Semelhança de triângulos

Dois ou mais triângulos são ditos semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.

Lembretes!

I. Sendo k (constante proporcional) a razão entre os lados homólogos, tem-se:

Daí, concluímos que k é a razão de semelhança de um triângulo.

II. Se k = 1, os triângulos são congruentes.

III. Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo, que não passe por um dos seus vértices, forma um

triângulo semelhante ao primeiro. A esse apontamento, damos o nome de Teorema Fundamental da Semelhança.

IV. Critérios de semelhança

▪ Critério AA (ângulo – ângulo) de semelhança

Dois ou mais triângulos são semelhantes quando dois ângulos de um triângulo são respectivamente congruentes a dois ângulos de outro triângulo.

▪ Critério LLL (lado – lado – lado) de semelhança

Dois ou mais triângulos são semelhantes quando possuem os lados correspondentes proporcionais.

▪ Critério LAL (lado – ângulo – lado) de semelhança

Dois ou mais triângulos serão semelhantes se dois lados de um triângulo forem respectivamente proporcionais a dois lados de outro triângulo, e se o ângulo compreendido entre esses lados for congruente.

Exercícios propostos

01. Cite o critério de semelhança que relaciona cada par de triângulos semelhantes a seguir:

a) b) c)

01. (FAAP) Na figura a seguir, o valor de x é:

02. (FGV) Na figura a seguir, AB e CD são paralelas. AB = 136, CE = 75 e CD = 50. Quanto mede o segmento AE?

03. (UNIRIO) Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco, que estacionou a 50m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do exército, situado a aproximadamente 30m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura a seguir. Sendo assim, pode-se afirmar que o raio do disco-voador mede, em m, aproximadamente:

04. (UFRS) Para estimar a profundidade de um poço com 1,10 m de largura, uma pessoa cujos olhos estão a 1,60 m do chão posiciona-se a 0,50 m de sua borda. Desta forma, a borda do poço esconde exatamente seu fundo, como mostra a figura.

Com os dados acima, a pessoa conclui que a profundidade do poço é:

05. Na figura seguinte, sendo BC = 4, AE = 3 e DE = 1, calcule a medida do segmento AB.

06. Com os dados da figura a seguir, determine x.

07. Na figura abaixo, tem-se: AE = 1, BC = 3 e CD = 7. A medida do segmento BE é:

08. A figura a seguir mostra um quadrado, inscrito em um triângulo de base 20 cm e altura 12 cm. Calcule a medida do lado desse quadrado.

09. Calcular a medida do lado do retângulo DEFG da figura a seguir, sabendo-se que

.

10. (Fuvest – SP) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A, ADEF é um quadrado, AB = 1 e AC = 3. Quanto mede o lado do quadrado?

11. (Mack – SP) Os lados dos quadrados DEFG e GHIJ da figura abaixo medem 6 cm e 9 cm, respectivamente. Calcule a medida do lado do quadrado ABCD.

12. (UFPR) As bases de um trapézio ABCD medem 10 cm e 25 cm e a altura mede 70 cm. Determinar a distância do ponto de intersecção das diagonais à base maior.

13. (UFAL) Na figura seguinte ABCD é retângulo, E é o ponto médio de e o triângulo ADE é

equilátero.

Se BC = 12, então EF mede:

14. (UFPA) Num pentágono convexo ABCDE, a soma das medidas das diagonais é 48 cm. Calcular o perímetro do pentágono que tem como vértices os pontos médios dos lados do pentágono ABCDE.

15. (UFG) Num triângulo ABC, retângulo em A, os catetos medem 3 cm e 6 cm. A medida do raio da circunferência, com centro na hipotenusa e tangente aos catetos do triângulo é: