Aula 27

Funções Vetoriais e curvas Espaciais, Continuidade,

Derivada e Integral

Função Vetorial

Uma função vetorial, ou função de valor vetorial, é uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores.

t

( )r t

R

3R

Funções Componentes

( ), ( ) e ( )f t g t h tSe são os componentes do vetor , então são funções de valor real chamadas funções componentes de e escrevemos

( )r t

, e f g h

r

( ) ( ), ( ), ( )r t f t g t h t

ou

( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k

Exemplo 1

Se então as funções coordenadas são

3( ) , ln(3 ),r t t t t

3( )f t t ( ) ln(3 )g t t ( )h t t

Exemplo 1

Se então as funções coordenadas são

3( ) , ln(3 ),r t t t t

3( )f t t ( ) ln(3 )g t t ( )h t t

( ) [0,3)Dom r

Limite

O limite de uma função vetorial é definido tomando-se os limites de suas funções:

desde que os limites das funções componentes existam.

r

lim ( ) lim ( ), lim ( ), lim ( )t a t a t a t a

r t f t g t h t

Exemplo 2

Determine onde

Resp.

0lim ( )t

r t

3 sen( ) (1 ) t t

r t t i te j kt

0lim ( )t

r t i k

Continuidade

Uma função é contínua em se

ou seja, é contínua em se e somente se suas

funções componentes são contínuas em .

r

a

lim ( ) ( )t a

r t r a

a, , e f g h

a

r

Curvas

Suponha que f , g , e h sejam funções reais contínuas em um intervalo I.

Então o conjunto C de todos os pontos (x,y,z) no espaço para os quais

x = f(t) y = g(t) z = h(t)

e t varia no intervalo I é chamado curva espacial.

Equações ParamétricasParâmetro

Traço de uma curva

Exemplo 3

Descreva a curva definida pela função vetorial

( ) 1 ,2 5 , 1 6r t t t t

Solução

( ) 1 ,2 5 , 1 6r t t t t

1

2 5

1 6

x t

y t

z t

Equação de uma reta

Exemplo 4

Esboce a curva cuja função vetorial é dada por

( ) cos senr t t i t j t k

Usando Computador

(4 sen 20 )cos

(4 sen 20 )sen

cos 20

x t t

y t t

z t

Usando Computador

(2 cos1,5 )cos

(2 cos1,5 )sen

sen1,5

x t t

y t t

z t

Derivadas

A derivada de uma função é definida do mesmo modo como feito para as funções reais:

se o limite existir.

r r

0

( ) ( )( ) lim

h

dr r t h r tr t

dt h

Interpretação Geométrica

r

r

Reta tangente

r

reta tangente

0 0

0 0

0 0

x x tx

y y ty

z z tz

t

R

Exemplo 1

a) Determine a derivada de

b) Encontre o versor tangente no ponto

c) Encontre a equação da reta tangente no ponto

3( ) (1 ) i j sen 2 ktr t t te t

0t

0t

Solução

1

(c) 0

0

x

y

z

0tt2t

1

2

x

y t

z t

Exemplo 2

Determine as equações paramétricas da reta tangente à hélice de equação

2cos senx t y t z t

Solução

Derivada segunda

A derivada segunda de uma função é definida do mesmo modo como feito para as funções reais:

r

( ) ( )r t r t

Curva lisa

Uma curva dada por uma função vetorial em um intervalo é denominada lisa se for contínua e (exceto possivelmente nos extremos de ).

( )r t

I( )r t ( ) 0r t

I

Exemplo 3

Determine se a parábola semicúbica

é lisa.

3 2( ) (1 ) i jr t t t

cúspide

Lisa por Partes

Regras de derivação

Suponha e funções vetoriais diferenciáveis , um escalar e uma função real. Então

1. ( ) ( )d

u v u t v tdt

2. ( ) ( )d

cu t cu tdt

3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d

f t u t f t u t f t u tdt

u

v

c f

Regras de derivação

Suponha e funções vetoriais diferenciáveis , um escalar e uma função real. Então

4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d

u t v t u t v t u t v tdt

6. ( ( )) ( ) ( ( )) (Regra da Cadeia)d

u f t f t u f tdt

5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d

u t v t u t v t u t v tdt

u

v

c f

Exemplo 4

Mostre que, se (uma constante),então é ortogonal a para todo .

( )r t c

( )r t ( )r t

t

Integrais

A integral definida de uma função contínua pode ser estabelecida da mesma forma que para a função real, exceto que a integral resulta em um vetor.

( )r t

*

1

( ) lim ( )nb

ia ni

r t dt r t t

* * *

1 1 1

lim ( ) i ( ) j ( ) kn n n

i i ini i i

f t t g t t h t t

Integrais

A integral definida de uma função contínua pode ser estabelecida da mesma forma que para a função real, exceto que a integral resulta em um vetor.

( )r t

( ) ( ) i ( ) j ( ) kb b b b

a a a ar t dt f t dt g t dt h t dt

Exemplo 5

Calcule , onde

2

0( )r t dt

( ) 2cos i sen j 2 kr t t t t

Solução