Aula 2 - RAC. LÓGICO
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AULA 2
PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
ESTRUTURA LÓGICA
É O ESTUDO DO PENSAMENTO E SUAS OPERAÇÕES, DO RACIOCÍNIO E DA
DEMONSTRAÇÃO.
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TIPOS DE ESTRUTURA LÓGICA
• ENTRE PESSOAS;• ENTRE LUGARES;• ENTRE OBJETOS;
• ENTRE EVENTOS FICTÍCIOS;• DE ARGUMENTAÇÃO.
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ESTRUTURA LÓGICA SÃO DIVIDIDAS EM:
• PROPOSIÇÕES
• CONECTIVOS
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PROPOSIÇÃO
DENOMINAMOS PROPOSIÇÃO A TODO CONJUNTO DE PALAVRAS OU SÍMBOLOS QUE EXPRIMEM UM
PENSAMENTO DE SENTIDO COMPLETO.
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PROPOSIÇÕES SÃO DIVIDIDAS EM:
• SIMPLES
• COMPOSTAS
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EXEMPLOS
O AR-CONDICIONADO ESTA LIGADO.
7 < 9
A SALA ESTÁ VAZIA.
PELÉ É O NOME DE UM PLANETA DO SISTEMA SOLAR.
GOSTO DE MAÇA.
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OBSERVAÇÃO
NEM TODA SENTENÇA É UMA PROPOSIÇÃO, OU SEJA, NÃO PODE RECEBER O VALOR LÓGICO
VERDADEIRO OU FALSO.
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EXEMPLOS
SENTENÇA EXCLAMATIVA:
“CARÁCOLES!”
“EITA!”
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EXEMPLOS
SENTENÇA INTERROGATIVA:
“VOCÊ CONHECE A CLAUDIA?”
“AMANHÃ CHOVERÁ?”
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EXEMPLOS
SENTENÇA IMPERATIVA:
“NÃO ME PERTURBE.”
“FALE COM A MINHA MÃO.”
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EXEMPLOS
SENTENÇA SEM VERBO:
“UM DIA QUENTE DE VERÃO.”
“HOJE MESMO.”
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OBSERVAÇÃO
AS SENTENÇAS EXCLAMATIVAS, INTERROGATIVAS, IMPERATIVAS E SEM VERBO ESTÃO FORA DO
ESCOPO DA LÓGICA E NÃO SERÃO ABORDADAS.
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OBSERVAÇÃO
AS PROPOSIÇÕES SÃO SENTENÇAS FECHADAS E QUE PODEM SER CLASSIFICADAS COMO
VERDADEIRAS OU FALSAS.
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UMA SENTENÇA DO TIPO X > 2 NÃO PODE SER CONSIDERADA UMA PROPOSIÇÃO, POIS O
JULGAMENTO DE SUA VERACIDADE VAI DEPENDER DO VALOR ATRIBUÍDO À
VARIÁVEL X.
SENTENÇAS DESTE TIPO SÃO DENOMINADAS ABERTAS.
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EXEMPLOS
“FULANO” É JOGADOR DE FUTEBOL.
3x + 2 = 11
“ELA” É EFICIENTE.
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DENOMINA-SE CONJUNTO UNIVERSO DE UMA SENTENÇA ABERTA AO CONJUNTO FORMADO POR TODOS OS
VALORES QUE A VARIÁVEL PODE ASSUMIR.AO SUBCONJUNTO FORMADO PELOS VALORES DA VARIÁVEL QUE TORNAM A SENTENÇA VERDADEIRA
DENOMINAMOS CONJUNTO VERDADE OU CONJUNTO SOLUÇÃO DA SENTENÇA ABERTA.
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OBSERVAÇÃO
SIMBOLIZAREMOS POR “V” OU “F” OS VALORES LÓGICOS DE UMA PROPOSIÇÃO, REPRESENTANDO,
RESPECTIVAMENTE UMA VERDADE E UMA FALSIDADE .
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PRINCÍPIOS DAS PROPOSIÇÕES
• PRINCÍPIO DA IDENTIDADE;
• PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO;
• PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO.
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PRINCÍPIO DA IDENTIDADE
UMA PROPOSIÇÃO VERDADEIRA É VERDADEIRA EUMA PROPOSIÇÃO FALSA É FALSA.
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PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO
UMA PROPOSIÇÃO E VERDADEIRA OU FALSA, NÃO HAVENDO UM TERCEIRO VALOR LÓGICO.
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PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO
NENHUMA PROPOSIÇÃO É VERDADEIRA E FALSA AOMESMO TEMPO.
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SIMBOLOGIA
PROPOSIÇÕES SÃO SIMBOLIZADAS POR LETRAS MINÚSCULAS.
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EXEMPLOS
p = “NASCI NA CIDADE DO RIO DE JANEIRO.”
q = “FAZ FRIO HOJE.”
r = “A SALA ESTÁ VAZIA.”
s = “CHOVE LÁ FORA.”
t = “SOU FLAMENGUISTA.”
u = “JÚLIO LAVOU O CARRO.”
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PROPOSIÇÃO SIMPLES
UMA PROPOSIÇÃO PODERÁ SER SIMPLES OU ATÔMICA, SE NÃO CONTÉM NENHUMA OUTRA PROPOSIÇÃO COMO
PARTE INTEGRANTE DE SI MESMA .
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EXEMPLOS
p: CARLOS É INTELIGENTE.
q: 7 É UM NÚMERO PAR.
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PROPOSIÇÃO COMPOSTA
UMA PROPOSIÇÃO SERÁ DENOMINADA COMPOSTA OU MOLÉCULA, SE FOR FORMADA PELA COMBINAÇÃO DE
DUAS OU MAIS PROPOSIÇÕES SIMPLES.
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EXEMPLOS
“O PROFESSOR É ALTO OU O FLAMENGO VENCEU O ÚLTIMO JOGO.”
ONDE
p = “O PROFESSOR É ALTO.”
q = “O FLAMENGO VENCEU O ÚLTIMO JOGO.”
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EXEMPLOS
“SE NASCI NA CIDADE DO RIO DE JANEIRO ENTÃO SOU FLAMENGUISTA.”
ONDE
r = “NASCI NA CIDADE DO RIO DE JANEIRO.”
s = “SOU FLAMENGUISTA.”
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EXEMPLOS
“FAZ FRIO HOJE E CHOVE LÁ FORA.”
ONDE
t = “FAZ FRIO HOJE.”
u = “CHOVE LÁ FORA.”
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CONECTIVOS
SÃO UTILIZADOS PARA UNIR AS PROPOSIÇÕES SIMPLES (ÁTOMOS) E ASSIM CRIAR AS
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS (MOLÉCULAS).
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CONECTIVOS
É USUAL REPRESENTARMOS AS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS OU SIMPLES ATRAVÉS DE TABELAS
DAS POSSIBILIDADES DE SEUS VALORES LÓGICOS (V ou F), QUE DENOMINAREMOS TABELAS-VERDADE.
APÓS O ESTUDO DOS CONECTIVOS IREMOS DESENVOLVER UM ESTUDO MAIS DETALHADO
SOBRE AS TABELAS-VERDADE.
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OS PRINCIPAIS CONECTIVOS
• CONJUNÇÃO
• DISJUNÇÃO
• NEGAÇÃO
• CONDICIONAL
• BICONDICIONAL
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CONJUNÇÃO
CONSIDERANDO-SE A PROPOSIÇÃO COMPOSTA “FAZ FRIO HOJE E CHOVE LÁ FORA.”, PODEMOS
ANALISAR O CONECTIVO CONJUNÇÃO, REPRESENTADO PELA LETRA “E” OU PELO
SÍMBOLO “^”.
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CONJUNÇÃO
PROPOSIÇÃO COMPOSTA “FAZ FRIO HOJE E CHOVE LÁ FORA”
p = “FAZ FRIO HOJE”q = “CHOVE LÁ FORA”
CONECTIVO : E = ^
REPRESENTAÇÃO LÓGICA = “p ^ q”
LÊ-SE = p e q
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É verdade que:“Faz frio hoje?”
É verdade que:“Chove lá fora?”
É verdade que:“Faz frio hoje e chove lá
fora?”Sim Sim Sim
Sim Não Não
Não Sim Não
Não Não Não
TABELA-VERDADE COM PALAVRAS
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p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
TABELA-VERDADE COM SÍMBOLOS
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EXPRESSÕES EQUIVALENTES A PROPOSIÇÃO CONJUNTIVA
COM SÍMBOLOS COM PALAVRAS
p mas q Faz frio hoje mas chove lá fora.
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LEI
UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) CONJUNTIVA SÓ SERÁ VERDADEIRA SE TODAS AS SUAS PROPOSIÇÕES
SIMPLES (ÁTOMOS) FOREM VERDADEIRAS. SE PELO MENOS UMA DE SUAS PROPOSIÇÕES SIMPLES (ÁTOMO)
FOR FALSA, A PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) CONJUNTIVA SERÁ FALSA.
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DISJUNÇÃO
CONSIDERANDO-SE A PROPOSIÇÃO COMPOSTA “O PROFESSOR E ALTO OU O FLAMENGO VENCEU
O ÚLTIMO JOGO.”, PODEMOS ANALISAR O CONECTIVO DISJUNÇÃO,
REPRESENTADO PELA PALAVRA “OU” OU PELO SÍMBOLO “v”.
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DISJUNÇÃO
PROPOSIÇÃO COMPOSTA “O PROFESSOR E ALTO OU O FLAMENGO VENCEU
O ÚLTIMO JOGO”
p = “O PROFESSOR E ALTO”q = “O FLAMENGO VENCEU O ÚLTIMO JOGO”
CONECTIVO : OU = v
REPRESENTAÇÃO LÓGICA = “p v q”
LÊ-SE = p OU q
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É verdade que:“O professor é
alto?”
É verdade que:“O Flamengo
venceu o último jogo?”
É verdade que:“O professor é alto ou o
Flamengo venceu o último jogo?”
Sim Sim Sim
Sim Não Sim
Não Sim Sim
Não Não Não
TABELA-VERDADE COM PALAVRAS
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p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F
TABELA-VERDADE COM SÍMBOLOS
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LEI
UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) DISJUNTIVA SERÁ VERDADEIRA SE PELO MENOS UMA DAS SUAS
PROPOSIÇÕES SIMPLES (ÁTOMOS) FOREM VERDADEIRAS.SE TODAS AS PROPOSIÇÕES SIMPLES (ÁTOMO)
FOREM FALSAS, A PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) DISJUNTIVA SERÁ FALSA.
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NEGAÇÃO
A NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO, SIMPLES OU COMPOSTA, É FEITA ATRAVÉS DO MODIFICADOR
~ OU ¬ (negação lógica). CONSIDEREMOS AS SEGUINTES PROPOSIÇÕES SIMPLES:
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NEGAÇÃO
PROPOSIÇÃO SIMPLES:
p = “O PROFESSOR É ALTO”
NEGAÇÃO DA PROPOSIÇÃO SIMPLES:
¬ p = “O PROFESSOR NÃO É ALTO”
NEGAÇÃO ALTERNATIVA
¬ p = “O PROFESSOR É BAIXO”
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NEGAÇÃO
PROPOSIÇÃO SIMPLES:
p = “FAZ FRIO HOJE”
NEGAÇÃO DA PROPOSIÇÃO SIMPLES:
¬ p = “NÃO FAZ FRIO HOJE”
NEGAÇÃO ALTERNATIVA
¬ p = “FAZ CALOR HOJE”
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NEGAÇÃO
CONECTIVO : NÃO = ~ ou ¬ (negação lógica)
REPRESENTAÇÃO LÓGICA = “¬ p”, “¬ q”, “~p” e “~q”
LÊ-SE = NÃO p OU NÃO q
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É verdade que:“O professor é
alto?”
É verdade que:“O professor não é
alto?”
Sim Não
Não Sim
TABELA-VERDADE COM PALAVRAS
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É verdade que:“Faz frio hoje?”
É verdade que:“Não faz frio hoje?”
Sim Não
Não Sim
TABELA-VERDADE COM PALAVRAS
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p ¬p ~p
V F F
F V V
TABELA-VERDADE COM SÍMBOLOS
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Com Símbolos Com Palavras
Não é verdade que p. Não é verdade que o professor é alto.
É falso que p. É falso que o professor é alto.
Não é verdade que p. Não é verdade que faz frio hoje.
É falso que p. É falso que faz frio hoje.
EXPRESSÕES EQUIVALENTES A NEGAÇÃO DE UMAPROPOSIÇÃO SIMPLES
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ATENÇÃO COM A DUPLA NEGAÇÃO
¬(¬p) = p OU ~(~p) = p
“O PROFESSOR NÃO É NÃO ALTO” = “O PROFESSOR É BAIXO”
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CONDICIONAL
CONSIDERANDO-SE A PROPOSIÇÃO COMPOSTA “SE NASCI NA CIDADE DO RIO DE JANEIRO ENTÃO
SOU CARIOCA.”, PODEMOS ANALISAR O CONECTIVO CONDICIONAL,
REPRESENTADO PELAS PALAVRAS “SE ..... ENTÃO” OU PELO SÍMBOLO “→”.
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CONDICIONAL
PROPOSIÇÃO COMPOSTA “SE NASCI NA CIDADE DO RIO DE JANEIRO
ENTÃO SOU CARIOCA”
p = “NASCI NA CIDADE DO RIO DE JANEIRO”q = “SOU CARIOCA”
CONECTIVO : SE ..... ENTÃO = →
REPRESENTAÇÃO LÓGICA = “p → q”
LÊ-SE = p ENTÃO q
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É verdade que:“Nasci na
cidade do Rio de Janeiro?”
É verdade que:“Sou carioca?”
É verdade que:“Se nasci na cidade do
Rio de Janeiro então sou carioca?”
Sim Sim Sim
Sim Não Não
Não Sim Sim
Não Não Sim
TABELA-VERDADE COM PALAVRAS
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p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
TABELA-VERDADE COM SÍMBOLOS
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LEI
UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) CONDICIONAL SÓ SERÁ FALSA QUANDO A PROPOSIÇÃO ANTECEDENTE
(À ESQUERDA) DO CONECTIVO FOR VERDADEIRA E A PROPOSIÇÃO CONSEQÜENTE (À DIREITA) DO CONECTIVO
FOR FALSA.
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BI-CONDICIONAL
CONSIDERANDO-SE A PROPOSIÇÃO COMPOSTA “CHOVE SE E SOMENTE SE FAZ FRIO.”, PODEMOS
ANALISAR O CONECTIVO BI-CONDICIONAL, REPRESENTADO PELAS PALAVRAS “SE E SOMENTE SE”
OU PELO SÍMBOLO “↔”.
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BI-CONDICIONAL
PROPOSIÇÃO COMPOSTA “CHOVE SE E SOMENTE SE FAZ FRIO”
p = “CHOVE”q = “FAZ FRIO”
CONECTIVO : SE E SOMENTE SE = ↔
REPRESENTAÇÃO LÓGICA = “p ↔ q”
LÊ-SE = p SE E SOMENTE SE q
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É verdade que:“Chove?”
É verdade que:“Faz frio?”
É verdade que:“Chove se e somente se
faz frio?”
Sim Sim Sim
Sim Não Não
Não Sim Não
Não Não Sim
TABELA-VERDADE COM PALAVRAS
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p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
TABELA-VERDADE COM SÍMBOLOS
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LEI
UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) BI-CONDICIONAL SÓ SERÁ FALSA QUANDO A
PROPOSIÇÃO ANTECEDENTE (À ESQUERDA) DO CONECTIVO FOR DIFERENTE DA
PROPOSIÇÃO CONSEQÜENTE (À DIREITA) DO CONECTIVO.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
p q ¬p p ^ q p v q p → q p ↔ q
V V F V V V V
V F F F V F F
F V V F V V F
F F V F F V V
TABELA-VERDADE
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TAUTOLOGIA
UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) CUJO VALORLÓGICO É SEMPRE VERDADEIRO, INDEPENDENTEMENTE
DOS VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES(ÁTOMOS) QUE A COMPÕEM, É DENOMINADA
TAUTOLOGIA.
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p ¬p p v ¬ p
V F V
F V V
EXEMPLOS
p v ¬p É UMA TAUTOLOGIA
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
p q p ^ q (p ^ q) → p
V V V V
V F F V
F V F V
F F F V
EXEMPLOS
(p ^ q ) → p É UMA TAUTOLOGIA
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
p q p v q p → (p v q)
V V V V
V F V V
F V V V
F F F V
EXEMPLOS
p → (p v q ) É UMA TAUTOLOGIA
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CONTRADIÇÃO OU CONTRA-VÁLIDA
UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) CUJO VALORLÓGICO É SEMPRE FALSO, INDEPENDENTEMENTE
DOS VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES(ÁTOMOS) QUE A COMPÕEM, É DENOMINADA
CONTRADIÇÃO OU CONTRA-VÁLIDA. A NEGAÇÃO DEUMA TAUTOLOGIA É UMA CONTRADIÇÃO.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
p ¬p p ^ ¬ p
V F F
F V F
EXEMPLOS
p ^ ¬p É UMA CONTRADIÇÃO
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CONTINGÊNCIA
UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) CUJO VALORLÓGICO PODE SER VERDADEIRO OU FALSO, DEPENDENDO
DOS VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES(ÁTOMOS) QUE A COMPÕEM, É DENOMINADA CONTINGÊNCIA. EM OUTRAS PALAVRAS, UMA
PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) QUE NÃO É NEMTAUTOLOGIA, NEM CONTRADIÇÃO, É, PORTANTO,
UMA CONTINGÊNCIA.
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
p q r p v q p ^ r (p v q) ^ (p ^ r)V V V V V VV V F V F FV F V V V VV F F V F FF V V V F FF V F V F FF F V F F FF F F F F F
EXEMPLOS(p v q) ^ (p ^ r) É UMA CONTINGÊNCIA
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO
SEJAM AS PROPOSIÇÕES p E q, TAL QUE:
p = “ESTÁ CALOR”q = “ESTÁ CHOVENDO”
DESCREVER AS SEGUINTES PROPOSIÇÕES ABAIXO:
a) ¬ pb) p v qc) p ^ qd) p → qe) P ↔ q
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SOLUÇÃO
a) ¬ p = “NÃO ESTÁ CALOR”b) p v q = “ESTÁ CALOR OU ESTÁ CHOVENDO”c) p ^ q = “ESTÁ CALOR E ESTÁ CHOVENDO”d) p → q = “SE ESTÁ CALOR, ENTÃO ESTÁ CHOVENDO”e) P ↔ q = “ESTÁ CALOR SE E SOMENTE SE ESTÁ CHOVENDO”
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EXERCÍCIO
SEJA p = “CARLOS É MAGRO” E q = “CARLOS É BONITO”. REPRESENTE CADA UMA
DAS SEGUINTES AFIRMAÇÕES EM FUNÇÃO DE p E q:
a) “CARLOS É MAGRO OU BONITO”b) “CARLOS É MAGRO E BONITO”
c) “SE CARLOS É MAGRO, ENTÃO É BONITO”d) “CARLOS NÃO É MAGRO, NEM BONITO”
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SOLUÇÃO
a) “CARLOS É MAGRO OU BONITO” = p v qb) “CARLOS É MAGRO E BONITO” = p ^ qc) “SE CARLOS É MAGRO, ENTÃO É BONITO” = p → qd) “CARLOS NÃO É MAGRO, NEM BONITO” = ¬ p ^ ¬ q
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO
SEJAM p E q PROPOSIÇÕES, COMPLETE A TABELAVERDADE ABAIXO:
p q ¬p ¬q p → q q → p p ↔ q
V V V
V F F F
F V F
F F V
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SOLUÇÃO
P q ¬p ¬q p → q q → p p ↔ q
V V F F V V V
V F F V F V F
F V V F V F F
F F V V V V V
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO
SEJAM p E q PROPOSIÇÕES, COMPLETE A TABELAVERDADE ABAIXO:
p q ¬p ¬q p v q p ^ q ¬p ^ ¬q ¬p v ¬q
V V F V V F
V F F
F V V V F
F F V V V
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SOLUÇÃO
p q ¬p ¬q p v q p ^ q ¬p ^ ¬q ¬p v ¬q
V V F F V V F F
V F F V V F F V
F V V F V F F V
F F V V F F V V
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO
DETERMINAR O VALOR VERDADE DA PROPOSIÇÃO (p ^ q) → r, SABENDO-SE QUE VAL (p) = V, VAL (q) = v E VAL (r) = F.
P q r p ^ q (p ^ q) → r
V V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
SOLUÇÃO
P q r p ^ q (p ^ q) → r
V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V F VF V F F VF F V F VF F F F V
LOGO O VAL(p ^ q) → r = F
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PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS
EXERCÍCIO
SENDO p UMA PROPOSIÇÃO VERDADEIRA E q UMA PROPOSIÇÃO FALSA, QUAL O VALOR LÓGICO DA
PROPOSIÇÃO COMPOSTA r: (p ^ ¬ q) → q ?
SOLUÇÃO:
p q ¬ q p ^ ¬ q (p ^ ¬ q) → q
V F V V F