Aula 3 Análise Combinatória - Professor Luciano Nóbrega¡lise Combinatória Exemplo: Deseja-se...

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ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE

Aula 3

Análise CombinatóriaProfessor Luciano Nóbrega

Análise Combinatória

DefiniçãoA Análise Combinatória é o ramo da Matemática que estuda coleções finitas de objetos que satisfaça certos critérios específicos, e se preocupa em particular, com a CONTAGEM.

Princípios básicos da Análise CombinatóriaPrincípio AditivoSuponhamos um procedimento com “N” escolhas possíveis. A 1ª

escolha tem “n1” maneiras de ser executada, a 2ª escolha

possui “n2” maneiras de ser executada e a “k-ésima” escolha

tem “nk” modos de ser executada. As escolhas são excludentes

entre si, ou seja, não é possível que duas ou mais das escolhas sejam realizadas em conjunto. Logo, todo o procedimento tem

“n1 + n2 + ... + nk” maneiras de ser realizado.

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Exemplo:Deseja-se escolher um funcionário para realizar uma determinada tarefa. Dispomos de 5 estagiários e 3 efetivos. Quantas são as escolhas possíveis?

Solução:Devemos escolher “um”, e somente um, funcionário para realizar a tarefa. Então temos 8 possibilidades (5 + 3).

Observação:Embora esse exemplo tenha sido demasiadamente fácil. Ele apresenta uma importante lição que sempre precisaremos lembrar. Se temos que optar entre uma coisa “OU” outra, então deveremos usar o princípio da adição.

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Princípios básicos da Análise CombinatóriaPrincípio Multiplicativo (ou Princípio Fundamental da Contagem - P.F.C.)Suponhamos um procedimento com “N” escolhas, concomitantes entre si (ou seja, essas escolhas podem ser feitas ao mesmo tempo). A 1ª

escolha tem “n1” maneiras de ser executada, a 2ª escolha

possui “n2” maneiras de ser executada e a “k-ésima” escolha

tem “nk” modos de ser executada. A escolha 1 poderá ser

seguida da escolha 2 e até mesmo da escolha “k”, uma vez que

são concomitantes. Logo, há “n1.n2. ... .nk” maneiras de

executar o procedimento.

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Exemplo:Deseja-se escolher dois funcionários para realizar uma determinada tarefa. Dispomos de 4 estagiários e 3 efetivos. Quantas são as escolhas possíveis se queremos uma dupla formada por um funcionário estagiário e um efetivo?

Solução:Observe o diagrama:

ABCD

Estagiários

F

G

H

Efetivos4 x 3 = 12

Observação:Se temos que optar por uma coisa “E” outra em dois conjuntos, sendo uma em cada conjunto, então deveremos usar o princípio multiplicativo.

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Uma importante ferramenta da Análise CombinatóriaFatorialSeja “n” um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de “n” (indicado pelo símbolo n!) como sendo:

n! = n .(n -1) . (n -2) . ... .4.3.2.1

Exemplos:a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

b) 4! = 4.3.2.1 = 24

Observe que 6! = 6.5.4!

c) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3 628 800ou 10! = 10.9.8.7.6.5!ou 10! = 10.9!

Observação:Por definição, temos:

0! = 1e

1! = 1

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Técnicas de ContagemPermutações Simples ( Pn = n! )São os agrupamentos formados com todos os “n” elementos que

diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.Exemplo:De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em uma mesa (retangular) de reunião com 5 lugares? Solução:Pelo P.F.C., temos:___ . ___ . ___ . ___ . ___

Lugares para sentar

5 4 3 2 1 = 120

Pela permutação:

P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

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Técnicas de ContagemPermutações Circulares [ P*

n = (n – 1)! ]São os agrupamentos circulares formados com todos os “n” elementos que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos, dividido por “n”, pois o que varia são as posições

relativas dos elementos. Exemplo:De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em uma mesa circular de reunião com 5 lugares?

Solução:Pela permutação circular:

P*5 = (5 – 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24

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3

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Técnicas de ContagemPermutações com repetiçõesSe entre os “n” elementos de um conjunto, existem “a” elementos repetidos, “b” elementos repetidos, “c” elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por:

Pna, b, c = __n!__

a! b! c!

Exemplo:Quantos são os anagramas (permutações

de palavras com ou sem sentido) possíveis com as letras da palavra “ARARA”?

Solução A:Sem a fórmula:AAARRAARRAARRAARRAAA

Solução B:Pela fórmula: n = 5, a = 3, r = 2RARAA

ARARAAARAR

RAARA RAAARARAAR

P53, 2 = __5!__ = 5.4 = 10

3! 2! 2

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Técnicas de ContagemArranjosSeja “A” um conjunto com “n” elementos. Chamamos por “arranjo” qualquer sequência formada com “p” elementos de “A” todos distintos.

Observações:Todos os problemas de arranjos são mais facilmente resolvidos utilizando o P.F.C.A ordenação da escolha dos elementos faz diferença no resultado.

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Exemplo:Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9.O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos “distintos”. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo? Solução A:Pelo P.F.C., temos:___ . ___ . ___ Tipo de senha

10 9 8 = 720

Solução B:Pela fórmula de arranjo: n = 10 e p = 3

A10,3 = __10!__(10 – 3)!

= _10.9.8.7!7!

= 720

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Técnicas de ContagemCombinaçõesSeja “A” um conjunto com “n” elementos distintos. Chamamos de combinações dos “n” elementos, tomados “p” a “p”, aos subconjuntos de “A” constituídos por “p” elementos.

Nas combinações a ordem não importa.Quando a ordem da escolha não for relevante, então devemos usar a fórmula de Combinações.

Explicação: Na combinação, tratamos de conjuntos {a, b} = {b, a}, o que já não é o caso dos arranjos onde a sequência (a, b) é diferente de (b, a).

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Exemplo:Quantos comissões de 3 pessoas podem ser montadas em um

escritório de contabilidade com 8 especialistas dessa área?

Solução:Considere uma comissão formada pelas pessoas (X, Y, Z). Se modificarmos a ordem dessa escolha, por exemplo (Z, Y, X), verificaremos que trata-se da mesma comissão. Portanto estamos diante de um problema de combinação.

Usando a fórmula: n = 8 e p = 3

C8,3 = ___8!___(8 – 3)! 3!

= _8.7.6.5!_5! 3.2.1

= 56

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Testando os conhecimentos

1 – Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9 ?

A) 60B) 120 C) 240D) 40E) 80

2 – Há 8 funcionários em uma empresa, sendo 3 estatísticos, 3 contadores e 2 administradores. De quantos modos podemos perfilar todas essas pessoas de modo que os grupos de

mesma área fiquem juntos?

A) 18 B) 72 C) 144 D) 288 E) 432

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Testando os conhecimentos3 – ( PUC - SP ) A expressão é

igual a:

A)

B)

C)

D)

E)

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4 – ( PUC - PR ) O número de placas de veículos que poderão ser fabricadas utilizando-se das 26 letras do alfabeto latino e dos 10 algarismos arábicos, cada placa contendo três letras e quatro algarismos, é:

A) 7!B) 263.104

C) 263 + 104

D) 78 624 000E) 67 600 000

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5 – ( PUC - PR ) Oito políticos foram convidados a participar de uma mesa em uma convenção. Os lugares eram contíguos e dispostos em linha, de um mesmo lado da mesa. Sabendo que o político A não suporta o político B, não podendo sentar juntos, de quantas maneiras a mesa poderá ser composta ?

A) 56B) 5 040C) 30 240D) 35 280E) 40 320

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6 – ( CEFET - PR ) De uma comissão técnica formada por contadores e economistas, devemos ter 5 pessoas, dos quais pelo menos 2 devem ser contadores. Se são disponíveis 4 contadores e 5 economistas, o número possível de comissões distintas é:

A) 18B) 23C) 35D) 105E) 240

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7 – ( CEFET - PR ) Os números dos telefones da Região Metropolitana de Curitiba tem 7 algarismos cujo primeiro digito é 2. O número máximo de telefones que podem ser instalados é:

A) 1 000 000 B) 2 000 000C) 3 000 000D) 6 000 000E) 7 000 000

8 – ( MACK - SP ) Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. O número de modos distintos das pessoas ocuparem as cadeiras é:

A) 1680 B) 8 !C) 8 . 4 !D) 8 ! / 4E) 32

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9 – ( PUC - SP ) Numa sala há 5 lugares e 7 pessoas. De quantos modos diferentes essas pessoas podem ser colocadas, ficando 5 sentadas e 2 em pé ?

A) 5040B) 21C) 120D) 2520 E) 125

10 – ( FUVEST - SP ) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é:

A) 24B) 48C) 96D) 120E) 144

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11 – ( PUC - PR ) Oito políticos foram convidados a participar de uma mesa em uma convenção. Os lugares eram contínuos e dispostos em linha, de um mesmo lado da mesa. Sabendo que o político A não suporta o político B, não podendo sentar juntos, de quantas maneiras a mesa poderá ser composta ?

A) 56B) 5040C) 30240D) 35280E) 40320

12 – ( AMAN - RJ ) As diretorias de 4 membros que podemos formar com 10 sócios de uma empresa são:

A) 5040B) 40C) 2D) 210 E) 5400

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13 – ( COMPERVE ) Todos os convidados de uma festa trocaram apertos de mãos. Um convidado observou que

foram 528 cumprimentos e que 2/3 dos convidados eram mulheres. O número de homens convidados era:

A) 11B) 22C) 10D) 33E) 56

14 – ( UF RJ ). Denomina-se espaço amostral ao conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Se um experimento consistem em se escolherem duas pessoas, ao acaso, de uma sala contendo dez pessoas, então o número de elementos do espaço amostral é:

A) 20 B) 19 C) 90 D) 45 E) 32

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Probabilidade

A probabilidade vai nos servir como um ponto de apoio em nossos primeiros passos no caminho da Estatística Inferencial.

Em quase tudo, em maior ou menor grau, vislumbramos o

acaso.

Fenômenos onde o resultado final depende do acaso são chamados fenômenos aleatórios.

Fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. Exemplo:Lançamento de um dado

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Probabilidade

Espaço amostralA cada experimento aleatório teremos, em geral, vários resultados possíveis.Assim, ao lançarmos uma moeda, há dois resultados possíveis:ocorrer cara ou ocorrer coroa.Já ao lançarmos um dado, há seis resultados possíveis:1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6.

Ao conjunto desses resultados possíveis damos o nome de

espaço amostral (ou conjunto universo), representado por S.

S = {cara, coroa} e n(S) = 2

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6

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Probabilidade

EventosChamamos de evento qualquer subconjunto de espaço amostral S de um experimento aleatório.

Assim, qualquer que seja o evento E contido no espaço amostral S. Se E = S, então E é chamado evento certo;Exemplo: Seja E o evento: “ao jogar um dado o resultado é menor do que 7”.

Se E é um conjunto vazio, então é chamado evento impossível. Exemplo: Seja E o evento: “ao jogar um dado o resultado é MAIOR do que 7”.

Se E é um conjunto unitário, E é chamado evento elementar.

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Probabilidade

Exemplos:No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, temos:Sendo A = {2,4,6}; então, A é um evento de S;

Seja B = {1,2,3,4,5,6}; logo, B é um evento certo de S;

D = {4}; logo, D é um evento elementar de S;

C = ; logo, C é um evento impossível de S.

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Probabilidade

DefiniçãoDado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos de S tenham a mesma chance de acontecer (ou seja, S é um conjunto equiprovável).

Chamamos de probabilidade de um evento A (com A contido em S) o número real P(A), tal que:

Onde n(A) é o número de elementos de do evento A;n(S) é o número de elementos de espaço amostral S.

Sn

AnAP

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Probabilidade

Exemplos:Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A “obter

cara”, temos: a) S = d) n(A) =b) n(S) =c) A = e) P(A) =

Considerando o lançamento de um dado e o evento B “obter um número par”, temos:

a) S = d) n(B) =b) n(S) =c) B = e) P(B) =

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Probabilidade

Exemplos:Considerando um baralho com 52 cartas, sendo 13 cartas de cada um dos quatro naipes e o evento C “obter um 3”, temos: a) n(S) =b) n(C) =c) P(C) =

Com todos os números de três algarismos distintos. Qual a probabilidade, escolhendo um desses números ao acaso, dele ser ímpar?a) n(S) =b) n(ímpar) =c) P(ímpar) =

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Probabilidade

Exemplos:Dos 75 alunos desta sala,16 gostam de estatística, financeira e administração simultaneamente;24 gostam de estatística (E) e financeira (F);30 gostam de (E) e administração (A);22 gostam de (F) e (A);6 gostam somente de (E);9 gostam somente de (F)e 5 gostam só de (A).Qual a probabilidade de, ao apontarmos um ao acaso, esse aluno gostar de (E)?

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Probabilidade

Certeza e ImpossibilidadePelo que vimos até agora podemos concluir que:• A probabilidade do evento certo é P(S) = 1

• A probabilidade do evento impossível é P( ) = 0

• A probabilidade de um evento E qualquer é P(E), tal que0 ≤ P(E) ≤ 1

Isso significa que a probabilidade só pode assumir valores entre zero e 1.

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Probabilidade

Exemplo:Um casal planeja ter exatamente 3 filhos. Escrevendo todas as

possibilidades. Determine a probabilidade de que sejam:a) duas meninas e um menino?

b) Todas meninas?

c) Pelo menos uma seja menino?

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Probabilidade

Eventos complementaresSabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo “p” a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e “q” a probabilidade de que ele não ocorra (fracasso), para um mesmo evento existe sempre a relação:

pqqp 11

Exemplo:Assim, se a probabilidade de se realizar o evento é p = 1/5, a probabilidade de que ele não ocorra é q = 4/5.

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15 – Numa enquete foram entrevistados 80 pessoas sobre os meios de transporte que utilizavam para ir ao trabalho. 42 pessoas responderam ônibus, 28 responderam carro e 30 responderam moto. 12 utilizavam carro e ônibus, 14 iam de carro e moto, 18 de ônibus e moto e 10 pessoas utilizam os três tipos de transporte. Qual a probabilidade de que uma dessas pessoas, selecionada ao acaso, utilize:

a) Só ônibus?

b) Só carro?

c) Nenhum dos três veículos?

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16 – Uma urna contem três bolas numeradas com 1, 2 e 3. Retirando-se sucessivamente duas bolas dessa urna, obtém-se um par ordenado. A probabilidade da soma desses números resultarem 4, fazendo-se extrações com reposição, é:

A) 9 B) 1/9C) 1/4D) 1/3E) 1/2

3 – Se um experimento consistem em se escolherem duas pessoas, ao acaso, de uma sala contendo dez pessoas, então o número de elementos do espaço amostral é:

A) 20 B) 19C) 90 D) 45 E) 32

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17 – Uma moeda é lançada três vezes. Vamos representar por n ( S ) o número de resultados possíveis e representar por n( A ) o número de resultados que apresentam apenas duas caras. Então:

A) n ( S ) = 6 e n ( A ) = 3B) n ( S ) = 6 e n ( A ) = 4C) n ( S ) = 8 e n ( A ) = 4D) n( S ) = 8 e n ( A ) = 6E) n ( S ) = 8 e n ( A ) = 3

18 – Se um certo casal tem 3 filhos, então a probabilidade de os 3 filhos serem do mesmo sexo, dado que o primeiro filho é homem, vale:

A) 1/3 B) 1/2C) 1/5 D) 1/4E) 1/6

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19 – Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retiram-se ao acaso duas bolas, uma após a outra, sem reposição da primeira e anotam-se os seus números.

1º) Escreva todas as possibilidades dos possíveis eventos:A = {A soma dos números é igual a 15}B = {O produto dos números é ímpar e é maior que 60}C = {A soma dos números é maior do que 25}D = {* Agora, apenas determine quantas possibilidades existem

de se retirarem as duas bolas}2º) Sabendo que P(X) = n(X) / n(s)Calcule:P(A) =P(B) =P(C) = P(D) =

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20 – Em uma estante há seis livros de Português e cinco de matemática. Dois livros são escolhidos ao acaso. Qual a probabilidade de os dois livros serem de Português?

A) 3/11B) 11/12C) 2/11D) 31/36:

21 – Uma turma tem 25 alunos, dos quais 40% são meninas. Escolhendo-se ao acaso um dentre todos os grupos de dois alunos que se pode formar com os alunos dessa turma, a probabilidade de que este esteja composto por uma menina e um menino é de:

A) 1/6 B) 1/2C) 1/3 D) 1/4

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Probabilidade

Conseqüências da ProbabilidadeAnalisemos o fenômeno aleatório do lançamento de uma moeda.Sendo K = cara e C = coroa.Neste caso temos:S = {K, C}

Os subconjuntos de “S” são:, {K}, {C}, S

Assim:P( ) = 0; P({K}) = ½; P({C}) = ½ e P(S) = 1

Observe que se A = {K} e B = {C}, então A ∩ B = E ainda, P(A U B) = P(A) + P(B) = 1

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Probabilidade

Probabilidade da União de EventosSendo “A” e “B” dois eventos quaisquer, da teoria dos conjuntos, temos:A U B = A + B – (A ∩ B)

A B

A

+

B

–

A ∩ B

O mesmo ocorre com a probabilidade:P(A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)

Se os conjuntos “A” e “”B” são disjuntos, então n(A ∩ B) = 0e P(A U B) = P(A) + P(B)

A B40

Probabilidade

Exemplo:Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Ao pegar ao acaso 3 parafusos, qual ,é a probabilidade de que:a) Os três sejam perfeitos?Solução:n(S) = 19 600, pois temos uma combinação de 50 elementos tomados 3 à 3.

Considere o evento A = {Os 3 parafusos são perfeitos}Então, n(A) = 14 190, pois temos outra combinação desta vez de 45 elementos tomados 3 à 3.

P(A) = _n(A)_ = _14 190_ = 0,72398n(S) 19 600

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Probabilidade

Exemplo:Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Ao pegar ao acaso 3 parafusos, qual ,é a probabilidade de que:b) O três sejam defeituosos?Solução:n(S) =19 600, o mesmo.

Considere o evento B = {Os três parafusos são defeituosos}n(B) = 10, pois temos uma combinação de 5 elementos 3 à 3.

P(B) = _n(B)_ = _10_ = 0,0005n(S) 19 600

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Probabilidade

Exemplo:Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Ao pegar ao acaso 3 parafusos, qual ,é a probabilidade de que:c) Pelo menos dois sejam defeituosos?Solução:n(S) =19 600, o mesmo.

Considere o evento C = {Pelo menos 2 são defeituosos}, ou seja, C = {2 são defeituosos} U {3 são defeituosos}.

P(C) = P(D U E) = P(D) + P(E) – P(D ∩ E)

Considere, D = {2 são defeituosos} e E = {3 são defeituosos}, então C = D U E.

Note que P(D ∩ E) = 0, pois os conjuntos são disjuntos. Nós já sabemos que P(E) = 0,0005, resta calcular P(D).

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Probabilidade

Exemplo:Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Ao pegar ao acaso 3 parafusos, qual ,é a probabilidade de que:c) Pelo menos dois sejam defeituosos?Solução:P(C) = P(D U E) = P(D) + 0,0005 – 0

n(D) = 45 . C5,2

D = {2 são defeituosos}

P(D) = _450_ = 0,0229619 600

P(C) = P(D U E) = 0,02296 + 0,0005 – 0 = 0,02346

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ProbabilidadeExemplo:

Uma empresa fez uma pesquisa para saber a preferência dos consumidores em relação a duas marcas de achocolatados. Dos entrevistados, 72 consomem a marca “A”, 64 consomem a marca “B” e 46 consomem as marcas “A” e “B”. Sabendo que foram entrevistados 150 pessoas e que algumas não consumiam nenhum dos dois achocolatados. Qual a probabilidade de, ao se sortear uma dessas pessoas: a)ela ser consumidora do achocolatado “A”;

b)ser consumidora do achocolatado “B”;c) consumidora de ambos? d) consumir um ou outro?e) não consumir nenhum dos achocolatados?

Solução: Inicialmente, vejamos o diagrama:

A B

4626 1860

45

Probabilidade

Solução:Inicialmente, vejamos o diagrama:

A B

4626 18

De acordo com os dados do problema e o diagrama, temos:n(S) = 150; n(A) = 72; n(B) = 64; n(A ∩ B) = 46n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 72 + 64 – 46 = 90Agora, podemos calcular as probabilidades:a) P(A) = n(A)/n(S) = 72/150 = 0,48;

b) P(B) = n(B)/n(S) = 64/150 = 0,43;

c) P(A ∩ B) = n(A ∩ B)/n(S) = 46/150 = 0,31;

d) P(A U B) = n(A U B)/n(S) = 90/150 = 0,6;

e) P(A U B) = n(A U B)/n(S) = 60/150 = 0,4;

60

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22 – Um experimento consiste em dois lançamentos sucessivos de um dado. Calcule a probabilidade de a soma dos números obtidos ser maior que 8 OU o produto dos números obtidos ser ímpar. Para isso, siga o procedimento:

1º) n(S) = ?2º) A = ?3º) B = ? 4º) A∩B = ?5º) n(A∩B) = ?6º) P(A∩B) = ?

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23 – Entre 20 alunos que realizaram a prova de reposição de Estatística, 12 acertaram a questão “A”, 9 acertaram a questão “B” e 16 acertaram pelo menos duas questões. Qual a probabilidade de, ao se sortear ao acaso um aluno, este ter acertado ambas as questões? Para isso, siga o procedimento:

1º) P(A) = ?2º) P(B) = ?3º) P(A U B) = ?4º) P(A∩ B) = ?

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Probabilidade

Probabilidade CondicionalAnalisemos a seguinte situação:Uma moeda é lançada três vezes. Sendo K = cara e C = coroaO espaço amostral é:S = {KKK, KKC, KCK, CKK, KCC, CCK, CKC, CCC}

Consideremos o evento A: sair cara exatamente duas vezes.

Então, A = {KKC, KCK, CKK} e P(A) = 3/8

Sabendo que “o resultado do primeiro lançamento foi cara”, então qual é a probabilidade de sair cara exatamente duas vezes?

Agora, o espaço amostral passa a ser B = {KKK, KKC, KCK, KCC} e o evento A’ = {KKC, KCK}, em que A’ = A ∩ B e a probabilidade

pedida é P(A’) = n(A’)/n(B) = 2/4 = 1/2

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Probabilidade

Observe que a probabilidade do evento A (“sair cara exatamente

duas vezes”) foi modificada pela presença do evento

condicionante ( “o resultado do primeiro lançamento foi cara” ) , então definindo-se:Evento A: Exatamente dois dos três lançamentos dão cara.A = {KKC, KCK, CKK]

Evento B: O primeiro lançamento dá cara.B = {KKK, KKC, KCK, KCC}E denotamos por A/B “ o evento A condicionado ao fato de que o evento B já ocorreu” e por P(A/B) a probabilidade condicional de ocorrer A, tendo ocorrido B.

P(A/B) = n(A ∩ B)/n(B) P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)

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ProbabilidadeExemplo:Uma família planejou ter três crianças. Qual a probabilidade de que a família tenha 3 homens, já que a primeira criança que nasceu é homem?

Solução:n(s) = ___ . ___ . ___ = 2 2 2 8

Considere os eventos:A = {A família tem 3 filhos homens} = {HHH} e n(A) = 1B = {A primeira criança é homem) = {HHH, HHm, HmH, Hmm}n(B) = 4

A ∩ B = {HHH} e P(A ∩ B) = 1/8

P(B) = 4/8 = 1/2

P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) =1/2 =1/8/ 1/4

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ProbabilidadeExemplo:

Numa população de 500 pessoas, 280 são mulheres e 60 pessoas exercem a profissão de contabilidade, sendo 20 do sexo feminino. Tomando ao acaso uma dessas pessoas, qual a probabilidade de que, sendo uma mulher, ela seja uma contadora? Solução:n(s) = 500Evento A = {A pessoa é contadora}Evento B = {A pessoa é do sexo feminino}Procuramos por P(A/B)

P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) = 20/500/280/500 = 1/14 = 0,07De outro modo:P(A/B) = eventos favoráveis/Novo espaço amostral

P(A/B) = 20/280 = 0,07

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Probabilidade

Eventos independentesConsideremos o experimento aleatório “lançar dois dados de cores diferentes”. Seja “A” o evento “sair 6 no 1º dado” e B, “sair 3 no 2º dado”.Observe que:

n(S) = 6 . 6 = 36A = {(6,1); (6,2); (6, 3); (6,4); (6,5); (6,6)} e n(A) = 6B = {(1,3); (2,3); (3,3); (4,3); (5,3); (6,3)} e n(B) = 6

P(A) = n(A)/n(S) = 6/36 = 1/6P(B) = 1/6

A ∩ B = {(6,3)} e P(A ∩ B) = 1/36

P(A/B) = P(A ∩ B)/P(A) = 1/36/1/6 = 1/6

Assim, P(B) = P(A/B), pois a probabilidade de ocorrer “B” não dependia da ocorrência de “A”

P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) P(A ∩ B) = P(A/B). P(B)

P(A ∩ B) = P(A). P(B)

53

Probabilidade

Eventos independentesDizemos que dois eventos são independentes quando a realização de um dos eventos não afeta a probabilidade de realização do outro.

Exemplo:Quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro.

Definição:Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos.

21 ppp

54

Probabilidade

Exemplo:Uma fábrica produz três produtos, A, B e C. Qual é a probabilidade de se selecionar, ao acaso, um produto defeituoso A, se é sabido que 30% dos produtos produzidos pela fábrica são do tipo A e 5% dos produtos A são defeituosos?Solução:Sejam os eventos “A, selecionar um produto A” e “B, selecionar produto A defeituoso”

P(A) = 30/100 = 0,3

P(B) = 5/100 = 0,05

Como os eventos “A” e “B” são independentes, temos:P(A ∩ B) = P(A).P(B) = 0,3 . 0,05 = 0,015 = 1,5%

55

Probabilidade

Eventos mutuamente exclusivosDizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivosquando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s).

Exemplo: No lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza.

Definição:Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize:

21 ppp

56

Probabilidade

Exemplo:Dos 75 alunos desta sala, 35 são mulheres. Um aluno será escolhido para representar a turma em uma reunião com a diretoria. Qual a probabilidade de que, escolhendo esse aluno ao acaso, ele seja um homem?Solução:Sejam os eventos, “M, escolher um mulher” e “H, escolher um homem”, então:P(M) = 35/75 e P(H) = 40/75

Observe queP(S) = P(M) + P(H) = 35/75 + 40/75 = 1Pois esses eventos são mutuamente excludentes.

57


24 – Uma roleta esta dividida em 8 partes iguais numeradas de 1 a 8. Ela é girada 3 vezes. Qual é a probabilidade de, nos três giros, ela parar em números iguais?

A) 1/512B) 1/8C) 1/3D) 1/64 E) 1/72

58


25 – Você faz parte de um grupo de 10 pessoas, para três das quais serão distribuídos prêmios iguais. A probabilidade de que você seja um dos premiados é:

A) 1/10B) 1/5C) 3/10D) 1/3E) 2/5

59


26 – Se “A” e “B” são eventos com P(A) = 0,4 ; P(B) = 0,2 e P(A ∩ B) = 0,1 , calcule:

a) P(A/B)

b) P(B/A)

60

61

Distribuição Binomial

Vamos considerar experimentos que satisfaçam as seguintes condições:

1º) O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número finito de vezes (n);

2º) As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os resultados das sucessivas;

3º) Em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis resultados;

4º) No decorrer do experimento, a probabilidade de sucesso e de insucesso devem manter-se constantes.

Resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obter k sucessos em ntentativas.

62


Exemplos de problemas que poderemos resolver:

• Qualidades de peças; Boa ou ruim

• Cara ou coroa;

• Respostas a testes com duas alternativas; Certo ou errado

• Sexo de bebês; Masculino ou feminino

• Escolaridade; Alfabetizado ou analfabeto

• Chamadas telefônicas; Local ou interrurbana

• Tipo sanguíneo; Rh+ ou Rh-

• Pagamentos; Em dia ou em atraso

63


Vamos começar com um fácil.

O espaço amostral relativo ao “lançamento simultâneo de duas moedas” é:

S={(Ca,Ca),(Ca,Co), (Co,Ca),(Co,Co)} e se o evento X representa “o número de caras” que aparecem a cada ponto, amostral podemos associar um número para X, de acordo com a tabela que segue:

Ponto amostral x P(x)

(Ca,Ca) 2 ¼

(Ca,Co) 1 ¼

(Co,Ca) 1 ¼

(Co,Co) 0 ¼

Observe que a probabilidade de sair uma cara e

uma coroa independente da ordem é:

P(Ca,Co) = ¼ + ¼ = ½

Número de caras

P(x)

2 ¼

1 ½

0 ¼

64


Vejamos outro exemplo:

Consideremos a distribuição de frequências relativa ao número de acidentes diários em um estacionamento:

Número de Acidentes

fi P(xi)

0 22 22/30

1 5 5/30

2 2 2/30

3 1 1/30

Essa tabela é denominada “tabela de distribuição de probabilidades”.

Ao definir a distribuição de probabilidades, estabelecemos uma correspondência unívoca entre os valores da variável aleatória X e os valores da variável P.

Esta correspondência define uma função; os valores xi (com

i sendo um valor entre 1,2,3,...,n) formam o domínio da função e os valores P(xi), o seu conjunto imagem.

65


Essa função, assim definida, é denominada função probabilidade e representada por:

f(x) = P(X = xi)A função P(X=x) determina a distribuição de probabilidade da variável aleatória X.Exemplo:Se lançarmos um dado, a variável X, definida por “pontos de um dado” pode tomar os valores 1,2,3,...,6. E a variável P(X = xi) terá um valor correspondente para cada xi.

Sabemos que, quando realizamos um experimento qualquer em uma única tentativa, a probabilidade de sucesso é p, a probabilidade de não-realização desse mesmo evento é 1 – p = q.

66


Definição:Seja um processo composto de uma seqüência de nobservações independentes com probabilidade de sucesso constante igual a p, a distribuição do número de sucessos seguirá o modelo Binomial:

P x p pxn x n x

( ) ( )

1

onde representa o número de combinações de n objetos

tomados x de cada vez, calculado como: x

n

)!(!

!

xnx

nnx

67Distribuição Binomial

Exemplo: Uma moeda é lançada cinco vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de serem obtidas três caras:

Solução:Aqui, temos: n = 5 , k = 3 , p = ½ e q = 1 – p = ½ Pela fórmula de distribuição binomial, temos:

P(X = 3) = 5 .p3.q5-3 = 10 .(½)3.(½)2 = 5/16

3Exemplo: Dois times, FLA e SPO, vão jogar entre si seis vezes

durante o ano. Qual a probabilidade de o time SPO ganhar seis vezes?

Solução: q = 2/3

Aqui, temos: n = 6 , k = 4 , p = 1/3 (VIT em VIT, EMP, DER)

Pela fórmula de distribuição binomial, temos:

P(X = 4) = 6 .(1/3)4.(2/3)2 = 20/243 = 0,084

68


Exemplo:Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica tem alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4moradores tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso.

Solução:Aqui, temos: n = 13 , k = 4 , p = 0,2 e q = 0,8Pela fórmula de distribuição binomial, temos:

P(X 4) = 1 - P(X < 4) =1 – [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)]=

(130).0,20.0,813 + (13

1).0,21.0,812 + (132).0,22.0,811 + (13

3).0,23.0,810

1 - 1x1x0,0549 + 13x0,2x0,0687 + 78x0,04x0,0858+ 286x0,008x0,1073

1 - 0,0549 + 0,1786 + 0,2676+ 0,2455 = 1 – 0,7466 = 0,2534

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Exemplo:Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que pelo menos 12 tenham feito cursinho?

Solução:Aqui, temos: n = 16 , k = 12 , p = 0,75 e q = 0,25Pela fórmula de distribuição binomial, temos:P(X 12) =[P(X=12) + P(X=13) + P(X=14) + P(X=15) + P(X=16)]=

0,2252+0,2079+0,1336+ +0,0535+0,0100= 0,6302

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1 – Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de queno máximo 13 tenham feito cursinho?

Testando seus conhecimentos

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Testando seus conhecimentos

2 – Admita que, respectivamente, 90% e 80% dos indivíduos das populações A e B sejam alfabetizados. Se 12 pessoas da população A e 10 da população B forem selecionadas ao acaso, qual é a probabilidade de que pelo menos uma não

seja alfabetizada?Dica: Considere,D: as 12 pessoas selecionadas da população A são alfabetizadas.E: as 10 pessoas selecionadas da população B são alfabetizadas.F: pelo menos uma pessoa entre as 22 selecionadas não é

alfabetizada.P(F) = 1 – P(Fc) = 1 – P(D E) = 1 – P(D)*P(E)

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Espero ter contribuído com seu aprendizado e

feito você gostar um pouco mais de matemática. E,

tomara que possamos continuar sendo bons amigos...

Saúde, sucesso e paz!

Aula 3 Análise Combinatória - Professor Luciano Nóbrega¡lise Combinatória Exemplo: Deseja-se...

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