Distribuições Especiais de ProbabilidadeBanca Examinadora: Elizangela Cabral dos Santos (Presidente) Discente: Kainã Vieira Dantas Jailma Suerda Silva de Lima Genevile Carife Bergamo Janilson Pinheiro de Assis (Suplente)

Mossoró-RN, 04/2015

Distribuição de Bernoulli A distribuição de Bernoulli é utilizada em experimentos nos quais há apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso), sendo dada pela função:

• P(X=1)= P (Sucesso) • P(X=0)= (1-P) (Fracasso)

Principais Características:• Média: m(X) = p• Variância: s²(X) = p.(1-p) = p.q

Exemplos da Distribuição de Bernoulli

O lançamento de uma moeda: o resultado ou é cara ou é coroa;

O lançamento de um dado: ou ocorre face 5 ou não (ocorrendo, então, uma das faces 1,2,3,4 ou 6);

Uma peça é escolhida ao acaso de um lote contendo 500 peças, essa peça é defeituosa ou não;

Uma pessoa escolhida ao acaso dentre 1000 é ou não do sexo masculino;

Exercício:

Um pacote de informações é enviado pelo transmissor ao receptor através de uma conexão, sendo 75% a probabilidade de que o pacote chegue corretamente ao receptor.

Distribuição BinomialÉ uma distribuição que resulta da soma de variáveis aleatórias binárias, Isto é, o experimento binomial é aquele no qual uma sequência de ensaios de Bernoulli é executada, Dado pela função abaixo:

Principais Características:• Média: m(X) = n.p• Variância: s²(X) = n.p.(1-p) = n.p.q

Exemplos de Distribuição Binomial

Lança-se uma moeda dez vezes. Então, X é o número de caras observadas;

Extraem-se 3 bolas de uma urna, com reposição, contendo 4 bolas brancas e oito bolas pretas. Então, X é o número de bolas pretas extraídas;

Selecionam-se 4 itens, com reposição , de uma caixa contendo 3 itens defeituosos e 7 itens perfeitos. Então, X é o número de itens defeituosos extraídos.

Exercício:

Três dados comuns e honestos serão lançados. Qual probabilidade de que o número 6 seja obtido mais de uma vez?

Distribuição de Poisson

É utilizada quando a probabilidade de um acontecimento, embora muito pequena, poderá verificar-se quando tomamos uma amostra muito grande. É um caso particular da distribuição binomial, dada pela fórmula:

Obs.: l é o número médio de sucessos que ocorrem em um dado intervalo de tempo ou região do espaço

Exemplos de Distribuição de Poisson

O número de mortes por ano, de uma doença rara, em uma grande cidade;

O número de acidentes de automóvel por mês, em uma grande cidade;

O número de chamadas por minuto em uma central telefônica;

O número de aviões que chegam por hora em um grande aeroporto.

Aproximação da Distribuição de Poisson pela Binomial A aproximação é dada pela equação:

• Mas só é boa se “n” é bastante grande e “p” pequeno, e de tal sorte que: n.p ≤7.

Exercício:

Uma central telefônica recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Qual a probabilidade deste central telefônica não receber nenhuma chamada durante um intervalo de 1 minuto?

Distribuição Normal

Definição: Seja X uma variável aleatória contínua. A função de probabilidade de X, normalmente distribuída é dada por:

No entanto tal fórmula gera problemas para o cálculo de probabilidades, a solução é a transformação de variáveis (X em Z),Resultando na Distribuição Normal Padrão ou Normal Reduzida:

Distribuição Normal e Aproximação pela Binomial Se a amostra for grande (n grande), a distribuição Binomial pode ser

aproximada à distribuição Normal. Neste caso, a variável reduzida será dada por:

Obs.: Quanto maior for o valor de n, melhor será a aproximação. Na prática (n.p>5) e (n.q>5), diz-se que a Binomial aproxima-se da Normal.

Exercício:

Calcule as seguintes Probabilidades, Tendo em Vista X~N(200,100):

a) P (190<X<195)

b) P(X>190)

Obs.: Tabela utilizada é a Tabela de Faixa Central.

Trata-se de um modelo de distribuição contínua muito importante para a teoria da inferência estatística. Comumente utilizado nos testes de qui-quadrado. Define-se a variável aleatória com distribuição c², como:

Onde, p (também denotado por j) é um parâmetro da função densidade denominado grau de liberdade.

Distribuição Qui-quadrado

• Principais Características:

Representação Gráfica da Distribuição Qui-Quadrado Conforme o número de graus de liberdade (valor do parâmetro), a curva

que descreve a função densidade tem determinada forma.

Obs.: Neste caso k é o parâmetro, k=j.

Função Densidade:

Distribuição T de Student Trata-se de um modelo de distribuição contínua que se assemelha a

distribuição normal padrão, N(0,1). É utilizada para inferências estatísticas, particularmente, quando se tem amostras com tamanhos inferiores a 30.

A distribuição t é simétrica em relação à sua média. • Principais Características:A média da sua distribuição é zero;

Sua variância é dada por:

Representação Gráfica da Distribuição T de Student

Obs.: Para valores de j<30 a distribuição “t” apresenta maior dispersão que a N(0,1), já que é o desvio padrão, nestes casos, é maior do que 1, que é o desvio padrão da distribuição Normal Padrão.

Referência Bibliográfica

Cavalcanti, G. A. Apontamentos de aulas de estatística. Universidade Federal Rural do Semiárido, 2014.