Idealizar modelos matemáticos, através de equações einequações a partir de problemas reais para maximizaçãodo lucro ou minimização de custos e perdas.

Uma das técnica mais utilizadas em Programação Linear;

Método matemático de otimização de uma função linear a qualsatisfaz um conjunto de restrições de equações e/ou inequaçõeslineares.

Buscam a distribuição eficiente dos recursos limitados;

Exemplo:

Função Objetivo a ser maximizada Lucro = 2x1 + 3x2

Restrições Técnicas 3x1 + 4x2 > 0

Restrições de Não Negatividade x1, x2 > 0

1 – Quais são as variáveis de decisão ?

Apresentar as decisões que serão tomadas representando-as atravésde variáveis chamadas de variáveis de decisão.

2 – Qual é o objetivo ?

Identificar qual é o objetivo da tomada de decisão. Normalmentesão apresentados na forma de maximizar o lucro ou minimizar custosou perdas;

3 – Quais são as restrições ?

Todas as restrições impostas na descrição do sistema devem serexpressas em uma relação linear (igualdade ou desigualdade).

Kauan Raymond Reinaldo Janequine

Carol Dias Juliana Salimeni

Considerando que você esta saindo com as duas:

Restrições iniciais:

• Uma não pode saber da outra. Para isso você tem que leva-las a lugares diferentes em dias diferentes.

• O dinheiro é limitado, portanto, você não pode sair todos osdias.

• O tempo é limitado, portanto deve haver um planejamentodo tempo gasto com cada uma.

É chique e só gosta de restaurantes caros. Em umencontro com ela você vai gastar R$ 180,00.

É calma e sossegada. Um encontro com ela dura 2horas.

É simples e gosta de lugares mais baratos. Em umencontro com ela você vai gastar R$ 100,00.

É agitada e gosta de fazer muitas coisas na noite. Umencontro com ela dura 4 horas.

Quantas vezes você pode sair com

cada uma delas ?

x1 é a qtde de vezes que você vai sair com Carol na semana

x2 é a qtde de vezes que você vai sair com Juliana na semana

Assumindo que:

Sair com Carol corresponde a 180 x1

Sair com Juliana corresponde a 100 x2

Então:

180 x1 + 100 x2 Gasto total da semana

x1 é o tempo gasto com Carol na semana

x2 é o tempo gasto com Juliana na semana

Assumindo que:

Sair com Carol corresponde a 2 x1

Sair com Julianacorresponde a 4 x2

Então:

2x1 + 4x2 Total de horas

Falta um objetivo

180 x1 + 100 x2 < 800 ( R$ por semana )

2x1 + 4 x2 < 20 ( horas por semana )

Unificando as restrições:

O que se deseja atingir ?

Sair com ambas o maior número de vezespossível por semana ?

Max S = x1 + x2

Sair com Carol duas vezes mais do que comJuliana por semana ?

Max S = x1 + 2x2

Função Objetivo

Max S = x1 + x2 Max S = x1 + 2x2

Restrições

s.a. s.a.

2x1 + 4x2 < 20 2x1 + 4x2 < 20

180x1 + 100x2 < 800 180 x1 + 100 x2 < 800

Restrições de Não Negatividade

X1, x2 > 0 X1, x2 > 0

Sujeito a

As modalidades oferecidas durante o período noturno são apresentadas natabela. O máximo de alunos que a academia suporta durante tal período são120 pessoas.

Período Noturno

Modalidade disponíveis

Receita por Aluno

Capacidade Max. Alunos

Musculação R$ 35,00 80

Spinning R$ 40,00 20

Abdômen R$ 25,00 40

Fisioterapia R$ 50,00 25

RPG R$ 60,00 15

As atividades de RPG e Fisioterapiautilizam os mesmo professores ecompartilham da mesma sala, o quefaz com que, apesar da capacidademáxima de alunos de RPG efisioterapia serem 25 e 15 alunosrespectivamente, quando analisadasem conjunto, tais modalidades juntasnão podem apresentar mais detrintas alunos. o número de vagas aoferecer no período noturno em cadamodalidade com o objetivo demaximizar a receita da empresa.

Identificar as variáveis de decisão.

X1 = Número de alunos de MUSCULAÇÃO;

X2 = Número de alunos de SPINNING;

X3 = Número de alunos de ABDÔMEN;

X4 = Número de alunos de FISIOTERAPIA;

X5 = Número de alunos de RPG.

Definir a Função Objetivo Soma das receitas, multiplicadas pelaqtds de alunos que realizaram a atividade resultam na receita totalda.

Período Noturno

Modalidade Receita por Aluno Capacidade Max. Alunos

Musculação R$ 35,00 80Spinning R$ 40,00 20

Abdômen R$ 25,00 40Fisioterapia R$ 50,00 25

RPG R$ 60,00 15

Max Z = 35 x1 + 40 x2 + 25 x3 + 50 x4 + 60 x5

Identificar as variáveis de restrição

Quantidade máxima de alunos: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 120;

Quantidade máxima de alunos para musculação: x1 ≤ 80 ;

Quantidade máxima de alunos para Spinning: x2 ≤ 20;

Quantidade máxima de alunos para abdômen: x3 ≤ 40;

Quantidade máxima de alunos para fisioterapia: x4 ≤ 25;

Quantidade máxima de alunos para : x5 ≤ 30;

Quantidade máxima de alunos para fisioterapia e RPG que podem

realizar as suas aulas ao mesmo tempo: x4 + x5 ≤ 30.

Não negatividade: x1 > 0; x2 > 0; x3 > 0; x4 > 0; x5 > 0;

Função Objetivo

Max L = 35x1 + 40x2 + 25x3 + 50x4 + 60x5

Restrições Técnicas

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≤ 120

X1 ≤ 80

X2 ≤ 20

X3 ≤ 40

X4 ≤ 25

X5 ≤ 30

X4 + X5 ≤ 30

Restrição de não negatividade

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, X3 ≥ 0, X4 ≥ 0, X5 ≥ 0

Uma companhia produz 3 tipos de fertilizantes conforme tabelaabaixo:

Fertilizante Espaço ( pés3 ) Custo Produção Tempo Preço Venda

Tipo 1 10 400 6 480

Tipo 2 12 600 10 690

Tipo 3 8 300 12 340

Disponível 300 10.000 250

A companhia deve produzir, no mínimo, 4 toneladas do produto 2.

Defina o modelo para maximizar o lucro.

Variáveis de decisão

x1: Qtde. de toneladas de fertilizantes Tipo 1 a produzir

x2: Qtde. de toneladas de fertilizantes Tipo 2 a produzir

x3: Qtde. de toneladas de fertilizantes Tipo 3 a produzir

Função Objetivo

Max L = 80x1 + 90x2+ 40x3

Restrições Técnicas

10x1 + 12x2 + 8x3 ≤ 300 ; Espaço de armazenamento

400x1 + 600x2 + 300x3 ≤ 10000 ; Custo de produção

6x1 + 10x2 + 12x3 ≤ 250 ; Tempo

X2 ≥ 4 ; Produção mínima do Tipo 2

Restrições Não Negatividade

x1,x2,x3 ≥ 0

Um vendedor de frutas pode transportar 800 toneladas de frutas

para sua região de vendas. Ele necessita transportar pelo menos

200 toneladas de laranja a R$20,00 de lucro por tonelada, pelo

menos 100 toneladas de pêssegos a R$10,00 de lucro por tonelada,

e no máximo 200 toneladas de tangerinas a R$30,00 de lucro por

tonelada.

De que forma ele deverá carregar o caminhão para obter o lucro

máximo?

Variáveis de decisão

x1: Qtde. de toneladas de laranja

x2: Qtde. de toneladas de pêssego

x3: Qtde. de toneladas de tangerina

Função Objetivo

Max L = 20x1+ 10x2 + 30x3

Restrições Técnicas

x1 + x2 + x3 ≤ 800 ; Quantidade máxima a ser transportada

x1 > 200 ; Quantidade mínima de laranja

x2 > 100 ; Quantidade mínima de pêssego

x3 < 200 ; Quantidade máxima de tangerina

Restrições Não Negatividade

x1,x2,x3 ≥ 0

Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é

de 100 u.m. e o lucro unitário de P2 é de 150 u.m. A empresa necessita

de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma

unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de

120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a

empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem

ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês.

Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de

maximizar o lucro da empresa.

Variáveis de decisão

x1: Qtde. a produzir do produto P1

x2: Qtde. a produzir do produto P2

Função Objetivo

Max L = 100x1+ 150x2

Restrições Técnicas

2x1 + 3x2 ≤ 120 ; Tempo disponível para produção

x1 < 40 ; Quantidade máxima produzida de P1

x2 < 30 ; Quantidade máxima produzida de P2

Restrições Não Negatividade

x1,x2 ≥ 0 ; Não negatividade das variáveis

Um fazendeiro deseja otimizar a plantação de arroz e milho na sua

fazenda. O fazendeiro deseja saber quais são as áreas de arroz e milho

que devem ser plantadas para que o seu lucro seja máximo. O lucro por

unidade de área plantada de arroz é de 5 u.m. Enquanto para o milho é

de 2 u.m.

As áreas plantadas de arroz e milho não deve ser maiores que 3 e 4

respectivamente. Cada unidade da área de arroz consome 1 homem-

hora, enquanto que a de milho consome 2 homens-hora.

O consumo total de homens-hora nas duas plantações não deve ser

maior que 9.

Variáveis de decisão

x1: Qtde. de arroz a ser plantada

x2: Qtde. de milho a ser plantada

Função Objetivo

Max L = 5x1+ 2x2

Restrições Técnicas

x1 ≤ 3 ; Área máximo do plantio de arroz

x2 < 4 ; Área máxima do plantio de milho

x1 + 2x2 < 9 ; Quantidade total de homens-hora

Restrições Não Negatividade

x1,x2 ≥ 0

Um A Reddy Mikks produz tintas para interiores e exteriores com baseem duas matérias primas, M1, M2 . A tabela apresenta os dados:

A demanda máxima diária de tintas para interiores é 2 ton.

A Reddy Mikks quer determinar o mix ótimo de produtos de tintas parainteriores e exteriores que maximize o lucro total diário.

TintasExteriores

TintasInteriores

Disponibilidademáxima diária

Matéria Prima M1 6 4 24

Matéria Prima M2 1 2 6

Lucro por tonelada 5 4

Variáveis de decisão

x1: Qtde. a produzir de tinta para ambientes exteriores

x2: Qtde. a produzir de tinta para ambientes interiores

Função Objetivo

Max L = 5x1+ 4x2

Restrições Técnicas

6x1 + 4x2 < 24 ; Disponibilidade diária de M1;

x1 + 2x2 < 6 ; Disponibilidade diária de M2;

x2 < 2 ; Demanda máxima de tintas para interiores;

Restrições Não Negatividade

x1,x2 ≥ 0 ; Não negatividade das variáveis.