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Funções Trigonométricas

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Funções Trigonométricas

1.Funções Trigonométricas

2.Identidades Trigonométricas

3.Cálculo de Funções Trigonométricas

4.Resolução de Equações Trigonométricas

3

Há duas maneiras usuais de encarar o estudo datrigonometria. Em uma delas, definem-se as funçõestrigonométricas como razões de dois lados de umtriângulo retângulo. Em outra, tais funções sãodefinidas em termos de um ponto no lado terminal deum ângulo arbitrário. Definem-se a seguir, de ambosos pontos de vista, as seis funções trigonométricas.

1. Funções trigonométricas

4

Definição pelo Triângulo Retângulo: 0 <θ<π/2


. . .csc

. . .

. . .cos sec

. . .

. . . .cot

. . . .

cat op hipsen

hip cat op

cat adj hiphip cat adj

cat op cat adjtg

cat adj cat op

θ θ

θ θ

θ θ

= =

= =

= =

5

Definição como Função Circular: θ é um ânguloarbitrário em posição padrão e (x, y) é um ponto nolado terminal do ângulo.


csc

cos sec

cot

y rsen

r y

x rr x

y xtg

x y

θ θ

θ θ

θ θ

= =

= =

= =

6

Na segunda definição das seis funçõestrigonométricas, o valor de r é sempre positivo.Decorre daí que os sinais das funções trigonométricassão determinados a partir dos sinais de x e y.

2. Identidades trigonométricas

cos

cos 1cot sec

cos

1 1cs

sentg

sen

cot ctg sen

θθθθθ θθ θ

θ θθ θ

=

= =

= =

7

Além disso, como

obtemos a Identidade de Pitágoras.

Nota: Usa-se o símbolo sen2θ para representar(sen θ)2.


2 2 2 2 22 2

2 2s n cos 1y x x y r

er r r r

θ θ + + = + = = =

8

Identidades Pitagóricas


2 2

2 2

2 2

s n cos 1

1 sec

1 csc

e

tg

cot

θ θθ θ

θ θ

+ =+ =

+ =

9

Soma ou Diferença de Dois Ângulos


s n ( ) cos cos

cos ( ) cos cos

( )1

e sen sen

sen sen

tg tgtg

tg tg

θ φ θ φ θ φθ φ θ φ φ θ

θ φθ φθ φ

± = ±± =

±± =

∓

∓

10

Ângulo Duplo


2 2

2 2

s n 2 2 cos

cos 2 cos

cos 2 2cos 1 1 2

e sen

sen

sen

θ θ θ

θ θ θθ θ θ

=

= −= − = −

11

Fórmulas de Redução


s n ( )

cos ( ) cos

( )

s n ( )

cos cos ( )

( )

e sen

tg tg

e sen

tg tg

θ θθ θ

θ θθ θ π

θ θ πθ θ π

− = −− =

− = −= − −

= − −= −

12

Ângulo Metade


2

2

1s n (1 cos 2 )

21

cos (1 cos 2 )2

e θ θ

θ θ

= −

= +

13

Exemplo 1: Calcule o seno, o cosseno e a tangente deπ/3.

3. Cálculo de funções trigono-métricas

Inicialmente, tracemos oângulo θ = π/3 em posiçãopadrão, conforme a figu-ra ao lado.

14



Como π/3 radianos corres-pondem a 60o, podemos ima-ginar um triângulo equiláterocom lados de comprimento 1 eθ como um de seus ângulos.Como a altura do triângulobissecciona sua base, sabemosque x = ½. Assim, pelo Teoremade Pitágoras, temos

15



Portanto:

22 2 1 3 3

12 4 2

y r x = − = − = =

332

3 1 21 12cos

3 1 2

32 3

132

ysen

r

xr

ytg

x

π

π

π

= = =

= = =

= = =

16


Medida em graus de θθθθ 0 30o 45o 60o 90o

Medida em radianos de θθθθ 0 ππππ/6 ππππ/4 ππππ/3 ππππ/2

sen θθθθ 0 1/2 1

cos θθθθ 1 1/2 0

tg θθθθ 0 1não-

definido

22

32

32

22

33

3

A seguir são apresentados os senos, cossenos etangentes de vários ângulos usuais.

17


Para entender a utilização dos valores databela anterior a ângulos em quadrantes que não oprimeiro, valemo-nos do conceito de ângulo dereferência, conforme a figura acima, juntamente como sinal adequado do quadrante.

18


O ângulo de referência para um ângulo θ é omenor ângulo positivo entre o lado terminal de θ e oeixo x. Por exemplo, o ângulo de referência para 135o

é 45o, e o ângulo de referência para 210o é 30o.

19

Exemplo 2: Calcule: (a) sen 3π/4, (b) tg 330o e(c) cos 7π/6.


3 24 4 2

sen senπ π= =

Como o ângulo dereferência para 3π/4 é π/4e o seno é positivo nosegundo quadrante, podemosescrever

20


3330 30

3o otg tg= − = −

Como o ângulo dereferência para 330o é 30o ea tangente é negativa noquarto quadrante, podemosescrever


21


7 3cos cos

6 6 2π π= − = −

Como o ângulo dereferência para 7π/6 é π/6e o cosseno é negativo noterceiro quadrante, pode-mos escrever


22

(a) Pela fórmula de redução sen (-θ) = - sen θ.

(b) Pela fórmula do inverso, sec θ = 1/cosθ.


33 3 2

sen senπ π − = − = −

Exemplo 3: Calcule: (a) sen (-π/3), (b) sec 60o,(c) cos 15o, (d) sen 2π, (e) cot 0o e (f) tg (9π/4).

1 1sec 60 2

cos60 1/ 2o

o= = =

23

(c) Pela fórmula da diferença cos (θ - φ) = cos θ cos φ+ sen θ sen φ.

(d) Como o ângulo de referência para 2π é 0,


( )cos15 cos 45 30 cos45 cos30 sen45 sen30

2 3 2 1 6 22 2 2 2 4

o o o o o o o= − = + =

+= ⋅ + ⋅ =


sen 2 sen 0 0π = =

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(e) Utilizando a fórmula do inverso, cotg θ = 1/tg θ e ofato de que tg 0 = 0, concluímos que cotg 0 não édefinida.

(f) Como o ângulo de referência para 9π/4 é π/4 e atangente é positiva no primeiro quadrante


91

4 4tg tg

π π= =


25


71,5

71,5

50 2,98868

149,4

o

o

ytg

xy x tg

y

y pés

=

= ⋅≈ ⋅≈

Exemplo 4: Um agrimensor de pé, está a 50 pés dedistância da base de uma grande árvore. Ele mede oângulo de elevação em relação ao topo da árvore eobtém 71,5o. Qual é a altura da árvore?

26


Exemplo 5: Para medir a extensão de sua visãoperiférica, fique em pé, à distância de 1 pé do cantode uma sala, olhando para o canto. Faça com que outrapessoa mova um objeto ao longo da parede, até quevocê mal possa vê-lo. Se o objeto está a 2 pés docanto, conforme a figura seguinte, qual é o ângulototal de sua visão periférica?

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Seja α o ângulo total de sua visão periférica.Conforme a figura abaixo, podemos modelar asituação física com um triângulo retângulo isóscelescujos catetos têm 21/2 pés cada um e cuja hipotenusatem 2 pés. No triângulo, o ângulo θ é dado por

2

2 13,414

ytg

x

tg

tg

θ

θ

θ

=

=−

≈

28


Utilizando a função inversa da tangente em umacalculadora, podemos determinar θ ≈ 73,7o Assim, α/2 ≈ 180o - 73,7o = 106,3o, o que implica queα ≈ 212,6o. Em outras palavras, o ângulo total de suavisão periférica é da ordem de 212,6o.

29

Considere, por exemplo, a equação sen θ = 0.Sabemos que θ = 0 é uma solução. Por outro lado, noExemplo 3d, vimos que θ = 2π é outra solução. Masestas não são as únicas soluções. Na verdade, estaequação tem um número infinito de soluções. Qualquerum dos valores seguintes de θ serve:

Para simplificar a situação, costumamosrestringir a busca de soluções ao intervalo .

4. Resolução de equações tri-gonométricas

0 2θ π≤ ≤

, 3 , 2 , , 0, , 2 , 3 ,π π π π π π− − −… …

30

Exemplo 6: Resolva cada equação em relação a θ.Suponha .


( ) cos 1b θ =

0 2θ π≤ ≤

3( )

2a sen θ = −

( ) 1c tg θ =

31

(a) Para resolver a equação , notemos pri-meiro que


33 2

senπ =

32

sen θ = −

Como o seno é negativo no terceiro e quartoquadrantes, devemos procurar valores de θ nessesquadrantes que tenham ângulo de referência deπ/3. Os dois ângulos que satisfazem estes critériossão: θ = π + π/3 = 4π/3 e θ = 2π - π/3 = 5π/3.

32

(b) Para resolver cos θ = 1, notemos que cos 0 = 1 eque, no intervalo [0, 2π], os únicos ângulos cujosângulos de referência são 0 são os ângulos 0, π e2π. Destes, 0 e 2π têm cosseno 1. (O cosseno de π é-1). Assim, a equação tem duas soluções:

θ = 0 e θ = 2π


33

(c) Como tg π/4 = 1 e a tangente é positiva no primeiroe no terceiro quadrantes, temos que as duassoluções são:

θ = π/4 e θ = π + π/4 = 5π/4


34

Exemplo 7: Resolva, em relação a θ, a equação

Podemos utilizar a identidade do ângulo duplo

Para escrever a equação como segue:


cos 2 2 3 , 0 2senθ θ θ π= − ≤ ≤

2cos 2 1 2senθ θ= −

2

2

cos 2 2 3

1 2 2 3

2 3 1 0

(2 1) ( 1) 0

sen

sen sen

sen sen

sen sen

θ θθ θ

θ θθ θ

= −− = −

− + =− ⋅ − =

35

Para 2sen θ - 1 = 0, temos sen θ = 1/2, que tem assoluções

θ = π/6 e θ = 5π/6.

Para sen θ - 1 = 0, temos sen θ = 1, que tem a solução

θ= π/2

Assim, para , as três soluções são

θ = π/6, π/2 e 5π/6


0 2θ π≤ ≤

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