Aula 25 - A fórmula da equação de 2º grau.pdf

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A frmula da equaodo 2 grau

Introduo Nesta aula vamos encontrar uma frmulapara resolver a equao do 2 grau.

axaxaxaxax + bx + c = 0 + bx + c = 0 + bx + c = 0 + bx + c = 0 + bx + c = 0 (com a 0)

Voc poder naturalmente perguntar por que ser necessria tal frmu-la, j que conseguimos, na aula anterior, resolver equaes sem usar frmulas.Diremos ento que a frmula torna a resoluo mais rpida e permite o uso maiseficiente da mquina de calcular para obter as razes da equao. Aindaobservando a frmula, vamos descobrir quando uma equao do 2 grau possuisolues ou no.

Inicialmente, vamos resolver uma equao do 2 grau para recordar omtodo que desenvolvemos na aula passada. Observe cuidadosamente todosos passos porque eles sero os mesmos que utilizaremos no caso geral.

Resoluo da equao 3x + 5x + 1 = 0

EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1

SoluoSoluoSoluoSoluoSoluo:11111 passo passo passo passo passo: Como o coeficiente de x x x x x 3, dividimos todos os termos daequao por 3.

x2 +53

x +13= 0

22222 passo passo passo passo passo: Passamos o termo independente para o outro lado.

x2 +53

x = -13

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25A U L A33333 passo passo passo passo passo: Agora, vamos acrescentar aos dois lados da equao um nmero

capaz de transformar o lado esquerdo em um quadrado perfeito. Para fazerisso, pegamos a metade do coeficiente de x:

1253=

56

e elevamos ao quadrado:

Temos, ento,

ou, ainda,

Observe agora que o lado esquerdo um quadrado perfeito e que podemosreunir as duas fraes do lado direito igualando seus denominadores.

44444 passo passo passo passo passo: Extramos a raiz quadrada dos dois lados.

x +56=

136

55555 passo passo passo passo passo: Deixamos a letra x isolada do lado esquerdo para obter as duassolues.

x = -56

136

ou

x =-5 13

6

O caso geral: a soluo da equao ax + bx + c = 0

Desejamos agora que voc acompanhe a deduo da frmula, observandoque os passos so exatamente os mesmos.

11111 passo passo passo passo passo: Como o coeficiente de x x x x x aaaaa, dividimos todos os termos daequao por aaaaa.

x2 +ba

x +ca= 0

56

= 2536

56x +

53

x + = -13 +

56

56

x + 2 . 56

x + = - 13

+ 2536

x + 5

6 = -

12 2536 36

+

x +

56

= 1336



25A U L A 22222 passo passo passo passo passo: Passamos o termo independente para o outro lado.

x2 +ba

x = -ca

33333 passo passo passo passo passo: Para transformar o lado esquerdo em um quadrado perfeito,pegamos a metade do coeficiente de xxxxx:

12ba=

b2a

e o elevamos ao quadrado:

Depois, acrescentamos esse nmero aos dois lados:

Observando que o lado esquerdo agora um quadrado perfeito e quepodemos reunir as duas fraes do lado direito igualando seus denomina-dores, temos

44444 passo passo passo passo passo: Extramos a raiz quadrada dos dois lados.

x +b2a

=

b2 - 4ac2a

55555 passo passo passo passo passo: Deixamos xxxxx isolado do lado esquerdo.

x = -b2a

b2 - 4ac

2a ou

x =-b b2 - 4ac

2a

E a est nossa frmula.

b 2a

= b4a

x + 2 . b2a

b2ax +

b2a= -

+ca

x + 2 .

x +ca

b2a

= - b4a b2a

+

b 2a = - +

c 4a ba 4a 4a

.x +

x +

b 2a = - +

4ac b 4a 4a

x + b 2a

= b - 4ac 4a



25A U L AQuando uma equao do 2 grau possui soluo?

Na frmula que encontramos para a soluo da equao do 2 grau, vemosque, dentro da raiz quadrada, existe o nmero bbbbb - 4ac - 4ac - 4ac - 4ac - 4ac. Esse nmero , em geral,representado pela letra grega D (delta) e chama-se discriminantediscriminantediscriminantediscriminantediscriminante. Usando essanova letra, temos que as razes da equao axaxaxaxax + bx + c = 0 + bx + c = 0 + bx + c = 0 + bx + c = 0 + bx + c = 0 so:

x = --b+ D

2a e x = -

-b- D2a

onde D = b2 - 4ac

Veja agora que, se o nmero D for positivopositivopositivopositivopositivo, encontramos duas razesdiferentes.

Se, entretanto, D for zerozerozerozerozero, encontramos um s valor para a raiz. Se D fornegativonegativonegativonegativonegativo a equao no ter soluo.


Resolver a equao 2x 2x 2x 2x 2x - 7x + 3 = 0 - 7x + 3 = 0 - 7x + 3 = 0 - 7x + 3 = 0 - 7x + 3 = 0

SoluoSoluoSoluoSoluoSoluo: Vamos resolv-la usando a frmula:

x =-b b2 - 4ac

2a

Na nossa equao, a = 2a = 2a = 2a = 2a = 2, b = b = b = b = b = 7 7 7 7 7 e c = 3c = 3c = 3c = 3c = 3. Substituindo, temos:

x =7 49 - 24

4

x =7 25

4

x =7 5

4

As solues so, portanto:x =

7 + 54

=

124= 3

x =7 - 5

4=

24=

12

x = - (- 7) (- 7) - 4 . 2 . 3 2 . 2

D



25A U L A Veja que, nesse exemplo, o discriminantediscriminantediscriminantediscriminantediscriminante 25, que possui raiz quadrada

exata. Mas, isso nem sempre acontece. No exemplo do incio desta aula,encontramos, para razes da equao 3x + 5x + 1 = 03x + 5x + 1 = 03x + 5x + 1 = 03x + 5x + 1 = 03x + 5x + 1 = 0, os valores:

x =-5 + 13

2e x =

-5 - 132

Para obter valores aproximados desses nmeros, podemos utilizar a m-quina de calcular. o que veremos a seguir.

Usando a mquina de calcular

Consideremos, mais uma vez, a equao 3x3x3x3x3x + 5x + 1 = 0 + 5x + 1 = 0 + 5x + 1 = 0 + 5x + 1 = 0 + 5x + 1 = 0.

Vamos resolv-la outra vez, usando agora a frmula.

Temos a = 3a = 3a = 3a = 3a = 3, b = 5 b = 5 b = 5 b = 5 b = 5 e c = 1 c = 1 c = 1 c = 1 c = 1. Substituindo, temos:

x =-5 25 - 12

6

x =-5 13

6

Rapidamente encontramos as solues. Para obter valores aproximadosdessas duas razes, comeamos calculando 13 e guardando o resultado namemria.

Digitamos, ento:

O resultado que aparece no visor est guardado. Podemos ento limp-loapertando a tecla

Para obter a 1 soluo, digitamos.

Para obter a 2 soluo, digitamos:

Conclumos ento que, com duas casas decimais, as razes daequao 3x + 5x + 1 = 03x + 5x + 1 = 03x + 5x + 1 = 03x + 5x + 1 = 03x + 5x + 1 = 0 so, aproximadamente, 0 ,230,230,230,230,23 e 11111 ,,,,,4343434343.

1 3 3,60555123,60555123,60555123,60555123,6055512VISOR

ON/C

5 0,2324081 0,2324081 0,2324081 0,2324081 0,2324081VISOR

+ MR 6 =

- 5 1,4342585 1,4342585 1,4342585 1,4342585 1,4342585VISOR

- MR 6 =

M+

x = - 5 5 - 4 . 3 . 1 2 . 3

_

_

_



25A U L ACasos particulares

Na equao axaxaxaxax + bx + c = 0 + bx + c = 0 + bx + c = 0 + bx + c = 0 + bx + c = 0, quando encontramos b = 0b = 0b = 0b = 0b = 0 ou c = 0,c = 0,c = 0,c = 0,c = 0, no hvantagem em utilizar a frmula. Observe os exemplos seguintes.


Resolva a equao 2x2x2x2x2x22222 32 = 0 32 = 0 32 = 0 32 = 0 32 = 0.SoluoSoluoSoluoSoluoSoluo: Para resolver essa equao, passamos o termo independentepara o outro lado e, em seguida, dividimos os dois lados por 2 (ocoeficiente de x x x x x ).

2x2 = 32

2x2

2=

322

x2 = 16

Extraindo a raiz quadrada, temos x = x = x = x = x = 4 4 4 4 4.


Resolva a equao 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5x = 0 5x = 0 5x = 0 5x = 0 5x = 0.SoluoSoluoSoluoSoluoSoluo: Para resolver essa equao (que possui c = 0 c = 0 c = 0 c = 0 c = 0), o procedimento diferente. Inicialmente colocamos a letra xxxxx em evidncia:

Temos ento um produto de dois nmeros que d zero. Isto s possvelse um desses nmeros for zero. Como primeiro caso, podemos ter x = 0x = 0x = 0x = 0x = 0.Como segundo caso, podemos ter:

2x -5 = 0

2x = 5

x =52

Assim, as duas razes de 2x 5x = 0 so x = 0x = 0x = 0x = 0x = 0 e x = x = x = x = x = .5555522222

x . (2x - 5) = 0



25A U L A Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1

Resolva as equaes:

a)a)a)a)a) x 9 = 0b)b)b)b)b) x + 5 = 0c)c)c)c)c) x 3 = 0

Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2

Resolva as equaes:

a)a)a)a)a) x 3x = 0b)b)b)b)b) 3x + 12x = 0


Resolva as equaes:

a)a)a)a)a) x 5x + 6 = 0b)b)b)b)b) x 3x 10 = 0c)c)c)c)c) x 3x + 1 = 0d)d)d)d)d) x 6x + 9 = 0e)e)e)e)e) x + 2x + 3 = 0


Resolva as equaes seguintes e use a mquina de calcular para obtervalores aproximados das razes (duas casas decimais so suficientes).

a)a)a)a)a) 2x + 3x 4 = 0b)b)b)b)b) 3x 10x + 6 = 0

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