Somatórios de funções trigonométricas e hiperbólicas

Anotacoes sobre somatorios trigonometricos.

Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ

[email protected]

‡

24 de janeiro de 2012

Sumario

1 Somatorios de funcoes trigonometricas e hiperbolicas 5

1.1 Notacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Somatorio e diferenca de funcoes trigonometricas. . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Somatorio e diferenca de seno e cosseno. . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2∑k

cos(ak + b) =sen(ak + b− a

2)

2sen(a2)

e∑k

sen(ak + b) =−cos(ak + b− a

2)

2sen(a2)

. 6

1.2.3 ∆ de tg(f(x)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.4n∑

x=0

tg(c.2x)

cos(c.2x+1)= tg(c.2n+1)− tg(c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.5n∑

x=0

tg(c

2x)sec(

c

2x−1) = tg(2c)− tg(

c

2n). . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.6n∑

x=1

sec(a(x+ 1)).sec(ax) =tga(n+ 1)

sena− tga

sena. . . . . . . . . . . . 12

1.2.7 ∆ de cotgf(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.8n∑

x=1

cossec(ax+ a).cossec(ax) =cotg(a(n+ 1))− cotg(a)

sen(a). . . . . . . 13

1.2.9 ∆ de arctgf(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.10∑x

arctg(1

1 + x+ x2) = arctg(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.11 Somatorio de cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.12n−1∑k=0

cos(2kπ

n) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.13n−1∑k=0

cos(kπ

n) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.14 Somatorio de cosn(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.15∑x

cos2(ax+ c) =x

2+

sen(a(2x− 1) + 2c)

4sena. . . . . . . . . . . . . 19

2

SUMARIO 3

1.2.16n−1∑k=1

cos2(kπ

n) =

n− 2

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.17n∑

x=1

cosx(θ).cos(xθ) =sen(nθ).cosn+1(θ)

sen(θ). . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.18 Somatorio de cosseno hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.19∑x

cosh(bx+ a) =senh(bx+ a− b/2)

2senh( b2)

. . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.20 Somatorio de seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.21n−1∑k=1

sen(kπ

n) = cotg(

π

2n). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.22∑x

xsen(ax+ c) = −xcos(a(2x−1

2) + c)

2sen(a/2)+

sen(ax+ c)

(2sen(a/2))2. . . . . . . . 23

1.2.23∑x

(2xsen2 a

2x

)2

=

(2x−1sen

a

2x−1

)2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.24n−1∑k=1

sen2(kπ

n) =

n

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.25

n−1∑k=0

sen(2kx+ x)

n−1∑k=0

cos(2kx+ x)

= tg(nx). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.2.26n∑

k=0

(2k+1sen(π

2k+1)− 2ksen(

π

2k)) = 2n+1sen(

π

2n+1) . . . . . . . . . . 27

1.2.27∑x

2xsen(a

2x)sen2(

a

2x+1) = 2x−2sen(

a

2x−1). . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2.29 Somas∑k

xkcos(ak + b) e∑k

xksen(ak + b). . . . . . . . . . . . . 29

1.2.30n−1∑k=0

sen3(c3k)

3k+1=

−1

4(sen3(c3n)

3n− sen(c)). . . . . . . . . . . . . . . 30

1.2.31 Somatorio de seno hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.2.32∑x

senh(bx+ a) =cosh(bx− b

2+ a)

2senh b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.3 Somatorio envolvendo tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.3.1∑k

tg(xk).tg(xk + x) =tg(kx)

tgx− k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.3.2∑k

1

2ktg(

a

2k) =

1

2k−1cotg(

a

2k−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.3.3∑k

2ktg(a.2k) = −2kcotg(a.2k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

SUMARIO 4

1.3.4∑x

1

2xlog( tg(2xa)) = − 1

2x−1log( 2sen(2xa)). . . . . . . . . . . . . . 33

1.3.5n−1∑k=1

tg2(kπ

n) = n(n− 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4 Somatorio envolvendo secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4.1n−1∑k=1

sec2(kπ

n) = n2 − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4.2∑x

(1

2xsec(

θ

2x))2 = −(

1

2x−1cossec(

θ

2x−1))2 . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.5 Somatorio envolvendo cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.5.1∑k

cotg(kx+ x)cotg(kx) = −cotg(x)cotg(kx)− k. . . . . . . . . . . 35

1.6 Somatorio envolvendo cossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.6.1∑k

cossec( a2k) = −cotg( a2k−1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.6.2n−1∑k=1

cossec2(kπ

n) =

n2 − 1

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.6.3n−1∑k=0

cossec2(z +kπ

n) = n2cossec2(zn) . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.7 Somas e polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.7.1m∑k=1

cot2(kπ

2m+ 1) =

2m(2m− 1)

6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.7.2m∏k=1

cotg

(kπ

2m+ 1

)=

1√2m+ 1

em∏k=1

tg

(kπ

2m+ 1

)=

√(2m+ 1). . 40

1.7.3m∑k=1

tg2(

kπ

2m+ 1

)= (2m+ 1)(m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.7.4n−1∏k=1

(tgkπ

n) = n(−1)

n−12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.7.5m∑k=1

cossec2(kπ

2m+ 1) =

2m(2m+ 2)

6. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.8 Somatorios e numeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.8.1n∑

k=0

(n

k

)coskx = 2n

(cos(

x

2)

)n

cosnx

2. . . . . . . . . . . . . . . . 44

Capıtulo 1

Somatorios de funcoes

trigonometricas e hiperbolicas

Esse texto ainda nao se encontra na sua versao final, sendo, por enquanto, cons-

tituıdo apenas de anotacoes informais. Sugestoes para melhoria do texto, correcoes da

parte matematica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email

[email protected].

1.1 Notacoes

� Usaremos o ∆ para simbolizar o operador que faz a diferenca de termos consecutivos

de uma funcao

∆f(x) := f(x+ 1)− f(x).

Em geral ∆nf(x) e a n-esima diferenca e e definida recursivamente

∆0f(x) = f(x)

∆n+1f(x) = ∆nf(x+ 1)−∆nf(x) n ∈ N.

� Usaremos a soma telescopica

b∑k=a

∆f(k) = f(b+ 1)− f(a) = f(k)

∣∣∣∣b+1

a

.

5

CAPITULO 1. SOMATORIOS DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS6

� A notacao de soma indefinida,∑k

f(k) = g(k) significa que ∆g(k) = f(k), a par-

tir de somas indefinidas podemos resolver somas definidas ( com limite superior e

inferior dado), pois aplicando a soma telescopica na expressao ∆g(k) = f(k) tem-se

b∑k=a

f(k) =b∑

k=a

∆g(k) = g(b+ 1)− g(a).

� Os numeros b e a emb∑

k=a

f(k) sao chamados respectivamente de limite superior e

inferior do somatoriob∑

k=a

f(k).

� A notacao D sera usada para simbolizar a derivada.

1.2 Somatorio e diferenca de funcoes trigonometricas.

1.2.1 Somatorio e diferenca de seno e cosseno.

Vamos comecar achando expressoes fechadas para os somatorios

d∑k=c

sen(ak + b)d∑

k=c

cos(ak + b).

1.2.2∑k

cos(ak+b) =sen(ak + b− a

2)

2sen(a2)e∑k

sen(ak+b) =−cos(ak + b− a

2)

2sen(a2).

Propriedade 1. Valem as identidades

∑k


2)

2sen(a2)∑

k


2)

2sen(a2)

.

Demonstracao.

Usaremos a relacao trigonometrica

sen(p)− sen(q) = 2sen(p− q

2)cos(

p+ q

2)


tomando p+q = 2ak+2c+a e p−q = a segue pela soma p = a(k+1)+ c e pela diferenca

q = ak + c, logo

sen(a(k + 1) + c)− sen(ak + c) = ∆(sen(ak + c)) = 2sen(a

2)cos(ak + c+

a

2)

usando soma telescopica tem-se

2sen(a

2)∑k

cos(ak + c+a

2) = sen(ak + c)

tomando c+a

2= b, c = b− a

2logo

∑k


2)

2sen(a2)

derivando em relacao a k

−a∑k

sen(ak + b) = acos(ak + b− a

2)

2sen(a2)

daı ∑k


2)

2sen(a2)

.

Chegamos entao nas expressoes de soma de seno e cosseno∑k


2)

2sen(a2)

∑k


2)

2sen(a2)

.

Vamos agora dar expressoes para n-esima diferenca de seno e cosseno .

Propriedade 2.

∆nsen(ax+ b) =(2sen

a

2

)n

.sen

(ax+ b+

n(a+ π)

2

)Demonstracao. Vamos provar por inducao sobre n, para n = 0 temos

∆0sen(ax+ b) = sen(ax+ b) =(2sen

a

2

)0

.sen

(ax+ b+

0(a+ π)

2

)= sen(ax+ b)

tomando a hipotese


a

2

)n

.sen

(ax+ b+

n(a+ π)

2

)


Vamos provar para n+ 1

∆n+1sen(ax+ b) =(2sen

a

2

)n+1

.sen

(ax+ b+

(n+ 1)(a+ π)

2

)

∆n+1sen(ax+ b) = ∆[∆nsen(ax+ b)] = ∆(2sen

a

2

)n

.sen

(ax+ b+

n(a+ π)

2

)Vamos chamar

c = b+n(a+ π)

2

entao

∆n+1sen(ax+ b) = ∆[∆nsen(ax+ b)] = ∆(2sen

a

2

)n

.sen (ax+ c) =(2sen

a

2

)n

.∆sen (ax+ c)

Vamos analisar agora

∆sen (ax+ c) = sen(ax+ a+ c)− sen(ax+ c)

usando formula de Werner, tomando (p = ax+ a+ c), (q = ax+ c), (p− q = ax+ a+ c−ax− c = a) e (p+ q = ax+ a+ c+ ax+ c = 2ax+ a+ 2c) logo

∆sen (ax+ c) = sena

2.sen(ax+

a

2+ c)

Entao

∆n+1sen(ax+ b) =(2sen

a

2

)n

.sena

2.sen(ax+

a+ π

2+ c) =

=(2sen

a

2

)n+1

sen(ax+a+ π

2+ c) =

(2sen

a

2

)n+1

sen(ax+a+ π

2+ b+

n(a+ π)

2) =

=(2sen

a

2

)n+1

sen(ax+ b+(n+ 1)(a+ π)

2).

Para a diferenca do cosseno nao precisamos de todo esse trabalho, podemos aplicar a

derivada em ambos os lados da diferenca do seno e deduzir a formula do cosseno

Corolario 1.

∆ncos(ax+ b) =(2sen

a

2

)n

.cos

(ax+ b+

n(a+ π)

2

)Tomando a Derivada em


a

2

)n

.sen

(ax+ b+

n(a+ π)

2

)


temos

D∆nsen(ax+ b) = D(2sen

a

2

)n

.sen

(ax+ b+

n(a+ π)

2

)=

= ∆nDsen(ax+ b) =(2sen

a

2

)n

.Dsen

(ax+ b+

n(a+ π)

2

)∆nacos(ax+ b) =

(2sen

a

2

)n

.a.cos

(ax+ b+

n(a+ π)

2

)Se a = 0, temos

∆ncos(ax+ b) =(2sen

a

2

)n

.cos

(ax+ b+

n(a+ π)

2

)Corolario 2. Usamos a formula de interpolacao de Newton

f(n) =n∑

k=0

(n

k

)∆kf(0).

Tomamos f(n) = sen(an+ b)

∆ksen(an+b) =(2sen

a

2

)k

.sen

(an+ b+

k(a+ π)

2

)⇒ ∆kf(0) =

(2sen

a

2

)k

.sen

(b+

k(a+ π)

2

)daı

sen(an+ b) =n∑

k=0

(n

k

)(2sen

a

2

)k

.sen

(b+

k(a+ π)

2

)da mesma forma com cosseno

cos(an+ b) =n∑

k=0

(n

k

)(2sen

a

2

)k

.cos

(b+

k(a+ π)

2

).

Exemplo 1. Calcular o somatorio

1

2+

n∑x=1

cos(ax)

em funcao de seno. Usando a expressao encontrada para a soma de cosseno temos que

∑x

cos(ax) =

sena

(2x−12

)2sena

2


aplicando os limites no somatorio tem-se

n∑x=1

cos(ax) =

sena

(2x−12

)2sena

2

∣∣∣∣n+1

1

=

sena

(2n+2−1

2

)2sena

2

−sena

(2−12

)2sena

2

=

sena

(2n+1

2

)2sena

2

− 1

2

assim

1

2+

n∑x=1

cos(ax) =

sena

(2n+1

2

)2sena

2

.

Esse resultado podemos integrar de ambos lados em a no intervalo [0, π]

∫ π

0

1

2da+

∫ π

0

n∑x=1

cos(ax)da =

∫ π

0

sena

(2n+1

2

)2sena

2

da =

=π

2+

n∑x=1

∫ π

0

cos(ax)da =π

2+

n∑x=1

senax

x

∣∣∣∣π0

=π

2+

n∑x=1

senxπ

x− senx0

x=

π

2.

Pois os valores de x sao naturais e o seno se anula em xπ.

∫ π

0

sena

(2n+1

2

)2sena

2

da =π

2.

Podemos tambem calcular uma integral indefinida a partir da relacao

1

2+

n∑k=1

cos(ak) =

sena

(2n+1

2

)2sena

2

.

tomando a = 2x temos

1

2+

n∑k=1

cos(2xk) =

senx

(2n+ 1

)2senx

1 + 2n∑

k=1

cos(2xk) =

senx

(2n+ 1

)senx

integrando em relacao a x

∫ senx

(2n+ 1

)senx

dx = x+n∑

k=1

2sen(2xk)

2k+ c = x+

n∑k=1

sen(2xk)

k+ c

∫ senx

(2n+ 1

)senx

dx = x+n∑

k=1

sen(2xk)

k+ c.


Vejamos agora o resultado da aplicacao do operador ∆ em outras funcoes trigo-

nometricas, que dao origem a outras somas .

1.2.3 ∆ de tg(f(x))

Propriedade 3. Vale que

∆tg(f(x)) =sen(∆f(x))

cos(f(x+ 1))cos(f(x)).

Demonstracao.

∆tg(f(x)) = tg(f(x+ 1))− tg(f(x)) =sen(f(x+ 1))

cos(f(x+ 1))− sen(f(x))

cos(f(x))=

=sen(f(x+ 1)).cos(f(x))− cos(f(x+ 1))sen(f(x))

cos(f(x+ 1))cos(f(x))=

sen(f(x+ 1)− f(x))

cos(f(x+ 1))cos(f(x))=

=sen∆f(x)

cos(f(x+ 1))cos(f(x)).

1.2.4n∑

x=0

tg(c.2x)

cos(c.2x+1)= tg(c.2n+1)− tg(c).

Corolario 3. Tome f(x) = c.2x entao ∆c.2x = c.2x daı

∆tg(c.2x) =sen(c.2x)

cos(c.2x+1)cos(c.2x)=

tg(c.2x)

cos(c.2x+1)

isso implica que

∑x

tg(c.2x)

cos(c.2x+1)= tg(c.2x).

Em especial

n∑x=0

tg(c.2x)

cos(c.2x+1)= tg(c.2n+1)− tg(c)

n∑x=0

tg(c.2x)sec(c.2x+1) = tg(c.2n+1)− tg(c).


1.2.5n∑

x=0

tg(c

2x)sec(

c

2x−1) = tg(2c)− tg(

c

2n).

Corolario 4. Tomando f(x) =c

2x−1tem-se ∆f(x) = − c

2xdaı

∆tg(c

2x−1) = −tg(

c

2x)sec(

c

2x−1)

isso implica

∑x

tg(c

2x)sec(

c

2x−1) = −tg(

c

2x−1)

n∑x=0

tg(c

2x)sec(

c

2x−1) = tg(2c)− tg(

c

2n).

Exemplo 2. Calcular o somatorio

88∑x=0

1

cos(x)cos(x+ 1).

Da identidade

∆tgf(x) =sen∆f(x)

cosf(x+ 1)cosf(x)

com f(x) = x segue

∆tgf(x)

sen1=

1

cosf(x+ 1)cosf(x)

aplicando o somatorio temos

88∑x=0

1

cos(x)cos(x+ 1)=

1

sen1tgx

∣∣∣∣890

=tg89

sen1.

1.2.6n∑

x=1


sena− tga

sena.

Corolario 5. Seja f(x) = ax temos

∆tgax =sen∆ax

cosa(x+ 1)cosa(x),

∆tgax

sena= seca(x+ 1).secax

aplicando a soma em x temos∑x

seca(x+1).secax =tgax

sena,

n∑x=1

sec(a(x+1)).sec(ax) =tgax

sena

∣∣∣∣n+1

1

=tga(n+ 1)

sena− tga

sena.


n∑x=1


sen(a)− tg(a)

sen(a).

1.2.7 ∆ de cotgf(x)

Propriedade 4. Vale

∆cotg(f(x)) =sen[∆f(x)]

sen(f(x+ 1)).sen(f(x)).

Demonstracao.

∆cotg(f(x)) = cotg(f(x+ 1))− cotg(f(x)) =cos(f(x+ 1))

sen(f(x+ 1))− cos(f(x))

sen(f(x))=

=cos(f(x+ 1)).sen(f(x))− cos(f(x)).sen(f(x+ 1))

sen(f(x+ 1)).cos(f(x))=

sen[f(x)− f(x+ 1)]

sen(f(x+ 1))sen(f(x))=

sen[−∆f(x)]

sen(f(x+ 1)).sen(f(x))= − sen[∆f(x)]

sen(f(x+ 1)).sen(f(x)).

1.2.8n∑

x=1


sen(a).

Corolario 6. Da identidade ∆cotg(f(x)) =sen[∆f(x)]

sen(f(x+ 1)).sen(f(x)), tomando f(x) =

ax temos

∆cotg(ax) =sen[a]

sen(ax+ a).sen(ax)⇒ ∆cotg(ax)

sen(a)=

1

sen(ax+ a).sen(ax)

aplicando a soma∑x

temos

∑x

1

sen(ax+ a).sen(ax)=

cotg(ax)

sen(a),

isto e, ∑x

cossec(ax+ a).cossec(ax) =cotg(ax)

sen(a)

aplicando limites

n∑x=1


sen(a).


1.2.9 ∆ de arctgf(x)

Propriedade 5. Vale a identidade

∆arctg(f(x)) = arctg

(∆f(x)

1 + f(x).f(x+ 1)

).

Demonstracao.

∆arctg(f(x)) = arctg(f(x+ 1))− arctg(f(x))

definindo arctg(f(x + 1)) = y e arctg(f(x)) = z segue tg(y) = f(x + 1) e tg(z) = f(x)

tomando agora

tg(y)− tg(z)

1 + tg(y).tg(z)=

(sen(y)

cos(y)− sen(z)

cos(z)

)(cos(y).cos(z)

cos(y).cos(z) + sen(y).sen(z)

)=

=

(sen(y).cos(z)− sen(z).cos(y)

cos(y).cos(z)

)(cos(y).cos(z)

cos(y).cos(z) + sen(y).sen(z)

)=

=sen(y).cos(z)− sen(z).cos(y)

cos(y).cos(z) + sen(y).sen(z)=

sen(y − z)

cos(y − z)= tg(y − z)

temos

tg(y − z) =tg(y)− tg(z)

1 + tg(y).tg(z)

logo

y − z = arctg

(tg(y)− tg(z)

1 + tg(y).tg(z)

)como tomamos y = arctg(f(x+ 1)) e z = arctg(f(x)), tem-se

arctg(f(x+ 1))− arctg(f(x)) = arctg

(f(x+ 1)− f(x)

1 + f(x).f(x+ 1)

)

∆arctg(f(x)) = arctg

(∆f(x)

1 + f(x).f(x+ 1)

).

1.2.10∑x

arctg(1

1 + x+ x2) = arctg(x)

Exemplo 3. Calcular ∑x

arctg1

1 + x+ x2.

da identidade

∆arctgf(x) = arctg∆f(x)

1 + f(x)f(x+ 1)


tomando f(x) = x segue

∆arctgx = arctg1

1 + x(x+ 1)= arctg

1

1 + x+ x2

logo ∑x

arctg(1

1 + x+ x2) = arctg(x)

tomando com limites [1, n]

n∑x=1

arctg1

1 + x+ x2= arctgx

∣∣∣∣n+1

1

= arctg(n+ 1)− arctg(1) = arctg(n+ 1)− π

4.

1.2.11 Somatorio de cosseno

Vamos analisar algumas somas envolvendo cosseno .

Corolario 7.∑x

cos(ax+ c) =sen(ax+ c− a/2)

2sena/2=

sen(a(x− 12) + c)

2sena/2=

sen(a(2x−12

) + c)

2sena/2

seja b =a(2x− 1)

2+ c ∑

x

cos(ax+ c) =sen(b)

2sen(a/2).

Aplicando o somatorio em [1, n]

n∑x=1

cos(ax+ c) =sen(a(2x−1)

2+ c)

2sen(a/2)

∣∣∣∣n+1

1

=sen(a(2n+1)

2+ c)− sen(a

2+ c)

2sen(a/2)=

n∑x=1

cos(ax+ c) =sen(an+ a

2+ c)− sen(a

2+ c)

2sen(a/2)

se c = 0n∑

x=1

cos(ax) =sen(an+ a

2)− sen(a

2)

2sen(a/2)

em [1, n− 1]n−1∑x=1

cos(ax) =sen(an− a

2)− sen(a

2)

2sen(a/2)

Em [0, n]

n∑x=0

cos(ax+ c) =sen(an+ a

2+ c)− sen(−a

2+ c)

2sen(a/2)=

sen(an+ a2+ c) + sen(a

2− c)

2sen(a/2).


Exemplo 4. Calcule

cos(π

11) + cos(

3π

11) + cos(

5π

11) + cos(

7π

11) + cos(

9π

11).

Tal soma e

5∑k=1

cos((2k − 1)π

11) =

5∑k=1

cos((2k)π

11− π

11)

usamos a expressaon∑

x=1

cos(ax + c) =sen(an+ a

2+ c)− sen(a

2+ c)

2sen(a/2)com a =

2π

11e c =

−π

11, resultando em

5∑k=1

cos((2k)π

11− π

11) =

sen(10π11

)

2sen( π11)=

escrevendo sen(10π

11) = sen(π − π

11) = sen(π)cos(

π

11) − cos(π)sen(

π

11) = sen(

π

11)

logo o denominador cancela o numerador resultando em

5∑k=1

cos((2k − 1)π

11) =

1

2.

Exemplo 5. Calcularn−1∑k=1

cos(2kπ

n).

n−1∑k=1

cos(2kπ

n) =

sen(2π − πn)− sen(π

n)

2sen(πn)

porem

sen(2π − π

n) = sen2π.cos

π

n− sen

π

n.cos2π = −sen

π

n

logo a soma fica

=−2sen(π

n)

2sen(πn)

= −1.

n−1∑k=1

cos(2kπ

n) = −1.


1.2.12n−1∑k=0

cos(2kπ

n) = 0.

Corolario 8. Comon−1∑k=1

cos(2kπ

n) = −1

logon−1∑k=0

cos(2kπ

n) = 1− 1 = 0.

1.2.13n−1∑k=0

cos(kπ

n) = 0.

Exemplo 6. Calculen−1∑k=1

cos(kπ

n).

n−1∑k=1

cos(kπ

n) =

sen(π − π2n)− sen π

2n

2sen π2n

=

tem-se sen(π − π

2n) = senπcos

π

2n− sen

π

2ncosπ = sen

π

2ndaı

n−1∑k=1

cos(kπ

n) = 0.

1.2.14 Somatorio de cosn(x)

Vamos deduzir uma maneira de expressar cosn(x) em funcao de fatores lineares de

cos(x) e depois aplicar o somatorio.

Propriedade 6. Vale

cosn(x) =1

2n

n∑t=0

(n

t

)cos((n− 2t)x).

Demonstracao.

(eix + e−ix)n =n∑

k=0

(n

k

)ekixeix(−n+k) =

n∑k=0

(n

k

)ekixeix(−n+k) =

n∑k=0

(n

k

)eix(2k−n)


porem eix + e−ix = 2cos(x), de onde segue

2n.cosn(x) =n∑

k=0

(n

k

)eix(2k−n)

como o resultado deve ser real entao vale

cosn(x) =1

2n

n∑t=0

(n

t

)cos((n− 2t)x)

Corolario 9. Tomando x = ak + c e aplicando a soma em ambos lados temos

∑k

cosn(ak + c) =1

2n

n∑t=0

(n

t

)∑k

cos((n− 2t)(ak + c)) =

tomando a′ = (n− 2t)a e c′ = (n− 2t)c

=1

2n

n∑t=0

(n

t

)∑k

cos(a′k + c′) =1

2n

n∑t=0

(n

t

)sen(a′k + c′ − a′/2)

2sen(a′

2)

∑k

cosn(ak + c) =1

2n

n∑t=0

(n

t

)sen(a′k + c′ − a′/2)

2sen(a′

2)

.

Exemplo 7. Calcular30∑k=1

cos3(2k − 1).

30∑k=1

cos3(2k − 1) =1

23

3∑t=0

(3

t

)sen(6− 4t)(k − 1)

2sen(3− 2t)

∣∣∣∣311

=1

23

3∑t=0

(3

t

)sen(6− 4t)(30)

2sen(3− 2t)=

=1

23

((3

0

)sen(180)

2sen(3)+

(3

1

)sen(60)

2sen(1)+

(3

2

)sen(60)

2sen(1)+

(3

3

)sen(−180)

2sen(−3)

)=

1

8

3sen(60)

sen(1)=

3√3

82sen(1)=

30∑k=1

cos3(2k − 1) =3√3

16.sen(1).

Exemplo 8. ∑cos(2ax+ 2c) =

∑cos(2(ax+ c)).

tomando a′ = 2a e c′ = 2c, escrevemos da forma

∑cos(2ax+ 2c) =

∑cos(a′x+ c′) =

sen(a′(2x−12

) + c′)

2sena′/2=

sen(2a(2x−12

) + 2c)

2sen2a/2=


=sen(a(2x− 1) + 2c)

2sena.

tomando b′ = (a(2x− 1) + 2c) = 2b∑cos(2ax+ 2c) =

sen(2b)

2sena

1.2.15∑x

cos2(ax+ c) =x

2+

sen(a(2x− 1) + 2c)

4sena

Exemplo 9. ∑x

cos2(ax+ c).

Usamos a identidade

cos2(ax+ c) =cos(2(ax+ c)) + 1

2

aplicando o somatorio temos∑x

cos2(ax+ c) =∑ cos(2(ax+ c)) + 1

2=

1

2

∑cos(2(ax+ c)) +

∑ 1

2=

=x

2+

1

2

sen(a(2x− 1) + 2c)

2sena

∑x

cos2(ax+ c) =x

2+

sen(2b)

4sena

1.2.16n−1∑k=1

cos2(kπ

n) =

n− 2

2.

Propriedade 7.n−1∑k=1

cos2(kπ

n) =

n− 2

2.

Demonstracao.

n−1∑k=1

cos2(kπ

n) =

n

2+

sen(2π − πn)

4sen(πn)

− 1

2−

sen(πn)

4sen(πn)=

n− 2

2.

Propriedade 8. Vale

∆sen(x− 1)θ.cosx(θ)

sen(θ)= cosx(θ).cos(xθ).


Demonstracao.


sen(θ)=

sen(x)θ.cos(x+1)(θ)− sen(x− 1)θ.cosx(θ)

sen(θ)=

=[sen(xθ).cos(θ)− sen(x− 1)θ]cosx(θ)

sen(θ)=

porem temos que

sen(xθ).cos(θ)− sen(x− 1)θ = sen(xθ).cos(θ)− sen(xθ).cosθ + sen(θ).cos(xθ)

logo


sen(θ)= cosx(θ).cos(xθ).

1.2.17n∑

x=1


sen(θ).

Corolario 10. Aplicando a soman∑

x=1

em ∆sen(x− 1)θ.cosx(θ)

sen(θ)= cosx(θ).cos(xθ) tem-se

n∑x=1

cosx(θ).cos(xθ) =sen(x− 1)θ.cosx(θ)

sen(θ)

∣∣∣∣n+1

1

=sen(n)θ.cosn+1(θ)

sen(θ)

n∑x=1


sen(θ).

1.2.18 Somatorio de cosseno hiperbolico

1.2.19∑x

cosh(bx+ a) =senh(bx+ a− b/2)

2senh( b2)

Corolario 11. Da identidade

∑x

cos(bx+ a) =sen(bx+ a− b/2)

2sen b2

substituindo b por ib e a por ai e usando as identidade sen(ix) = isenh(x) e cos(ix) =

cosh(x) temos

∑x

cos(i(bx+ a)) =∑x

cosh(bx+ a) =isenh(bx+ a− b/2)

2isenh( b2)

=senh(bx+ a− b/2)

2senh( b2)

.


1.2.20 Somatorio de seno

Corolario 12. ∑sen(ax+ c) = −

cos(a(2x−12

) + c)

2sen(a/2)∑sen(ax+ c) = − cos(b)

2sen(a/2)

em especial ∑x

sen(ax) = −cos(a(2x−1

2))

2sen(a/2).

Se aplicamos limites [1, n]

n∑x=1

sen(ax+ c) = −cos(a(2x− 1)/2 + c)

2sen(a/2)

∣∣∣∣n+1

1

=−cos(a(2n+ 1)/2 + c) + cos(a/2 + c)

2sen(a/2)=

n∑x=1

sen(ax+ c) =−cos(an+ a/2 + c) + cos(a/2 + c)

2sen(a/2)

se c = 0n∑

x=1

sen(ax) =−cos(an+ a/2) + cos(a/2)

2sen(a/2).

n∑x=1

sen(x) =−cos(n+ 1

2) + cos(1

2)

2sen(12)

A soma em [0, n]

n∑x=0

sen(ax+ c) = −cos(a(2x− 1)/2 + c)

2sen(a/2)

∣∣∣∣n+1

0

=−cos(an+ a/2 + c) + cos(−a/2 + c)

2sen(a/2)=

=−cos(an+ a/2 + c) + cos(a/2− c)

2sen(a/2).

1.2.21n−1∑k=1

sen(kπ

n) = cotg(

π

2n).

Exemplo 10. Calcular a soman−1∑k=1

sen(kπ

n).

n−1∑k=1

sen(kπ

n) =

−cos( (n−1)πn

+ π2n) + cos( π

2n)

2sen( π2n)

=−cos(π − π

n+ π

2n) + cos( π

2n)

2sen( π2n)

=


=−cos(π − 2π

2n+ π

2n) + cos( π

2n)

2sen( π2n)

=−cos(π − π

2n) + cos( π

2n)

2sen( π2n)

=

mas −cos(π − π

2n) = −cos(π).cos(

π

2n) + sen(π)sen(− π

2n) = cos

π

2n

=2cos( π

2n)

2sen( π2n)= cotg

π

2n

logon−1∑k=1

sen(kπ

n) = cotg(

π

2n).

Exemplo 11. ∑sen2(ax+ c).

Usamos a identidade

sen2(ax+ c) =1− cos2(ax+ c)

2

aplicando o somatorio em ambos lados temos∑sen2(ax+ c) =

∑ 1

2− 1

2

∑cos2(ax+ c) =

x

2− sen(a(2x− 1) + 2c)

4sena.

No caso da soma aplicada em [1, n]

n∑x=1

sen2(ax+c) =x

2−sen(a(2x− 1) + 2c)

4sena

∣∣∣∣n+1

1

=n+ 1

2−sen(a(2n+ 1) + 2c)

4sena−1

2+sen(a+ 2c)

4sena=

=n

2+

sen(a+ 2c)− sen(a(2n+ 1) + 2c)

4sena.


sen(kπ

2009).

Usaremos a expressao

n∑k=1

sen(ak) =−cos(an+ a/2) + cos(a/2)

2sen(a/2).

com a =π

2009e n = 2009 temos an = π

2009∑k=1

sen(kπ

2009) =

−cos(π + π4018

) + cos( π4018

)

2sen( π4018

)=

=−cos(π + π

4018) + cos( π

4018)

2sen( π4018

)=

2cos( π4018

)

2sen( π4018

)= cotg[

π

4018]


1.2.22∑x


2 ) + c)

2sen(a/2)+

sen(ax+ c)

(2sen(a/2))2.

Exemplo 13. Calcular ∑xsen(ax+ c).

Por partes, tomamos g(x) = x logo ∆g(x) = 1 e ∆f(x) = sen(ax+ c) temos

f(x) = −cos(a(2x−1

2) + c)

2sen(a/2)

e

f(x+ 1) = −cos(a(2x+1

2) + c)

2sen(a/2)= −

cos(ax+ a2+ c)

2sen(a/2)= −cos(ax+ c′)

2sen(a/2)

∑xsen(ax+ c) = −

xcos(a(2x−12

) + c)

2sen(a/2)+

1

2sen(a/2)

∑cos(ax+ c′) =

= −xcos(a(2x−1

2) + c)

2sen(a/2)+sen(ax+ c′ − a/2)

(2sen(a/2))2= −

xcos(a(2x−12

) + c)

2sen(a/2)+sen(ax+ a/2 + c− a/2)

(2sen(a/2))2=

= −xcos(a(2x−1

2) + c)

2sen(a/2)+

sen(ax+ c)

(2sen(a/2))2.

∑xsen(ax+ c) = −

xcos(a(2x−12

) + c)

2sen(a/2)+

sen(ax+ c)

(2sen(a/2))2.

Aplicando limites [1, n]

n∑k=1


2) + c)

2sen(a/2)+

sen(ax+ c)

(2sen(a/2))2

∣∣∣∣n+1

1

=

= −(n+ 1)cos(a(2n+1

2) + c)

2sen(a/2)+

sen(an+ a+ c)

(2sen(a/2))2+

cos(a2+ c)

2sen(a/2)− sen(a+ c)

(2sen(a/2))2=

=cos(a

2+ c)− (n+ 1)cos(a(2n+1

2) + c)

2sen(a/2)+

sen(an+ a+ c)− sen(a+ c)

(2sen(a/2))2.


n∑x=1

xsen(ax+c) =cos(a

2+ c)− (n+ 1)cos(a(2n+1

2) + c)

2sen(a/2)+sen(an+ a+ c)− sen(a+ c)

(2sen(a/2))2=

=cos(a

2+ c)− (n+ 1)cos(a(2n+1

2) + c)

2sen(a/2)+

sen(a(n+ 1) + c)− sen(a+ c)

(2sen(a/2))2


2xsen(2x)

Onde o coeficiente de x = k, 2 esta em graus.

89∑k=1

2xsen(2x) = 289∑k=1

xsen(2x)

calculando

89∑k=1

xsen(2x) =cos(2

2)− (90)cos(2(179

2))

2sen(2/2)+

sen(2(90))− sen(2)

(2sen(2/2))2=

=cos(1)− (90)cos(179)

2sen(1)− sen(2)

(2sen(1))2

multiplicando por 2

89∑k=1

2xsen(2x) =cos(1)− (90)cos(179)

sen(1)− sen(2)

2(sen(1))2=

=1

sen(1)(cos(1)− 90cos(179)− sen(2)

2sen(1)) =

=1

sen(1)(2sen(1))(2sen(1)cos(1)− 90cos(179)2sen(1)− sen(2)) =

=−90cos(179)2sen(1)

sen(1)2sen(1)=

−90cos(179)

sen(1)=

−90cos(180− 1)

sen(1)=

=−90(cos(180)cos(−1)− sen(180)sen(−1))

sen(1)=

90cos(1)

sen(1)= 90cotg(1).

Logo vale89∑k=1

2xsen(2x) = 90cotg(1)

observe que se adicionamos o termo com k = 90 na soma o termo sen(2.90) =

sen(180) = 0 logo o resultado e o mesmo

90∑k=1

2xsen(2x) = 90cotg(1).


1.2.23∑x

(2xsen2 a

2x

)2

=

(2x−1sen

a

2x−1

)2

.

Exemplo 15. Mostrar que

∑x

(2xsen2 a

2x

)2

=

(2x−1sen

a

2x−1

)2

.

Partimos da identidade sen2a = 2sena cosa, multiplicando por 2x−1

sena

2x−1= 2cos

a

2xsen

a

2x, 2x−1sen

a

2x−1= 2xcos

a

2xsen

a

2x

elevando ao quadrado

(2x−1sena

2x−1)2 = (2xcos

a

2xsen

a

2x)2 = (2xsen

a

2x)2(1−sen2 a

2x) = (2xsen

a

2x)2−(2xsen2 a

2x)2

entao

(2xsen2 a

2x)2 = (2xsen

a

2x)2 − (2x−1sen

a

2x−1)2 = ∆(2x−1sen

a

2x−1)2

de onde segue ∑x

(2xsen2 a

2x

)2

=

(2x−1sen

a

2x−1

)2

.

1.2.24n−1∑k=1

sen2(kπ

n) =

n

2.


sen2(kπ

n) =

n

2.

Demonstracao. Da identidade sen2(x) = 1− cos2(x) segue que

n−1∑k=1

sen2(kπ

n) = n− 1− n− 2

2=

n

2.


1.2.25

n−1∑k=0

sen(2kx+ x)

n−1∑k=0

cos(2kx+ x)

= tg(nx).

Exemplo 16. Achar expressao fechada para a razao de somatorios

n−1∑k=0

sen(2kx+ x)

n−1∑k=0

cos(2kx+ x)

.

Vamos calcular atraves do somatorio indefinido

∑sen(ak + c) = −

cos(a(2k−1)2

+ c)

2sena2

sendo c = x e a = 2x temos

∑sen(2xk + x) = −cosx(2k)

2senx

da mesma maneira ∑cos(2xk + x) =

senx(2k)

2senx

aplicando limites [1, n− 1]

n−1∑k=0

sen(2xk + x) = −cosx(2k)

2senx=

−cosx(2n) + 1

2senx

n−1∑k=0

cos(2xk + x) =senx(2n)

2senx

tomando a razaon−1∑k=0

sen(2kx+ x)

n−1∑k=0

cos(2kx+ x)

=−cosx(2n) + 1

senx(2n)

que podemos simplificar

−cosx(2n) + 1

senx(2n)=

1− cos2nx+ sen2nx

2sennx.cosnx


usando cos2nx = 1− sen2nx

1− 1 + sen2nx+ sen2nx

2sennx.cosnx=

2sen2nx

2sennx.cosnx=

sennx

cosnx= tgnx

assimn−1∑k=0

sen(2kx+ x)

n−1∑k=0

cos(2kx+ x)

= tg(nx).

1.2.26n∑

k=0

(2k+1sen(π

2k+1)− 2ksen(

π

2k)) = 2n+1sen(

π

2n+1)

Exemplo 17. Calcular a soma

n∑k=0

(2k+1sen(2y

2k)− 2ksen(

2y

2k−1)).

Tomando f(k) = 2ksen(2y

2k−1) temos ∆f(k) = 2k+1sen(

2y

2k)− 2ksen(

2y

2k−1) logo

n∑k=0

(2ksen(2y

2k)− 2k−1sen(

2y

2k−1)) = 2ksen(

2y

2k−1)

∣∣∣∣n+1

0

= 2n+1sen(2y

2n)− 20sen(

2y

2−1) =

= 2n+1sen(2y

2n)− sen(4y).

Se y =π

4entao 4y = π e senπ = 0 daı

n∑k=0

(2k+1sen(π

2k+1)− 2ksen(

π

2k)) = 2n+1sen(

π

2n+1)

agora tomando o limite n → ∞, 2n+1 tambem tende ao infinito e1

2n+1tende a zero,

tomamos entao x =1

2n+1, logo 2n+1 =

1

x, com x tendendo a zero pela direita,

limx→0

senπx

x= π lim

x→0

senπx

πx= π

logo∞∑k=0

(2k+1sen(π

2k+1)− 2ksen(

π

2k)) = π.


1.2.27∑x

2xsen(a

2x)sen2(

a

2x+1) = 2x−2sen(

a

2x−1).

Propriedade 10. Vale∑x

2xsen(a

2x)sen2(

a

2x+1) = 2x−2sen(

a

2x−1).

Demonstracao. Vamos mostrar que

2xsen(a

2x)sen2(

a

2x+1) = ∆2x−2sen(

a

2x−1).

1− cos( a2x)

2= sen2(

a

2x+1) ⇒ 2sen2(

a

2x+1) = 1− cos(

a

2x)

multiplicando por 2sen(a

2x) tem-se

4sen(a

2x)sen2(

a

2x+1) = 2sen(

a

2x)− 2sen(

a

2x)cos(

a

2x)

usamos agora que 2sen(a

2x)cos(

a

2x) = sen(

2a

2x) portanto

4sen(a

2x)sen2(

a

2x+1) = 2sen(

a

2x)− sen(

a

2x−1)

multiplicando por 2x−2 segue

2xsen(a

2x)sen2(

a

2x+1) = 2x−1sen(

a

2x)− 2x−2sen(

a

2x−1) = ∆2x−2sen(

a

2x−1).

1.2.28

Propriedade 11. Vale que∑x

cos(xa)secx(a) =sen(xa)

sen(a)cosx−1(a).

Demonstracao. Vamos provar que

cos(xa)secx(a) = ∆sen(xa)

sen(a)cosx−1(a).

Partimos de

sen(xa)cos(a) + cos(xa)sen(a)︸︷︷︸sen(xa+a)

−sen(xa)cos(a) = sen(a)cos(xa)

multiplicamos por1

cosx(a)sen(a)

sen(xa+ a)

cosx(a)sen(a)− sen(xa)

cosx−1(a)sen(a)= cos(xa)secx(a)

logo esta provado.


1.2.29 Somas∑k

xkcos(ak + b) e∑k

xksen(ak + b).

Exemplo 18. Vamos agora calcular os somatorio indefinidos∑k

xkcos(ak + b) e∑k

xksen(ak + b)

usando numeros complexos. Temos

ei(ak+b) = cos(ak + b) + isen(ak + b) = ei(ak)eib

multiplicando por xk e somando

eib∑k

ei(ak)xk =∑k

xkcos(ak + b) + i∑k

xksen(ak + b)

a parte real sendo a soma com cos e a parte imaginaria com sen,∑k

ei(ak)xk =∑k

(ei(a)x)k =(ei(a)x)k

eiax− 1

eiax− 1 = xcosa+ ixsena− 1 logo seu conjugado e xcosa− ixsena− 1 = xe−ia − 1 sendo

o resultado do produto a2 + b2 = d onde a = xcosa− 1 e b = xsena∑k

(ei(a)x)k =1

dxkeiak(e−iax− 1) =

1

dxk(xeia(k−1) − eiak)

multiplicando agora por eib

xei[a(k−1)+b]−ei[ak+b] = xcos[a(k−1)+b]+ ixsen[a(k−1)+b]−cos[ak+b]− isen[ak+b] =

= xcos[a(k − 1) + b]− cos[ak + b] + i

{xsen[a(k − 1) + b]− sen[ak + b]

}a parte real multiplicada por

xk

de

∑k

xkcos(ak + b) =xk+1cos[a(k − 1) + b]− xkcos[ak + b]

d

e a parte imaginaria∑k

xksen(ak + b) =xk+1sen[a(k − 1) + b]− xksen[ak + b]

d


porem d = a2 + b2 = x2cos2a− 2xcosa+ 1 + x2sen2a = x2 − 2xcosa+ 1 entao temos

∑k

xkcos(ak + b) =xk+1cos[a(k − 1) + b]− xkcos[ak + b]

x2 − 2xcosa+ 1

e ∑k

xksen(ak + b) =xk+1sen[a(k − 1) + b]− xksen[ak + b]

x2 − 2xcosa+ 1

como corolario, se |x| < 1 temos as series

∞∑k=0

xkcos(ak + b) =cos(b)− xcos(b− a)

x2 − 2xcosa+ 1

∞∑k=0

xksen(ak + b) =sen(b)− xsen(b− a)

x2 − 2xcosa+ 1

1.2.30n−1∑k=0

sen3(c3k)

3k+1=

−1

4(sen3(c3n)

3n− sen(c)).

Exemplo 19. Calcularn−1∑k=0

sen3(c3k)

3k+1

Usando a identidade sen(3x) = 3sen(x)− 4sen3(x) com x = c3k e multiplicando por

1

3k+1

chegamos na identidade

sen3(c3k)

3k+1= (

sen(c3k+1)

3k+1− sen(c3k)

3k)−1

4

daı segue o resultado da soma

n−1∑k=0

sen3(c3k)

3k+1=

−1

4(sen3(c3n)

3n− sen(c)).

Em especial∞∑k=0

sen3(c3k)

3k+1=

1

4sen(c).

De maneira similar, podemos tomar x =c

3k+1e multiplicar a expressao por 3k, de onde

chegamos em


n−1∑k=0

3ksen3(c

3k+1) =

1

4(3nsen3(

c

3n)− sen(c)).

1.2.31 Somatorio de seno hiperbolico

1.2.32∑x

senh(bx+ a) =cosh(bx− b

2 + a)

2senh b2

.

Corolario 13. Usando a identidade

∑sen(bx+ a) = −

cos(bx− b2+ a)

2sen b2

substituindo b por bi e a por ai e usando as relacoes com numeros complexos

∑seni(bx+ a) = i

∑senh(bx+ a) = −

cosh(bx− b2+ a)

i2senh b2

logo ∑senh(bx+ a) =

cosh(bx− b2+ a)

2senh b2

.

1.3 Somatorio envolvendo tangente

1.3.1∑k


tgx− k.

Exemplo 20. Calcular o somatorio indefinido

∑k

tg(kx)tg(xk + x).

Temos que

tg(x) = tg(xk + x− xk) =tg(xk + x)− tg(xk)

1 + tg(xk).tg(xk + x)

logo

tg(xk).tg(xk + x) =tg(xk + x)− tg(xk)

tg(x)− 1 =

∆tg(kx)

tg(x)− 1

∑k


tgx− k.


∑k

cotg(xk + x)cotg(xk)

cotg(x) = cotg(kx+ x− kx) =−cotg(kx+ x)cotg(kx)− 1

cotg(kx+ x)− cotg(kx)

−cotg(x)∆cotg(kx) = cotg(kx+ x)cotg(kx) + 1

logo

cotg(kx+ x)cotg(kx) = −cotg(x)∆cotg(kx)− 1

de onde segue ∑k

cotg(kx+ x)cotg(kx) = −cotg(x)cotg(kx)− k.

1.3.2∑k

1

2ktg(

a

2k) =

1

2k−1cotg(

a

2k−1)

Exemplo 21. Da identidade

tgx = cotgx− 2cotg2x

fazendo x =a

2ktemos

tga

2k= cotg

a

2k− 2cotg2

a

2k= cotg

a

2k− 2cotg

a

2k−1

dividindo ambos membros por1

2ksegue

1

2ktg

a

2k=

1

2kcotg

a

2k− 1

2k−1cotg

a

2k−1= ∆

1

2k−1cotg

a

2k−1

aplicando a soma

∑k

1

2ktg

a

2k=

1

2k−1cotg

a

2k−1,

n∑k=0

1

2ktg

a

2k=

1

2k−1cotg

a

2k−1

∣∣∣∣n+1

0

=1

2ncotg

a

2n− 2cotg2a.

n∑k=0

1

2ktg

a

2k=

1

2ncotg

a

2n− 2cotg2a.

Como lim1

2ncotg

a

2n=

1

aentao


∞∑k=0

1

2ktg

a

2k=

1

a− 2cotg2a.

Tomando a = π, n = ∞ e comecando a soma de k = 2, temos

∞∑k=2

1

2ktg

π

2k=

1

π− 1

2cotg

π

2

mas cotgπ

2=

cosπ2

senπ2

= 0 logo

∞∑k=2

1

2ktg

π

2k=

1

π.

1.3.3∑k

2ktg(a.2k) = −2kcotg(a.2k)


tgx = cotgx− 2cotg2x

podemos tomar agora x = a.2k, depois multiplicar por 2k

tga.2k = cotga.2k−2cotga.2k+1, 2ktga.2k = 2kcotga.2k−2k+1cotga.2k+1 = −∆2kcotga.2k

logo

∑k

2ktga.2k = −2kcotga.2k,n∑

k=0

2ktga.2k = −2kcotga.2k∣∣∣∣n+1

0

= −2n+1cotga.2n+1 + cotga.

1.3.4∑x

1

2xlog( tg(2xa)) = − 1

2x−1log( 2sen(2xa)).


∑x

1

2xlog tg(2xa).

Partimos da identidade trigonometrica sen2b = 2senb cosb fazendo b = 2xa temos

sen2x+1a = 2sen2xa cos2xa,1

cos2xa=

2sen2xa

sen2x+1a


multiplicando por sen2xa em ambos lados

sen2xa

cos2xa= tg2xa =

2sen22xa

sen2x+1a

tomando o logaritmo em ambos lados

logtg2xa = log(2sen22xa

sen2x+1a) = log(

4sen22xa

2sen2x+1a) = log4sen22xa− log2sen2x+1a =

= 2log2sen2xa− log2sen2x+1a = logtg2xa

dividindo por 2x em ambos lados

− 1

2xlog2sen2x+1a+

1

2x−1log2sen2xa = −(

1

2xlog2sen2x+1a− 1

2x−1log2sen2xa) =

= ∆− 1

2x−1log2sen2xa =

1

2xlogtg2xa

daı segue ∑x

1

2xlog tg2xa = − 1

2x−1log 2sen2xa.

1.3.5n−1∑k=1

tg2(kπ

n) = n(n− 1)


tg2(kπ

n) = n(n− 1)

com n ımpar .

Demonstracao.

1.4 Somatorio envolvendo secante

1.4.1n−1∑k=1

sec2(kπ

n) = n2 − 1


sec2(kπ

n) = n2 − 1


Demonstracao.

Da identidade tg2(x) + 1 = sec2(x) e da identidaden−1∑k=1

tg2(kπ

n) = n(n− 1) tem-se

n−1∑k=1

sec2(kπ

n) = n− 1 + n(n− 1) = (n− 1)(n+ 1) = n2 − 1

para n ımpar .

1.4.2∑x

(1

2xsec(

θ

2x))2 = −(

1

2x−1cossec(

θ

2x−1))2

Propriedade 14. ∑x

(1

2xsec(

θ

2x))2 = −(

1

2x−1cossec(

θ

2x−1))2.

Demonstracao. Partimos da identidade sen(2a) = 2sen(a)cos(a) que implica sec(a) =

2sen(a)cossec(2a), tomando a =θ

2xsegue

sec(θ

2x) = 2sen(

θ

2x)cossec(

θ

2x−1)

multiplicando por1

2xe depois elevando ao quadrado tem-se

(1

2xsec(

θ

2x))2 = (

1

2x−1cossec(

θ

2x−1))2(1− cos2(

θ

2x)) =

= (1

2x−1cossec(

θ

2x−1))2 − (

1

2xcossec(

θ

2x))2

daı segue o resultado .

Aplicando limites temos

n∑x=1

(1

2xsec(

θ

2x))2 = −(

1

2x−1cossec(

θ

2x−1))2

∣∣∣∣n+1

1

= −(1

2ncossec(

θ

2n))2 + cossec2(θ).

1.5 Somatorio envolvendo cotangente

1.5.1∑k


Exemplo 24. Calcular o somatorio indefinido


∑k

cotg(xk + x)cotg(xk).

cotg(x) = cotg(kx+ x− kx) =−cotg(kx+ x)cotg(kx)− 1

cotg(kx+ x)− cotg(kx)

−cotg(x)∆cotg(kx) = cotg(kx+ x)cotg(kx) + 1

logo

cotg(kx+ x)cotg(kx) = −cotg(x)∆cotg(kx)− 1

de onde segue ∑k



cossecx = cotgx

2− cotgx

tomando x =a

2ktemos

cosseca

2k= cotg

a

2k+1− cotg

a

2k= ∆cotg

a

2k

logo ∑k

cosseca

2k= cotg

a

2k,

n∑k=0

cosseca

2k= cotg

a

2k

∣∣∣∣n+1

0

= cotga

2n+1− cotga.


cotg2(kπ

n) =

(n− 1)(n− 2)

3.

Demonstracao.

1.6 Somatorio envolvendo cossecante

1.6.1∑k

cossec( a2k) = −cotg( a2k−1)


cossec(x) = cotg(x

2)− cotg(x)


tomando x = a2k temos

cossec a2k = cotg a2k−1 − cotg a2k = −∆cotg a2k−1

logo

∑k

cossec a2k = −cotg a2k−1,

n∑k=0

cossec a2k = −cotg a2k−1

∣∣∣∣n+1

0

= −cotg a2n + cotga

2.

Exemplo 27. Da mesma maneira do exemplo anterior , tomando x =a

2ktem-se

cossec(a

2k) = cotg(

a

2k+1)− cotg(

a

2k) = ∆cotg(

a

2k)

logo ∑k

cossec(a

2k) = cotg(

a

2k).

1.6.2n−1∑k=1

cossec2(kπ

n) =

n2 − 1

3


cossec2(kπ

n) =

n2 − 1

3

Demonstracao. Partindo da identidaden−1∑k=1

cotg2(kπ

n) =

(n− 1)(n− 2)

3usando que

cotg2(x) + 1 = cossec2(x) tem-se

n−1∑k=1

cossec2(kπ

n) = n− 1 +

(n− 1)(n− 2)

3=

n2 − 1

3

1.6.3n−1∑k=0

cossec2(z +kπ

n) = n2cossec2(zn)


cossec2(z +kπ

n) = n2cossec2(zn)

Demonstracao.


1.7 Somas e polinomios

Propriedade 18. Valem as identidades

sen nx =

⌊n−12

⌋∑k=0

(n

2k + 1

)(−1)k(senx)2k+1(cosx)n−2k−1

cos nx =

⌊n2⌋∑

k=0

(n

2k + 1

)(−1)k(senx)2k(cosx)n−2k

Demonstracao. Temos a identidade

cos(nx) + isen(nx) = (cos(x) + isen(x))n

expandindo por binomio segue

n∑k=0

(n

k

)(isen(x))k(cos(x))n−k = cos(nx) + isen(nx)

o conjunto A = [0, n]N admite a particao B ∪ C = A onde B e o conjunto dos ımpares e

C o conjunto dos pares de k = 0 ate n, igualando a parte complexa segue

isen(x) =n∑

k=0

(n

2k + 1

)(i)2k+1(sen(x))2k+1.(cos(x))n−2k−1

sen(nx) =n∑

k=0

(n

2k + 1

)(−1)k(sen(x))2k+1.(cos(x))n−2k−1

2k + 1 = n implica 2k = n− 1, k =n− 1

2, entao vale

sen(nx) =

⌊n−12

⌋∑k=0

(n

2k + 1

)(−1)k(sen(x))2k+1.(cos(x))n−2k−1.

Agora tomando a parte par, temos

cos(nx) =n∑

k=0

(n

2k

)i2k(sen(x))2k(cos(x))n−2k =

n∑k=0

(n

2k

)(−1)k(senx)2k(cos(x))n−2k

se n = 2k, k =n

2, entao vale

cos(nx) =

⌊n2⌋∑

k=0

(n

2k

)(−1)k(sen(x))2k(cos(x))n−2k


1.7.1m∑k=1

cot2(kπ

2m+ 1) =

2m(2m− 1)

6.

Propriedade 19.m∑k=1

cot2(kπ

2m+ 1) =

2m(2m− 1)

6

Demonstracao. Temos a identidade

cos(nx) + isen(nx) = (cos(x) + isen(x))n

expandindo por binomio segue

n∑k=0

(n

k

)(isen(x))k(cos(x))n−k = cosnx+ isennx

o conjunto A = [0, n]N admite a particao B ∪ C = A onde B e o conjunto dos ımpares e

C o conjunto dos pares de k = 0 ate n, igualando a parte complexa segue

isen(x) =n∑

k=0

(n

2k + 1

)(i)2k+1(sen(x))2k+1.(cos(x))n−2k−1

senn(x) =n∑

k=0

(n

2k + 1

)(−1)k(sen(x))2k+1.(cos(x))n−2k−1

tomamos n = 2m+ 1 e o limite superior trunca em m logo

sen((2m+ 1)x) =m∑k=0

(2m+ 1

2k + 1

)(−1)k(sen(x))2k+1.(cosx)2m−2k

tomamos x =rπ

2m+ 1com r natural no intervalo [1,m] o maximo valor de r e m, nesse

caso temosmπ

2m+ 1<

π

2pois, 2m < 2m+1 alem disso 0 < x assim nenhum desses valores

sao zeros de sen(x) e podemos dividir por sen(x), esses valores ainda implicam

sen((2m+ 1)x) = 0

dividimos entao por (sen(x))2m+1, segue

0 =m∑k=0

(2m+ 1

2k + 1

)(−1)k

(sen(x))2k+1

(sen(x))2m+1.(cos(x))2m−2k =

m∑k=0

(2m+ 1

2k + 1

)(−1)k

(cos(x))2m−2k

(sen(x))2m−2k=

=m∑k=0

(2m+ 1

2k + 1

)(−1)k(cotg(x))2m−2k =

m∑k=0

(2m+ 1

2k + 1

)(−1)k(cotg(x))2(m−k)


fazendo y = (cotg(x))2

p(y) :=m∑k=0

(2m+ 1

2k + 1

)(−1)k(y)(m−k)

temos um polinomio de grau m cujas raızes conhecemos os valores de r nos fornecem as

raızes

xr = cotg2(

rπ

2m+ 1

)com r de 1 ate m o polinomio se fatora como

c

m∏k=1

(y − xk) =m∑k=0

(2m+ 1

2k + 1

)(−1)k(y)(m−k)

o coeficiente c podemos deduzir da seguinte maneira, vemos que o coeficiente de tm na

direita acontece com k = 0, entao ele e

(2m+ 1

1

)(−1)0 =

(2m+ 1

1

)esse e o mesmo

coeficiente c na esquerda daı c =

(2m+ 1

1

), agora usamos que que o coeficiente de yn−1

em cm∏k=1

(y − xk) e dado por −cm∑k=1

xk comparando com o coeficiente de yn−1 na outra

expressao que e

(2m+ 1

3

)(−1)1 = −

(2m+ 1

3

), que acontece para k = 1 segue

−(2m+ 1

1

) m∑k=1

xk = −(2m+ 1

3

)m∑k=1

xk =

(2m+1

3

)(2m+1

1

) =(2m+ 1)(2m)(2m− 1)

6(2m+ 1)=

2m(2m− 1)

6

logom∑k=1

cotg2(

(kπ

2m+ 1

)) =

2m(2m− 1)

6.

1.7.2m∏k=1

cotg

(kπ

2m+ 1

)=

1√2m+ 1

em∏k=1

tg

(kπ

2m+ 1

)=

√(2m+ 1).

Corolario 14. Comparando os termos constantes em

(2m+ 1

1

) m∏k=1

(y − xk) =m∑k=0

(2m+ 1

2k + 1

)(−1)k(y)(m−k)

(2m+ 1)(−1)mm∏k=1

xk = (−1)m


daım∏k=1

cotg2(

kπ

2m+ 1

)=

1

2m+ 1

m∏k=1

cotg

(kπ

2m+ 1

)=

1√2m+ 1

usando que cotg(x) =1

tg(x)e invertendo a identidade acima tem-se

m∏k=1

tg

(kπ

2m+ 1

)=

√(2m+ 1).

1.7.3m∑k=1

tg2(

kπ

2m+ 1

)= (2m+ 1)(m).

Corolario 15.

sen(2m+ 1)x =m∑k=0

(2m+ 1

2k + 1

)(−1)k(senx)2k+1.(cosx)2m−2k

tomamos x =rπ

2m+ 1com r natural no intervalo [1,m] o maximo valor de r e m, nesse

caso temosmπ

2m+ 1<

π

2pois, 2m < 2m+1 alem disso 0 < x assim nenhum desses valores

sao zeros de cosx e podemos dividir por cosx, esses valores ainda implicam

sen(2m+ 1)x = 0

dividimos entao por (cosx)2m+1, segue

0 =m∑k=0

(2m+ 1

2k + 1

)(−1)k

(senx)2k+1

(cos)2m+1.(cosx)2m−2k =

m∑k=0

(2m+ 1

2k + 1

)(−1)k

(senx)2k+1

(cosx)2k+1=

=m∑k=0

(2m+ 1

2k + 1

)(−1)k(tgx)2k+1 = (tgx)

m∑k=0

(2m+ 1

2k + 1

)(−1)k(tg2x)(k)

fazendo y = (tgx)2

p(y) := ym∑k=0

(2m+ 1

2k + 1

)(−1)k(y)(k)

temos um polinomio de grau m (excluindo o fator y) cujas raızes conhecemos os valores

de r nos fornecem as raızes

xr = tg2(

rπ

2m+ 1

)


com r de 1 ate m o polinomio se fatora como

c

m∏k=1

(y − xk) =m∑k=0

(2m+ 1

2k + 1

)(−1)k(y)(k)

o coeficiente c podemos deduzir da seguinte maneira, vemos que o coeficiente de ym na

direita acontece com k = m, entao ele e

(2m+ 1

2m+ 1

)(−1)m = (−1)m esse e o mesmo

coeficiente c na esquerda daı c = (−1)m, agora usamos que que o coeficiente de ym−1

em c

m∏k=1

(y − xk) e dado por −c

m∑k=1

xk comparando com o coeficiente de ym−1 na outra

expressao que e

(2m+ 1

2m− 1

)(−1)m−1 = (2m + 1)(m)(−1)m−1, que acontece para k = 1

segue

(−1)m+1

m∑k=1

xk = (2m+ 1)(m)(−1)m−1

m∑k=1

xk = (2m+ 1)(m)

logom∑k=1

tg2(

kπ

2m+ 1

)= (2m+ 1)(m).

Corolario 16. Da identidade

(−1)mm∏k=1

(y − xk) =m∑k=0

(2m+ 1

2k + 1

)(−1)k(y)(k)

igualando os termos constante em cada uma tem-se

(−1)2mm∏k=1

(xk) = (2m+ 1)

m∏k=1

tg2(

kπ

2m+ 1

)= (2m+ 1).

1.7.4n−1∏k=1

(tgkπ

n) = n(−1)

n−12 .

Corolario 17.

sennx =n∑

k=0

(n

2k + 1

)(−1)k(senx)2k+1.(cosx)n−2k−1


dividindo por (cosx)n segue

sennx =n∑

k=0

(n

2k + 1

)(−1)k(tgx)2k+1

fazendo tgx = y

sennx = y

n∑k=0

(n

2k + 1

)(−1)k(y)2k

com n ımpar o limite do superior do somatorio trunca emn− 1

2que e natural pois n

ımpar implica n− 1 par, logo divisıvel por 2

sennx = y

n−12∑

k=0

(n

2k + 1

)(−1)k(y)2k

Tomando x =kπ

ncom k = 0 ate n − 1 tem-se sen(nx) = 0 logo temos n raızes do

polinomio, ignorando a raiz 0 podemos fatorar com as n− 1 raızes xk = tgkπ

n

n−12∑

k=0

(n

2k + 1

)(−1)k(y)2k = c

n−1∏k=1

(y − xk)

descobrimos c usando o coeficiente de yn−1 que no polinomio e (−1)n−12 usando o termo

constante do polinomio deduzimos que

(−1)n−12 (−1)n−1

n−1∏k=1

(xk) = n

n−1∏k=1

(xk) = n(−1)n−12 (−1)

2n−22 = n(−1)

3n−32

logon−1∏k=1

(tgkπ

n) = n(−1)

n−12 .

1.7.5m∑k=1

cossec2(kπ

2m+ 1) =

2m(2m+ 2)

6

Corolario 18. Usando as identidades

cotg2x+ 1 = cossec2x


m∑k=1

cotg2(kπ

2m+ 1) =

2m(2m− 1)

6

aplicandom∑k=1

em ambos lados na primeira identidade (com argumento alterado do modo

da segunda) segue

m∑k=1

cotg2(kπ

2m+ 1) +m =

m∑k=1

cossec2(kπ

2m+ 1) =

2m(2m+ 2)

6.

1.8 Somatorios e numeros complexos

Resultados sobre numeros complexos podem nos ajudar a deduzir alguns resultados

sobre somatorios.

Exemplo 28. Da identidade eix = cosx+ isenx, tomando o somatorio da expressao

n−1∑k=1

e2kπ.i

n =e

2kπ.in

e2π.in − 1

∣∣∣∣n1

=e

2nπ.in − e

2π.in

e2π.in − 1

=e2πi − e

2π.in

e2π.in − 1

=

como e2πi = cos2π + isen2π = 1

=1− e

2π.in

e2π.in − 1

= −1

que e igual a seguinte soma

n−1∑k=1

(cos

2kπ

n+ isen

2kπ

n

)=

n−1∑k=1

cos2kπ

n+ i

n−1∑k=1

sen2kπ

n= −1 + 0.i

logo temos como corolario igualando as partes reais e imaginarias

n−1∑k=1

cos2kπ

n= −1.

n−1∑k=1

sen2kπ

n= 0.

1.8.1n∑

k=0

(n

k

)coskx = 2n

(cos(

x

2)

)n

cosnx

2

Exemplo 29. Achar expressoes fechadas para

n∑k=0

(n

k

)senkx


n∑k=0

(n

k

)coskx.

Temos

(eix + 1)n =n∑

k=0

(n

k

)eixk =

n∑k=0

(n

k

)coskx+ i

n∑k=0

(n

k

)senkx

e temos

eix + 1 = (eix2 + e−

ix2 )(e

ix2 ) = 2(

eix2 + e−

ix2

2)(e

ix2 ) = 2cos(

x

2).(e

ix2 )

logo

(eix + 1)n = 2n(cos(

x

2)

)n

.(einx2 ) = 2n

(cos(

x

2)

)n

cosnx

2+ i2n

(cos(

x

2)

)n

sennx

2

logo igualando as partes no somatorio temos

n∑k=0

(n

k

)coskx = 2n

(cos(

x

2)

)n

cosnx

2

n∑k=0

(n

k

)senkx = 2n

(cos(

x

2)

)n

sennx

2

Exemplo 30. Calcule a soma

n−2∑k=0

(n− 2

k

)cos

kπ

2.

Da identidaden∑

k=0

(n

k

)coskx = 2n

(cos(

x

2)

)n

cosnx

2

segue tomando x =π

2

n−2∑k=0

(n− 2

k

)cos

kπ

2= 2n−2

(√2

2

)n−2

cos(n− 2)π

4.


n−1∑k=0

(n− 1

k

)sen

kπ

2.


Da identidaden∑

k=0

(n

k

)senkx = 2n

(cos(

x

2)

)n

sennx

2

tem-sen−1∑k=0

(n− 1

k

)senkx = 2n−1

(cos(

x

2)

)n−1

sen(n− 1)x

2

tomando x =π

2segue

n−1∑k=0

(n− 1

k

)sen

kπ

2= 2n−1

(cos(

π

4)

)n−1

sen(n− 1)π

4

comoπ

4=

√2

2n−1∑k=0

(n− 1

k

)sen

kπ

2= 2n−1

(√2

2

)n−1

sen(n− 1)π

4.


n∑k=0

(n

k

)kcos

kπ

2.

n∑k=0

(n

k

)kcos

kπ

2=

n∑k=1

(n

k

)kcos

kπ

2= n

n∑k=1

(n− 1

k − 1

)cos

kπ

2= n

n−1∑k=0

(n− 1

k

)cos

(k + 1)π

2=

mas cos(kπ

2+

π

2) = −sen

π

2.sen

kπ

2= −sen

kπ

2

= −nn−1∑k=0

(n− 1

k

)sen

kπ

2= −n2n−1

(√2

2

)n−1

sen(n− 1)π

4.

Exemplo 33. Calcularn∑

k=0

(n

k

)k(k − 1)cos

kπ

2.

n∑k=0

(n

k

)k(k − 1)cos

kπ

2=

n∑k=2

(n

k

)k(k − 1)cos

kπ

2= n(n− 1)

n∑k=2

(n− 2

k − 2

)cos

kπ

2=

= n(n− 1)n−2∑k=0

(n− 2

k

)cos

(k + 2)π

2= −n(n− 1)

n−2∑k=0

(n− 2

k

)cos

(k)π

2=

= −n(n− 1)2n−2

(√2

2

)n−2

cos(n− 2)π

4.


Exemplo 34. Calcularn∑

k=0

(n

k

)k2cos

kπ

2.

Escrevendo k2 = k + k(k − 1) segue

n∑k=0

(n

k

)kcos

kπ

2+

n∑k=0

(n

k

)k(k − 1)cos

kπ

2=

= −n2n−1

(√2

2

)n−1

sen(n− 1)π

4− n(n− 1)2n−2

(√2

2

)n−2

cos(n− 2)π

4

Exemplo 35. Calcular

1

4

n∑k=0

(n

k

)k2(1 + (−1)k + 2cos

kπ

2).

Vamos calcular por pedacos

1

4

n∑k=0

(n

k

)k2 = (n+ 1)(n)2n−4

1

4

n∑k=0

(n

k

)k2(−1)k =

δ(0,(n−1)(n−2))n!(−1)n

4

1

2

n∑k=0

(n

k

)k2cos

kπ

2= −n2n−2

(√2

2

)n−1

sen(n− 1)π

4−n(n−1)2n−3

(√2

2

)n−2

cos(n− 2)π

4

1

4

n∑k=0

(n

k

)k2(1 + (−1)k + 2cos

kπ

2) =

= −n2n−2

(√2

2

)n−1

sen(n− 1)π

4− n(n− 1)2n−3

(√2

2

)n−2

cos(n− 2)π

4+

+δ(0,(n−1)(n−2))n!(−1)n

4+ (n+ 1)(n)2n−4.

Exemplo 36. Calcular as somas

1.n∑

k=0

(n

k

)(k

p

)sen(kx)

2.n∑

k=0

(n

k

)(k

p

)cos(kx).


1.

n∑k=0

(n

k

)(k

p

)sen(kx) =

n∑k=p

(n

k

)(k

p

)sen(kx) =

n∑k=p

(n− p

k − p

)(n

p

)sen(kx) =

=

(n

p

) n−p∑k=0

(n− p

k

)sen(kx+ px) =

=

(n

p

)cos(px)

n−p∑k=0

(n− p

k

)sen(kx) +

(n

p

)sen(px)

n−p∑k=0

(n− p

k

)cos(kx) =

=

(n

p

)2n−p

(cos(

x

2)

)n−p

[cos(px).sen(n− p)x

2+ sen(px)cos

(n− p)x

2] =

=

(n

p

)2n−p

(cos(

x

2)

)n−p

sen(x(n+ p)

2).

n∑k=0

(n

k

)(k

p

)sen(kx) =

(n

p

)2n−p

(cos(

x

2)

)n−p

sen(x(n+ p)

2).

2.

n∑k=0

(n

k

)(k

p

)cos(kx) =

n∑k=p

(n

k

)(k

p

)cos(kx) =

n∑k=p

(n− p

k − p

)(n

p

)cos(kx) =

=

(n

p

) n−p∑k=0

(n− p

k

)cos(kx+ px) =

=

(n

p

)cos(px)

n−p∑k=0

(n− p

k

)cos(kx)−

(n

p

)sen(px)

n−p∑k=0

(n− p

k

)sen(kx) =

=

(n

p

)2n−p

(cos(

x

2)

)n−p

[cos(px).cos(n− p)x

2− sen(px)sen

(n− p)x

2] =

=

(n

p

)2n−p

(cos(

x

2)

)n−p

cos(x(n+ p)

2).

n∑k=0

(n

k

)(k

p

)cos(kx) =

(n

p

)2n−p

(cos(

x

2)

)n−p

cos(x(n+ p)

2).

Exemplo 37. Calcular as somas


1.n∑

k=0

(n

k

)kpsen(kx)

2.n∑

k=0

(n

k

)kpcos(kx)

kp =

p∑s=0

{p

s

}k(s,1) logo

n∑k=0

(n

k

)kpsen(kx) =

p∑s=0

{p

s

} n∑k=0

(n

k

)k(s,1)sen(kx) =

=

p∑s=0

{p

s

}n(s,1)2n−s

(cos(

x

2)

)n−s

sen(x(n+ s)

2).

Somatórios de funções trigonométricas e hiperbólicas

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