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21A U L A

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Semelhana e reas

Introduo Na Aula 17, estudamos o Teorema de Talese a semelhana de tringulos. Nesta aula, vamos tornar mais geral o conceito desemelhana e ver como se comportam as reas de figuras semelhantes.Dizemos que duas figuras so semelhantes quando uma ampliao da outra.Mas, o que significa ampliar?

Ampliar (ou reduzir) uma figura significa obter uma outra com a mesmaforma mas de tamanho diferente. Numa ampliao, todos os comprimentosficam multiplicados por um mesmo nmero. Numa reduo, todos os compri-mentos ficam divididos por um mesmo nmero.

Veja abaixo o mapa do Brasil em dois tamanhos diferentes, onde estoassinaladas as capitais dos estados. O maior uma ampliao do menor em 1,5vezes. Isto significa que todas as distncias medidas no mapa maior so iguaiss mesmas distncias do mapa menor multiplicadas por 1,5. Voc pode verificarisso com o auxlio de uma rgua.

1,5 fififififi

Acesse: http://fuvestibular.com.br/

P/ as outras apostilas de Matemtica, Acesse: http://fuvestibular.com.br/telecurso-2000/apostilas/ensino-medio/matematica/

21A U L ADuas figuras so semelhantes quando todas as distncias de uma delas so

iguais s da outra, multiplicadas por um fator constante. Para tornar essadefinio mais clara, vamos mostrar inicialmente um mtodo que nos permiteampliar uma figura. Suponha que desejamos tornar o polgono ABCDE dafigura abaixo trs vezes maior. Escolhemos ento um ponto O qualquer, unimosesse ponto a cada um dos outros e triplicamos todos os comprimentos: OA, OB,OC, OD e OE. O novo polgono A B C D E o triplo de ABCDE.

Na figura acima, fizemos OA = 3 . OA, OB = 3 . OB, OC = 3 . OC e assimpor diante. Observe ento o que acontece: os lados do polgono maior soparalelos aos lados do polgono menor, e cada lado do polgono maior otriplo do lado correspondente ao polgono menor. Em linguagem matemtica:

A B // AB e AB= 3 . ABB C // BC e BC= 3 . BCC D // CD e CD = 3 . CD

e assim por diante. Repare ainda que essas relaes valem tambm para outrossegmentos que no esto desenhados. Por exemplo, as diagonais AD e AD soparalelas e a maior o triplo da menor.

A figura a seguir explica por que, ao construirmos OA = 3 OA e OB = 3 OB, encontramos um segmento AB paralelo a AB e de comprimento trsvezes maior que AB. Observe que, no interior do tringulo OAB, existem trstringulos iguais e trs paralelogramos tambm iguais:

Nossa aula

D'

E'

A'

B' C'

DE

A

B C

O

O x

B

A

B'

A'

b

a

b

a

b

x

a

x

x

x

x



21A U L A O mtodo que descrevemos permite criar uma figura semelhante

figura dada. Podemos dizer que a figura maior uma ampliao damenor, mas tambm que a figura menor uma reduo da maior. O queimporta que as duas figuras so semelhantes. Para relacionar seus tamanhos,definimos um nmero chamado razo de semelhana, isto , a razo entre oscomprimentos correspondentes das duas figuras. Ela sempre pode ser escrita deduas formas (porque a semelhana tanto pode ser considerada uma ampliaoou uma reduo) e no nosso exemplo ela :

ou

Uma outra propriedade da semelhana que ela conserva os ngulos. Nonosso exemplo, todos os ngulos do polgono ABCDE so exatamente osmesmos do polgono ABCDE. Mais uma vez, bom lembrar que isso vale paraquaisquer ngulos.

Precisamos agora aprender a reconhecer quando dois polgonos so seme-lhantes. O critrio geral o seguinte:

Dois polgonos so semelhantes quando seus lados so proporci-onais e seus ngulos internos respectivamente iguais.

ABCD.. . semelhante a ABCD . . .Ento

razo de semelhana

= ,B = B,C = C,D = D...

EXEMPLO 1

Os dois quadrilteros desenhados abaixo so semelhantes. Quais so asmedidas dos lados a, b e c?

b

4

a

c

3,6

2

1,6

1,8

AB 1AB 3

= A B AB

= 3

AB BC CDAB B C C D

= = =...=



21A U L ASoluo: Nas figuras da pgina anterior, os ngulos iguais esto marcados

com o mesmo smbolo. Assim, se as figuras no aparecerem na mesmaposio, podemos reconhecer os lados correspondentes.Como os lados correspondentes das duas figuras so proporcionais, pode-mos escrever:

1,64

=

1,8a

=

3,6b

=

2c

A primeira frao nos d a razo de semelhana:

1,64

=

1640

=

25

= razo de semelhana

Assim, todas as outras fraes so tambm iguais a 25

:

1,8a

=

25 a =

1,8 52

= 4, 5

3,6b

=

25 b =

3,6 52

= 9

2c=

25 c =

5 22

= 5

Um caso especial o da semelhana de tringulos, que j estudamos naAula 17. Para reconhecer tringulos semelhantes, basta verificar se eles possu-em os mesmos ngulos ou se seus lados so proporcionais. Por exemplo,consideremos dois tringulos: o primeiro de lados 3 cm, 4 cm e 5 cm e o segundode lados 27 cm, 36 cm e 45 cm. Sero esses tringulos semelhantes?

A resposta sim, porque:

327

=

436

=

545

Repare que as trs fraes so iguais porque cada uma delas igual a 19 (arazo de semelhana). Ns sabemos que o tringulo de lados 3 cm, 4 cm e 5 cm retngulo porque 3 + 4 = 5. Como tringulos de lados proporcionais sosemelhantes e, portanto, possuem os mesmos ngulos, conclumos que otringulo de lados 27 cm, 36 cm e 45 cm tambm um tringulo retngulo.

_ .

_ .

_ .



21A U L A Semelhana e reas

Para que voc perceba a relao entre as reas de figuras semelhantes,vamos examinar o que ocorre com os quadrados. Na figura a seguir, voc v trsquadrados, o primeiro com lado a, o segundo com lado 2a e o terceiro com lado 3a:

O segundo quadrado o dobro do primeiro, mas sua rea quatro vezesmaior. O terceiro quadrado o triplo do primeiro, mas sua rea nove vezesmaior. Assim, se o lado de um quadrado cinco vezes maior que o de outro,conseqentemente sua rea vinte e cinco vezes maior; da mesma forma,se voc aumentar o lado de um quadrado dez vezes, a rea fica cem vezesmaior.

Esse fato, fcil de perceber com quadrados, geral; isto , ele vale paraqualquer figura. Se todos os comprimentos de uma figura forem multiplicadospor um nmero k, a nova figura ser semelhante primeira e sua rea ficarmultiplicada por k2. O teorema que enunciamos a seguir resume o que acabamosde observar.

Se a razo de semelhana entre duas figuras k,ento a razo entre suas reas k .

Acompanhe os exemplos a seguir para ver se voc entendeu o que acabamosde dizer.

EXEMPLO 2

A figura abaixo mostra dois tringulos semelhantes. Se a rea do menor 8 cm2, qual a rea do maior?

a

3a

a

3a

2a



21A U L ASoluo: A razo de semelhana a razo entre dois lados correspondentes,

ou seja,

k =a

3a=

13

O nosso teorema diz que:

rea do menor = krea do maior

Representando por S a rea do tringulo maior, temos:

8S=

19

S = 89 = 72

Portanto, a rea do tringulo maior 72 cm2.

EXEMPLO 3

Em um restaurante, uma pizza com 20 cm de dimetro custa R$ 3,60. Quantovoc espera pagar por uma outra, do mesmo sabor, com 30 cm de dimetro?

Este um caso comum. Nos cardpios de muitos restaurantes existempizzas de diferentes tamanhos com preos tambm diferentes. Vamosmostrar na soluo deste exemplo, como decidir o tamanho que sai mais emconta, ou seja, como comer mais por um preo menor.

Soluo: As duas pizzas so figuras semelhantes.

O valor que pagamos deve ser proporcional quantidade que comemos, ouseja, o preo de cada pizza deve ser proporcional a sua rea:

20 cm 30 cm

preo da pequenapreo da grande =

rea da pequenarea da grande

8 1S 3

=

.



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Exerccios

Temos ento um problema que envolve a razo entre reas de figurassemelhantes. Vamos resolv-lo com o auxlio do nosso teorema:

razo de semelhana: k =2030

=

23

rea da pequena =rea da grande

Podemos calcular o preo da pizza maior. Representando esse preopor p, temos:

3,60p

=

49

Da , p =3,60 9

4= 8,1

Conclumos ento que o preo correto da pizza maior R$ 8,10.

Voc pode achar o preo da pizza maior muito alto. Afinal, o dimetro saumentou de 20 cm para 30 cm. O que ocorre, na realidade, que a reada pizza maior mais que o dobro da rea da pizza menor. O preo quecalculamos o correto do ponto de vista do consumidor. Imagine agora quea pizza pequena custa R$ 3,60 e a grande R$ 7,00. O que conclumos? A pizzagrande sai mais em conta. Se estamos em grupo e vamos dividir vriaspizzas, sai mais barato, nesse caso, pedir todas do tamanho maior.

Exerccio 1O tringulo abaixo foi dividido em duas partes por meio de uma retaparalela a sua base.

a) Calcule os segmentos x, y e z.b) Sabendo que a rea do tringulogran- de igual a 252,calcule a rea do tr in-gulo menor e a rea do trapzio.

Sugesto: Observe que os dois tringulos abaixo so semelhantes. Determi-ne a razo de semelhana e, para o item b, aplique o teorema da razo dasreas.

y

x

2ay

x

2a

2a

a

y

z

24

x

30

K =2 3

= 49

.



21A U L AExerccio 2

ABCD um jardim de 80 m. Ele foi ampliado, e agora tem a forma AEFGsemelhante anterior. Se AB = 12 m e BE = 3 m, calcule a rea do novojardim.

Sugesto: Determine a razo de semelhana das duas figuras e aplique oteorema da razo das reas.

Exerccio 3Dois tringulos T1 e T2 so semelhantes. O primeiro tem lados 8 cm, 9 cm e13 cm e o segundo tem permetro igual a 360 cm.a) Calcule os lados de T2 ;b) Quantas vezes a rea de T2 maior que a rea de T1?Sugesto: A razo de semelhana igual razo entre os lados, mas tambm igual razo entre os permetros.

Exerccio 4Para fazer o piso de uma sala gastamos 1.500 tacos. Se todas as medidasdessa sala forem multiplicadas por 1,6 teremos uma outra semelhante.Quantos tacos sero necessrios para fazer o piso da sala maior?

Exerccio 5Na figura abaixo, iniciamos a ampliao de um desenho de forma que elefique duas vezes maior. Voc consegue termin-lo?

Exerccio 6O colar abaixo feito com cinco discos de mesma espessura. So doispequenos com raio R, dois mdios com raio 2R e um grande com raio 3R.Se um dos discos pequenos pesa 5 gramas, qual o peso de todo o colar?

A

D

G

12 B 3 E

C

F



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