Objetivos
Estabelecer os parâmetros necessários para guiar estudos experimentais;
Apresentar a técnica usada para aplicar os resultados de estudos de modelos a protótipos para uma variedade de situação de escoamento;
Extrair os parâmetros do escoamento das equações diferenciais e condições de contorno usados para guiar estudos computacionais;
Objetivos
Fornecer exemplos e problemas que ilustrem a utilização de parâmetros adimensionais dos escoamentos, como estudos de modelo e permitir prever quantidades de interesse em um protótipo e verificar o uso de equações diferenciais normalizadas;
Objetivos
Homogeneidade dimensional: Condição em que todos os termos de uma equação têm as mesmas dimensões.
Introdução
2
222
m
1
sm/kg
sm/kg
1
s/m
s/m
21 z
p
g2
Vz
p
g2
V
22
2
2
22
Introdução
1
2
1
2
1
22
1
1
1
21
z
z
z
p
gz2
V1
z
p
gz2
V
Dividindo por z1
2
222
m
1
sm/kg
sm/kg
1
s/m
s/m
21 z
p
g2
Vz
p
g2
V
22
2
2
22
Semelhança
Estudo da previsão das condições do protótipo a partir de observações
de modelos
A semelhança envolve o uso de parâmetros adimensionais obtidos da análise dimensional
Modelo em escala de edifícios grandes de uma cidade. O escoamento de ar ao redor dos edifícios é estudada. Os elementos ásperos no chão geram a turbulência desejada nas paredes.
Exemplos
Analise Dimensional
d
h,
dVf
V
p2
)
d
h,
dV(f
V
p
sm
kg
sm
skgm
m
sN
sm
kgm
m
kg
s
m
sm
kg
s
m
m
kg
2
sm
kg
sm
mkg
m
N
222
3
2
2
3
22
Símbolos e Dimensões em Mec. Flu.
Quantidade Símbolo Dimensões
Comprimento l L
Tempo t T
Massa m M
Força F ML/T2
Velocidade V L/T
Aceleração a L/T2
Freqüência T-1
Gravidade g L/T2
Área A L2
Símbolos e Dimensões em Mec. Flu.
Quantidade Símbolo Dimensões
Vazão Q L3/T
Fluxo de massa M/T
Pressão p M/LT2
Tensão M/LT2
Massa específica M/L3
Peso específico M/L2T2
Viscosidade M/LT
Viscosidade cinemática L2/T
m
Símbolos e Dimensões em Mec. Flu.
Quantidade Símbolo Dimensões
Trabalho W ML2/T2
Potencia, fluxo de calor ML2/T3
Tensão superficial M/T2
Módulo da elasticidade volumétrica
M/LT2
Q,W
Teorema de Buckingham
)x,...,x,x,x(fx n4321
)h,d,,,V(fp Dependente Independentes
n- número de variáveis
É o teorema que nos permite determinar os números adimensionais a partir da função característica.
Teorema de Buckingham
)mn(K
),...,,(f mn3211
K - Grupos adimensionais;n – numero de variáveis(grandeza / quantidade);m - número dimensões básicas;
Partindo-se da função característica, f (F, V, ρ, µ, d) = 0, a aplicação do teorema dos π respeita a seguinte seqüência:
1º PASSO: Determinar o número de variáveis que influenciam o fenômeno - n n = 5
2º PASSO: Escrevemos a equação dimensional de cada uma das variáveis. [F] = F [V] = L x T-1 [ρ] = F x L-4 x T2 [µ] = F x L-2 x T [D] = L
Teorema de Buckingham
3º PASSO:
Determinamos o número de dimensões envolvidas no fenômeno - m. m = 3
4º PASSO: Determinamos o número de adimensionais que caracterizam o fenômeno - K K = n - m ∴ K = 2
5º PASSO: Estabelecemos a base dos números adimensionais.
Definição de base - É um conjunto de variáveis independentes comuns aos adimensionais a serem determinados, com exceção dos seus expoentes.
Variáveis independentes- São aquelas que apresentam as suas equações dimensionais diferentes entre si de pelo menos uma grandeza fundamental. Para o exemplo, temos: F, V, ρ, D ou F, V, µ, D como variáveis independentes. ρ e µ como variáveis dependentes.
Teorema de Buckingham
Bases possíveis para o exemplo: ρ V F; ρ V D; F V D; µ V F; µ V D. Para obtermos os adimensionais já estabelecidos para os estudos de Mecânica dos Fluidos, geralmente adotamos a base ρ V D, ou a que mais se assemelha a esta. Para o exemplo, adotamos a base ρ V D.
6º PASSO : Escrevemos os números adimensionais, multiplicando a base adotada por cada uma das variáveis que restaram na função característica após a sua retirada.
π1 = ρα1 . Vα2 . Dα3 . F
π2 = ργ1 . Vγ2 . Dγ3 . µ
Teorema de Buckingham
Para obtermos os expoentes da base, substituímos cada uma das variáveis por sua respectiva equação dimensional, inclusive o número adimensional.Para 1 tem-se:
Teorema de Buckingham