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29.1

Aula 29: Manipulação delistas de prioridades

Remoção em listas de prioridades

Inserção em listas de prioridades

Construção de listas de prioridades e ordenação

29.2

Operações básicas

Descrever métodos para as operações de

inserção

remoção

construção

em listas de prioridades

29.3

Inserção em lista de prioridades

Inserir v, ao final do heap. Isto é, na posição n+1.

Seja v o nó a ser inserido, com uma dadaprioridade, num heap com n nós.

Na árvore completa T, equivalente ao heap, casoT seja cheia, o nó v será incluído como o filhomais à esquerda da folha mais à esquerda de T.Caso contrário, v se transformará em uma novafolha, imediatamente à direita da folha mais àdireita de T.

29.4


s1 sn

1 n

s1 sn sn+1

1 n n+1

v = sn+1

cheia

v

29.5


ou

29.6

Inserção e aumentode prioridades

Após a inserção de v na posição n+1, é necessário verificar se a condição das prioridades do heap continua válida.

Em caso negativo, é necessário efetuar umareordenação.

Para tal, basta supor que o elemento n+1 do heapteve sua prioridade aumentada. Nesse caso, asolução é utilizar o procedimento de aumento deprioridade.

29.7


Exemplo:

Inserir nó com prioridade 73

95

60 78

39 28 66 70

33

29.8


95

60 78

39 28 66 70

33 73

95

60 78

73 28 66 70

33 39

29.9


95

73 78

60 28 66 70

33 39

29.10

Algoritmo de inserção

Algoritmo: inserção em uma lista de prioridades

se n < M então

T [n+1] := novo n := n+1 subir (n)senão overflow

29.11


M é o tamanho total da memória disponível

O heap está armazenado na tabela T

A variável novo representa o nó a ser inserido

Complexidade: O (log n)

29.12


Inserir um novo nó, com prioridade igual a 22no heap

33 32 28 31 29 26 25 30 27

Exercício

Tempo: 1 minuto

29.13


Solução

33

32 28

31 29 26 25

30 27

33

32 28

31 29 26 25

30 27 22

29.14

Remoção em listasde prioridades

Remover o nó de maior prioridade, isto é, oprimeiro nó do heap.

Após a remoção, mover o último nó para aposição 1. A lista torna-se de tamanho n-1.

s1 sn

1 n

s2 sn-1

2 n-1

sn

1 n-1 n

s2 sn-1

2

sn sn-1

1 n-1 n

s2

2

29.15

Remoção e diminuiçãode prioridades

Após a remoção do nó de prioridade maior e amudança do último elemento para a posição 1, énecessário verificar se a condição das prioridadesdos heaps continua válida.

Em caso negativo, é necessário efetuar umareordenação.

Para tal, basta supor que o elemento 1 do heapteve a sua prioridade diminuida. Nesse caso, asolução é utilizar o procedimento de diminuiçãode prioridade.

29.16


Exemplo

Remover elemento demaior prioridade

95

73 78

60 28 66 70

33 39

29.17


78

73 39

60 28 66 70

33

39

73 78

60 28 66 70

33

29.18


78

73 70

60 28 66 39

33

29.19

Algoritmo de remoção

Algoritmo: remoção do elemento de maiorprioridade

O heap está armazenado na tabela T.

O procedimento agir consiste na utilização doelemento de maior prioridade, de acordo com aaplicação.

Complexidade: O (log n)

se n ≠0 então agir (T[1]) T [1] := T [n] n := n-1 descer (1, n)senão underflow

29.20


Remover o elemento de maior prioridade do heap

33 32 28 31 29 26 25 30 27

Exercício

Tempo: 2 minutos

29.21


Solução

33

32 28

31 29 26 25

30 27

27

32 28

31 29 26 25

30

29.22


32

27 28

31 29 26 25

30

32

31 28

27 29 26 25

30

29.23


32

31 28

30 29 26 25

27

29.24

Construção de um heap

Objetivo: Descrever métodos para construirheaps.

Solução 1:

Uma lista ordenada constitui um heap.Logo, um heap pode ser construído, simplesmente,ordenando-se uma lista.

Complexidade: O (n log n)

29.25


Solução 2:

Seja S uma lista dada, para a qual se desejaconstruir um heap. Para que S seja um heap,basta corrigir a posição de seus nós, isto é, consi-derar cada um de seus nós, como sendo uma novainserção.

Algoritmo: Construção de um heappara i = 2, ..., n faça subir (i)


29.26


Seja uma lista dada pelas prioridades a seguir:

18 25 41 34 14 10 52 50 48

Construir um heap para esta lista, utilizando o algoritmo da solução 2.

Exercício

Tempo: 8 minutos

29.27


Solução

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 25 41 34 14 10 52 50 48

i=1

18 18

25

25

18

i=2

25

18 41

41

18 25

i=3

29.28


41

18 25

34

41

34 25

18

i=4

41

34 25

18 14

i=5

41

34 25

18 14 10

i=6

29.29


41

34 25

18 14 10 52

52

34 41

18 14 10 25

i=7

52

34 41

18 14 10 25

50i=8

29.30


i=9

52

50 41

34 14 10 25

18

52

50 41

34 14 10 25

18 48

52

50 41

48 14 10 25

18 34

29.31


Solução 3:

A propriedade das prioridades dos heaps ésempre, trivialmente, satisfeita pelas folhas.No caso, pelos nós alocados a partir da posição n/2 + 1.

Assim, na construção dos heaps, os únicos nós relevantes, sob o ponto de vista de análise, sãoos nós interiores. Estes devem ter suasprioridades verificadas e acertadas, a partirdos níveis mais baixos da árvore.

29.32


Algoritmo: Construção de heaps

Complexidade: O (n)

procedimento arranjar (n) para i = n/2 , ..., 1 faça descer (i, n)

29.33

Aplicação: ordenação por heaps

Construir um heap para T, tomando-se a priori-dade igual à chave de ordenação desejada.

Seja T uma lista que se deseja ordenar.

Iterativamente, remover o elemento de maior prioridade e corrigir o heap.

O método acima produzirá a ordenação da listaem ordem não decrescente de suas chaves deordenação.

29.34

Algoritmo de ordenação

Algoritmo: Ordenação de uma lista T

arranjar ( n )m := nenquanto m > 1 faça T [1] ⇔ T [m] m := m - 1 descer ( 1, m )


A notação T [1] ⇔ T [m] significa a troca deposição em T, entre T [1] e T [m].

O procedimento arranjar (n) constrói um heappara T, segundo a solução 3.

29.35


Exemplo

Seja a lista: 40 37 95 42 23 51 27

O método da ordenação por heaps, aplicado a estalista, corresponderá às seguintes operações.

29.36


27

42 51

2337 9540

trocar(TB[1],TB[7]) m = 6

descer(1,6)

51

42 40

2337 9527

29.37



descer(1,5)

27

42 40

2337 9551

42

37 40

2327 9551

29.38



descer(1,4)

23

37 40

4227 9551

40

37 23

4227 9551

29.39



descer(1,3)

27

37 23

4240 9551

37

27 23

4240 9551

29.40



descer(1,2)

23

27 37

4240 9551

27

23 37

4240 9551

29.41



descer(1,1)

23

27 37

4240 9551

23

27 37

4240 9551

29.42


Exercício Final

Provar que o algoritmo da solução 3, para aconstrução de um heap, termina em O (n) passos.

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