa placa.

A probabilidade de que haja pelo menos uma falha nessa superfcie de:

a) 1,0e

b) 1,01 e

c) 4,01 e

d) 4,0e

e) 4,04,11 e

Resoluo.

Exerccio bem parecido com o anterior.

Seja X a varivel que designa o nmero de falhas. Vamos calcular a probabilidade de X seja igual a zero.

( )!

)(k

ekXPk

==

A taxa mdia de 0,1 defeito por m2. Em 4 m2, o nmero esperado de 0,4 defeitos

( 4,0= ).



AFRFB e AFT


( )!

)(k

ekXPk

==

( ) 4,004,0!0

4,0)0(

=

== e

eXP

Portanto, a probabilidade que no haja defeitos na placa de 4,0e .

Desse modo, a probabilidade de haver pelo menos uma falha nessa placa de:

4,01 e

Gabarito: C.

Interessante notar o seguinte. O exerccio pediu para usarmos a distribuio de Poisson.

Mas, mesmo que ele no tivesse dito nada a respeito, necessariamente teramos que usar a distribuio de Poisson. No d para usar a distribuio binomial aqui. Por qu?

Tanto na distribuio binomial quanto na de Poisson, a varivel de interesse o nmero de ocorrncias de alguma coisa.

Vamos retomar a Questo 11. L a varivel de interesse era o nmero de itens defeituosos produzidos pela mquina. Trata-se de uma varivel discreta, que pode assumir apenas os valores 0, 1, 2, 3, ...., 29, 30.

Pois bem, a cada item analisado, temos um experimento. A probabilidade de sucesso (=item defeituoso) de 10%. A probabilidade de fracasso de 90%.

Se, a ttulo de exemplo, quisermos calcular a probabilidade de termos exatamente 1 item defeituoso, usamos a frmula da varivel binomial. Ela vai nos dar a probabilidade de haver exatamente 1 defeituoso (e, consequentemente, 29 itens sem defeito).

Ficaria assim:

291 9,01,0130)1(

==XP

Pois bem, estamos calculando a probabilidade de:

Termos 1 item defeituoso

Termos 29 itens no defeituosos

Tudo isso, verificado em 30 experimentos



AFRFB e AFT


Mudemos de exerccio. Vamos agora para a Questo 12.

Vamos calcular a probabilidade de ter exatamente uma falha na superfcie, usando a distribuio binomial.

Vamos considerar sucesso sempre que observarmos uma falha. Vamos considerar fracasso sempre que no observarmos qualquer falha. Pergunta: quanto experimentos foram realizados?

No d para saber.

O que seria um experimento? Seria a anlise de 1 m2 de superfcie? Seria a anlise de 1 cm2 de superfcie? No temos como contar quantos experimentos foram feitos.

E mais: no sabemos quantos fracassos ocorreram.

Estamos interessados em calcular a probabilidade de exatamente uma falha no material. Estamos considerando que cada falha um caso favorvel (=sucesso). Ou seja, queremos saber a probabilidade de, em uma placa de 4m2, termos exatamente 1 falha. Queremos a probabilidade de 1 caso favorvel.

Ok, para os casos favorveis tranqilo.

Contudo, no d para contar quantos seriam os casos desfavorveis. Quantas falhas deixaram de ocorrer? Outra vez, no temos resposta.

Sempre que estivermos diante de situaes assim, no d para usar a distribuio binomial. Da partimos para a distribuio de Poisson.

A varivel que apresenta distribuio de Poisson discreta. sempre nmero de ocorrncias de alguma coisa (portanto, s pode assumir os valores 0, 1, 2, 3, 4, ...).

Mas, em geral, um nmero de ocorrncias contado sobre uma base contnua. Neste exerccio, tnhamos o nmero de ocorrncias de falhas em uma rea (a rea tem natureza contnua: pode assumir qualquer valor real maior que zero).

Outro caso tpico o nmero de chamadas telefnicas numa central de atendimento. Novamente, estamos contando o nmero de ocorrncias (a varivel de interesse discreta). Mas o tempo contnuo. O tempo pode assumir qualquer valor real maior que zero. Novamente, teremos as mesmas dificuldades: como contar quantos experimentos aconteceram? Cada segundo um experimento? Cada minuto? Cada hora? Como contar os casos desfavorveis? Como contar quantas chamadas no ocorreram? Como contar quantas ligaes no foram feitas?

TOME NOTA!!!

Binomial versus Poisson

Sempre que for possvel usar a varivel binomial, use-a (exceto se o exerccio disser usar a varivel de poisson).

H casos em que no possvel usar a distribuio binomial. So casos em que o nmero de ocorrncias contado num campo contnuo (como espao/rea e tempo). Nestas situaes: use a distribuio de poisson

Apenas por curiosidade, a ideia da distribuio de Poisson a seguinte.



AFRFB e AFT


No caso das falhas na superfcie de 4 m2, supe-se que seria possvel dividir esta superfcie em reas muito pequenas. Muito pequenas mesmo. reas infinitesimais. Isto de tal forma que a probabilidade de ocorrncia de duas ou mais falhas em cada uma destas pequenas reas seja igual a zero.

Cada reazinha analisada, para ver se contempla uma falha. Ou seja, a cada rea temos um experimento. Se a rea apresentar uma falha, temos sucesso. Do contrrio, temos fracasso.

Feito isso, aplica-se a frmula da distribuio binomial. S que como as reas tm que ser bem pequenas mesmo, ento o nmero de experimentos bem grande. Quando n bem grande e p pequeno, da possvel demonstrar que a frmula da varivel binomial tende a

( )!

)(k

ekXPk

==

.

Ou seja: a frmula da varivel de Poisson baseada na distribuio binomial. Seria uma distribuio binomial especial (especial porque se aplica a casos em que o nmero de experimentos bem grande, uma vez que as ocorrncias so contadas num campo contnuo).

Questo 13 MPE PE 2006 [FCC]

Considerando os dados da questo anterior, responda ao que segue.

Na confeco de 3 superfcies deste tipo, a probabilidade de que exatamente duas no apresentem defeito :

a) 4,024,0 )1(3 ee b) 1,03 e

c) )1(3 2,0 e d) 1,021,0 )1(3 ee e) 8,04,0 )1(3 ee

Resoluo:

Podemos aplicar a frmula da distribuio binomial.

Note que aqui a situao muda completamente.

No exerccio anterior, estvamos contando quantas falhas ocorriam em uma rea (contnua). Usamos a distribuio de Poisson.

Agora mudou tudo. Estamos contando quantas placas de 4m2 apresentam defeitos. A contagem no se d mais em funo de uma superfcie/rea. A contagem por placa de 4m2.



AFRFB e AFT


Cada placa analisada corresponde a um experimento. Se a placa apresentar falhas, temos um caso favorvel. Do contrrio, temos um caso desfavorvel. D para contar quantos so os experimentos, quantos so os sucessos e quantos so os fracassos.

Temos:

n = 3 (so confeccionadas trs placas)

4,01 = ep (a probabilidade de caso favorvel placa defeituosa foi calculada no exerccio anterior.

4,0= eq (probabilidade de caso desfavorvel placa sem defeitos)

1=k (queremos exatamente uma placa com defeito 1 caso favorvel)

Aplicando a frmula da varivel binomial:

knk qpkn

kXP

== )(

( ) ( ) 134,014,0113)1(

== eeXP

( ) ( )24,04,013)1( == eeXP ( ) ( )8,04,013)1( == eeXP

Gabarito: E


O nmero de peas defeituosas fabricadas por uma empresa tem distribuio de Poisson, com uma taxa mdia de 1 pea defeituosa por 1.000 peas fabricadas. Adquirindo 100 peas desta empresa, a probabilidade de, no mximo, uma pea ser defeituosa igual a

(A) e0,2

(B) e0,1

(C) 1,1 e0,1

(D) 0,1e0,1

(E) 2 e0,2

Resoluo:

Em 100 peas, espera-se que 0,1 pea seja defeituosa (basta fazer regra de trs).

= 0,1

Para termos no mximo 1 pea defeituosa, devemos ter:

- 0 peas defeituosas



AFRFB e AFT


ou

- 1 pea defeituosa.

= 0 = 1 = = 0 + = 1

=

0!+

1!

= , 0,1

0!+, 0,1

1!

= , + 0,1 ,

= , 1 + 0,1

= 1,1 ,

Gabarito: C

Questo 15 MPU/2007 [FCC]

O nmero de pacientes atendidos por um clnico geral segue uma distribuio de Poisson com taxa de 4 pacientes por hora. A probabilidade de que pelo menos um paciente consulte o clnico geral em um perodo de 15 minutos :

a) 11 e

b) 41 e

c) 4e

d) 4e

e) 1e

Resoluo.

Notem que a contagem de pacientes se d por tempo (que contnuo). o caso tpico de utilizao da distribuio de Poisson.

Antes de fazer qualquer conta, notem que a letra D totalmente absurda. O nmero e aproximadamente igual a 2,7. Quando elevado quarta potncia, fica ainda maior. Portanto, na letra D temos uma probabilidade maior que 1, o que impossvel. Uma probabilidade, no mximo, de 100%.

Se em uma hora, em mdia, so atendidos 4 pacientes, ento o nmero esperado de pacientes no perodo de 15 minutos 1 (basta fazer regra de trs). Portanto, 1= . Seja X a varivel que designa o nmero de pacientes atendidos. Queremos calcular a probabilidade de X ser maior que zero.

Para tanto, primeiro vamos calcular a probabilidade de X ser igual a zero.



AFRFB e AFT


( )!

)(k

ekXPk

==

( ) 101!01)0(

=

== e

eXP

Portanto:

11)0( = eXP Gabarito: A.

Questo 16 SEFAZ RJ 2009 [FGV]

O nmero de clientes que buscam, em cada dia, os servios de um renomado cirurgio tem uma distribuio de Poisson com mdia de 2 pacientes por dia. Para cada cirurgia efetuada, o cirurgio recebe R$ 10.000,00. No entanto, ele consegue fazer o mximo de duas cirurgias em um dia; clientes excedentes so perdidos para outros cirurgies.

Assinale a alternativa que indique o valor esperado da receita diria do cirurgio.

(considere e2 = 0,14)

(A) R$ 5.600,00.

(B) R$ 8.400,00.

(C) R$ 10.000,00.

(D) R$ 14.400,00.

(E) R$ 20.000,00.

Resoluo.

Seja X a varivel que indica o nmero de clientes que buscam o cirurgio, por dia. X tem distribuio de Poisson.

( )!

)(k

ekXPk

==

.

202

!02)0(

=

== e

eXP

212

2!1

2)1(

=

== e

eXP

J achamos as probabilidades de X ser igual a zero e de X ser igual a 1.

E quanto aos demais casos? E quanto aos casos em que X maior ou igual a 2?

Bem, eles podem ser tratados em conjunto. Isto porque, se X for maior ou igual a 2, o cirurgio s poder atender 2 clientes. Sua receita diria, em qualquer desses casos, ser de R$ 20.000,00. Assim, pouco importa se, num dado dia, 2 clientes procuram o cirurgio, ou se 20 clientes procuram o cirurgio. Nos dois casos ele s ter uma receita de R$ 20.000,00.



AFRFB e AFT


Por isso, vamos tratar todos estes casos de forma conjunta.

?)2( =XP = )2(XP ( ))1()0(1 =+= XPXP

= )2(XP 231 e Seja Y a varivel que indica a receita diria do cirurgio. A tabela abaixo relaciona os valores de X e suas probabilidades com os respectivos valores de Y.

X Y Probabilidade

0 0 2e 1 10.000 2

2e

maior ou igual a 2 20.000 231 e A esperana de Y fica:

)31(000.202000.100)( 222 ++= eeeYE 22 000.60000.20000.20)( += eeYE

2000.40000.20)( = eYE 14,0000.40000.20)( =YE

600.5000.20)( =YE = 14.400 Gabarito: D


Suponha que o nmero de partculas emitidas por uma fonte radioativa durante um perodo de tempo t seja uma varivel aleatria com distribuio de Poisson. Sabe-se que a probabilidade de que no haja emisses durante o tempo t 1/4. A probabilidade de que haja pelo menos duas emisses durante o tempo t

(A) 14ln

(B) 4

4ln4

(C) 44ln

(D) 44ln1

(E) 4

4ln3

Resoluo.

Temos:



AFRFB e AFT


= 0 = 14

0!

=1

4

= 14

(equao I)

Aplicando logaritmo neperiano dos dois lados da igualdade:

ln = ln 14

Quando o logaritmo incide sobre uma potncia, podemos descer o expoente, multiplicando:

ln = ln 14

Quando a base igual ao logaritmando, o logarimto vale 1.

1 = ln 14

Podemos separar o logaritmo da diviso em uma subtrao de logaritmos:

1 = ln1 ln (4) Quando o logaritmando vale 1, o logaritmo vale 0.

= ln (4) = ln4 (equao II)

A probabilidade de uma emisso :

= 1 =

1!

= 1 = Substituindo o valor de , encontrado na equao I:

= 1 = 14

Substituindo o valor de dado em II:

= 1 = 14

ln (4)

Finalmente, podemos calcular a probabilidade de pelo menos duas emisses:

2 = 1 < 2 = 1 = 0 = 1

= 1 1

4

ln (4)

4

=4 1 ln4

4



AFRFB e AFT


=3 ln (4)

4

Gabarito: E


Seja X a varivel aleatria que representa o nmero de chamadas por minuto recebidas por um PBX. Sabe-se que X tem mdia e que P(X = 3) = P(X = 4). Supondo que a distribuio de Poisson seja adequada para X, a probabilidade de que ocorra uma chamada em 30 segundos

(A) e4 .

(B) 4e4 .

(C) e2.

(D) 2e2.

(E) 1 2 e2.

Resoluo:

= 3 =

3!

= 4 =

4!

Igualando as duas probabilidades:

3!

=

4!

3!

=

4!

1 =4

= 4 Assim, em 1 minuto esperam-se 4 chamadas.

Logo, em meio minuto, esperam-se 2 chamadas.

A probabilidade de uma chamada em meio minuto :

= 1 = 2

1!= 2

Gabarito: D



AFRFB e AFT


Para encerrar os comentrios da distribuio de Poisson, faltou dizer o seguinte. Se X tem distribuio de Poisson, ento:

== )()( XVXE A varincia e a esperana de X so iguais a .

TOME NOTA!!!

Mdia e varincia da varivel com distribuio de Poisson

= =

5. DISTRIBUIO UNIFORME CONTNUA

Nesta aula j estudamos a distribuio uniforme discreta. a distribuio em que todos os possveis valores assumidos pela varivel aleatria tm a mesma chance de ocorrer.

Agora veremos tambm uma varivel uniforme. S que, em vez de ser discreta (ou seja, assumir apenas alguns valores), ela contnua.

Sabemos que, no caso de uma varivel contnua, no podemos falar em probabilidade de ocorrer um dado nmero. Podemos falar apenas em probabilidades relacionadas a intervalos de valores. E essas probabilidades podem ser calculadas a partir do grfico da funo densidade de probabilidade.

Pois bem, as variveis contnuas so estudadas a partir de seu grfico de densidade de probabilidade.

Vejamos um exemplo de varivel uniforme contnua.

Observemos a figura acima. Temos o desenho de um grfico de uma funo densidade de probabilidade (fdp). Ela assume o valor 0,5, quando X pertence ao intervalo [1;3]. Quando X no pertence a este intervalo, a funo assume o valor zero.

O que caracteriza uma varivel uniforme?

No intervalo em que a fdp diferente de zero, ela constante. No presente caso, no intervalo de 1 a 3 a fdp vale sempre 0,5.



AFRFB e AFT


TOME NOTA!!!

Varivel uniforme contnua

Sua funo densidade de probabilidade igual a zero em toda a reta real, com exceo de um dado intervalo, onde assume um valor constante.

Achar a mdia da varivel uniforme bem simples. Tomamos o intervalo em que a fdp diferente de zero. O ponto mdio desse intervalo corresponde mdia da varivel.

No exemplo acima, a mdia de X igual a 2, pois o ponto mdio do intervalo [1;3] 2.

J vimos que, no caso da distribuio uniforme, a esperana o ponto mdio do intervalo.

Falta vermos qual a sua varincia.

Se a varivel uniforme no intervalo de a at b, ento a varincia fica:

12)()(

2abXV =

TOME NOTA!!!

Mdia e varincia da varivel uniforme contnua

Se a varivel uniforme no intervalo (a, b), ento:

2)( baXE +=

12)()(

2abXV =

Questo 19 CGU 2008 [ESAF]

Sendo X uma varivel aleatria uniformemente distribuda no intervalo [0,1], determine sua varincia.

a) 1/2.

b) 1/3.

c) 1/4.

d) 1/6.

e) 1/12.

Resoluo:

12)01(

12)()(

22

=

=

abXV =121



AFRFB e AFT


Gabarito: E

Questo 20 MPU/2007 [FCC]

O tempo necessrio para um medicamento contra dor fazer efeito segue um modelo com densidade Uniforme no intervalo de 5 a 15 (em minutos). Um paciente selecionado ao acaso entre os que tomaram o remdio. A probabilidade do medicamento fazer efeito em at 10 minutos, neste paciente, :

a) 0,8

b) 0,7

c) 0,5

d) 0,4

e) 0,3

Resoluo.

O grfico da funo densidade de probabilidade fica:

A fdp vale zero em toda a reta real, com exceo do intervalo entre 5 e 15. Nesse intervalo a fdp constante e igual a 0,1.

Como sabemos disso?

A varivel s assume valores entre 5 e 10. Logo, a probabilidade de ela estar nesse intervalo igual a 1. Portanto, a rea do retngulo acima deve ser igual a 1. Para que isso acontea, a altura deve ser o inverso da base.

A base vale 10. A altura o inverso da base. Portanto, vale 0,1.

O exerccio perguntou qual a probabilidade da varivel aleatria assumir valores menores ou iguais a 10.

Ou seja, precisamos da rea destacada na abaixo:



AFRFB e AFT


Trata-se de um retngulo de base 10 5 = 5 e altura 0,1.

5,01,05)10( ==

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Nem precisa ficar preocupado em decorar ou entender a funnem vamos comentar novamente. claro que ns no vamos ficar desenhando seu grfico para, em seguida, ficar calculando reas abaixo da curva.

Como a distribuio normal muito importante, o que geralmente vem na prova so tabelas que nos fornecem as informaes das reas abaixo da curva. O que ns vamos aprender simplesmente como consultar tais tabelas.

Ento vamos resumir. Sabemos que existe uma varivel aleatria que muito importante, que se chama normal (ou gaussiana). Ecomplicada, por isso a prova vai nos fornecer tabelas com as contas prontas. Temos apenas que saber como olhar na tabela.

Mesmo que a gente no precise saber como desenhar o grfico, vamos ver alguns deles,gerados no excel (funo dist.norm). til para visualizarmos algumas propriedades da varivel normal.

Para desenhar o grfico, precisamos saber a mdia e o desvio padro da varivel aleatria normal em anlise. O grfico abaixo representa a funo dequando a varivel aleatria normal tem mdia zero e desvio padro unitrio.

Figura 1 - Funo densidade de probabilidade para varivel aleatria normal com mdia zero e desvio padro unitrio.

Algumas caractersticas da funo densidade de probabilidade da varivel normal.

Primeiro: o ponto de mximo corresponde mdia da varivel aleatria (=esperana). Neste caso, a mdia zero. Corresponde tambm moda e mediana da distribuio.

Segundo: a funo simtrica. Poderamos colocar um espelho bem em cima do zero (ponto de mximo, que coincide com a mdia), que as duas metades da funo se sobreporiam com perfeio.

Isto quer dizer que o valor da funo em Porque esses dois valores esto igualmente afastados da mdia.


Matemtica e Matemtica Financeira

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Nem precisa ficar preocupado em decorar ou entender a funo acima. Ns s a citamos e nem vamos comentar novamente. claro que ns no vamos ficar desenhando seu grfico para, em seguida, ficar calculando reas abaixo da curva.

Como a distribuio normal muito importante, o que geralmente vem na prova so las que nos fornecem as informaes das reas abaixo da curva. O que ns vamos

aprender simplesmente como consultar tais tabelas.

Ento vamos resumir. Sabemos que existe uma varivel aleatria que muito importante, que se chama normal (ou gaussiana). Ela tem uma funo densidade de probabilidade meio complicada, por isso a prova vai nos fornecer tabelas com as contas prontas. Temos apenas que saber como olhar na tabela.

Mesmo que a gente no precise saber como desenhar o grfico, vamos ver alguns deles,gerados no excel (funo dist.norm). til para visualizarmos algumas propriedades da

Para desenhar o grfico, precisamos saber a mdia e o desvio padro da varivel aleatria normal em anlise. O grfico abaixo representa a funo densidade de probabilidade quando a varivel aleatria normal tem mdia zero e desvio padro unitrio.

Funo densidade de probabilidade para varivel aleatria normal com mdia zero e desvio padro unitrio.

aractersticas da funo densidade de probabilidade da varivel normal.


simtrica. Poderamos colocar um espelho bem em cima do zero (ponto de mximo, que coincide com a mdia), que as duas metades da funo se

Isto quer dizer que o valor da funo em -0,5 igual ao valor da funo em +0,5. Por qPorque esses dois valores esto igualmente afastados da mdia.



AFRFB e AFT

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o acima. Ns s a citamos e nem vamos comentar novamente. claro que ns no vamos ficar desenhando seu grfico

Como a distribuio normal muito importante, o que geralmente vem na prova so las que nos fornecem as informaes das reas abaixo da curva. O que ns vamos

Ento vamos resumir. Sabemos que existe uma varivel aleatria que muito importante, la tem uma funo densidade de probabilidade meio

complicada, por isso a prova vai nos fornecer tabelas com as contas prontas. Temos apenas

Mesmo que a gente no precise saber como desenhar o grfico, vamos ver alguns deles, gerados no excel (funo dist.norm). til para visualizarmos algumas propriedades da

Para desenhar o grfico, precisamos saber a mdia e o desvio padro da varivel aleatria nsidade de probabilidade

quando a varivel aleatria normal tem mdia zero e desvio padro unitrio.

Funo densidade de probabilidade para varivel aleatria normal com mdia

aractersticas da funo densidade de probabilidade da varivel normal.


simtrica. Poderamos colocar um espelho bem em cima do zero (ponto de mximo, que coincide com a mdia), que as duas metades da funo se

0,5 igual ao valor da funo em +0,5. Por qu?

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Este grfico acima, que representa a varivel aleatria normal com mdia zero e desvio padro unitrio, o mais importante. Isto porque as tabelas que ns estudaremos mais adiante fornecem reas abaixo da curva justamente para este grfico. Se no exerccio tivermos outra varivel aleatria normal que no tenha mdia zero e desvio padro unitrio, vamos precisar fazer algumas transformaes para utilizar as tabelas.

A varivel normal com mdvarivel normal reduzida. Ou ainda, de

Z varivel normal reduzida (mdia zero e desvio padro unitrio).

Terceiro: medida que x apequenos (tendendo a ), a funo tende para zero.

Quarto: a rea abaixo da curva inteira (considerando valores de como aqueles tendendo a menos infinito) 1. Isto porque a probabilidade de valor qualquer em toda a reta real 100%.

A seguir o grfico de uma funo densidade de probabilidade para uma varivel normal com mdia zero e desvio padro igual a 1,6.

Figura 2 - Funo densidade de probabilidade para varivel aleatria normal com mdia zero e desvio padro igual a 1,6

Observe que o ponto de mximo o mesmo do grfico anterior. Isto porque a mdia, nos dois casos, zero.

Mas o grfico da Figura 2 mais suave que o grfico da x ficam muito grandes, os valores da funo vo para zero de forma mais lenta. Isto porque, na varivel aleatria representada na varivel que apresenta valores mais dispersos, mais afastados da mdia.

Se os valores so mais dispersos, ento a probabilidade dafastados da mdia maior. Por isso a curva cai lentamente, de forma que a rea abaixo dela, para valores mais afastados da mdia, no seja to pequena quanto no caso da 1. Vamos para um terceiro exemplo.




Este grfico acima, que representa a varivel aleatria normal com mdia zero e desvio padro unitrio, o mais importante. Isto porque as tabelas que ns estudaremos mais

reas abaixo da curva justamente para este grfico. Se no exerccio tivermos outra varivel aleatria normal que no tenha mdia zero e desvio padro unitrio, vamos precisar fazer algumas transformaes para utilizar as tabelas.

A varivel normal com mdia zero e desvio padro unitrio comumente chamada de . Ou ainda, de varivel normal padro. Seu smbolo usual Z.

varivel normal reduzida (mdia zero e desvio padro unitrio).

assume valores muito grandes (tendendo a ), a funo tende para zero.

Quarto: a rea abaixo da curva inteira (considerando valores de x tendendo ao infinito, bem do a menos infinito) 1. Isto porque a probabilidade de

valor qualquer em toda a reta real 100%.

A seguir o grfico de uma funo densidade de probabilidade para uma varivel normal com mdia zero e desvio padro igual a 1,6.

Funo densidade de probabilidade para varivel aleatria normal com mdia zero e desvio padro igual a 1,6

Observe que o ponto de mximo o mesmo do grfico anterior. Isto porque a mdia, nos

mais suave que o grfico da Figura 1. medida que os valores de ficam muito grandes, os valores da funo vo para zero de forma mais lenta. Isto porque,

varivel aleatria representada na Figura 2, o desvio padro maior. Ou seja, uma varivel que apresenta valores mais dispersos, mais afastados da mdia.

Se os valores so mais dispersos, ento a probabilidade de encontrarmos valores mais afastados da mdia maior. Por isso a curva cai lentamente, de forma que a rea abaixo dela, para valores mais afastados da mdia, no seja to pequena quanto no caso da

para um terceiro exemplo.



AFRFB e AFT

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Este grfico acima, que representa a varivel aleatria normal com mdia zero e desvio padro unitrio, o mais importante. Isto porque as tabelas que ns estudaremos mais

reas abaixo da curva justamente para este grfico. Se no exerccio tivermos outra varivel aleatria normal que no tenha mdia zero e desvio padro unitrio,

ia zero e desvio padro unitrio comumente chamada de . Seu smbolo usual Z.

varivel normal reduzida (mdia zero e desvio padro unitrio).

ssume valores muito grandes (tendendo a + ) ou muito

tendendo ao infinito, bem do a menos infinito) 1. Isto porque a probabilidade de x assumir um

A seguir o grfico de uma funo densidade de probabilidade para uma varivel normal com

Funo densidade de probabilidade para varivel aleatria normal com mdia

Observe que o ponto de mximo o mesmo do grfico anterior. Isto porque a mdia, nos

. medida que os valores de ficam muito grandes, os valores da funo vo para zero de forma mais lenta. Isto porque,

, o desvio padro maior. Ou seja, uma

e encontrarmos valores mais afastados da mdia maior. Por isso a curva cai lentamente, de forma que a rea abaixo dela, para valores mais afastados da mdia, no seja to pequena quanto no caso da Figura

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Figura 3 - Funo densidade de probabilidade para varivel normal com mdia 2 e desvio padro unitrio

Agora a mdia 2. Portanto, o ponto de mximo no fica em zero, sim em 2. Mas o grfico continua sendo simtrico. S que nosso espelho agora tem que ficar em cima de 2.

Assim, a funo assume os mesmos valores, tanto em qu? Porque esses dois valores esto igualmente afastados da mdia. O mesmo vale para os valores de x iguais a 4 e a 0. Ambos esto igualmente afastados da mdia.

Note que o desvio padro unitrio. o mesmo desvio da varivel da duas curvas tm exatamente o mesmo formato. S houve longo do eixo x.

E por que que a varivel normal to importante?

Porque existe um teorema, chamado de de um nmero muito grande de variveis independentes resulta numa vardistribuio prxima da normal. isto seja aplicvel, mas para o nosso curso saber at aqui j est timo.

Por isto a varivel normal ou gaussiana importante. Muitas variveis, resultantesnmero muito grande de outras variveis, podem ser aproximadas por uma curva normal. Aqui vou dar um exemplo tirado do livro Estatstica para economistas, do Rodolfo Hoffmann. Tomemos a altura de indivduos adultos. A altura influenciada por divvariveis que podem ser tomadas como independentes: carga gentica, alimentao, doenas (talvez as doenas no sejam realmente independentes das demais, mas s um exemplo), entre outros. Com tantas variveis diferentes, razovel esperar que a varesultante em questo (a altura) siga mais ou menos uma distribuio normal.

No vamos ver problemas com este teorema. Na verdade ele serve para que muitas propriedades que veremos daqui pacho que basta apenas saber da existncia deste teorema, pois ajuda a entender porque a varivel normal to importante.




Funo densidade de probabilidade para varivel normal com mdia 2 e desvio

Agora a mdia 2. Portanto, o ponto de mximo no fica em zero, sim em 2. Mas o grfico sendo simtrico. S que nosso espelho agora tem que ficar em cima de 2.

Assim, a funo assume os mesmos valores, tanto em x igual a 1 quanto em qu? Porque esses dois valores esto igualmente afastados da mdia. O mesmo vale para os

iguais a 4 e a 0. Ambos esto igualmente afastados da mdia.

Note que o desvio padro unitrio. o mesmo desvio da varivel da Figura duas curvas tm exatamente o mesmo formato. S houve um deslocamento horizontal ao

E por que que a varivel normal to importante?

Porque existe um teorema, chamado de Teorema do limite central, que garante que a soma de um nmero muito grande de variveis independentes resulta numa vardistribuio prxima da normal. H mais algumas condies a serem obedecidas para que isto seja aplicvel, mas para o nosso curso saber at aqui j est timo.

Por isto a varivel normal ou gaussiana importante. Muitas variveis, resultantesnmero muito grande de outras variveis, podem ser aproximadas por uma curva normal. Aqui vou dar um exemplo tirado do livro Estatstica para economistas, do Rodolfo Hoffmann. Tomemos a altura de indivduos adultos. A altura influenciada por divvariveis que podem ser tomadas como independentes: carga gentica, alimentao, doenas (talvez as doenas no sejam realmente independentes das demais, mas s um exemplo), entre outros. Com tantas variveis diferentes, razovel esperar que a varesultante em questo (a altura) siga mais ou menos uma distribuio normal.

No vamos ver problemas com este teorema. Na verdade ele serve para que muitas propriedades que veremos daqui para frente sejam demonstradas. Para esse nosso curso

basta apenas saber da existncia deste teorema, pois ajuda a entender porque a varivel normal to importante.



AFRFB e AFT

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Funo densidade de probabilidade para varivel normal com mdia 2 e desvio

Agora a mdia 2. Portanto, o ponto de mximo no fica em zero, sim em 2. Mas o grfico sendo simtrico. S que nosso espelho agora tem que ficar em cima de 2.

igual a 1 quanto em x igual a 3. Por qu? Porque esses dois valores esto igualmente afastados da mdia. O mesmo vale para os

iguais a 4 e a 0. Ambos esto igualmente afastados da mdia.

Figura 1. Portanto, as um deslocamento horizontal ao

que garante que a soma de um nmero muito grande de variveis independentes resulta numa varivel cuja

H mais algumas condies a serem obedecidas para que

Por isto a varivel normal ou gaussiana importante. Muitas variveis, resultantes de um nmero muito grande de outras variveis, podem ser aproximadas por uma curva normal. Aqui vou dar um exemplo tirado do livro Estatstica para economistas, do Rodolfo Hoffmann. Tomemos a altura de indivduos adultos. A altura influenciada por diversas variveis que podem ser tomadas como independentes: carga gentica, alimentao, doenas (talvez as doenas no sejam realmente independentes das demais, mas s um exemplo), entre outros. Com tantas variveis diferentes, razovel esperar que a varivel resultante em questo (a altura) siga mais ou menos uma distribuio normal.

No vamos ver problemas com este teorema. Na verdade ele serve para que muitas ra frente sejam demonstradas. Para esse nosso curso

basta apenas saber da existncia deste teorema, pois ajuda a entender porque a



AFRFB e AFT


6.1. Utilizao das tabelas.

Gerei a seguinte tabela com o excel (funo dist.norm). Na prova vai vir esta tabela (ou uma parte dela). Ela tambm est reproduzida ao final da aula.

Peo que vocs no tentem simplesmente decorar como consultar a tabela. Tentem realmente entender como feita a consulta.

Digo isso porque possvel que a prova apresente tabelas estruturadas de forma um pouco diferente. Se o candidato no entender qual informao est sendo apresentada, no conseguir fazer a consulta corretamente.

PROBABILIDADE DE Z ESTAR ENTRE 0 E Z0

Segunda casa decimal de Z0 Z0 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753

0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549

0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852

0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015

1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441

1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545

1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633

1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706

1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817

2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857

2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890

2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916

2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952

2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964

2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974

2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981

2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

Olhem o ttulo l no alto da tabela. O que que ela fornece?



AFRFB e AFT


Ela nos d a probabilidade de a varivel Z assumir valores no intervalo entre 0 e Z0.

Exemplo:

0 < < 1,28 =? Qual a probabilidade de Z assumir valores entre 0 e 1,28?

Neste caso, Z0 = 1,28.

Ento consultarmos a seguinte clula, destacada em vermelho:

PROBABILIDADE DE Z ESTAR ENTRE 0 E Z0

Segunda casa decimal de Z0

Z0 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753

0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549

0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852

0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,9 0,3159 0,

aula 13 - principais distribuições de probabilidade

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