AULA 27GEOMETRIA ANALÍTICA E

ÁLGEBRA LINEARProfessor: João Alessandro

ESPAÇOS VETORIAIS

Definição:Espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, no qual estão

definidas duas operações

Soma:

Multiplicação por escalar:

VvuVvu ,

VkvRkVv ,

ESPAÇO VETORIAL - 1

Devem satisfazer, para quaisquer RbaVwvu , e,,As seguintes propriedades:

V0

Vu

ESPAÇO VETORIAL - 2

DA ADIÇÃO:A1) u + v = v + u (comutativa)A2) (u + v) + w = u + (v+w) (associativa)A3) Existe tal que u+0 = u (elemento neutro)A4) Existe tal que u+(-u) = 0 (elemento oposto)

DA MULTIPLICAÇÃO:M1) (ab).u = a(bu) (comutativa)M2) (a+b).u = a.u +b.u (distributiva - vetor)M3) a.(u+v) = a.u + a.v (distributiva - escalar)M4) 1.u = u (elemento neutro)

EXERCÍCIO - EXEMPLO

PROBLEMA PROPOSTOApresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidos. Verifique quais deles são Espaços Vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não verificam.

Com as propriedades abaixo, vamos verificar no quadro branco:DA ADIÇÃO:A1) u + v = v + u (comutativa)A2) (u + v) + w = u + (v+w) (associativa)A3) u+0 = u (elemento neutro)A4) u+(-u) = 0 (elemento oposto)

EXERCÍCIO - EXEMPLO

32,3x w22,2x v12,1x u

: vetoresosdefinir Vamos

ADAPTADO - usuais operações as com;2,)2

xxx

Rxxx

DA MULTIPLICAÇÃO:M1) (ab).u = a(bu) (comutativa)M2) (a+b).u = a.u +b.u (distributiva - vetor)M3) a.(u+v) = a.u + a.v (distributiva - escalar)M4) 1.u = u (elemento neutro)

DÚVIDAS?joaoalessandro.luz@gmail.com