Teoria da Escolha.[footnoteRef:1] [1: Estamos usando o formalismo desenvolvido no Livro Teoria Microeconomica de Mrio Henrique Simonsen, Editora da Fundao Getlio Vargas, (1993), Volume 1, captulo 4 Teoria ordinal do Comportamento do Consumidor.]

Nos primrdios da teoria da escolha se trabalhou com uma funo utilidade cardinal, que representaria o prazer ou bem estar gerado pelo consumo de um bem. Entretanto a dificuldade de definir e medir essa funo levou ao desenvolvimento da teoria ordinal, em que a funo utilidade serve apenas para ordenar as preferncias. Por isso vamos comear esse captulo com o conceito de ORDEM.

ORDEM. Sejam e elementos de um conjunto e uma relao entre eles, que pode ser verdadeira ou falsa. A relao uma relao de ORDEM, ou ordenamento, se:

1. For reflexiva, i.e., sempre verdadeira.2.

Antisimtrica, i.e., se e ento . Leia-se, se veradeira e tambm verdadeira, ento . 3.

Transitiva, i.e., se e ento veradeira.

Exemplo: a relao uma relao de ordem? Checando.

1. sempre verdade.2.

Se e ento verdade.3.

Se e ento verdade.

Portanto a relao uma relao de ordem.

J a relao no uma relao de ordem pois falso alm do que o conjunto soluo das duas sentenas e o conjunto vazio.

Um conjunto de pontos ser totalmente ordenvel se para ento ou . Exemplo: o conjunto dos nmeros reais totalmente ordenvel, mas o conjunto dos nmeros complexos no, a menos que a operao seja definida em termos de uma funo de x e y. Vetores no so to facilmente ordenveis quanto os escalares, pois possuem mais de uma dimenso. Mesmo que se tome a norma do vetor [mdulo], existem infinitos vetores com mesma norma que no so ordenveis, em particular a concluso no axioma 2 de ordem deixa de ser verdadeira, pois apesar de possurem a mesma norma so vetores diferentes.

Ordenando cestas.

Vamos denotar uma cesta de bens pelo vetor tal que e a quantidade do isimo bem da cesta. Tambm usaremos a notao se e existe pelo menos um tal que . Em outras palavras, a cesta tem tudo o que a cesta tem e mais alguma coisa.

A questo que se coloca : como comparar cestas? Quem cria o conceito de ordem entre as cestas? Quem decide que o bem vale mais do que o bem ? A teoria da escolha parte do princpio de que as cestas formam um conjunto ordenvel. O consumidor faz a escolha, o ordenamento. Ele sabe ordenar as cestas por ordem de preferncia. Se perguntado, ou chamado a escolher, ele decide qual a cesta preferida sem ficar paralizado como o asno de Buridan.[footnoteRef:2] [2: O paradoxo do asno de Buridan se refere idia de que um burro faminto equidistante de dois montes de feno iguais acabaria morrendo de fome por no conseguir decidir para qual dos dois montes se dirigir. Jean Buridan foi um filsofo e religioso francs que viveu entre 1300 e 1358). Embora tenha se tornado conhecido como o paradoxo do asno de Buridan o problema j havia sido apresentado por Aristteles. [Wikipedia]. ]

Vamos usar a seguinte notao:1.

se a cesta for prefervel .2.

se a cesta for prefervel .3.

se a cesta for indiferente .A indiferena significa que uma cesta to boa quanto a outra. Note que a pergunta que se faz nesse ponto apenas se uma cesta melhor do que outra, mas no quantas vezes a cesta melhor do que a outra, ou seja, est-se falando de um teoria ORDINAL, e no CARDINAL.Teoria da Escolha.A teoria da escolha se baseia em um conjunto de AXIOMAS. Axiomas: Axiomas, ou postulados, so suposies que no podem ser provadas e aceitas como verdadeiras. Concluses lgicas extradas demonstradas atravs dos axiomas so teoremas. Se uma teoria se baseia em um conjunto de axiomas falsos seus resultados estaro errados e a teoria no corresponder aos fatos. Se uma teoria estiver logicamente correta em relao a seus axiomas e um experimento apresentar resultado contraditrio com a teoria ento alguns axiomas, ou pelo menos um deles, ser falso. Axiomas tambm podem ser usados no contexto de definio de certas grandezas por exemplo, se uma grandeza obedece aos axiomas de uma DISTNCIA ser chamada de distncia. Ou aos axiomas de uma INFORMAO. Os axiomas da teoria da escolha so:Axioma da Ordenao:1.

As cestas so comparveis. Dados e ento ou , ou , ou . Axiomas da Indiferena: a indiferena :2. Reflexiva: .3.

Simtrica: se ento .4.

Transitiva: se e ento .Axiomas da Preferncia: a preferncia transitiva.5.

Se e ento 6.

Se e ento 7.

Se e ento

O axioma da transitividade impede que o consumidor seja dutch booked, i.e., perca todo seu patrimnio atravs de uma seqncia de operaes que extraem todo seu dinheiro. Suponha um consumidor com preferncias no transitivas, isto para o consumidor as preferncias so dadas por , mas. O agente possui a cesta nesse caso ele vende a cesta para pelo preo da cesta e mais uma quantidade de dinheiro , pois para . Logo a seguir ele vende a cesta para pelo preo da cesta e mais uma quantidade de dinheiro , pois para . Agora ele vende a cesta para para pelo preo da cesta e mais uma quantidade de dinheiro , pois devido a no transitividade de , . Note que nesse caso ficou com a cesta pela qual pagou o valor da cesta mais uma quantidade de dinheiro . O consumidor pagou a troco de nada. O agente conseguiu montar uma operao para sugar todo o patrimnio de . A concluso que intransitividades no deve ser observada na realidade porque um consumidor desse tipo ficaria sem dinheiro para participar do mercado de bens, a menos que a no transitividade seja muito mais sofisticada ou que pela competio dos arbitradores que pretendem extrair o patrimnio de .

Axioma da No Saciedade [Free disposal descarte livre]8.

Se ento .Axioma da concavidade seccional9.

Se ento para qualquer Axioma da continuidade10.

Se ento .

Em (9) e (10) a operao multiplicao por um escalar segue a lgebra dos vetores, ou seja, . O axioma (9) o da preferncia pela diversidade.

Exemplo, seja a cesta e suponha que as cestas (10,0) e (0,2) sejam indiferentes, ou seja, . Ento, pelo axioma (9), , 5 latinhas de cerveja com 1 kg de picanha prefervel a 10 latinhas de cerveja apenas, ou a dois kg de picanha apenas. Ou seja, prefere-se uma mistura de cerveja e picanha em lugar de apenas cerveja ou apenas picanha.

Teorema da FUNO UTILIDADE. Com esses axiomas podemos mostrar que existe uma funo com as seguintes propriedades: se ento e se ento .

Prova: vamos procurar uma cesta e mostrar que nico. As etapas da prova so as seguintes:1. pelo axioma (8)2.

Seja ento tambm pelo axioma (8).3. Ento as seguintes cestas esto ordenadas: 4.

Pelo axioma (10) ento , ou seja, com .

Com isso provamos que se a cesta . Agora falta provar que nico, ou seja, no podem haver dois s diferentes que satisfaam a relao de indiferena. 5.

Suponha que existam dois s diferentes que satisfaam a relao de indiferena. Se so diferentes um deles maior do que o outro, ou seja, . Mas nesse caso , logo se ento em contradio com a hiptese inicial de que . Logo nico.

Fazendo ento podemos comparar as cestas. Ou seja, se e temos que:

1. Se ento , e ;

2. Se ento , e e,

3. Se ento , e . Ento encontramos uma funo utilidade com as propriedades:

1. Se ento

2. Se ento .

Nesse ponto mostramos que existe uma funo utilidade nica que torna a cesta com todas as quantidades iguais, , indiferente cesta . Note que em um diagrama de curvas de indiferenas em duas dimenses as quantidades so dadas pelos pontos de intercesso das curvas de indiferena com uma reta 45o, como mostra a figura xxx.

Figura xxx. Valor de q para quantificar a funo UTILIDADE. Nesse grfico utilizamos as curvas de indiferena . A quantidade que corta essa curva dada por .

Em princpio bom que essa seja uma funo nica, entretanto, para os propsitos de ordenao isso no necessrio. Note que nosso objetivo apenas encontrar uma funo com as propriedades se e se . Note ento que, para ordenao apenas, qualquer funo pode ser utilizada, pois se ento . O fundamental que a funo seja crescente.

Propriedades da funo Utilidade:1.

A funo utilidade crescente em todas as suas variveis. Matematicamente,, onde s diferente de zero na isima coordenada, se e se . Pelo axioma da no saciedade se e se . Dessa forma para o que significa que CQD.2.

Em um diagrama vs as curvas de INDIFERENA, i.e., , so negativamente inclinadas. Se uma curva de indiferena ento . Fazendo todos os exceto e constantes, ento , logo . Como as derivadas parciais so positivas, ento . Os economistas chamam da utilidade marginal do bem . Isso significa que as curvas de indiferena tm que ser do tipo mostrado na figura 1:

Figura 1. Possveis curvas de indiferena

O que muda entre elas? A convexidade.

Convexidade de uma curva:

Funo cncava: uma funo cncava se para onde a reta secante que une os pontos . Esse o caso da figura 2(a). Funo convexa: uma funo convexa se para onde .Esse o caso da figura 2 (b).

Figura 2. (a) Funo cncava. (b) Funo convexa.

Vamos construir um atravs de um parmetro da forma . Se ento e se ento . Alm disso e , logo pertence ao intervalo . A equao da reta secante que passa pelos pontos e dada por , ou seja, ou, em termos de , , que nos leva, finalmente, a: . Da afirmamos que:1.

Se para ento a funo estritamente cncava.2.

Se para ento a funo estritamente convexa.Aqui podemos usar a expanso em srie de Taylor at segunda ordem desenvolvida no apndice A para demonstrar os seguintes teoremas vlidos para funes de classe Cn com n > 2, ou seja, diferencivel pelo menos duas vezes.

Teorema 1. Se cncava ento

Teorema 2. Se convexa ento

Para isso fazemos ento , o que nos leva a, expandindo em srie de Taylor at segunda ordem. Do outro lado da desigualdade temos que, expandindo em srie de Taylor at segunda ordem se torna:

Para ser cncava exigimos que:

,

ou seja, , que s pode ser satisfeita se , pois logo e . J para ser convexa exigimos que:

,

ou seja, , que s pode ser satisfeita se .

Generalizao da convexidade para funes de .

Seja um vetor em e uma funo escalar que associa um nmero real a um vetor. Ento 3.

Se para ento a funo estritamente cncava.4.

Se para ento a funo estritamente convexa.

Com essas definies matemticas podemos mostrar que as curvas de indiferena so convexas. Se e pertencem a uma curva de indiferena ento . Neste caso . A curva de indiferena ser convexa no caso da figura 4(a) em que e ser cncava no caso da figura 4(b) em que.

Figura 4. (a) Esquerda, curvas de indiferena convexas. (b) Direita: curvas de indiferena cncavas.

No caso da indiferena convexa a cesta da mistura das cestas melhor do que as cestas isoladas, e no caso da indiferena cncava a cesta misturada pior. O axioma da concavidade afirma que , o que significa e a curva de indiferena convexa. CQD.

Assim a funo utilidade crescente e cncava, pois so as nicas que geram curvas de indiferena convexas. Se cncava ento . Mas se e pertencem a uma curva de indiferena ento . Ento sabemos que a funo utilidade crescente e cncava e gera curvas de indiferena convexas.

O problema com uma funo utilidade cardinal que se trata de algo no observvel. Seria necessrio medir a quantidade absoluta de prazer do consumidor para quantificar diferenas de prazer entre duas cestas. Talvez hoje seja possvel medir com RMN a quantidade de serotonina criada no crebro de uma pessoa ao consumir determinadas cestas. Mas para determinar a cesta que ser escolhida isso no necessrio, pois logo se percebeu que bastavam as curvas de indiferenas para tanto. Na teoria ORDINAL a funo utilidade usada apenas para ordenar as preferncias. O valor da curva de indiferena no importa. Tudo o que interessa saber que cestas em curvas de indiferena com valores mais altos so preferveis s cestas em curvas de indiferena com valores mais baixos. Traduzindo, o consumidor consegue comparar cestas e definir a preferida, mas no estabelecer quanto a mais de prazer a preferida lhe fornece em relao outra cesta. Para essa tarefa qualquer funo utilidade que gere as mesmas curvas de indiferena e ordene as cestas da mesma forma to boa quanto qualquer outra. Isso significa que a funo utilidade no nica. Suponha que uma funo utilidade represente o mapa de preferncias de um consumidor. Note que qualquer funo ter as mesmas curvas de indiferenas, pois se constante na curva ento tambm ser constante na mesma curva com o valor . A nica restrio sobre a funo que ela seja monotnica crescente, ou seja, se ento , para manter o ordenamento das preferncias. Logo qualquer transformao de que preserve a ordem uma descrio to boa das preferncias quanto qualquer outra.

Escolha. O consumidor um agente racional que procura maximizar sua funo utilidade , sujeito sua restrio oramentria: , onde o preo do isimo bem. Matematicamente o problema a ser resolvido :

Maximizar sujeito restrio .

Na realidade o problema[footnoteRef:3] deveria ser colocado atravs de uma restrio de desigualdade na forma: o consumidor pode escolher qualquer cesta que custe menos do que sua renda, ou seja, o problema correto seria: maximizar sujeito restrio . [3: Com a possibilidade de transferncia intertemporal de renda no h razo para restringir o consumidor renda imediata, pois ele pode tanto adiantar o seu consumo como poupar para consumir mais no futuro. Mas nesse caso necessrio considerar que o futuro vale menos do que o presente e o problema pode ser colocado como um problema de clculo variacional: Maximizar sujeito restrio de sua renda ao longo da vida xxxxx]

Maximizar sujeito restrio .

Em duas dimenses apenas a restrio oramentria a reta e o mximo ocorre quando a restrio tangencia a curva de indiferena, como mostra a figura 5. Esse resultado tambm pode ser obtido atravs do mtodo dos multiplicadores de Lagrange de otimizao sujeita restrio de igualdade. [escrever apndice sobre maximizao com restries de igualdade e de desigualdade e formalismo de Lagrange e Kuhn-Tucker].

Figura 5. Ponto que maximiza a utilidade do consumidor sujeito restrio oramentria.

Algebricamente podemos escrever que na curva de indiferena ento . Chamamos utilidade marginal do isimo bem e de Taxa Marginal de Substituio [TMS], , ou seja, quantas unidades de x1 se troca por x2 para manter o mesmo bem estar. Por outro lado na restrio oramentria e . Igualando as duas tangentes temos a equao que deve ser resolvida junto com a restrio oramentria . Tome uma transformao monotnica crescente da funo utilidade. Nesse caso e chegando a mesma equao anterior, ou seja, a cesta escolhida ser a mesma quer se tome ou como a funo utilidade.

As duas equaes e , devem ser o suficiente para encontrar uma, e apenas uma, soluo para a cesta escolhida pelo consumidor. Casos patolgicos podem ocorrer com funes no diferenciveis e solues de canto devem aparecer, mas no nosso objetivo um estudo extenso da teoria da escolha.

Preferncias tipo Cobb-Douglas: Um exemplo ilustrativo o das preferncias Cobb-Douglas em que . Neste caso e . A equao escrita como de onde extramos que . Agora levamos esse resultado na restrio oramentria e obtemos de onde podemos calcular e . Preferncias pela coleo. Abrir mo do axioma (9) pode levar curvas de indiferena cncavas. Qual seria a consequncia disso? Neste caso teramos uma soluo de canto, conforme mostra a figura 6.

Figura 6. Curvas de Indiferena cncavas no caso de preferncia pela coleo.Ou se compra tudo do bem 1 ou tudo do bem 2, dependendo da inclinao da restrio oramentria. Trata-se portanto da preferncia pela coleo. O que seria prefervel, 12 pratos azuis, 12 pratos brancos ou uma mistura de 12 pratos com alguns azuis e outros brancos? Esse um exemplo em que a preferncia pela coleo bastante bvia. Entretanto nesses casos comum tratar a unidade do bem como o conjunto de 12 pratos. A mistura de talheres pratos, copos e taas tipicamente uma mistura de coleo, melhor ter tudo igual do que cada talher diferente. Alguns conjuntos de roupas tambm apresentam preferncia pela coleo. Mas j na mistura de queijos e vinhos preferimos a diversidade, misturando queijos e vinhos, em lugar de apenas vinho ou apenas queijo. Nas refeies tambm preferimos a diversidade em lugar da coleo ningum aguentaria comer s arroz, ou batata. BENS e MALES.Um MAL algo que o consumidor prefere no consumir. Ele, basicamente, no gosta do mal. S aceita consumir um MAL em troca de um BEM. Exemplo seria o das mes que negociam a sobremesa [bem] com os filhos que aceitarem consumir brcoli [mal].[footnoteRef:4] A esperana que a criana acabe gostando do mal no futuro, ou tolerando-o. Mesmo um adulto que digere algo que no gosta em troca de boa sade est trocando o mal por um bem, nesse caso a sade. Tomamos remdios amargos em troca de sade, mas sempre na dose mnima necessria. No caso da mistura de um bem com um mal as curvas de indiferena ganham a forma representada na figura 7, se tornando crescentes e cncavas, em lugar das curvas decrescentes convexas apresentada pela indiferena entre dois bens. [4: Em 1989 alguns reporters notaram que o broccoli servido na casa branca voltava intact e pergunatarm ao presidente George H. W. Bush, o pai, a razo. Da ele afirmou com todas as letars que no gostava de brocoli desde criana e que s consumia porque sua me o obrigava e que agora, como presidente dos EUA, no comeria brocoli nunca mais. I do not like broccoli. And I haven't liked it since I was a little kid and my mother made me eat it. And I'm President of the United States and I'm not going to eat any more broccoli. http://www.brainyquote.com/quotes/quotes/g/georgehw110377.html. D para imaginar a reao das mes que se perguntaram se o presidente no devia ser o prmeiro a dar o exemplo para as crianas dos EUS. Alm disso, os produtores de brocoli nos EUA inundaram a casa branca com esse vegetal. Basta digitar as palavras bush and broccoli no google em ingls para achar inmeras referncias a esse fato. ]

Figura 7. Curvas de indiferena entre bens e males convexas.Curvas de indiferena dessa forma significam que se exige cada vez mais do bem para consumir mais do mal. Se pouco j ruim, um pouco mais pior ainda. Espera-se que o consumidor se comporte dessa forma. A outra opo seriam as curvas cncavas mostradas na figura 8. O significado das mesmas que a resistncia para consumir o mal vai diminuindo, ou seja, um pouco a mais no to ruim como a primeira poro. Nesse caso o consumidor comea a gostar do mal to logo comee a consumi-lo.

Figura 8. Curvas de indiferena BEM versus MAL cncavas.Aceitamos o comportamento das curvas convexas como mais natural: se ele j no gosta de pouco no gostar de mais ainda. Em alguns modelos TRABALHO apresentado como um MAL enquanto o LAZER, no trabalhar, considerado um BEM, e s se consome trabalho em troca de um bem, a renda. Hora extra deve ter uma remunerao maior do que a hora de trabalho normal. BEM e MAL so importantes na teoria da escolha do investimento. Retorno um bem, quanto mais melhor, mas risco um mal, s consumido em troca de retorno.PREFERNCIAS INTERTEMPORAIS.

Um dos motivos para a existncia dos mercados financeiras a transferncia intertemporal de renda, pois consumo, tanto no presente quanto no futuro, so dois bens. Um modelo bem simples fornece a intuio necessria para as concluses principais do comportamento dos agentes frente duas estratgias: (1) poupar agora para consumir mais no futuro ou (2) consumir agora a renda futura atravs de emprstimos. So duas opes: (1) consumir agora pagar depois ou (2) pagar agora consumir depois. O modelo simples supe agentes econmicos com apenas dois perodos de vida, presente e futuro, com uma renda conhecida nos dois perodos, e . Nesse caso dizemos que a dotao inicial do nosso agente o vetor . Sem mercado financeiro a nica opo de transferncia intertemporal de renda desse agente deixar de consumir parte da renda presente para consumi-la no futuro. O caso mais drstico seria o caso em que ele deixa tudo para consumir no futuro. Essa situao est representada no grfico da figura 9. Isso representa a restrio oramentria desse agente para consumir a cesta (presente, futuro).

Figura 9. Restrio oramentria entre presente e futuro para uma dotao inicial dada sem mercado financeiro. No exemplo escolhemos a dotao inicial (45,40) e a reta tem uma inclinao de 45o.

Como o mercado financeiro muda essa restrio? Agora se o agente decidir poupar parte de sua renda presente vai receber um retorno R sobre a mesma. Podemos encontrar a equao dessa reta atravs da seguinte equao onde o consumo no futuro, o consumo no presente e a poupana [que pode ser negativa]. Os dois limites so dados por e , ou e . Esses dois casos limites so: (1) poupar toda a sua renda presente e consumir no futuro , o que poupou mais o retorno obtido no mercado financeiro com essa poupana; (2) tomar emprestado toda a sua renda futura e consumir tudo j, mas lembrando de guardar os juros para quitar a dvida no futuro, ou seja, , que implica em . Note que para consumir toda a renda futura no presente ele precisaria pedir emprestado para poder quitar sua dvida com o que ir receber no futuro.Vamos reescrever a equao da reta de trs formas:

(1)

(2)

(3)

Na forma (1) percebemos que a inclinao da reta s depende da taxa de juros e que a reta, obviamente, passa pela dotao inicial , pois se ento . A forma (2) afirma que a restrio oramentria sobre tal que mantm constante o valor futuro da dotao inicial. Na forma (3) quem preservado o valor presente. J vimos no captulo (1) que o valor presente da dotao inicial do nosso agente. Ele pode ento consumir qualquer cesta que possua o mesmo valor presente. A restrio oramentria agora fica na forma mostrada na figura 10.

Figura 10. Restrio oramentria entre presente e futuro para uma dotao inicial dada na com mercado financeiro. No exemplo escolhemos a dotao inicial (45,40) e uma taxa de juros de 20%, ou seja, a tangente da reta vale -1,2.

A figura 11 ilustra dois casos, o do poupador, que prefere aumentar seu consumo futuro poupando no presente, e do impaciente, que prefere poupar mais no presente s custas do futuro.

Figura 11. Esquerda: caso do poupador que prefere diminuir o consumo presente e poupar parte para o futuro. Direita: caso do impaciente, tomador de emprstimo, que compromete parte da renda futura em favor de um consumo maior no presente.

Sem mudanas nas taxas de juro, ou desconto, quaisquer duas dotaes com o mesmo valor presente pertencem essa mesma reta de restrio oramentria, pois possuem um ponto em comum, o valor presente que o intercepto da abscissa, e a mesma inclinao. Retas com diferentes valores presentes so deslocadas rigidamente, mantendo-se paralelas, como mostra a figura 12. Duas curvas de mesmo valor presente jamais se cruzam.

Figura 12. Restries oramentrias de duas dotaes iniciais com valores presentes diferentes. O Valor Presente da dotao azul mais alto do que o da vermelha.

Isso mostra que o critrio de escolha entre duas aplicaes que geram rendas futuras sempre o de escolher a aplicao com o maior valor presente. Quanto maior o valor presente maior o bem estar, como mostra a figura 13.

Figura 13. Maior valor presente significa maior utilidade, ou maior bem estar.Se a taxa de juros desce ou sobe a restrio oramentria simplesmente gira pivotando em torno da dotao inicial como mostra a figura 14. Isso no muda o status de um agente entre poupador ou impaciente, embora mude a quantidade que decide poupar ou tomar emprestado. O poupador sai ganhando quando a taxa de juros sobe, enquanto o impaciente ganha quando a taxa de juros cai.

Figura 14. Esquerda: diminuio na taxa de juros gira a reta no sentido horrio, fica menos inclinada. Direita: aumento na taxa de juros gira a reta no sentido anti-horrio, fica mais inclinada.

Dois exemplos podem ilustrar a situao de agentes econmico com propenso a poupar ou a adiantar o consumo. Suponha que o agente A acabou de passar em um concurso pblico do qual no pode ser despedido e com boas perspectivas de promoes. Esse agente tem boa certeza das rendas futuras e pode ento financiar seu consumo futuro, principalmente de bens durveis como carro e casa. Agora considere o agente B que tem um bom salrio em uma empresa que est sendo negociada. Ele avalia que existe uma boa chance de perder o emprego, ou seja, de no poder mais contar com a renda no futuro. Nesse caso sua tendncia poupar para preservar o consumo futuro. Nas crises a maioria das pessoas tende a poupar. Quando a economia cresce por vrios anos seguidos a maioria das pessoas confia que o futuro ser melhor do que o presente e tende a apressar o consumo via financiamentos. Um caso em que a situao fica mais complicada o caso em que a taxa de juros que o agente consegue receber ao poupar menor do que a taxa de juros que paga em seus emprstimos. Na nossa definio de valor presente, como o intercepto da abscissa, a taxa de desconto deve ser a taxa em que se toma emprstimo. Ela permite trazer o futuro para o presente. Nesse caso, de taxas de juros diferentes, a restrio oramentria, apesar de contnua, ficaria quebrada em torno da dotao inicial como mostra a figura 15. Agora possvel que dotaes iniciais com diferentes valores presentes se cruzem, principalmente se a dotao de valor presente mais alto tiver muito pouca renda no futuro e a de valor presente mais baixo muito pouca renda no presente. Como as inclinaes mudam as duas curvas podem se cruzar.

Figura 15. Imperfeies no mercado financeiro, como taxas de juros diferentes para operaes tomar emprstimo e emprestar criam restries oramentrias quebradas, embora contnuas.

Em sntese, se percebe que a existncia do mercado permite transferir a renda no tempo e que isso melhora o bem estar dos agentes econmicos em qualquer caso. Outro ponto importante desse mercado que ele pode se equilibrar sozinho, porque existem os dois lados, pessoas que desejam poupar e pessoas que desejam tomar emprstimos, ou seja, demanda e oferta por crdito. Aqui analisamos a transferncia intertemporal de rendas apenas sobre a ptica do consumidor, embora exista tambm a ptica do investidor. Nesse caso no se trata mais de apressar o consumo mas de construir um negcio que vai gerar rendas no futuro. Seus clculos no passam por um funo utilidade, mas pelas expectativas de ganhos e uma anlise de risco. Ele toma emprstimo acreditando que a renda gerada pela sua aplicao lhe permitir pagar suas dvidas. No nosso propsito se aprofundar, nesse momento, nesse tpico.

Escolha frente a incerteza.Definies de INCERTEZA e RISCO foram feitas por Knight no trabalho Risk, Uncertainty and Profit de 1921. INCERTEZA: falta de certeza a existncia de mais de uma possibilidade. Se todas as possibilidades so conhecidas e possvel associ-las a uma probabilidade ento possvel QUANTIFICAR a incerteza. RISCO: uma incerteza na qual alguns resultados causam prejuzo. Se a incerteza quantificvel ento o risco tambm quantificvel. Pode existir incerteza sem risco, mas no risco sem incerteza. Tambm existe uma definio de risco e incerteza da seguinte forma: Risco quando se pode quantificar as probabilidades, enquanto na incerteza no possvel quantific-las. Quando mesmo sem saber quantificar as probabilidades de determinadas situaes possvel descrever as situaes possveis, ento ainda existe a estratgia de escolha maxmin, mximizar o mnimo, para os investidores. Note que nesse caso se sabe que se determinado evento ocorrer ento determinado ttulo valer tanto, mesmo sem saber qual a probabilidade do evento ocorrer. Caso pior seria no ter a menor idia do quanto ser o valor do ttulo. A estratgia maxmin se aplica aos casos em que possvel saber os valores em cada situao mesmo sem saber as probabilidades de cada situao. Simonsen tambm distingue a incerteza entre absoluta, onde nada se pode afirmar sobre as probabilidades, e relativa, na qual possvel estabelecer uma faixa para as probabilidades, com a probabilidade mnima e probabilidade mxima. Aqui vamos analisar apenas a escolha frente ao risco considerando que risco uma situao incerta em que se conhecem as probabilidades.Investimento so gastos presentes na expectativa de auferir rendas no futuro. Mas o futuro incerto. Como o agente escolhe frente a essas situaes? Vamos examinar apenas o caso de riscos em que possvel saber quais os acontecimentos possveis no futuro e as probabilidades de que ocorram. Um ESTADO da natureza qualquer situao capaz de influenciar os rendimentos auferidos. Podem ser tanto da natureza em si, como chover ou no chover para um agricultor, quanto de carter social, como a chance do congresso passar um lei contra os transgnicos, ou o governo decidir taxar determinadas importaes. Consumo contingente o consumo duvidoso, incerto, que pode ou no acontecer. Exemplo, se o estado da natureza A ocorrer o consumo ser CA, j se ocorrer o B o consumo ser CB. Note que o consumo ser um ou outro e no possvel criar uma cesta misturando CA e CB. Os agentes econmicos se perguntam se devem ou no fazer um seguro, se participam ou no de uma loteria, em que aplicaes investir seu patrimnio. O estudo do comportamento do consumidor frente a situaes de risco se inicia com o famoso livro Theory of Games and Economical Behaviour de Von Neumann & Morgenstern na dcada de 1930. Esse livro demorou a ser digerido pelos economistas devido forma econmica com que foi escrito, utilizando ao mximo a linguagem matemtica. Entretanto, ganhou uma importncia fundamental quando foi, finalmente, digerido.

O que Von Neumann & Morgenstern mostraram foi que em situaes de consumo contingente a utilidade aditiva, i. e., . Isso no verdade para a combinao de duas cestas, pois existem influncias da quantidade de uma cesta sobre a utilidade da outra. O que muda completamente no consumo contingente que s se pode consumir realmente a cesta ou a , mas no a cesta . Vamos iniciar com os aximas de participao em loterias e ver se eles nos levam a essa combinao linear das utilidades.

Antes de mais nada vamos definir a loteria atravs da notao como um jogo em que o apostador tem probabilidade de receber a cesta , ou seu equivalente em renda, e de receber a cesta . Os axiomas da escolha sobre risco so:1.

Ordenao: o apostador pode ordenar as loterias por ordem de preferncia, de modo que , ou ou .2.

Continuidade: se ento .

Note que uma cesta certa enquanto incerta. Se perder o apostador fica com e se ganhar fica com . Dado ele avalia se o risco compensa ou no. Note que se ele no joga pois equivaleria a trocar por com certeza, e ele prefere a cesta . J se ele joga pois a loteria equivale a trocar a cesta pela , com , com certeza. Assim sabemos que nos dois extremos de , 0 e 1, ele no troca, , ou ele troca. Logo o axioma afirma que existir um valor intermedirio em que a cesta e a loteria so indiferentes. Descobrir esse uma avaliao que compensa para o apostador. 3.

Comparando Loterias: Axioma da dominncia estocstica. Se e ento , ou seja, o agente prefere a loteria com maior chance de ganhar a cesta preferida. [Colocar no apndice discusso sobre dominncia estocstica de 1 e 2 ordens o axioma da dominncia estocstica de segunda ordem basicamente afirma que a comparao de duas loterias com mesma esperana prefervel aquela com menor varincia, ou seja, maior certeza do resultado final.]4.

Indiferena: Se ento 5.

Finalmente o axioma da complexidade, o mais importante. O apostador considera uma loteria de loterias equivalente a uma loteria apenas, usando as regras das probabilidades compostas, ou seja: no caso em que e .

Considere as cestas . Agora, sabendo a utilidade da cestas certas e e que, pelo axioma (2), existe um , conclumos que . Por outro lado, pelo axioma (10) da teoria da escolha, sabemos que . Isso significa, ento, que:

Agora precisamos de um argumento para estabeler que . Existem dois casos certos , no qual , e , no qual . Assim, para , e para , . Como a funo linear em , o fato de que para dois valores implica que sempre.

Assim definimos a funo utilidade de uma loteria atravs de . A escolha das cestas arbitrria, e podemos mostrar pelos axiomas que poderiam ser duas outras cestas quaisquer. Ou seja, se e queremos mostrar que:

.

Na escala temos que existem e tais que e . Mas por outro lado logo, pelo axioma da complexidade, .

Ento, na escala temos:

Para mudar da escala para a escala usamos o sistema de equaes

para substituir e por e . Para isso escrevemos o sistema na forma matricial:

que pode ser invertida para fornecer:

ou seja: e . Levando em temos:

Portanto: CQD.

Utilidade em renda de uma loteria.

Vamos substituir por , por e por , onde o equivalente em renda de uma cesta, ou seja, . Em outras palavras o quanto se est disposto a pagar pela cesta. Pela teoria ordinal, em princpio, qualquer funo que preserve a ordem poderia ser usada. Sejam e duas transformaes de funes utilidades e sabemos que . Como as duas funes so igualmente vlidas ento:

Ento

Mas substituindo na equao acima temos que ou que:

. Isso significa que as transformaes possveis para a funo utilidade da renda so lineares, da forma. Transformaes, mesmo monotnicas, como , etc, no so vlidas no caso da utilidade da renda.

Coeficientes de Averso/Propenso ao risco.Considere um agente econmico com duas opes:1. A renda certa.2.

A loteria com .

Note que a esperana de renda da loteria igual a renda certa . Qual das opes ele escolhe? Ele escolhe a opo com maior funo utilidade, por isso, a escolha depender de quem maior ou . Por outro lado ento a escolha depender da concavidade/convexidade da curva da funo utilidade.

Se prefere a renda certa. Nesse caso o agente possui averso ao risco. J se ele prefere a loteria. Nesse caso o agente possui propenso ao risco. Finalmente, se tanto faz. Nesse caso ele indiferente, ou neutro, ao risco. A figura 16 mostra os trs casos, de averso, propenso e neutralidade ao risco. Se convexa, existe propenso ao risco, se cncava, averso ao risco, se for um reta, neutralidade ao risco.

Figura 16 curvas cncava [averso ao risco], convexa [propenso ao risco] e linear [neutro ao risco]

Usualmente as pessoas so avessas ao risco. De quanto? Como medir a averso?

Se existe averso a funo utilidade da renda cncava, logo sua derivada segunda deve ser negativa. Poderamos usar a derivada segunda da funo utilidade como um coeficiente de averso ao risco? Algo como ? Problema com esse ndice que uma outra funo to boa quanto a mas geraria um coeficiente diferente. Ento estamos procurando um ndice INVARIANTE frente a uma transformao linear. Vamos tentar . Na transformao linear e logo . O ndice , portanto, invariante frente a uma transformao linear. Esse o chamado coeficiente de averso ao risco de Arrow-Pratt. A nica dificuldade com ele que possui dimenso, de inverso de renda, pois . Para obter um ndice adimensional Arrow criou o coeficiente de averso ao risco relativo .

Funo utilidade com averso ao risco constante.

Tome , ento e logo . Trata-se portanto de uma curva iso-risco.

Funo utilidade com averso relativa ao risco constante.

Tome , ento e logo .

Prmio de Risco.

Prmio de risco a esperana de lucro que o agente cobra para participar de uma loteria com esperana de ganho . Ou seja, ele paga para participar de uma loteria com renda esperada com . At quanto ele paga para participar dessa loteria? Figura 17 mostra essa situao. Se ele avesso ao risco ele s troca a renda certa pela loteria se , onde . Para calcular o prmio de risco mximo devemos resolver a equao de igualdade .

Figura 17 prmio de risco exigido por um apostador avesso ao risco, que paga o valor de uma renda certa com a mesma utilidade da loteria.

Vamos utilizar os seguintes truques:1.

2.

3.

Expandir at segunda ordem .4.

Tirar a esperana dessa expanso: e usar o fato de que e , a varincia, para obter .5.

Supor um pequeno e expandir at primeira ordem , ou

Igualando os dois lados de onde tiramos que . Esse o mximo prmio de risco que o agente paga para participar da loteria com esperana de renda . Note que quanto mais avesso ao risco maior o prmio de risco que ele exige e, tambm, quanto mais arriscado, maior varincia , maior o prmio.

Curvas de Indiferena risco-retorno

Expandindo a funo utilidade em srie de Taylor at segunda ordem temos que onde sempre e se h averso ao risco, se h neutralidade ao risco e se h propenso ao risco. Seja e , logo . Nesse caso . Considerando que h averso ao risco , precisamos restringir a expanso regio em que para garantir o axioma da no saciedade mais sempre melhor. Nesse caso ou . Inclinao das curvas de iso-utilidade.

, logo . Mas sempre e . Com isso percebe-se que sempre e que se h averso ao risco, na neutralidade ao risco e na propenso ao risco. Desse modo se h averso, se h neutralidade e se h propenso ao risco. Para descobrir a concavidade das curvas de indiferena risco-retorno, , vamos completar quadrado na expresso da seguinte forma:

Que so crculos com centro em . Se h averso, , o crculo est centrado na parte positiva do eixo vertical. Se h propenso o crculo est centrado na parte negativa do eixo vertical. Aposta

Suponha um agente com riqueza W [wealth]. Suponha uma loteria com ganhos proporcionais, ou seja, se investiu a quantidade h uma probabilidade de ganhar (g = good), com e de ficar com (b = bad), com . Se ele apostar na loteria teria as seguintes rendas contigentes:

Good:

Bad:

Naturalmente ele possui a opo de nada apostar e continuar com W. Se ele apostar a esperana de sua utilidade ser . O agente maximiza sua utilidade esperada. Vamos expandir as funes utilidades em srie de Taylor at segunda ordem:

. Note que logo a concavidade/convexidade da parbola ser definida por .

Uma parbola do tipo ter concavidade para cima se a > 0 e para baixo se . O ponto de mximo ou mnimo est em , ou seja, em . No nosso caso, se a parbola possui concavidade para cima e as duas opes so: investir todo W ou no investir nada, como mostram as figuras 18 (a) e (b).

(a) (b)

Figura 18. Caso do coeficiente de positivo. (a) Apostar nada pois .

(b) Apostar tudo pois .

Por outro lado se a parbola tem concavidade para baixo e dependendo do sinal do termo com ela pode ter seu mximo para negativo, caso em que o agente nada investe na loteria, ou entre , caso em que ele investe uma frao de sua riqueza, ou ainda para , caso em que ele investe tudo. S haver aposta, portanto, se .

(a) (b) (c)

Figura 18. Caso do coeficiente de negativo. (a) Apostar nada pois mximo no intervalo . (b) Apostar a frao correspondente ao mximo da parbola. (c) apostar tudo pois mximo no intervalo .

Sntese: agentes avessos ao risco s aceitam participar de um investimento arriscado se avaliarem as probabilidades seu favor, ou seja, investem se, e apenas se, [footnoteRef:5]. Entram para sair ganhando. No colocam toda a sua renda no investimento, apenas parte dela. Usualmente so agentes com renda certa procurando uma oportunidade de ampliaao de renda. Eles so chamados de ESPECULADORES. [5: Comentrios: Loterias so vendidas e compradas em todo o mundo, inclusive por governos. Claramente so loterias em que a sorte est do lado do vendedor da loteria como ento encontram compradores? Elas usam de artefatos para modificar o comportamento do apostador. Muito tpico cobrar valores muito pequenos e colocar prmios muito altos. To alto que o consumidor sequer sabe avaliar a utilidade [prazer] de tanto dinheiro, ou seja, no sabe mais a utilidade . Se perder vai doer muito pouco, quase o equivalente ao prazer de sonhar que ganhou. Casinos vendem o prazer de jogar. Mesmo sabendo que se vai perder o apostador paga pelo prazer de jogar em um casino, que pode ser divertido dentro de certos limites. Jogar d prazer, tanto que pessoas compram video games, e jogam sem qualquer perspectiva de ganhos. Existem tambm os apostadores que avaliam suas chances totalmente fora da racionalidade. No se trata de no saber calcular as probabilidades, mas de acreditar em foras acima da compreenso humana exemplo o caso de algum que sonhou com alguns nmeros e acredita se tratar de uma voz do alm lhe dizendo os nmeros que sairo do sorteio. Esses comportamentos idiossincrticos so desconsiderados pelo mercado financeiro. Os participantes do mercado financeiro so profissionais, os ganhos so pequenos quando comparados com as loterias tpicas, os custos e os riscos so altos e s h prazer em GANHAR. Portanto se assume que os participantes do mercado financeiro so racionais ao mximo possvel. ]

O problema que esse fato cria : se todos os agentes possuem averso ao risco quem vai ofertar a loteria com probabilidade contrria ao vendedor da loteria? Qual seria a contraparte dos apostadores nesse mercado? Esse um jogo de soma ZERO, se algum ganha outro perde.

HEDGERA contraparte do ESPECULADOR o HEDGER. Hedge significa cerca, barreira, limite. O verbo to hedge significa precaver-se atravs de medidas compensatrias contra possvel prejuzo. Quem pratica o hedge um hedger. O hedger no tem a opo de no participar de uma loteria, na qual est envolvido por conta de seu negcio. Tome o exemplo de um agricultor cuja renda depende das condies de clima e de solo, se vai chover ou no, e ainda de variaes no preo final do seu produto por excesso de oferta. Esse agente, portanto, aceita perder parte de sua renda esperada para algum que assuma os riscos que est correndo. Pode-se dizer que o hedger vende o seu risco para o especulador. Trata-se portanto de uma operao de distribuio de riscos. Fazer seguro um hedge, mas tanto em portugus quanto em ingls, se considera seguro [insurance] quando o agente compra o hedge de uma seguradora contra acidentes bem especficos. Quando o prprio investidor vai ao mercado procurando precaver-se e faz os seus prprios contratos se diz que um hedger. Usualmente ele procura um investimento oposto ao do seu negcio. Exemplo: ele tem uma dvida em dlar a ser paga em n perodos, e uma renda certa, mas em reais, mas tem receio de que a taxa de cmbio no momento do pagamento inviabilize a quitao de sua dvida. Ele vai ento ao mercado futuro, ou a termo, e pr-contrata o cmbio a uma taxa prefixada para o dia de seu pagamento. Note que ele est disposto, inclusive, a fazer um negcio prejudicial a si, dadas as probabilidades, para ter certeza da renda futura em dlar. Esse agente entra no mercado sabendo que vai perder. A pergunta : perder quanto? At que valor ele estaria disposto a pagar para algum assumir o seu risco? Ou, se houver um seguro, at quanto est disposto a pagar pelo seguro? Fazendo SEGURO

Suponha que um agente se encontre em uma situao arriscada em que apenas dois resultados podem ocorrer: BOM e RUIM [Good e Bad]. Se Bom ocorrer ele recebe e se Ruim ocorrer ele receber , ou seja, ter um prejuzo de . O que ele pode fazer em relao a essa situao? SEGURO! Seguro de que valor e por qual custo? Vamos deixar que o agente decida o valor segurado, que ele receber caso a situao Ruim acontea. Por esse seguro ele paga o prmio , onde o preo do seguro.

Sem o seguro a situao do agente era e depois do seguro mudou para . Note que se ele est na situao inicial. Variando ele pode escolher qualquer ponto de uma reta que passa por no grfico de . Para achar a reta basta eliminar o das equaes paramtricas:

(1)

(2)

Tirando de (2) temos e substituindo em (1) obtemos que pode ser reescrito como , que equao de uma reta com intercepto e coeficiente angular negativo , conforme mostra a figura xxx. Note que o ponto pertence a essa reta. Faa , ento . Essa reta basicamente sua restrio oramentria. Por completeza podemos traar a reta at a intercesso com eixo y, mas a parte da reta com no faz sentido econmico, pois o agente precisaria de negativo, ou seja, passou a vender seguro, em lugar de comprar, para ficar em uma situao pior do que a inicial. Consumo nos casos bom ou ruim so bens, logo as curvas de indiferena entre os dois deve seguir o padro da teoria da escolha e o consumidor de seguro escolhe o ponto de tangncia com a sua restrio oramentria mostrado na Figura 19.

Figura 19. Agente com renda incerta. Reta vermelha: restrio oramentria com seguro. Curva azul: curva de indiferena. Linha tracejada preta: posio inicial [dotao inicial] que no maximiza o bem estar do agente que faz seguro at a posio final da linha tracejada vermelha.

SEGURO JUSTO. Suponha que a probabilidade de ruim ocorrer seja , logo a de bom ser , a utilidade esperada do agente ser: . Ele maximiza essa utilidade sujeito restrio . Na curva de indiferena temos que , ou seja, . J na restrio temos ou . No ponto de tangncia vale a equao:

que deve ser resolvida junto com a restrio . S com a forma explcita da funo utilidade ser possvel calcular o ponto de equilbrio final do nosso agente, exceto para um caso especial chamado de SEGURO JUSTO.

O seguro chamado de justo se e a seguradora no teria qualquer lucro em prazo longo. Nessa situao a equao acima se torna . Aqui as propriedades da funo utilidade nos auxiliam, pois e so funes injetores, monotnicas, e a nica forma de . Nesse caso, portanto, o agente faz seguro at que seu consumo seja o mesmo nos dois casos, bom ou ruim. Para tanto ele faz e fica com a renda final de . Nesse mercado de seguros o agente trocou uma posio de loteria por uma renda certa em qualquer situao, em que era o prejuzo que teria se ruim ocorresse. Se a outra ponta do seguro um especulador o seguro justo no existir, pois apenas agentes neutros ao risco o ofertariam. No mercado real e nem sempre h liberdade na escolha do a ser segurado. Seguro de carro, por exemplo, deve seguir a avaliao de mercado do carro. No Hedge, feito por conta prpria, o agente decide quanto de vai investir.[footnoteRef:6] [6: Comentrios: No caso de seguros como seguro de vida, seguro mdico e outros, a estatstica em uma populao muito grande to boa que a seguradora sabe exatamente de quanto ser seu custo anual. Um seguro justo aqui seria aquele em que a seguradora recebe exatamente o que vai gastar. Seria o caso de uma cooperativa onde os participantes decidem se reunir e cobrar de si mesmos os custos de sinistros que ocorrero naquela ano, antes de saber quem vai sofrer o acidente. Mesmo nesse caso no se pode cobrar apenas o valor que ser gasto por conta das despesas de administrao. Algum deve ter trabalho de anotar todos os pagamentos e despesas e de investigar os acidentes que ocorreram para evitar fraudes, e essa (s) pessoa(s) devem ser remuneradas. Para uma empresa privada deve-se acrescentar uma taxa de lucro normal de mercado alm do custo de administrao. Seguradoras enfrentam o famoso RISCO MORAL pelo qual cobram uma FRANQUIA. O risco de um carro ser roubado diminui se o proprietrio toma certas preucaes instalar alarme, trancar as portas, evitar regies de alta incidncia de roubo de carros, etc. Mas se ele no tiver qualquer custo no h incentivos a tomar essas preucaes. Pior do que isso, ele pode at deliberadamente facilitar o roubo do carro para comprar um novo. A franquia representa um valor no ressarcido que deve ser suficientemente doloroso para incentivar as precaues do cliente, mas suficientemente baixo para que o cliente a suporte. Sem a franquia as seguradoras teriam dificuldades financeiras graves. No caso de seguros mdicos se no h qualquer nus para os segurados a tendncia dos pacientes utilizarem servios desnecessariamente alta, o que aumenta os custos. Pior ainda, apenas mdico e paciente sabem quais foram realmente os servios prestados e possvel que o mdico exagere na conta. Como o paciente nada paga no h qualquer incentivo para que ele controle o mdico [a no ser que decida compartilhar com o mdico a renda extra indevida]. Se o paciente tiver que pagar uma frao, por menor que seja, dos servios que lhe foram prestados ele controlor as contas dos mdicos, que por sua vez, tenderiam a no exagerar. Realizar essa fiscalizao de outra forma, como um mdico fiscalizador, ser cara, complicada e gera muitas brigas entre os prprios mdicos. Seguradoras que atuam em segmentos com as probabilidades bem conhecidas envolvendo populaes imensas, como seguros mdico, de vida, acidentes de carro, etc, no deveriam ir a falncia nunca, pois todo ano recebem dos segurados o montante para os custos, incluindo os administrativos, e o lucro. Se na crise financeira de 2008 grandes seguradoras faliram isso s pode ter ocorrido porque utilizaram o dinheiro dos segurados para aplicaes arriscadas no mercado financeiro que evaporaram com a crise. O prejuzo para a populao como um todo da falncia de uma seguradora alto. Quem cobrir os prejuzos dos segurados? Quem manter a famlia de um segurado que faleceu? Nesse caso deveria haver uma legislao isolando as seguradoras do mercado financeiro. ]

Voltando ao Mercado FinanceiroPara distribuio de riscos, portanto, o mercado financeiro conta com os:ESPECULADORES assumem os riscos com a sorte a seu favor.HEDGERS contrata operaes financeiras para diminuir sua exposio ao risco e evitar prejuzos maiores. Aceita perder parte de sua renda esperada para o especulador desde que esse assuma seus riscos.RISCO TEM PREO. Risco pode ser comprado e pode ser vendido! Existe todo um mercado para isso. Agentes com rendas certas especuladores entram para ganhar. Agentes com rendas incertas hedgers entram para distruibirem seus riscos aceitando compartilhar parte de sua renda esperada.Sem especuladores no existiriam os hedgers.

ARBITRAGEM: LUCRO SEM RISCO.Existe um terceiro agente, entretanto, que deseja ter lucro sem correr riscos e sem entrar com capital prprio. Para isso utiliza operaes de ARBITRAGEM. Est sempre procurando diferenciais de preos para lucrar com a diferena. Exemplo de arbitragem: suponha que a taxa de juros em So Paulo seja menor do que a taxa do Cear. O arbitrador toma emprstimo em So Paulo e empresta esse dinheiro no Cear pelo mesmo perodo. No final do perodo ele recebe o dinheiro no Cear e paga o que deve em So Paulo. Aqui valem comentrios: se o diferencial de taxas de juros for devido a diferena do risco de recebimento dos emprstimos nas duas praas o nosso arbitrador logo descobrir que est correndo risco. Essas operaes deveriam ser realizadas com ativos negociados em mercados abertos, como bolsas, com garantias, para diminuio dos riscos a nveis desprezveis. Alm disso, os dois negcios devem ser fechados quase simultaneamente, para evitar risco de liquidez, ou seja, no encontrar algum disposto a tomar emprstimo no Cear. Hoje as operaes de arbitragem so realizadas eletronicamente. A arbitragem um negcio to bom, que no haveria limites para ela. Como o arbitrador no usa capital prprio, seu nico limite o limite de crdito. Mesmo que cada arbitrador tenha um limite de crdito nada impede qie o nmero de arbitradores se torne gigantesco. Como a operao causa prejuzo a algum, dentro de pouco tempo o prejudicado quebraria. Isso to forte que a sentena: lucro de operaes de arbitragem devem ser nulos, se tornou quase uma lei [no sentido de lei cientfica]. Muitos modelos de precificao utilizam a suposio de que o mercado no permite arbitragem. Por exemplo, um desses modelos o APT [Arbitrage Pricing Theory]. A suposio bsica sobre mercados eficientes de que o lucro de operaes de arbitragem so NULOS.

Um outro exemplo muito interessante foi desenvolvido por Simonsen. Suponha uma sociedade capaz de conhecer o futuro, logo o risco foi eliminado. Vamos chamar a promessa de pagar 1$ no tempo . Obviamente que , pois dinheiro no presente vale mais do que no futuro . O ndice no usado para permitir que esse valor mude com o tempo. Por outro lado pois corresponde a trocar no mesmo instante 1$ por 1$. Se um agente vende um ttulo prometendo pagar aps perodos, o valor desse ttulo no presente ser . Agora afirmamos ad hoc [para ser demonstrado a seguir] que o valores devem obedecer a relao , ou haver oportunidade de arbitragem.

Suponha que a igualdade no seja vlida e que . O arbitrador vende uma promessa de pagar em pela qual recebe . Usa todo esse dinheiro para comprar uma promessa de pagamento para . Neste caso e ele receber no final o valor de . At esse ponto ele no entrou com dinheiro prprio algum e jogou tudo para o futuro. O momento crtico no qual ele deve pagar sem ter o dinheiro. Ento em ele vende outra promessa de pagamento para para arrecadar o que necessita. Nesse caso com o qual quita sua obrigao e joga tudo para o momento final. Em ele deve receber e pagar e haver lucro se , ou seja, , que foi a suposio inicial. Logo para no existir oportunidade de arbitragem . Entretanto a desigualdade tambm no pode porque ele pode desenvolver uma operao de arbitragem nesse caso invertendo todas as operaes, compra vira venda e vice-versa. Ento a relao que no permite arbitragem.

Um caso interessante o caso estacionrio em que constante no tempo . Nesse caso a relao de no-arbitragem se torna . Fazendo mostra-se que . Agora para e ento . Supomos que verdeiro e fazendo mostramos que . Esse o nosso caso conhecido como o fator de desconto e mostra, novamente, que a formao de preos com a taxa de juros composta evita oportunidades de arbitragem.

Aqui valem mais alguns comentrios.1. A prpria atuao dos arbitradores equilibriria os preos, subindo um e baixando o outro, at que a oportunidade de arbitragem se feche. No exemplo So Paulo vs Cear o excesso de oferta de dinheiro no Cear baixaria os juros no Cear enquanto o excesso de demanda por dinheiro em So Paulo subiria os juros em So Paulo, at os mercados equilibrarem. Qualquer diferencial que ainda exista se deve a diferenas de risco locais. Arbitragem impede DISCRIMINAO DE PREOS. Discriminao de preos representa terreno frtil para arbitragem. Estudante paga meia entrada enquanto um adulto paga inteira. Um estudante arbitrador cobraria 0,7 do preo a um adulto, compraria o ingresso por 0,5 e embolsaria a diferena. Para evitar essa operao o porteiro pede uma identificao ao cliente antes de deix-lo entrar. S d para discriminar preos em situaes em que os clientes so identificados. A tentao para buscar esquemas para burlar o sistema muito alta. Se os preos fossem os mesmos essa oportunidade desapareceria.2. Existem indstrias que enfrentam custo fixos muito altos mas custos marginais muito baixos. Exemplo dessas indstrias so as farmacuticas. O custo para descobrir uma nova droga e comercializ-la muito alto, na faixa de bilhes de dlares. Principalmente porque, mesmo depois da descoberta da droga, os orgos governamentais exigem um conjunto de testes clnicos para aprovao da comercializao da droga que envolve muito dinheiro, vrios pases e um nmero muito alto de pacientes voluntrios pagos. Entretanto, o custo para produo da droga final, o custo marginal, , usualmente, muito baixo. Se a indstria vendesse a droga pelo custo marginal jamais recuperaria o investimento inicial. Por isso ela conta com uma patente que lhe d direito de monoplio sobre a droga e pode cobrar bem acima do custo marginal. Patentes vencem em prazos da ordem de 20 anos. Como entre a patente e o incio da comercializao da droga j se foram 10 anos [tempo dos estudos clnicos] as farmacuticas tm um prazo da ordem de 10 anos para recuperao do investimento inicial e lucros. Aps vencimento das patentes as drogas viram genricos, qualquer um pode produzi-las e comercializ-las, o preo cai quase ao nvel do custo marginal. Agora vamos analisar o caso de uma droga vendida por um alto preo em um pas avanado. Na frica, por mais que a droga seja necessria, como foi o caso da AIDS, ela no pode ser consumida nesse preo. Mas poderia ser consumida ao preo do custo marginal. Isso significaria que as indstrias poderiam, sem prejuzo, fornecer a droga na frica pelo custo marginal. Qual o problema com essa discriminao de preo: consumidor nos pases ricos pagam o preo que remunera o custo fixo, e consumidor na frica apenas o preo que remunera o custo marginal? O problema a comunicao entre os mercados. O que impediria algum de comprar a droga na frica e vende-la nos pases avanados? Quando o bem um produto como uma plula, e no um servio, como uma passagem area, fica muito difcil identificar o consumidor. Companhias areas conseguem discriminar preos porque exigem identificao do passageiro na entrada do avio. Por isso as companhias farmacuticas relutaram tanto contra fornecer remdios para AIDS por baixos preos, ou grtis, na frica. 3. Os preos so dinmicos, mudam a todo momento, tornando quase impossvel que dois preos que precisam manter uma determinada relao para evitar arbitragem, mantenham total sincronismo e mudem ao mesmo tempo. Isso significa que por breves momentos haver oportunidade de arbitragem. Oportunidades que se abrem e se fecham o tempo todo, rapidamente, at por conta das aes dos arbitradores. Ganham nesse jogo os mais rpidos. Quem chegar atrasado ou demorar a fechar sua operao de arbitragem pode ter prejuzo. Hoje, no mundo todo, existem arbitradores procurando oportunidades de arbitragem atravs de computadores, os quais fecham os contratos sem superviso humana, automaticamente. Algum ainda descobrir uma forma de enganar os computadores e causar um brutal prejuzo aos arbitradores que descobriro a operao tarde demais. Os arbitradores do especial ateno momentos como hora do almoo, abertura e fechamento dos mercados, vspera de feriados, horrios de jogos esportivos de alta popularidade como final da copa do mundo, ou o super bowl [em algum pas do mundo o jogo ocorrer no horrio comercial e muitos mercados continuam operando eletronicamente aps fechamento]. Isso porque se espera uma eventual falta de ateno dos operadores e demora para responder s variaes de preos. Operaes eletrnicas 24 horas/dia, 7 dias/semana trazem riscos tambm.Para formalizar o conceito de arbitragem melhor iniciar com uma formalizao da lgebra do investimento.lgebra do Investimento

Suponha que existamativos para escolha de um investidor que pode compr-los e vende-los em um perodo e estados da natureza, ou cenrios financeiros, possveis para o perodo. Para cada cenrio os rendimentos dos ativos mudam. Vamos definir:

o valor corrente de uma unidade do isimo ativo

o valor de uma unidade do isimo ativo, um perodo depois, caso o cenrio acontea.

O vetor linha representa os valores de em cada estado. O payoff do isimo ativo no estado ser , onde o retorno do ativo nesse estado. Z uma matriz de dimenso dada por onde o primeiro ndice denota o ativo e o segundo o estado da natureza. O vetor representa o payoff do isimo ativo nos diferentes estados da natureza. A matriz de retornos ser, ento, dada por .

O investidor compra unidades do ativo . O nmero pode ser positivo ou negativo, com o seguinte significado econmico: 1.

Se , o investidor est na long position (coberto). Pagou em dinheiro pelo ativo e tem o direito de receber no final do perodo.2.

Se , o investidor est na short position (descoberto). Recebeu dinheiro pelo ativo e ter que pagar o valor no final do perodo. Foi um vendedor do ativo em lugar de comprador. Existem vrias formas de assumir uma posio short no mercado financeiro sem necessidade da emisso de um ttulo. Por exemplo, tomando uma ao emprestada ou alugada e a vendendo, assumindo posio descoberta no mercado de opes, pois ficou devendo a ao.

Seja o patrimnio [wealth] do investidor em ativos e a frao de seu patrimnio investida no ativo . Vamos definir o vetor portflio como:

Esse vetor , portanto, uma matriz coluna de dimenso , , onde o ndice denota o isimo ativo. Se o portflio de arbitragem, o investidor no entrou com capital prprio, e , ou seja as posies long foram cobertas com as posies short. Se o portflio no de arbitragem ento . Uma forma matricial condensada de escrever essa condio onde o vetor e a matriz transposta de . Assim portflio de arbitragem obedece restrio e o de no arbitragem a .[footnoteRef:7] [7: A operao produto escalar entre dois vetores definida por . Dessa definio se percebe imediatamente que , ou seja, o produto escalar comutativo . Esse produto tem uma interpretao geomtrica muito til. Sem perda de generalidade vamos colocar o eixo x na direo do vetor e o vetor no plano x-y, como mostra a figura xxx. Nesse caso , e o produto escalar , ou seja, a norma [mdulo] de multiplicada pela norma de e pelo coseno do ngulo entre os dois vetores. Ou seja, o mdulo de A multiplicado pela componente de B na direo de A. Se o produto escalar zero e os vetores so perpendiculares entre si. A covarincia e o coeficiente de correlao apresentaro uma relao desse tipo que sero interpretadas como vetores perpendiculares, ou componentes em dada direo. Na anlise de componentes principais esse produto e sua interpretao sero muito teis. ]

O payoff de um portflio nos vrios estados ser dado por . Um portflio chamado sem risco se todas as componentes do vetor Z forem iguais, i.e., cujo significado bvio: o retorno ser o mesmo qualquer que seja o estado da natureza. Em alguns casos possvel misturar ativos que variam com os cenrios de tal forma que o portflio resultante independe do estado da natureza. Conseguiu-se assim eliminar o risco.

Um estado chamado de securitizvel [insurable] se existir um portflio satisfazendo a para o estado mas . Ou seja, no estado o retorno positivo mas zero em todos os outros estados. O termo securitizvel intuitivo nesse caso. Suponha que o investidor tem receio de prejuzo se o estado ocorrer. Ele procura comprar ento o portflio securitizvel para esse estado que lhe recompensar as perdas caso o estado ocorra. Investindo mais ou menos ele pode se segurar contra o estado em qualquer valor desejado. O preo do seguro, nesse caso chamado de hedge, ser o preo do portflio securitizvel.

Um portflio duplicvel [replicvel] se existe um portflio com o mesmo vetor de retorno, ou seja, o retorno dos dois portflios ser o mesmo em todos os estados , mesmo que diferentes para cada estado.

O vetor state prices definido pelo conjunto de preos atravs da propriedade ou seja . Em outras palavras, o vetor de state prices d o peso de cada estado que torna o retorno de todos os estados igual a 1.

A pergunta que se faz : conhecendo-se a matriz de retorno, se existem portflios duplicveis, securitizveis, etc. A resposta para essas questes vai depender do posto da matriz R (ver apndice sobre matrizes e lgebra linear). Se posto de , o nmero de estados, ento existe um portflio sem risco e todos os estados so securitizveis. Se , ou seja, existem mais estados do que ativos, ento e existiro estados no securitizveis. Se o sistema de equaes lineares admites mltiplas solues e existiro portflios duplicveis. Portflios duplicveis podem abrir oportunidades de arbitragem. Isso s no ocorrer para um conjunto de preos bem especficos. O add-in da digilander encontra o posto [rank em ingls] de uma matriz. Arbitragem.A definio original de arbitragem de que no existe um investimento sem risco com retorno superior ao retorno de uma aplicao bancria sem risco. Se existir toma-se dinheiro emprestado no banco e o aplica no investimento encontrado e depois paga-se o banco e fica-se com o lucro. Traduzindo, ao se extrair o risco do portflio o retorno se torna igual a um retorno normal de mercado para a transferncia intertemporal de renda. Tipos de oportunidades de arbitragem Primeira espcie: fazer um investimento sem capital inicial prprio e no final obter lucro positivo com certeza. Aqui a certeza do lucro significa que o risco foi eliminado. Segunda espcie: fazer um investimento negativo no presente, ou seja, recebeu dinheiro pela aplicao, com certeza de lucro no negativo no futuro. Nesse caso o lucro pode ser at nulo que mesmo assim j compensou.

A diferena entre as duas espcies de arbitragem o momento do lucro certo na arbitragem de primeira espcie o lucro no futuro, em , e na de segunda espcie no presente, em . A idia da arbitragem via portflio replicante da arbitragem de segunda espcie. Suponha que dois portflios replicantes tenham preos diferentes hoje. Por definio, os portflios replicantes geram o mesmo valor no perodo seguinte, qualquer que seja o estado. Nesse caso a operao de arbitragem a seguinte: em vende o mais caro e compra o mais barato, tirou seu lucro, e em paga um com o outro, ou seja, tem lucro zero.Um sistema de preos justos aquele que no permite arbitragem. Ou seja, os preos so justos se, e somente se, no existem oportunidades de arbitragem.

Exemplo com 3 ativos e dois perodos, e . Temos uma bond com taxa de juros [], um stock que s pode assumir dois valores, e , no perodo seguinte, e um derivativo sobre o stock que assume os valores e . Esse um caso com 3 ativos e 2 estados, up e down, logo deve haver portflio duplicvel. Vamos organizar os nossos vetores como: . A matriz de pagamento [payoff] ser dada por: .

Teorema: no haver possibilidade de arbitragem se, e somente se, existirem positivos tais que:

Interpretao de : Tome o caso em que e , ento pela multiplicao da linha 2 temos que , ou seja, o mercado pagapor um seguro em que se ganha 1 se o estado 1 acontece e nada se estado 2 acontece. J se e ento , agora o preo de um seguro que paga 1 se o estado 2 acontece e nada se o estado 1 acontece. Logo so os preos dos estados 1 e 2 em , os state prices.

Da multiplicao da linha 1 temos logo representa o fator de desconto do futuro. Ou, se se investe em uma bond em se ganha 1 no perodo seguinte .

Importncia na precificao: Usar as duas primeiras linhas para achar , o qual agora tem 2 equaes e duas incgnitas: . Daqui podemos extrair .

Como o sistema de dois estados possui trs ativos devem existir portflios replicveis, em particular, o derivativo pode ser replicado comprando apenas Bonds e Stocks. Ou seja queremos um portflio com de bonds e de Stocks que replique o Derivativo.

Nesse caso exigimos que ou seja logo ou:

.

O preo desse portoflio replicante em ser e se no for igual ao preo do derivativo teremos oportunidade de arbitragem. Mas nesse caso temos que:

Agora, usando a condio de existncia do state price , significa que . A condio de NO-ARBITRAGE que esse seja o preo do derivativo . Agora se percebe que a multiplicao da terceira linha leva exatamente a condio de no-arbitrage, pois . A existncia de positivos tais que garante que o preo do portflio replicvel exatamente igual ao do terceiro ativo do sistema.

Vamos calcular os states prices . A matriz inversa logo:

.Restries sobre os retornos financeiros para satisfazerem a condio de no-arbitrage:

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Ento ou . Por outro lado ou . Subtraindo as duas equaes temos . Ento necessrio que ou ou que , a nica forma de obter um zero com e . O ativo arriscado tem que oferecer um dos retornos acima da renda fixa e outro abaixo. Se isso no for satisfeito existe oportunidade de arbitragem: se toma-se dinheiro emprestado na taxa e investe-o no stock obtendo um retorno, em qualquer dos dois casos, acima da taxa , paga-se o que se tomou emprestado e fica-se com o lucro. Se se fica-se short no stock, vende-se o stock e aplica-se na taxa , pega seu retorno recompra o stock e o devolve e fica com o lucro.

Para finalizar esse captulo vimos que os dois motivos para existncia dos mercados financeiros so: transferncia intertemporal de renda e distribuio de riscos. No mercado de distribuio de riscos existem trs agentes: o especulador, que compra risco com a sorte a seu lado, o Hedger, que vende risco, e o arbitrador que tenta se aproveitar de diferencial de preos para ter lucro sem risco e sem entrar com capital prprio.