Análise Dimensional e Semelhança

Aula 19

Objetivos

Estabelecer os parâmetros necessários para guiar estudos experimentais;

Apresentar a técnica usada para aplicar os resultados de estudos de modelos a protótipos para uma variedade de situação de escoamento;

Extrair os parâmetros do escoamento das equações diferenciais e condições de contorno usados para guiar estudos computacionais;

Objetivos

Fornecer exemplos e problemas que ilustrem a utilização de parâmetros adimensionais dos escoamentos, como estudos de modelo e permitir prever quantidades de interesse em um protótipo e verificar o uso de equações diferenciais normalizadas;

Objetivos

Homogeneidade dimensional: Condição em que todos os termos de uma equação têm as mesmas dimensões.

Introdução

2

222

m

1

sm/kg

sm/kg

1

s/m

s/m

21 z

p

g2

Vz

p

g2

V

22

2

2

22

Introdução

1

2

1

2

1

22

1

1

1

21

z

z

z

p

gz2

V1

z

p

gz2

V

Dividindo por z1

2

222

m

1

sm/kg

sm/kg

1

s/m

s/m

21 z

p

g2

Vz

p

g2

V

22

2

2

22

Semelhança

Estudo da previsão das condições do protótipo a partir de observações

de modelos

A semelhança envolve o uso de parâmetros adimensionais obtidos da análise dimensional

Modelo em escala de edifícios grandes de uma cidade. O escoamento de ar ao redor dos edifícios é estudada. Os elementos ásperos no chão geram a turbulência desejada nas paredes.

Exemplos

Analise Dimensional

Analise Dimensional

Placadeslizante

)h,d,,,V(fp

Analise Dimensional

h,, d,,

Analise Dimensional

d

h,

dVf

V

p2

)

d

h,

dV(f

V

p

sm

kg

sm

skgm

m

sN

sm

kgm

m

kg

s

m

sm

kg

s

m

m

kg

2

sm

kg

sm

mkg

m

N

222

3

2

2

3

22

Analise Dimensional

Analise Dimensional

2T

MLF

RTp

2

2

3

2

2

3

2

T

L

MLL

T/ML

MLLF

pRT

Símbolos e Dimensões em Mec. Flu.

Quantidade Símbolo Dimensões

Comprimento l L

Tempo t T

Massa m M

Força F ML/T2

Velocidade V L/T

Aceleração a L/T2

Freqüência T-1

Gravidade g L/T2

Área A L2

Símbolos e Dimensões em Mec. Flu.

Quantidade Símbolo Dimensões

Vazão Q L3/T

Fluxo de massa M/T

Pressão p M/LT2

Tensão M/LT2

Massa específica M/L3

Peso específico M/L2T2

Viscosidade M/LT

Viscosidade cinemática L2/T

m

Símbolos e Dimensões em Mec. Flu.

Quantidade Símbolo Dimensões

Trabalho W ML2/T2

Potencia, fluxo de calor ML2/T3

Tensão superficial M/T2

Módulo da elasticidade volumétrica

M/LT2

Q,W

Careta

Teorema de Buckingham

)x,...,x,x,x(fx n4321

)h,d,,,V(fp Dependente Independentes

n- número de variáveis

É o teorema que nos permite determinar os números adimensionais a partir da função característica.

Teorema de Buckingham

)mn(K

),...,,(f mn3211

K - Grupos adimensionais;n – numero de variáveis(grandeza / quantidade);m - número dimensões básicas;

Partindo-se da função característica, f (F, V, ρ, µ, d) = 0, a aplicação do teorema dos π respeita a seguinte seqüência:

1º PASSO: Determinar o número de variáveis que influenciam o fenômeno - n n = 5

2º PASSO: Escrevemos a equação dimensional de cada uma das variáveis. [F] = F [V] = L x T-1 [ρ] = F x L-4 x T2 [µ] = F x L-2 x T [D] = L

Teorema de Buckingham

3º PASSO:

Determinamos o número de dimensões envolvidas no fenômeno - m. m = 3

4º PASSO: Determinamos o número de adimensionais que caracterizam o fenômeno - K K = n - m ∴ K = 2

5º PASSO: Estabelecemos a base dos números adimensionais.

Definição de base - É um conjunto de variáveis independentes comuns aos adimensionais a serem determinados, com exceção dos seus expoentes.

Variáveis independentes- São aquelas que apresentam as suas equações dimensionais diferentes entre si de pelo menos uma grandeza fundamental. Para o exemplo, temos: F, V, ρ, D ou F, V, µ, D como variáveis independentes. ρ e µ como variáveis dependentes.

Teorema de Buckingham

Bases possíveis para o exemplo: ρ V F; ρ V D; F V D; µ V F; µ V D. Para obtermos os adimensionais já estabelecidos para os estudos de Mecânica dos Fluidos, geralmente adotamos a base ρ V D, ou a que mais se assemelha a esta. Para o exemplo, adotamos a base ρ V D.

6º PASSO : Escrevemos os números adimensionais, multiplicando a base adotada por cada uma das variáveis que restaram na função característica após a sua retirada.

π1 = ρα1 . Vα2 . Dα3 . F

π2 = ργ1 . Vγ2 . Dγ3 . µ

Teorema de Buckingham

Para obtermos os expoentes da base, substituímos cada uma das variáveis por sua respectiva equação dimensional, inclusive o número adimensional.Para 1 tem-se:

Teorema de Buckingham

Para 2 tem-se:

Teorema de Buckingham