AULA 2AULA 2

Análise de FourierAnálise de Fourier

EE –05Princípios de Telecomunicações

Sinais e espectrosSinais e espectros

Os sinais são compostos de várias Os sinais são compostos de várias componentes senoidais (Série de Fourier)componentes senoidais (Série de Fourier)

Generalização Generalização Transformada de Fourier Transformada de Fourier

AplicaçõesAplicações

A análise da largura de faixa permitirá o A análise da largura de faixa permitirá o dimensionamento do sistema e o seu dimensionamento do sistema e o seu adequado projeto.adequado projeto.

Determinação da distribuição espectral de Determinação da distribuição espectral de um sinal de microondas e do ângulo de um sinal de microondas e do ângulo de chegada, através de uma transformada de chegada, através de uma transformada de Fourier espacialFourier espacial

Operação transformadaOperação transformada

A fim de se realizar uma operação de A fim de se realizar uma operação de transformação, deve-se inicialmente modelar transformação, deve-se inicialmente modelar matematicamente o sinal.matematicamente o sinal.

Objetivo: Objetivo: - Série de Fourier;Série de Fourier;- Transformada de Fourier;Transformada de Fourier;- Relação entre ambas.Relação entre ambas.

Fasores e espectro de linhasFasores e espectro de linhas

Seja um sinal senoidal dado pela seguinte Seja um sinal senoidal dado pela seguinte expressão:expressão:

Utilizando-se da relação de Euler, tal que:Utilizando-se da relação de Euler, tal que:

)tcos(A)t(v o

)sen(j)cos(e j

Representação fasorialRepresentação fasorial

Podemos expressar o sinal senoidal por um Podemos expressar o sinal senoidal por um fasor, tal como na figura abaixo:fasor, tal como na figura abaixo:

)eRe(A)e.ARe()tcos(A tjtjo

oo

Espectro de amplitudes e Espectro de amplitudes e espectro de fasesespectro de fases

Alternativamente, pode-se representar o Alternativamente, pode-se representar o sinal senoidal pelos seus espectros de sinal senoidal pelos seus espectros de amplitudes e de fases, tal como na figura.amplitudes e de fases, tal como na figura.

Espectro de linhas ou de raias: (a) espectro de amplitudes; (b) espectro de fase

Observações:Observações: i. A amplitude (magnitude), no espectro de amplitudes, i. A amplitude (magnitude), no espectro de amplitudes,

deve ser sempre positiva . Assim, um sinal descrito por deve ser sempre positiva . Assim, um sinal descrito por deve ser re-escrito como deve ser re-escrito como

.É indiferente se é utilizado +.É indiferente se é utilizado + ou - ou -.. ii. ii. tem a dimensão radianos e, portanto, a fase deve ser tem a dimensão radianos e, portanto, a fase deve ser

expressa em radianos. Lembrar que expressa em radianos. Lembrar que = 2. = 2..f em rad/s e f em Hz..f em rad/s e f em Hz. iii. Ângulos e rotação positiva são medidos a iii. Ângulos e rotação positiva são medidos a partir do eixo partir do eixo

realreal, no sentido , no sentido anti-horárioanti-horário.. iv. Formas de onda cosseno e seno são genericamente iv. Formas de onda cosseno e seno são genericamente

denominadas de forma de onda senoidais. Lembrar que , denominadas de forma de onda senoidais. Lembrar que , , ou seja, o sinal seno é um sinal cosseno , ou seja, o sinal seno é um sinal cosseno atrasadoatrasado de de /2 (ou, 90/2 (ou, 9000 ). ).

v t A t( ) cos( ) 0

)tcos(A)t(v 0

)2/tcos()t(sen

ExemploExemplo Dado o sinal:Dado o sinal:

Cuja forma de onda é:Cuja forma de onda é:

Determinar o seu espectro de freqüência (amplitude Determinar o seu espectro de freqüência (amplitude e fase)e fase)

s t t t( ) cos( ) ( ) 7 10 40 60 4 120 sen

SoluçãoSolução

O sinal pode ser reescrito como:O sinal pode ser reescrito como:

Assim, o seu espectro de freqüências será:Assim, o seu espectro de freqüências será:

)90t602cos(4)120t202cos(10)t02cos(7)t(s

Série de FourierSérie de Fourier Seja uma função periódica de período T. Esta Seja uma função periódica de período T. Esta

função pode ser representada pela série de Fourier função pode ser representada pela série de Fourier Trigonométrica:Trigonométrica:

Com Com 00 = 2 = 2/T/T

Que pode ser reescrita da forma:Que pode ser reescrita da forma:

))tnsen(btncosa(a2

1

...)t2sen(b)tsen(b...)t2cos(a)tcos(aa2

1)t(f

on1n

on0

0201210 00

1n

n0n0 )tncos(CC)t(f

Ortogonalidade das funções seno Ortogonalidade das funções seno e cossenoe cosseno

Definição de ortogonalidade:Definição de ortogonalidade:

Um conjunto de funções {Um conjunto de funções {kk(t)} é dita (t)} é dita

ortogonal em um intervalo a < t < b se, para ortogonal em um intervalo a < t < b se, para quaisquer duas funções quaisquer duas funções mm(t) e (t) e nn(t) no (t) no

conjunto {conjunto {kk(t)} é válida a relação (t)} é válida a relação

nm para r

nm para 0 dt).t().t(

n

b

a

nm

Relação de ortogonalidade de Relação de ortogonalidade de funções seno e cossenofunções seno e cosseno

n e m todopara 0dt)tncos()tm(sin

0nm 2

T

nm 0dt)tn(sin)tm(sin

0nm 2

T

nm 0dt)tncos()tmcos(

2

T

2

T00

2

T

2

T00

2

T

2

T00

Com Com 00 = 2 = 2/T/T

Série de FourierSérie de Fourier

2T

2T

0

2T

2T

0n

2T

2T

0n

dt)t(fT

2a

1,2,...n dt)tn(sin).t(fT

2b

0,1,2,...n dt)tncos().t(fT

2a

Exemplo 1Exemplo 1 Determinar a série de Fourier do sinalDeterminar a série de Fourier do sinal

Cujo gráfico em função do tempo é dado Cujo gráfico em função do tempo é dado por:por:

T/2t0 ,1

0tT/2- 1)t(f

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Exemplo 1Exemplo 1 Como o sinal é periódico, é possível o Como o sinal é periódico, é possível o

cálculo da série de Fourier.cálculo da série de Fourier.

A tarefa é portanto o cálculo dos A tarefa é portanto o cálculo dos coeficientes da série de Fourier, lembrando coeficientes da série de Fourier, lembrando que:que:

2T

2T

0

2T

2T

0n

2T

2T

0n

dt)t(fT

2a

1,2,...n dt)tn(sin).t(fT

2b

0,1,2,...n dt)tncos().t(fT

2a

Exemplo 1Exemplo 1 Cálculo do aCálculo do a00 e a e ann

0dt.1dt.1T

2dt).t(f

T

2a

2

T

2

T

0

2

T

2

T

0

0

Nn 0a

:Portanto nula. é acima integral a ,T

2 que Lembrando

)t..n(sin.n

1

T

2)t..n(sin

.n

1

T

2

dt).tncos(.1dt).tncos(.1T

2dt).tncos().t(f

T

2a

n

0

2

T

0

00

0

2

T0

0

2

T

2

T

0

2

T

2

T

0

000n

Exemplo 1Exemplo 1

Cálculo de bCálculo de bnn

ímparn se ,

n

4

parn se ,0))ncos(1(

n

2

)tncos(n

1

T

2)tncos(

n

1

T

2

dt).tn(sindt).tn(sin.1T

2dt)tn(sin).t(f

T

2b

2

T

0

00

0

2

T0

0

2

T

0

0

0

2

T0

2

T

2

T0n

Exemplo 1Exemplo 1

A série de Fourier fica então assim:A série de Fourier fica então assim:

A seguir façamos uma análise da série de A seguir façamos uma análise da série de Fourier tomando-se um número de termos Fourier tomando-se um número de termos cada vez maiorcada vez maior

ímparn

0000 ...

5

)t5(sin

3

)t3(sin)t(sin

4)tn(sin

n

14)t(f

Exemplo 1Exemplo 1 Supondo uma onda quadrada de freqüência Supondo uma onda quadrada de freqüência

angularangular=2=2 rad/s e tomando-se somente rad/s e tomando-se somente o primeiro termo da série de Fourier o primeiro termo da série de Fourier ,,

tem-se a seguinte forma de onda:tem-se a seguinte forma de onda:)t2(sin

4)t(f

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Exemplo 1Exemplo 1 Tomando-se os dois primeiros termos:Tomando-se os dois primeiros termos:

Cuja forma de onda é:Cuja forma de onda é:

)3

)t6(sin)t2(sin(

4)t(f

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Exemplo 1Exemplo 1 Tomando-se os três primeiros termosTomando-se os três primeiros termos

Cuja forma de onda é:Cuja forma de onda é:)

5

)t10(sin

3

)t6(sin)t2(sin(

4)t(f

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Exemplo 1Exemplo 1

Tomando-se os 5 primeiros termosTomando-se os 5 primeiros termos

Cuja forma de onda é dada por:Cuja forma de onda é dada por:

)9

)t18(sin

7

)t14(sin

5

)t10(sin

3

)t6(sin)t2(sin(

4)t(f

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Exemplo 2Exemplo 2 Determinar a série de Fourier da função f(t) Determinar a série de Fourier da função f(t)

definida por:definida por:

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-0.5

0

0.5

1

1.5

t0 ,t1

0t- ,0)t(f

Determinação dos coeficientes aDeterminação dos coeficientes ann e b e bnn

4

1.

1

2

1). (

1

2

2

20

0

T

T

dt t dt t fT

a

ímparn se ,n

2-

parn se ,0a

)1)n(cos(n

1)t.ncos(

n

1

)dt)t.n(sinn

1)t.n(sin

n

t1

dt).tncos(.t1

2

2dt).tncos().t(f

T

2a

22

n

22022

002

2

T

2

T 0

00n

Determinação dos coeficientes aDeterminação dos coeficientes ann e b e bnn

n

002

2

T

2

T 0

00n

)1(n

1)ncos(

n

1

)dt)t.ncos(n

1)t.ncos(

n

t1

dt).tn(sin.t1

2

2dt).tn(sin).t(f

T

2b

Tomando-se os seis primeiros termos em Tomando-se os seis primeiros termos em senos e cossenos, tem-se que:senos e cossenos, tem-se que:

Cuja forma de onda é dada por:Cuja forma de onda é dada por:

6

)6sin(

5

)5sin(

4

)4sin(

3

)3sin(

2

)2sin()sin(

1

121

)11cos(

81

)9cos(

49

)7cos(

25

)5cos(

9

)3cos()cos(

2

4

1)(

2

tttttt

tttttttf

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-0.5

0

0.5

1

1.5

Tomando-se mais termos, tem-se o gráfico Tomando-se mais termos, tem-se o gráfico abaixo, onde se pode observar o efeito de abaixo, onde se pode observar o efeito de Gibbs nas transições da função.Gibbs nas transições da função.