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28A U L A

O grfico deuma funo

Freqentemente voc se depara com tabelase grficos, em jornais, revistas e empresas que tentam transmitir de formasimples fatos do dia-a-dia. Fala-se em elevao e queda da Bolsa de Valores, delucros de empresas, de inflao, e apresenta-se um grfico. Fala-se tambm emmximos e mnimos, variao lenta, variao rpida. Tudo isso, a partir daleitura de grficos. Quem no estiver familiarizado com essas interpretaesperde muitas das informaes fornecidas.

Nas Aulas 8, 9 e 12 j falamos sobre alguns desses tpicos. Portanto, interessante que voc leia novamente essas aulas, que podem ajud-lo acompreender melhor o contedo desta aula. Vamos retomar o estudo degrficos, mas agora ligado s funes, que voc acabou de estudar na aulaanterior. Acompanhe os exemplos a seguir.

EXEMPLO 1

Observe o grfico ao lado, que foi montado a partir de dados levantadospelo IBGE. Para cada faixa etria (de 7 a 9 anos, de 10 a 19 anos, de 20 a29 anos etc), temos uma coluna que representa o nmero de analfabetos

naquela faixa, na regio urbana de SoPaulo. Assim, por exemplo, entre 10 e 19anos, o nmero de analfabetos um pou-co superior a 100 mil pessoas. Temos umafuno que associa a cada faixa etria onmero correspondente de analfabetos.

As variveis da nossa funo so: x =faixa etria e y = n de analfabetos. Noteque y = f(x), ou seja, y funo de x (o n deanalfabetos depende da faixa etria).

O domnio dessa funo so as faixasetrias: 7 a 9, 10 a 19, 20 a 29, 30 a 39, 40 a 49,50 a 59 e 60 anos ou mais. Esse conjunto(domnio) possui, ento, 7 elementos.

A imagem da nossa funo fomadapelas quantidades de analfabetos encon-trados em cada faixa.

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Introduo

Nossa aula

Estado de So PauloAnalfabetos na rea urbana

600

500

400

300

200

100

idade

7 a

910

a 1

920

a 2

930

a 3

940

a 4

950

a 5

960

ou

+

mil pessoas

Fonte: IBGE, PNAD. 1987

Acesse: http://fuvestibular.com.br/

P/ as outras apostilas de Matemtica, Acesse: http://fuvestibular.com.br/telecurso-2000/apostilas/ensino-medio/matematica/

28A U L A EXEMPLO 2

Num exerccio da aula anterior, voc viu que o permetro de um quadrado funo da medida do lado do quadrado. A equao que associa opermetro y medida do lado x :

y = 4x

Vamos considerar quadrados com lados medindo nmeros inteiros varian-do de 1 cm a 10 cm e construir uma tabela e o grfico desta funo.Para isso, vamos usar um papel quadriculado pararepresentar o plano cartesiano (ver Aula 8). No eixohorizontal, tambm conhecido como eixo x ou eixodas abscissas, vamos marcar os valores de x (medi-da do lado) que constam na tabela. No eixo vertical,tambm conhecido como eixo y ou eixo das orde-nadas, vamos marcar os valores de y (valor dopermetro) para cada valor de x.

Este o grfico da funo f de A em Bdefinida pela equao y = 4x. Neste caso,estamos considerando:

Domnio = A { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

e, assim a imagem :

Imagem = B { 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40}

Isso significa que calculamos apenas o per-metro dos quadrados cuja medida do lado um nmero natural entre 1 e 10.No entanto, voc sabe que podemos cons-truir quadrados com outras medidas, comopor exemplo: 0,5 cm; 7,8 cm; 2 ; etc.A nica restrio para quadrados com ladomenor ou igual a zero. Dessa forma, amplia-mos o domnio da nossa funo para:

D = conjunto dos nmeros reais positivos.

E, nesse caso, fcil concluir que a ima-gem dessa funo tambm o conjuntodos nmeros reais positivos.

I = conjunto dos nmeros reais positivos.

O grfico fica como a figura ao lado:em vez de pontos isolados, temos umasemi-reta.

x y = 4x1 42 83 124 165 206 24

2468

10121416182022242628303234363840

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

y

2468

10121416182022242628303234363840

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

y



28A U L AEXEMPLO 3

Observe agora o grfico da dvida externa brasileira. Esta funo relacionaa dvida com os anos.

Assinalamos no grfico as informaes que temos a cada cinco anos.

Os pontos foram ligados por segmentos de reta que representam a continui-dade da funo a cada cinco anos.

No temos dados para saber se a evoluo se deu desse modo, mas o fato deunirmos pontos isolados de um grfico auxilia a visualizao e a anlise dafuno.

Observando atentamente esse grfico, podemos concluir que:

l A dvida externa cresceu menos entre 1955 e 1960 e manteve-se constanteno qinqnio seguinte.

l A dvida cresceu mais na dcada de 1970 e nos cinco anos seguintes, sendoa maior taxa verificada entre 1980 e 1985.

Mas o que taxa de crescimento?

Em Matemtica, taxa a medida de uma variao. Numa funo, voc jsabe, temos duas variveis. Para calcular a taxa de variao, verificamoscomo y varia em funo de x.

No nosso exemplo, para um mesmo perodo de tempo, a maior taxa decrescimento ocorre onde o y cresce mais rapidamente.

Veja, na prxima pgina, o clculo da taxa de crescimento entre doispontos de um grfico. Isso feito dividindo-se a diferena dos valores dey pela diferena dos valores de x.

102030405060708090

100

1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 ano2,5 3,4 5,33,4

21,0

53,8

95,8100,0

bilhes de dlares



28A U L A de 1955 a 1960 :

3 4 2 51960 1955

0 95

0 18, , , ,

= =

de 1960 a 1965 : 3 4 3 41965 1960

05

0, ,

= =

de 1965 a 1970 : 5 3 3 41970 1965

1 95

0 38, , , ,

= =

de 1970 a 1975 : 21 0 5 31975 1970

15 75

3 14, , , ,

= =

de 1975 a 1980 : 53 8 211980 1975

32 85

6 56, , ,

= =

de 1980 a 1985 : 95 8 53 81985 1980

42 05

8 4, , , ,

= =

de 1985 a 1990 : 100 95 81990 1985

4 25

0 84

= =

, ,

,

Assim, podemos comparar os crescimentos em perodos diferentes. Con-clumos, at mesmo, que o crescimento mais rpido da dvida externabrasileira se deu entre 1980 e 1985. Nesse perodo, o crescimento foi, emmdia, de 8,4 bilhes de dlares por ano.

No grfico, com o auxlio de uma rgua, voc pode observar que osegmento que est mais inclinado, ou seja, o que faz um ngulo maior emrelao ao eixo horizontal o que tem maior taxa de crescimento.

EXEMPLO 4

Observe os trs grficos acima. Eles mostram duas funes no mesmoplano cartesiano: a precipitao de chuvas no primeiro eixo vertical e atemperatura no segundo eixo vertical, ambas durante todos os meses doano. O grfico das chuvas est representado por barras e o da tempera-tura, por uma linha contnua.

Zona da MataNordestina Serto baiano Regio Sul

100200300400500600 30

252015

105

J F M A M J J A S O N D

Precipitao(mm)

Temperatura( C)

100200300400500600 30

252015

105


Precipitao(mm)

Temperatura( C)

100200300400500600 30

252015

105


Precipitao(mm)

Temperatura( C)



28A U L AVoc deve estar se perguntando por que foram utilizadas formas diferentes

de representao. A resposta est na prpria maneira das variveis dessasduas funes se relacionarem. A quantidade de chuva medida durantecerto perodo de tempo e a temperatura pode ser medida a cada instante.Assim, para cada ms (x) temos um ndice pluviomtrico (y).Esses grficos (climogramas) so muito utilizados para explicar o clima deuma regio e seu potencial agrcola, por exemplo. fcil observar que,dessas trs regies, a que possui maior variao de temperatura a regioSul e a que possui maior variao de precipitao a Zona da Matanordestina.

Podemos tambm falar das noes de mximo e mnimo de uma funo.Nas representaes grficas da precipitao, vemos que o mximo, ouseja, o maior ndice pluviomtrico, ocorre em meses diferentes para cadaregio:

Vamos exemplificar agora os pontos mnimos atravs do grficoda temperatura:

Com esses exemplos, voc j deve estar bem mais seguro para ler einterpretar grficos. Assim, pode compreender melhor as funes que apare-cem no nosso dia-a-dia.

Para voc saber mais

Na Aula 27 voc aprendeu que, para qualquer funo, necessrio que acada valor x do domnio corresponda apenas um valor de y, que far partedo conjunto imagem. Observe os grficos abaixo. Eles no so grficos defunes, pois, para um mesmo valor de x, encontramos mais de um valor paray .

REGIO

ZONA DA MATASERTO BAIANO

REGIO SUL

PRECIPITAO M`XIMAMAIO

FEVEREIRO

JUNHO

REGIO

ZONA DA MATASERTO BAIANO

REGIO SUL

TEMPERATURA MNIMAJUNHO

JULHO

JUNHO

y2

y

x x

y1

y

x x

y1

y2

y3y2

y

x x

y1



28A U L AExerccios

02468

1012141618

1970 1975 1980 1985

na terra

no mar

Produo Mundial de Petrleo

REGIO METROPOLITANAGRANDE BELMGRANDE FORTALEZAGRANDE RECIFEGRANDE SALVADORGRANDE BELO HORIZONTEGRANDE RIO DE JANEIROGRANDE SO PAULOGRANDE CURITIBAGRANDE PORTO ALEGRE

0POPULAO01.334.46002.294.52402.859.46902.472.13103.461.90509.600.52815.199.42301.975.62403.015.960

`REAS METROPOLITANAS

Exerccio 1O grfico de barras ao lado mos-tra a produo mundial de petr-leo extrado na terra e no mar.Observando este grfico, respon-da:

a) A produo maior na terraou no mar?b) Qual delas tem crescido mais?c) Qual o domnio da funo?d) Qual o valor mximo da produ-

o na terra, aproximadamente?e) Em que ano a produo no mar

foi maior?

Exerccio 2Elabore um grfico de barras, utilizando os dados da tabela abaixo.

0

2

4

6

8

10

12

14

16milhes de habitantes

em bilhesde barris



28A U L AExerccio 3

a) Elabore um grfico que represente a balana comercial brasileira,utilizando os dados fornecidos pela tabela a seguir.

BALANA COMERCIAL BRASILEIRA

ANOIMPORTAES EXPORTAES

(BILHES DE DLARES) (BILHES DE DLARES)

1978 15 12,61981 24 23,21984 15,2 271987 16,5 26,21988 16 33,81990 20,4 31,4

b) Quantas funes esto representadas nesse grfico? Quais so elas?c) Calcule as taxas de crescimento das importaes para cada um dos

perodos. Qual a maior taxa? Qual a menor?d) Calcule as taxas de crescimento das exportaes para cada um dos

perodos. Qual a maior taxa? Qual a menor?e) Sabendo que a balana comercial calculada pela diferena entre

importaes (I) e exportaes (E), construa a tabela e o grfico da funoB = I - E.

Exerccio 4Para x variando no intervalo de 1 a 8 ( 1 x 8), faa um grfico da funo:

y =4x

Sugesto: Organize uma tabela com alguns valores de x no intervalo dado.Calcule os valores correspondentes de y, assinale esses pontos e desenheuma curva passando por eles.

40

30

20

10

01978 1981 1984 1987 1988 1990 ano

valores(em milhes de dlares)

Balana comercial brasileiravalores(em bilhes de dlares)



28A U L A Exerccio 5

Use sua mquina de calcular para construir o grfico da funo y = xpara 0 x 9.

Exerccio 6Observe o grfico da funo desenhado abaixo:

Domnio: 1 x 10

Imagem:

a) O valor mnimo da funo ocorre para x = ....b) O valor mximo da funo ocorre para x = ....c) O valor mnimo da funo y = .....d) O valor mximo da funo y = ....e) A funo crescente no intervalo ..... x .....f) A funo decrescente nos intervalos .... x .... e ..... x ..... .

Exerccio 7Observe os climogramas abaixo:

a) Qual o valor mnimo da temperatura no oeste do Rio Grande do Sul eem que ms ocorre?

b) E no norte do Paran?c) Qual das regies possui um ndice pluviomtrico mais estvel?d) Em que meses ocorre uma maior variao na precipitao de chuvas

no norte do Paran?e) Qual o ms mais quente nas duas regies?

1

6

1 3 8 10

y

x

100200300400500600 30

252015

105


Precipitao(mm)

Temperatura( C)Oeste do

Rio Grande do Sul

100200300400500600 30

252015

105


Precipitao(mm)

Temperatura( C)Norte do Paran

1 y 6



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